第 5 章 分式 （15知识详解+38典例分析）2025-2026学年浙教版七年级数学下册同步讲义与测试

该初中数学分式单元复习讲义通过表格对比、分点梳理构建知识体系，将分式概念、性质、运算及方程等15个知识点按逻辑递进呈现，用对比表格明晰分式与分数、约分与通分的区别联系，突出重难点内在关联。 讲义亮点在于38道典例分层设计，从基础的分式判断到综合的行程工程问题，培养运算能力与模型意识，如分式方程应用结合实际情境，助力学生理解数学与现实联系，适合分层教学，教师可据此精准指导不同层次学生提升。

第 5 章 分式 （15知识详解+38典例分析） 【知识点01】分式的概念 1.分式：这些代数式都表示两个整式相除，且除式中含有字母。像这样的代数式叫作分式。 2.分式必须满足三个条件：①具备的形式；②A,B 都是整式；③分母中含有字母。三个条件缺一不可。 示例1 分式 辨析 分式与分数的区别与联系 分式 分数 区别 分式是两个整式相除的商式。 分数是整式。 分式的分母中含有字母。 分数的分子、分母中都不含有字母。 联系 由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分数是分式中字母取特定值后的特殊情况。 说明：分式可看成两个整式的商，它的分子是被除式，分母是除式，分数线相当于除号，分数线还具有括号作用。例如 可表示为(x−y)÷(x+y),但(x−y)÷(x+y)是运算式，不符合的形式，不是分式。 【知识点02】分式有意义、无意义或分式的值为零的条件 分式中字母的取值不能使分母为零。当分母的值为零时，分式就没有意义。 分类 条件 分式 有意义 分母不等于零，即𝐵≠0 。 分式 无意义 分母等于零，即𝐵=0 。 分式的值为零 分子等于零，分母不等于零，即𝐴=0 ，𝐵≠0 （保证分式有意义。）。 示例2 分式有、无意义的条件 注意：（1）如果没有特别说明，分式的字母取值都不能使分母为零。 （2）分式有无意义，只与分式中分母的值是否为0有关，而与分式的值是否为零无关。 【知识点03】分式的基本性质 基本性质 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 字母表示 =,=（其中𝑀 是不等于零的整式）。 用途 进行分式化简和运算的依据。 注意（1）分子和分母要同时做“乘法（或除法）”运算； （2） 乘（或除以）的对象必须是同一个不等于零的整式。： 示例3 分式的基本性质 【知识点04】分式的符号法则 内容 分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。 字母表示 ===− 。 拓展：改变其中任何一个或三个后，新分式与原分式互为相反数，如分式与 互为相反数 【知识点05】分式的约分 1.分式的约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫作分式的约分。 注意：不改变分式的值 约分要约去分子、分母所有的公因式。 2.最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫作最简分式。 3.约分的方法： （1）若分子、分母都是单项式，则约去分子、分母系数的最大公因数和相同字母的最低次幂（公因式）； （2）若分子或分母中含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因式。 注意： 约分的最后结果是最简分式或整式。 示例4 分式的约分 【知识点06】多项式除以多项式 多项式除以多项式可转化为分式的约分，其依据是分式的意义和等式的基本性质。最后的结果要用整式（整除时）或最简分式（不整除时）表示。 【知识点07】分式的乘除法则 1.分式的乘法法则： 法则 式子表示 分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母。 示例1 分式的乘法 2.分式的除法法则： 法则 式子表示 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 示例2 分式的除法 注意：（1）整式与分式运算时，可以把整式看成分母是1的式子； （2）运算结果要化为最简分式或整式。 【知识点08】分式的乘除混合运算 分式乘除混合运算的步骤： 一般地，分式的乘除混合运算可以统一为乘法运算。在运算时，乘除是同一级运算，若没有括号，则应按照从左到右的顺序进行计算，若有括号，则先算括号里面的。 【知识点09】分式的乘方 法则 式子表示 分式的乘方 分式乘方要把分子、分母分别乘方。 ()=(𝑛是正整数) 。 注意：分式乘方时，一定要把分式加上括号，不要把()=写成()= 。 示例3 分式的乘方运算 敲黑板： 乘方运算结果符号的确定方法 进行分式的乘方时,一定要先确定乘方结果的符号，它与实数乘方确定符号的方法相同：正数的任何次方都是正数；负数的偶次方为正数，奇次方为负数． 【知识点10】同分母分式的加减 同分母分式加减的法则： 法则 字母表示 同分母分式 同分母的分式相加减，分式的分母不变，把分子相加减。 