5.3 分式方程的应用讲义 2025-2026学年浙教版数学七年级下册

本讲义聚焦分式方程核心知识点，先系统阐释增根产生的原因（去分母时最简公分母为零）及检验必要性，再通过行程、工程、销售等实际题型构建从概念理解到应用解决的学习支架。 资料以丰富生活实例（如列车提速、植树工程）培养数学眼光，通过规范解题步骤训练运算与推理能力，题型分类清晰且梯度合理，课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺，强化模型意识与应用能力。

【题型1 行程问题】 1.（2023秋•长安区期中）某列车提速前行驶400km与提速后行驶500km所用时间相同，若列车平均提速20km/h，设提速后平均速度为x km/h，所列方程正确的是（　　） A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 【答案】C 【解答】解：∵提速后平均速度为x km/h，且动车平均提速20km/h， ∴动车提速前的平均速度为（x﹣20）km/h． 根据题意得：＝． 故选：C． 2．（2023•青海）为了缅怀革命先烈，传承红色精神，青海省某学校八年级师生在清明节期间前往距离学校15km的烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了30min后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车师生速度的2倍，设骑车师生的速度为x km/h．根据题意，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵骑车师生的速度为x km/h，汽车的速度是骑车师生速度的2倍， ∴汽车的速度是2x km/h， 又∵30min＝h， ∴． 故选：B． 3．（2023秋•五华区期中）青年志愿团队到某地开展志愿服务活动，他们从距离活动地点11km的地方出发．一部分人骑自行车先走，过了30min后，其余的人乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车速度是骑车志愿者速度的2倍，设骑车志愿者的速度为x km/h．根据题意，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵骑车师生的速度为x km/h，汽车的速度是骑车师生速度的2倍， ∴汽车的速度是2x km/h， 又∵30min＝h， ∴． 故选：B． 4．（2023•云南）阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界．某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是x米/分，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵乙同学的速度是x米/分， 则甲同学的速度是1.2x米/分， 由题意得：， 故选：D． 5．（2023秋•裕华区校级期中）甲地到乙地之间的铁路长210千米，动车运行后的平均速度是原来火车的1.5倍，这样由甲地到乙地的行驶时间缩短了90分钟，设原来火车的平均速度为x千米/时，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：设原来火车的平均速度为x千米/小时，则动车运行速度为1.5x千米/小时， 根据题意，得：﹣1.5＝， 故选：C． 6．（2023秋•徐汇区月考）火车在行驶24千米后因故受阻12分钟，再以每小时比原来快6千米的速度开往目的地，虽然后一段路程比前一段路程长12千米，但仍准点到达，求火车原来的速度． 【答案】火车原来行驶的速度为30千米/小时． 【解答】解：火车原来行驶的速度为x千米/小时， 根据题意，得， 整理得：x2+6x﹣1080＝0， 解得x＝30或x＝﹣36（不合题意，舍去）， 经检验，x＝30是原方程的根， 答：火车原来行驶的速度为30千米/小时． 7．（2022秋•浦东新区校级期末）甲乙两地间的一条公路全长为150千米，一辆公共汽车沿着这条公路从甲地出发驶往乙地，2小时后，一辆小汽车也沿着这条公路从甲地出发驶往乙地，但中途因故停车半小时，结果小汽车与公共汽车同时到达乙地．已知小汽车的速度是公共汽车的3倍，求两车的速度． 【答案】公共汽车的速度为40千米/小时，小汽车的速度为120千米/小时． 【解答】解：设公共汽车的速度为x千米/小时，则小汽车的速度为3x千米/小时， 由题意得：﹣（+）＝2， 解得：x＝40， 经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意， 则3x＝3×40＝120， 答：公共汽车的速度为40千米/小时，小汽车的速度为120千米/小时． 8.（2023上·山西吕梁·七年级统考期末）吕梁站至太原南站约180km，随着交通的发展吕梁站至太原南站已开通了多次列车，其中“C150”次列车与“K1334”次列车相比，时速加快，并安全性更好．已知“C150”次列车的平均速度是速度是“K1334”次列车的倍，并“C150”次列车从吕梁站至太原南站所用时间比“K1334”次列车少用30分钟（两列车中途停留时间均除外）．求“C150”次列车和“K1334”次列车从吕梁站至太原南站的平均速度分别是多少． 【答案】“C150”次列车和“K133”次列车从吕梁站至太原南站的平均速度分别为，． 【分析】设“K1334”次列车的平均速度是，则“C150”次列车的平均速度为，根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】解：设“K1334”次列车的平均速度是，则“C150”次列车的平均速度为 由题意，得， 整理，得， 方程两边乘，得， 解得，， 经检验是原方程的解，． 答：“C150”次列车和“K133”次列车从吕梁站至太原南站的平均速度分别为，． 【点睛】本题考查分式方程的应用．根据题意，正确的列出分式方程，是解题的关键． 9.（2023上·湖南长沙·七年级统考期末）七年级（1）班组织同学乘大巴车前往“韶山红色教育基地”开展爱国教育活动，基地离学校有120公里，队伍从学校出发，刘老师因有事情，推迟了半个小时从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前10分钟到达基地，问： (1)大巴与小车的平均速度各是多少？ (2)刘老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？ 【答案】(1)大巴的平均速度为60公里/时，则小车的平均速度为90公里/时 (2)刘老师追上大巴的地点到基地的路程有30公里 【分析】（1）根据“大巴车行驶全程所需时间小车行驶全程所需时间小车晚出发的时间小车早到的时间”列分式方程求解可得； （2）根据“从学校到相遇点小车行驶所用时间小车晚出发时间大巴车从学校到相遇点所用时间”列方程求解可得． 【详解】（1）解：设大巴的平均速度为x公里/时，则小车的平均速度为公里/时，根据题意，得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴（公里/时）， 答：大巴的平均速度为60公里/时，则小车的平均速度为90公里/时； （2）解：设刘老师赶上大巴的地点到基地的路程有y公里，根据题意得： ， 解得：， 答：刘老师追上大巴的地点到基地的路程有30公里． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目中蕴含的相等关系，并依据相等关系列出方程． 10.（2023·福建省泉州第一中学七年级期末）如图，小刚家、王老师家、学校在同一条路上，小刚家到王老师家的路程为3千米，王老师家到学校的路程为0.5千米.由于小刚的父母战斗在抗震救灾第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车送小刚上学.已知王老师骑自行车的速度是步行的3倍，每天比平时步行上班多用了20分钟，问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？ 【答案】王老师的步行速度是，则王老师骑自行车的速度是. 【分析】王老师接小刚上学走的路程÷骑车的速度-平时上班走的路程÷步行的速度=小时． 【详解】设王老师的步行速度是，则王老师骑自行车是， 由题意可得：，解得：， 经检验，是原方程的根， ∴ 答：王老师的步行速度是，则王老师骑自行车的速度是. 【点睛】本题考查列分式方程解应用题.重点在于准确地找出相等关系，需注意①王老师骑自行车接小刚所走路程是（3+3+0.5）千米；②注意单位要统一. 【题型2 工程问题】 1．（2023秋•牡丹江期末）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木．该活动开始后，实际每天比原计划多植树20棵，实际植树800棵所需时间与原计划植树600棵所需时间相同．设实际每天植树x棵，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由题意可得： ＝， 故选：B． 2．（2024•蓬江区校级模拟）“5•12”汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天施工效率比原计划提高1倍，结果提前4天开通了列车．设原计划每天修x米，所列方程正确的是（　　） A．+4＝ B．＝﹣4 C．＝﹣4 D．﹣4＝ 【答案】B 【解答】解：原来所用的时间为：，实际所用的时间为：． 故所列方程为：＝﹣4． 故选：B． 3．（2023秋•大洼区期末）2023年8月世界机器人“开放创新，聚享未来”大会在北京召开，某工厂为促进智能化发展，引进了A，B两种型号的机器人搬运货品，已知每个A型机器人比每个B型机器人每小时多搬运30kg，每个A型机器人搬运1200kg所用的时间与每个B型机器人搬运900kg所用的时间相等．求A，B两种机器人每个每小时分别搬运多少kg货品？ 【答案】A种机器人每小时搬运120kg货品，B种机器人每小时搬运90kg货品． 【解答】解：设A种机器人每小时搬运x kg货品，则B种机器人每小时搬运（x﹣30）kg货品， 根据题意得：＝， 解得：x＝120， 经检验，x＝120是所列方程的解，且符合题意， ∴x﹣30＝120﹣30＝90． 答：A种机器人每小时搬运120kg货品，B型机器人每小时搬运90kg货品． 4．（2023秋•成武县期末）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件．若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件， 依题意，得：＝． 解得：x＝200， 经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意， 答：原来平均每人每周投递快件200件． 5．（2023秋•渝中区期末）某工厂计划生产3000个零件，若每天比原计划多生产15个零件，则生产3300个零件所需的时间与原计划时间相同． （1）求原计划每天生产的零件个数； （2）为了提前完成生产任务，工厂在安排若干台旧设备按原计划正常生产的同时，增加2台新设备参与共同生产，经过10天即完成计划的90%．已知每台新设备的效率是每台旧设备的1.2倍，求旧设备的台数． 【答案】（1）原计划平均每天生产150个零件； （2）旧设备有3台． 【解答】解：（1）设原计划平均每天生产x个零件，现在平均每天生产（x+15）个零件， 根据题意得：＝， 解得：x＝150， 经检验，x＝150是原方程的解，且符合题意， 答：原计划平均每天生产150个零件； （2）设旧设备有y台， 由题意得：（150+×1.2×2）×10＝3000×90%， 解得：y＝3， 经检验，y＝3是原方程的解，且符合题意， 答：旧设备有3台． 6.（2023上·河北唐山·七年级统考期末）某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用天时间完成整个工程．当一号施工队工作天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前天完成整个工程，于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程． （1）若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？ （2）若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？ 【答案】（1）若由二号施工队单独施工，完成整个工期需要天；（2）若由一、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要天 【分析】（1）设二号施工队单独施工需要天，根据题意得，两队一起施工和一号施工队单独施工天的总工作量相同；两队一起施工时，一号施工队工作天，二号施工队工作天，通过列方程并求解，即可得到答案； （2）结合（1）的结论，根据题意，工程一号、二号施工队同时进场施工和一号施工队单独施工天的总工作量相同，通过列方程并求解，即可得到答案． 【详解】（1）设二号施工队单独施工需要天， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解 ∴若由二号施工队单独施工，完成整个工期需要天； （2）一号、二号施工队同时进场施工需要的天数为x天 根据题意得： ∴ ∴若由一、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要天． 