注意：（1）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式。 （2） 运算时要注意适当加括号,再去括号,以免出现符号错误。如 【知识点11】分式的通分 1.分式的通分：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫作通分。 2.确定公分母的方法： （1）各个分母都是单项式：一般取各分母的系数的最小公倍数与各分母所有字母的最高次幂的积为公分母； （2）分母是多项式：先将它分解因式，然后用（1）中的方法确定公分母。 示例4 确定公分母 辨析：约分和通分的区别与联系 约分 通分 区别 分式的个数 1个 2个或2个以上 目的 将分式化为最简分式或整式。 使几个异分母的分式化为同分母的分式。 联系 依据 分式的基本性质 分式的值 不变 【知识点12】异分母分式的加减 1.异分母分式的加减法则： 法则 字母表示 异分母分式 异分母分式相加减，先通分，转化为同分母分式的加减，然后按同分母分式的加减法则进行计算。 2.异分母分式加减法的一般步骤： （1）通分：将异分母分式化为同分母分式； （2）加减：按同分母分式的加减法则进行加减运算； （3）约分：把结果化成最简分式或整式。 【知识点13】分式方程的概念 1.分式方程：只含分式，或分式和整式，并且分母里含有未知数的方程叫作分式方程。 2.分式方程必须满足的条件：例如：方程 ，分母中含有未知数，但不是分式方程 ①是方程； ②只含分式，或分式和整式； ③分母中含有未知数。三者缺一不可。 辨析： 分式方程和整式方程的区别与联系 分式方程 整式方程 区别 分母中含有未知数。 分母中不含未知数。 联系 分式方程可以转化为整式方程。 【知识点14】分式方程的解法 1.解分式方程的基本思路： 2.解分式方程的一般步骤 3.分式方程的增根：分式方程去分母转化为整式方程，若整式方程的根使分母为零，这种根叫作原方程的增根。 产生拓展：增根的原因：去分母时，方程两边同乘的公分母是含有未知数的整式，这个整式有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根。 【知识点15】分式方程的应用 1.列分式方程解应用题的一般步骤： （1）审：了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设：设未知数； （3）列：找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解：解这个分式方程； （5）验：检验所求的根是不是增根，是否符合题意； （6）答：写出答案。 2.实际应用题中常见的基本数量关系 （1）行程问题:路程速度×时间； （2）工程问题:工作总量=工作效率×工作时间； （3）利润问题:利润=售价-进价，利润率=×100%。 【题型一】分式的判断 1．（24-25七年级下·浙江金华·月考）下列各式中，属于分式的是（    ） A． B． C． D． 2．在代数式中，分式有_________个． 【题型二】分式无意义的条件 3．（23-24七年级下·浙江温州·期末）当时，分式没有意义，则b的值为（    ） A． B． C． D．3 4．（23-24七年级下·浙江温州·期末）当_____时，分式无意义． 【题型三】分式有意义的条件 5．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）若有意义，则下列说法正确的是（　　） A． B． C．且 D． 6．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）分式有意义，则的值不可能是______． 【题型四】分式值为零的条件 7．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）要使分式的值为0，则x的取值应满足（ ） A． B． C． D． 8．（2023七年级下·浙江·专题练习）（1）取何值时，分式的值为零？无意义？ （2）当等于什么时，分式的值为零． 【题型五】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 9．若分式的值是负数，则x的取值范围是（　　） A．x＞ B．x＞ C．x＜ D．x＜ 10．（2023七年级下·浙江·专题练习）当的取值范围是多少时， (1)分式有意义； (2)分式值为负数． 【题型六】判断分式变形是否正确 11．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）下列各式从左到右的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 12．在①，②，③，④这几个等式中，从左到右的变形一定正确的有______． 【题型七】将分式的分子分母各项系数化为整数 13．（2024七年级下·浙江·专题练习）不改变分式的值，把它的分子和分母中各项的系数都化为整数，结果为（    ） A． B． C． D． 14．不改变分式的值，把分式中分子与分母各项的系数都化为整数． 【题型八】约分 15．