【点睛】本题考查了分式方程、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握分式方程、一元一次方程的性质，从而完成求解． 7.（2023下·重庆南岸·七年级重庆市珊瑚初级中学校校考期中）重庆市某垃圾填埋场生态修复工程全面竣工验收，全国最大垃圾填埋场摇身变为环境优美、空气宜人的生态绿地，实现了城市土地的循环再利用．修复之初，一期工程共有吨垃圾要运走，计划由甲、乙两个工程队运走垃圾．已知甲、乙两个工程队，原计划甲平均每天运走的垃圾比乙平均每天运走的垃圾多，这样甲运走吨垃圾的时间比乙运走剩下垃圾的时间少两天． (1)求原计划甲平均每天运垃圾多少吨？ (2)实际施工时，甲平均每天运走的垃圾比原计划增加了吨，乙平均每天运走的垃圾比原计划增加了，甲、乙合作7天后，甲临时有其他任务，剩下的垃圾由乙再单独工作2天完成．若运走每吨垃圾的运输费用为40元，请求出甲工程队的运输费用． 【答案】(1)原计划甲平均每天运垃圾吨 (2)甲工程队的运输费用为元 【分析】（1）原计划乙平均每天运垃圾吨，则原计划甲平均每天运垃圾吨，由题意：甲运走吨垃圾的时间比乙运走剩下垃圾的时间少两天．列出分式方程，解方程即可； （2）由题意：实际施工时，甲平均每天运走的垃圾比原计划增加了吨，乙平均每天运走的垃圾比原计划增加了，甲、乙合作天后，甲临时有其他任务；剩下的垃圾由乙再单独工作天完成，列出一元一次方程，解方程，即可解决问题． 【详解】（1）解：设原计划乙平均每天运垃圾吨，则甲平均每天运垃圾吨， 根据题意得：， 解得， 经检验是原方程的解且符合题意， 则， 答：原计划甲平均每天运垃圾吨． （2）解：根据题意得： ， 解得， 则， 答：甲工程队的运输费用为元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出分式方程；②找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【题型3 销售问题】 1.（2023•金华开学）为迎接亚运，某校购买了一批篮球和足球，已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元，设足球的单价为x元，根据题意，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：根据题意得，＝2×． 故选：A． 2．（2023春•鲁山县期末）某服装店购进一批甲、乙两种款型衬衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元．问甲、乙两种款型的衬衫各购进多少件？设乙种款型的衬衫购进x件，所列方程为（　　） A．﹣30＝ B．＝﹣30 C．+30＝ D．﹣30＝ 【答案】C 【解答】解：∵购进甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，且乙种款型的衬衫购进x件， ∴甲种款型的衬衫购进1.5x件， 依题意得：+30＝． 故选：C． 3.（2022秋•汉寿县期末）某校在商场购进A、B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元． （1）问购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？ （2）该校决定再次购进A、B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需（x+30）元， 由题意得：＝2×， 解得：x＝50， 经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意， 则x+30＝80． 答：购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元． （2）设该校此次可购买a个B品牌篮球，则购进A品牌篮球（50﹣a）个， 由题意得：50×（1+8%）（50﹣a）+80×0.9a≤3060， 解得：a≤20， 答：该校此次最多可购买20个B品牌篮球． 4．（2023秋•南岗区校级月考）中国华为公司购买了一批A，B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知华为公司用312元购买A型芯片的条数与用420元购买B型芯片的条数相等． （1）求华为公司购买的A，B型芯片的单价各是多少元． （2）若两种芯片共购买了150条，且购买的总费用为4350元，求购买了多少条A型芯片． 【答案】（1）A型芯片的单价为26元，B型芯片的单价为35元； （2）100条． 【解答】解：（1）设B型芯片的单价为x元， 根据题意，得， 解得x＝35， 经检验，x＝35是原分式方程的根，且符合题意， 35﹣9＝26（元）， 答：A型芯片的单价为26元，B型芯片的单价为35元； （2）设购买了m条A型芯片， 根据题意，得26m+35（150﹣m）＝4350， 解得m＝100， 答：购买了100条A型芯片． 5．（2022秋•安丘市校级期末）某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价是第一次进价的1.2倍，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完． （1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？ （2）超市销售这种干果共盈利多少元？ 【答案】（1）每千克5元； （2）5820元． 【解答】解：（1）设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克1.2x元， 依题意得：＝2×+300， 解得：x＝5， 经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意． 答：该种干果的第一次进价是每千克5元． （2）第一次购进3000÷5＝600（千克）， 第二次购进9000÷（1.2×5）＝1500（千克）． 9×（600+1500﹣600）+9×0.8×600﹣3000﹣9000 ＝9×1500+9×0.8×600﹣3000﹣9000 ＝13500+4320﹣3000﹣9000 ＝5820（元）． 答：超市销售这种干果共盈利5820元． 6.（2023下·山东泰安·七年级肥城市实验中学校考期中）某个体经营户了解到有一种盒装商品能畅销市场，就用4万元购进这种商品，面市后果然供不应求，他又用8.8万元购进了第二批这种商品，所购数量是第一批购进量的2倍，但每盒单价涨了4元，他在销售这种盒装商品时每盒定价都是56元，最后剩下的150盒按八折销售，很快售完． (1)该盒装商品两次的单价分别是多少元？ (2)在这两笔生意中，这位个体经营户共盈利多少元？ 【答案】(1)元和元． (2)38320元 【分析】（1）设第一批进货的单价为元，则第二批进货的单价为元，根据第二批进货是第一批购进数量的2倍，列方程求出的值即可． （2）根据（1）中的结果，求出盈利即可． 【详解】（1）解：设第一批进货的单价为元，则第二批进货的单价为元，依题意有 ， 解得：， 经检验是原分式方程的解，且符合题意， ，第二次进货的单价为44元， 所以，该盒装商品两次的单价分别是元和元． （2）解：由（1）可知，第一次进货1000件， 第二次进货的单价为44元，第二次进货2000件， 总盈利为： （元． 答：这位个体经营户共赢利38320元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． 7.（2023下·河南南阳·七年级南阳市第三中学校考阶段练习）《非机动车管理办法》规定：电动自行车驾驶人和乘坐人员应该戴安全头盔．某商店用1600元购进一批电动车头盔，销售发现供不应求，于是，又用5400元再购进一批头盔，第二批头盔的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵10元．第一批头盔进货单价多少元? 【答案】80 【分析】设第一批头盔进货单价x元，则第二批进价为元，再根据等量关系“第二批头盔的数量是第一批的3倍”列分式方程求解即可． 【详解】解：设第一批头盔进货单价x元，则第二批进价为元， 根据题意可得：，解得：， 经检验，是分式方程的解， 答：第一批头盔进货单价80元． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意、正确列出分式方程是解答本题的关键． 8.（2023上·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考阶段练习）成都大运会期间，吉祥物“蓉宝”的周边商品的销量不断上升．一家网店的店主统计了前两周的“蓉宝”单肩包的销售情况，发现第一周A型单肩包的销量是100个，B型单肩包销量是120个，总利润是2800元；第二周A型单肩包的销量是180个，B型单肩包的销量是200个，总利润是4800元． (1)请问1个A型单肩包、1个B型单肩包的利润分别是多少元？ (2)店主在第三周调整了价格，A型单肩包每个涨价元，B型单肩包每个降价a元，统计后发现，调整后的这周A、B两种型号单肩包的销量一样，并且A型单肩包的总利润达2400元，B型单肩包的总利润达2600元．求出a的值． 【答案】(1)1个A型单肩包的利润是10元，1个B型单肩包的利润是15元 (2) 【分析】（1）设1个A型单肩包的利润是元，1个B型单肩包的利润是元，根据题中第一周和第二周的销量情况和总利润，列二元一次方程即可解答； （2）根据两种单肩包的销量一样，列分式方程，即可解答． 【详解】（1）解：设1个A型单肩包的利润是元，1个B型单肩包的利润是元， 由题意可得， 解得， 1个A型单肩包的利润是10元，1个B型单肩包的利润是15元； （2）解：根据题意可得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系列方程． 【题型4 和差倍分问题】 1.（2023上·福建福州·七年级福建省福州屏东中学校考期中）学校要举行跳绳比赛，同学们都积极练习．甲同学跳120个所用的时间，乙同学可以跳180个；又已知甲每分钟比乙少跳20个，求每人每分钟各跳多少个？ 【答案】甲每分钟跳40个，乙每分钟跳60个． 【分析】设甲每分钟跳x个，则乙每分钟跳个，然后根据“甲同学跳120个所用的时间，乙同学可以跳180个”列分式方程求解即可． 【详解】解：设甲每分钟跳x个，则乙每分钟跳个， 由题意可得：，解得：， 经检验，是分式方程的解 所以，甲每分钟跳40个，乙每分钟跳个． 答：甲每分钟跳40个，乙每分钟跳60个． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、找到等量关系、列出分式方程是解答本题的关键． 2．（2022秋•同江市期末）A，B两地航程为48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程为： +＝9， 故选：C． 3．（2023•朔州模拟）某校举办以“晋魂”为主题的综合实践活动，组织八年级学生去距离学校20km的山西博物院参观．其中一名老师带学生乘坐大巴车先走，过了10min，另一名老师乘坐小轿车出发，结果他们同时到达．已知小轿车的速度是大巴车速度的1.5倍，求大巴车的速度．若设大巴车的速度为x km/h，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵小轿车的速度是大巴车速度的1.5倍，且大巴车的速度为x km/h， ∴小轿车的速度为1.5x km/h． 根据题意得：﹣＝， 即﹣＝． 故选：C． 温故知新 1.（24-25八年级上·河北唐山·期末）嘉淇同学解分式方程时，有如下步骤： ①方程两边乘最简公分母 ②得到整式方程为，解得 ③将代入到中， ④得到结论：是该分式方程的解 老师看到嘉淇同学的解题过程，指出有一处错误，则错误的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤、解分式方程必须检验是解题的关键． 按照解分式方程的步骤逐步判断即可． 解： 两边同乘以最简公分母得： 得到整式方程为，解得， 检验：当时，， 所以该分式方程无解，即④错误． 故选：D． 2.已知关于的分式方程与的解相同，则的值是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了分式方程的解及解分式方程，解决本题的关键是熟练掌握解分式方程，先解，再将把代入，即可解答． 解：， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 关于的分式方程与的解相同， ∴将代入，得： ， 解得：， 故答案为：5． 3.（24-25八年级下·北京朝阳·开学考试）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了分式方程的解，理解分式方程无解产生的原因是解题的关键． 先将分式方程去分母转化为整式方程，再根据整式方程无解和产生增根的两种情况分别进行求解即可． 解：， 方程两边乘，得， 整理，得． 当，即时，分式方程无解． 当时，，分式方程无解． 把代入整式方程，得，解得． 综上，m的值为1或． 故答案为：1或． 4．（24-25七年级下·全国·周测）已知关于x的分式方程．若方程的解为负数，则m的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】此题考查根据分式方程的解求参数，先去分母解方程求出得，根据分式方程的解为负数，得到，且，，即可求出答案． 解：原式去分母得， 解得， ∵分式方程的解为负数， ∴，且，， ∴且， 故答案为：且． 5．