（2024七年级下·浙江·专题练习）对下列分式约分，正确的是（　　） A． B． C． D． 16．（2025七年级下·浙江·专题练习）用分式表示下列各式的商，并约分 (1) (2) (3) (4) 【题型九】最简分式 17．（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）下列分式中，最简分式是（　　）． A． B． C． D． 18．已知三张卡片上面分别写有6，，，从中任选两张卡片，组成一个最简分式为__________．（写出一个分式即可） 【题型十】分式的求值 19．（24-25七年级下·浙江台州·期末）若，则分式的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 20．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）若，则分式的值为________． 【题型十一】利用分式的基本性质判断分式值的变化 21．（24-25七年级下·浙江台州·期末）将分式中的x，y同时扩大为原来的3倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的2倍 C．扩大为原来的3倍 D．缩小为原来的3倍 22．（2024七年级下·浙江·专题练习）已知分式的值为2．若其中的x，y的值都变为原来的3倍，则变化后分式的值为 ____． 【题型十二】将分式的分子分母的最高次项化为正数 23．（23-24七年级下·浙江宁波·月考）不改变分式的值，使分子、分母的最高次项的系数为正，则 __________． 24．（2023七年级下·浙江·专题练习）不改变分式的值，把下列分式的分子与分母的最高次项的系数都化为正数． (1) (2)． 【题型十三】求使分式值为整数时未知数的整数值 25．若表示一个整数，则整数x可取值的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．8个 26．（2024七年级下·浙江衢州·期末）阅读理解：我们知道：当a是c的因数时，（a、c为整数）的值是整数．例如，当或时，的值是整数；又如，因为，所以当或时，的值是整数． （1）如果分式的值是整数，那么a的正整数值是_______． （2）如果分式的值是整数，那么x的负整数值是_______． 【题型十四】分式乘法 27．（24-25七年级下·浙江温州·期末）计算：__________． 28．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）一张如图1的长方形铁皮，四个角都剪去边长为30厘米的正方形，再四周折起，做成一个有底无盖的铁盒如图2，铁盒底面长方形的长是，宽是，这个无盖铁盒各个面的面积之和称为铁盒的全面积． (1)请用的代数式表示图1中原长方形铁皮的面积； (2)若要在铁盒的各个外表面漆上某种油漆，每50元钱可漆的面积为，则油漆这个铁盒需要多少钱（用的代数式表示）？ (3)是否存在一个正整数，使得铁盒的全面积是底面积的正整数倍？若存在，请求出这个，若不存在，请说明理由． 【题型十五】分式除法 29．（23-24七年级下·浙江杭州·月考）计算：_______． 30．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）先化简：，再从1，2，3中选择一个恰当的数作为x的值代入求值． 【题型十六】分式乘除混合运算 31．（2024·浙江杭州·二模）你听说过著名的牛顿万有力定律吗？任何两个物体之间都有吸引力，如果设两个物体的质量分别为m1，m2，它们之间的距离是d，那么它们之间的引力就是f＝（g为常数），人在地面上所受的重力近似地等于地球对人的引力，此时d就是地球的半径R．天文学家测得地球的半径约占木星半径的，地球的质量约占木星质量的，则站在地球上的人所受的地球重力约是他在木星表面上所受木星重力的（　　） A．倍 B．倍 C．25倍 D．4倍 32．（2023七年级下·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型十七】分式乘方 33．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 34．（2024七年级下·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)． 【题型十八】含乘方的分式乘除混合运算 35．计算 的结果是(   ) A． B． C． D． 36．（2024七年级下·浙江杭州·专题练习）（1）计算：_______；______． （2）上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式，请用含a、b的字母表示：______； （3）利用所学知识以及（2）所得等式，化简代数式． 【题型十九】同分母分式加减法 37．（2023·浙江温州·三模）化简的结果是（　　） A． B． C． D． 38．（23-24七年级下·浙江杭州·期末） 计算：． 【题型二十】通分 39．若分式的分母经通分后变为，则分子应变为_______． 