（2025八年级下·全国·专题练习）某书店在开学之初用760元购进工具书若干本，按每本20元出售，很快销售一空，据了解学生还急需2倍这种工具书，于是又用1300元购进所需工具书，由于量大每本进价比上次优惠2元，该店仍按每本20元出售，最后剩下2本按七五折卖出，这笔生意该店共盈利 元． 【答案】1230 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设第一批购进该工具书x本，则第二批购进该工具书2x本，根据单价＝总价÷数量结合第二批的进价比第一批便宜2元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可求出第一批及第二批购进的数量，再利用总利润＝销售单价×数量﹣进价，即可求出结论． 解：设第一批购进该工具书x本，则第二批购进该工具书本， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． ∴（元）． 故答案为：1230． 6．（2025·山东淄博·一模）新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱．一汽车销售公司销售某品牌新能源汽车，去年销售总额为5000万元，今年月份每辆车的销售价格比去年降低1万元，销售数量是去年一整年的，销售总额比去年一整年的少，今年月份每辆车的销售价格是多少万元？设今年月份每辆车的销售价格为万元．根据题意，列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的实际应用，根据今年月份每辆车的销售价格比去年降低1万元，销售数量是去年一整年的，销售总额比去年一整年的少，列出方程即可． 解：设今年月份每辆车的销售价格为万元，由题意，得： ； 故选A． 7.小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚． （1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程． （2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了分式方程解法和增根的定义及应用．增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．增根确定后可按如下步骤进行： ①化分式方程为整式方程； ②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． （1）“？”当成5，解分式方程即可， （2）方程有增根是去分母时产生的，故先去分母，再将代入即可解答． 解：（1）解：原方程为， 方程两边同时乘以得 ， 解得 经检验，是原分式方程的解； （2）解：设？为m， 方程两边同时乘以， 得 ∵原方程无解 ∴是原分式方程的增根， 所以把代入上面的等式得 解得， ∴原分式方程中“？”代表的数是． 8．（本小题满分10分）（24-25九年级下·重庆·期中）为推动传统农业向智慧农业转型，某农场决定配备两款施肥无人机共架．每架款施肥无人机需要人协同操控，每架款施肥无人机需要人协同操控，农场负责施肥的操控人员共有人． （1）求款施肥无人机和款施肥无人机分别有多少架？ （2）该农场共有亩农田需要施肥， 两款施肥无人机负责施肥亩数相同，已知每架款施肥无人机每小时施肥亩数是每架款施肥无人机每小时施肥亩数的倍，所有款施肥无人机同时施肥比所有款施肥无人机同时施肥提前小时完成施肥，求每架款施肥无人机每小时施肥多少亩？ 【答案】（1）款施肥无人机有架，款施肥无人机有架；（2）每架款施肥无人机每小时施肥亩． 【分析】本题考查了分式方程的应用，二元一次方程组的应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． （）设款施肥无人机有架，款施肥无人机有架，根据题意列出方程，然后解方程即可； （）设每架款施肥无人机每小时施肥亩，则每架款施肥无人机每小时施肥，根据题意列出方程，然后解方程并检验即可． 解：（1）解：设款施肥无人机有架，款施肥无人机有架， 根据题意得：，解得：， 答：款施肥无人机有架，款施肥无人机有架， （2）解：设每架款施肥无人机每小时施肥亩，则每架款施肥无人机每小时施肥， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解且符合题意， ∴每架款施肥无人机每小时施肥， 答：每架款施肥无人机每小时施肥亩． 9．（2023秋•西华县期末）2021年7月份，一场洪水冲垮了贾鲁河大堤，人畜和农作物都遭受了灾害，于是国家作出惠民决定：加固贾鲁河大堤！某承包商承接了一段长达2400米的大堤，在加固800米后，采用新的加固模式，每天的工作效率比原来提高25%，最终用26天完成了全部加固任务． （1）求原来每天加固河堤多少米？ （2）若承包商原来每天支付工人工资为1600元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增加了20%，求完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？ 【答案】（1）原来每天加固河堤80米； （2）完成整个工程后承包商共支付工人工资46720元． 【解答】解：（1）设原来每天加固河堤x米，则采用新的加固模式后每天加固河堤（1+25%）x米， 由题意得：+＝26， 解得：x＝80， 经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意， 答：原来每天加固河堤80米； （2）由（1）得：（1+25%）x＝（1+25%）×80＝100（米）， ∴承包商共支付工人工资为：×1600+×1600×（1+20%）＝46720（元）， 答：完成整个工程后承包商共支付工人工资46720元． 10．（2024•保康县一模）2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案》和《课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合与实践课程中独立出来．为了体验劳动的快乐，亲历劳动的过程，某班组织学生到菜园进行了蔬菜采摘活动．班主任将该班学生分成甲、乙两组，在相同的采摘时间内，甲组采摘了270千克，乙组采摘了225千克，平均每小时甲组比乙组多采摘30千克，请用列方程的方法求平均每小时甲、乙两个小组各采摘多少千克． 【答案】平均每小时甲小组采摘180千克，乙小组采摘150千克． 【解答】解：设平均每小时甲小组采摘x千克，则平均每小时乙小组采摘（x﹣30）千克， 由题意得：＝， 解得：x＝180， 经检验，x＝180是原方程的解，且符合题意， ∴x﹣30＝180﹣30＝150， 答：平均每小时甲小组采摘180千克，乙小组采摘150千克． 11．（2023秋•潍坊期末）某项工程由甲，乙两工程队承包修建，从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的3倍；若由甲队先做20天，剩下的工程再由甲，乙两队合作10天完成． （1）求甲，乙两队单独完成这项工程各需多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为5.2万元，乙队每天的施工费用为18万元，工程预算的施工费用为350万元，为缩短工期，拟安排甲，乙两队同时开工合作完成这项工程，那么工程预算的施工费用是否够用？为什么？ 【答案】（1）甲队单独完成这项工作所需60天，乙队单独完成这项工程需20天； （2）工程预算的费用够用，理由见解析． 【解答】解：（1）设乙队单独完成这项工程需x天，则甲队单独完成这项工作所需3x天， 由题意得：+＝1， 解得：x＝20， 经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意， ∴3x＝3×20＝60（天）， 答：甲队单独完成这项工作所需60天，乙队单独完成这项工程需20天； （2）工程预算的费用够用，理由如下： 设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天， 由题意得：y（+）＝1， 解得：y＝15， 需要施工的费用：15×（5.2+18）＝348（万元）， ∵350＞348， ∴工程预算的费用够用． 12.（2023上·云南红河·七年级统考期末）昭通苹果和天麻美味可口，小明在昆明某超市购买1市斤昭通苹果和2市斤小草坝天麻需要支付105元，购买3市斤昭通苹果和5市斤小草坝天麻需要265元． (1)1市斤昭通苹果和1市斤小草坝天麻的单价分别是多少元？ (2)昆明到昭通的距离大约，以前超市老板都会亲自去往昭通选果，但今年的疫情原因，只能选择专车托运，以前花240元进购的苹果现在要花300元，进货单价比原来贵了1元，原来1市斤苹果进货单价为多少？ 【答案】(1)一市斤昭通苹果和一市斤小草坝天麻的单价分别是5元和50元 (2)原来一市斤苹果进货单价为4元 【分析】（1）设一市斤昭通苹果和一市斤小草坝天麻的单价分别是x元和y元，根据购买1市斤昭通苹果和2市斤小草坝天麻需要支付105元，购买3市斤昭通苹果和5市斤小草坝天麻需要265元，列出方程组，解方程组即可； （2）设问原来一市斤苹果进货单价为a元，则现在的进货单价为元，根据以前花240元进购的苹果现在要花300元，求出结果即可． 【详解】（1）解：设一市斤昭通苹果和一市斤小草坝天麻的单价分别是x元和y元， 列方程组：，     解方程组得：， ∴一市斤昭通苹果和一市斤小草坝天麻的单价分别是5元和50元． （2）解：设问原来一市斤苹果进货单价为a元，则现在的进货单价为元，由题可得： ， ∴解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴原来一市斤苹果进货单价为4元． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程，准确计算． 学科网（北京）股份有限公司 $ 分式方程 一、解分式方程产生增根的原因 方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 特别指出： （1） 增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的 两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方 程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根 就是原方程的增根. （2） 解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是 否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进 行的. 二、分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行： （1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数； （3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程； （5）验根，检验是否是增根； （6）写出答案. 题型1：行程问题 1.某列车提速前行驶400km与提速后行驶500km所用时间相同，若列车平均提速20km/h，设提速后平均速度为x km/h，所列方程正确的是（　　） A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 2．为了缅怀革命先烈，传承红色精神，青海省某学校八年级师生在清明节期间前往距离学校15km的烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了30min后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车师生速度的2倍，设骑车师生的速度为x km/h．根据题意，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 3．青年志愿团队到某地开展志愿服务活动，他们从距离活动地点11km的地方出发．一部分人骑自行车先走，过了30min后，其余的人乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车速度是骑车志愿者速度的2倍，设骑车志愿者的速度为x km/h．根据题意，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 4．阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界．某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是x米/分，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 5．甲地到乙地之间的铁路长210千米，动车运行后的平均速度是原来火车的1.5倍，这样由甲地到乙地的行驶时间缩短了90分钟，设原来火车的平均速度为x千米/时，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 6．甲乙两地间的一条公路全长为150千米，一辆公共汽车沿着这条公路从甲地出发驶往乙地，2小时后，一辆小汽车也沿着这条公路从甲地出发驶往乙地，但中途因故停车半小时，结果小汽车与公共汽车同时到达乙地．已知小汽车的速度是公共汽车的3倍，求两车的速度． 7.吕梁站至太原南站约180km，随着交通的发展吕梁站至太原南站已开通了多次列车，其中“C150”次列车与“K1334”次列车相比，时速加快，并安全性更好．