40．（25-26七年级下·浙江·课后作业）通分： (1)，． (2)，． (3)，，． 【题型二十一】最简公分母 41．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）分式和的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 42．（2023七年级下·浙江·专题练习）分式，，的最简公分母是_______． 【题型二十二】异分母分式加减法 43．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）设，，，有以下2个结论：①当时，；②当时，．下列判断正确的是（    ） A．①错②对 B．①对②错 C．①②都错 D．①②都对 44．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）化简：____． 【题型二十三】整式与分式相加减 45．（23-24七年级下·浙江杭州·月考）化简，得（    ） A． B． C． D． 46．（2024七年级下·浙江·期末）按条件求值： ①若分式的值是整数，求非负整数x的值． ②已知分式可以写成，利用上述结论解决；若分式表示一个整数，求整数x的值． ③化简：，再从0，，五个数中，选择一个你最喜欢的数代入并求值． 【题型二十四】分式加减混合运算 47．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 48．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）以下是圆圆计算的解答过程． 解：． 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 【题型二十五】分式加减的实际应用 49．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）甲、乙两人前后两次同时在同一家超市购买大米，前后两次购买大米的价格每千克分别为m元和n元（m，n为不相等的正数）．若甲每次购买p千克大米，乙每次花p元钱购买大米（p为正数）．则甲、乙两种购买方式平均价格低的是（    ） A．甲 B．乙 C．甲、乙一样 D．不确定 50．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）我们规定：分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，，． (1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (2)将假分式化成一个整式与一个真分式的和的形式为：，求、的值；并直接写出当为何值时，分式为正整数； (3)自然数是的整数部分，则的数字和为______．（把组成一个数的各个数位上的数字相加，所得的和，就叫做这个数的数字和．例如：126的数字和就是） 【题型二十六】分式加减乘除混合运算 51．（22-23七年级下·浙江金华·月考）对于任意的值都有，则，值为（  ） A．， B．， C．， D．， 52．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）计算： (1)； (2)． 【题型二十七】分式化简求值 53．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）已知，则分式的值为_________． 54．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）先化简，再求值：，其中． 小文的部分解答过程如下： 原式……① ……② ……③ 当时，原式． 请指出小文解答过程中最早出现错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 【题型二十八】已知分式恒等式，确定分子或分母 55．（25-26七年级下·全国·单元测试）若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 56．（2024七年级下·浙江·专题练习）已知，，都是正数）． (1)计算：； (2)若，说明的理由； (3)设，且为正整数，试用等式表示，之间的关系． 【题型二十九】分式方程的定义 57．（2023七年级下·浙江·专题练习）下列方程：①；②；③；④．其中分式方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 58．下列方程中，是分式方程的有______（填序号）． ①；②；③；④． 【题型三十】根据分式方程解的情况求值 59．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若关于x的分式方程有增根，则实数a的值为（   ） A． B． C．0 D．1 60．（24-25七年级下·浙江金华·月考）关于的分式方程有增根，则的值是______． 【题型三十一】分式方程无解