已知“C150”次列车的平均速度是速度是“K1334”次列车的倍，并“C150”次列车从吕梁站至太原南站所用时间比“K1334”次列车少用30分钟（两列车中途停留时间均除外）．求“C150”次列车和“K1334”次列车从吕梁站至太原南站的平均速度分别是多少． 8.七年级（1）班组织同学乘大巴车前往“韶山红色教育基地”开展爱国教育活动，基地离学校有120公里，队伍从学校出发，刘老师因有事情，推迟了半个小时从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前10分钟到达基地，问： (1)大巴与小车的平均速度各是多少？ (2)刘老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？ 9.如图，小刚家、王老师家、学校在同一条路上，小刚家到王老师家的路程为3千米，王老师家到学校的路程为0.5千米.由于小刚的父母战斗在抗震救灾第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车送小刚上学.已知王老师骑自行车的速度是步行的3倍，每天比平时步行上班多用了20分钟，问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？ 题型2：工程问题 1．某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木．该活动开始后，实际每天比原计划多植树20棵，实际植树800棵所需时间与原计划植树600棵所需时间相同．设实际每天植树x棵，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 2．“5•12”汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天施工效率比原计划提高1倍，结果提前4天开通了列车．设原计划每天修x米，所列方程正确的是（　　） A．+4＝ B．＝﹣4 C．＝﹣4 D．﹣4＝ 3．2023年8月世界机器人“开放创新，聚享未来”大会在北京召开，某工厂为促进智能化发展，引进了A，B两种型号的机器人搬运货品，已知每个A型机器人比每个B型机器人每小时多搬运30kg，每个A型机器人搬运1200kg所用的时间与每个B型机器人搬运900kg所用的时间相等．求A，B两种机器人每个每小时分别搬运多少kg货品？ 4．（2023秋•成武县期末）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件．若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？ 5．某工厂计划生产3000个零件，若每天比原计划多生产15个零件，则生产3300个零件所需的时间与原计划时间相同． （1）求原计划每天生产的零件个数； （2）为了提前完成生产任务，工厂在安排若干台旧设备按原计划正常生产的同时，增加2台新设备参与共同生产，经过10天即完成计划的90%．已知每台新设备的效率是每台旧设备的1.2倍，求旧设备的台数． 6.某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用天时间完成整个工程．当一号施工队工作天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前天完成整个工程，于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程． （1）若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？ （2）若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？ 7.（2023下·重庆南岸·七年级重庆市珊瑚初级中学校校考期中）重庆市某垃圾填埋场生态修复工程全面竣工验收，全国最大垃圾填埋场摇身变为环境优美、空气宜人的生态绿地，实现了城市土地的循环再利用．修复之初，一期工程共有吨垃圾要运走，计划由甲、乙两个工程队运走垃圾．已知甲、乙两个工程队，原计划甲平均每天运走的垃圾比乙平均每天运走的垃圾多，这样甲运走吨垃圾的时间比乙运走剩下垃圾的时间少两天． (1)求原计划甲平均每天运垃圾多少吨？ (2)实际施工时，甲平均每天运走的垃圾比原计划增加了吨，乙平均每天运走的垃圾比原计划增加了，甲、乙合作7天后，甲临时有其他任务，剩下的垃圾由乙再单独工作2天完成．若运走每吨垃圾的运输费用为40元，请求出甲工程队的运输费用． 题型3：销售问题 1.为迎接亚运，某校购买了一批篮球和足球，已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元，设足球的单价为x元，根据题意，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 2．某服装店购进一批甲、乙两种款型衬衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元．问甲、乙两种款型的衬衫各购进多少件？设乙种款型的衬衫购进x件，所列方程为（　　） A．﹣30＝ B．＝﹣30 C．+30＝ D．﹣30＝ 3.某校在商场购进A、B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元．购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？ 4．中国华为公司购买了一批A，B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知华为公司用312元购买A型芯片的条数与用420元购买B型芯片的条数相等． （1）求华为公司购买的A，B型芯片的单价各是多少元． （2）若两种芯片共购买了150条，且购买的总费用为4350元，求购买了多少条A型芯片． 5．某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价是第一次进价的1.2倍，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完． （1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？ （2）超市销售这种干果共盈利多少元？ 6.某个体经营户了解到有一种盒装商品能畅销市场，就用4万元购进这种商品，面市后果然供不应求，他又用8.8万元购进了第二批这种商品，所购数量是第一批购进量的2倍，但每盒单价涨了4元，他在销售这种盒装商品时每盒定价都是56元，最后剩下的150盒按八折销售，很快售完． (1)该盒装商品两次的单价分别是多少元？ (2)在这两笔生意中，这位个体经营户共盈利多少元？ 7.《非机动车管理办法》规定：电动自行车驾驶人和乘坐人员应该戴安全头盔．某商店用1600元购进一批电动车头盔，销售发现供不应求，于是，又用5400元再购进一批头盔，第二批头盔的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵10元．第一批头盔进货单价多少元? 8.成都大运会期间，吉祥物“蓉宝”的周边商品的销量不断上升．一家网店的店主统计了前两周的“蓉宝”单肩包的销售情况，发现第一周A型单肩包的销量是100个，B型单肩包销量是120个，总利润是2800元；第二周A型单肩包的销量是180个，B型单肩包的销量是200个，总利润是4800元． (1)请问1个A型单肩包、1个B型单肩包的利润分别是多少元？ (2)店主在第三周调整了价格，A型单肩包每个涨价元，B型单肩包每个降价a元，统计后发现，调整后的这周A、B两种型号单肩包的销量一样，并且A型单肩包的总利润达2400元，B型单肩包的总利润达2600元．求出a的值． 题型4：和差倍分问题 1.A，B两地航程为48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（　　） A． B． C． D． 2.某校举办以“晋魂”为主题的综合实践活动，组织八年级学生去距离学校20km的山西博物院参观．其中一名老师带学生乘坐大巴车先走，过了10min，另一名老师乘坐小轿车出发，结果他们同时到达．已知小轿车的速度是大巴车速度的1.5倍，求大巴车的速度．若设大巴车的速度为x km/h，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 3.学校要举行跳绳比赛，同学们都积极练习．甲同学跳120个所用的时间，乙同学可以跳180个；又已知甲每分钟比乙少跳20个，求每人每分钟各跳多少个？ 温故知新 1.（24-25八年级上·河北唐山·期末）嘉淇同学解分式方程时，有如下步骤： ①方程两边乘最简公分母 ②得到整式方程为，解得 ③将代入到中， ④得到结论：是该分式方程的解 老师看到嘉淇同学的解题过程，指出有一处错误，则错误的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 2.已知关于的分式方程与的解相同，则的值是 ． 3.（24-25八年级下·北京朝阳·开学考试）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 4．（24-25七年级下·全国·周测）已知关于x的分式方程．若方程的解为负数，则m的取值范围为 ． 5．（2025八年级下·全国·专题练习）某书店在开学之初用760元购进工具书若干本，按每本20元出售，很快销售一空，据了解学生还急需2倍这种工具书，于是又用1300元购进所需工具书，由于量大每本进价比上次优惠2元，该店仍按每本20元出售，最后剩下2本按七五折卖出，这笔生意该店共盈利 元． 6．（2025·山东淄博·一模）新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱．一汽车销售公司销售某品牌新能源汽车，去年销售总额为5000万元，今年月份每辆车的销售价格比去年降低1万元，销售数量是去年一整年的，销售总额比去年一整年的少，今年月份每辆车的销售价格是多少万元？设今年月份每辆车的销售价格为万元．根据题意，列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 7.小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚． （1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程． （2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少． 8.（24-25九年级下·重庆·期中）为推动传统农业向智慧农业转型，某农场决定配备两款施肥无人机共架．每架款施肥无人机需要人协同操控，每架款施肥无人机需要人协同操控，农场负责施肥的操控人员共有人． （1）求款施肥无人机和款施肥无人机分别有多少架？ （2）该农场共有亩农田需要施肥， 两款施肥无人机负责施肥亩数相同，已知每架款施肥无人机每小时施肥亩数是每架款施肥无人机每小时施肥亩数的倍，所有款施肥无人机同时施肥比所有款施肥无人机同时施肥提前小时完成施肥，求每架款施肥无人机每小时施肥多少亩？ 9．2021年7月份，一场洪水冲垮了贾鲁河大堤，人畜和农作物都遭受了灾害，于是国家作出惠民决定：加固贾鲁河大堤！某承包商承接了一段长达2400米的大堤，在加固800米后，采用新的加固模式，每天的工作效率比原来提高25%，最终用26天完成了全部加固任务． （1）求原来每天加固河堤多少米？ （2）若承包商原来每天支付工人工资为1600元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增加了20%，求完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？ 10．（2024•保康县一模）2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案》和《课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合与实践课程中独立出来．为了体验劳动的快乐，亲历劳动的过程，某班组织学生到菜园进行了蔬菜采摘活动．班主任将该班学生分成甲、乙两组，在相同的采摘时间内，甲组采摘了270千克，乙组采摘了225千克，平均每小时甲组比乙组多采摘30千克，平均每小时甲、乙两个小组各采摘多少千克？ 11．某项工程由甲，乙两工程队承包修建，从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的3倍；若由甲队先做20天，剩下的工程再由甲，乙两队合作10天完成． （1）求甲，乙两队单独完成这项工程各需多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为5.2万元，乙队每天的施工费用为18万元，工程预算的施工费用为350万元，为缩短工期，拟安排甲，乙两队同时开工合作完成这项工程，那么工程预算的施工费用是否够用？为什么？ 12.（2023上·云南红河·七年级统考期末）昭通苹果和天麻美味可口，小明在昆明某超市购买1市斤昭通苹果和2市斤小草坝天麻需要支付105元，购买3市斤昭通苹果和5市斤小草坝天麻需要265元． (1)1市斤昭通苹果和1市斤小草坝天麻的单价分别是多少元？ (2)昆明到昭通的距离大约，以前超市老板都会亲自去往昭通选果，但今年的疫情原因，只能选择专车托运，以前花240元进购的苹果现在要花300元，进货单价比原来贵了1元，原来1市斤苹果进货单价为多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $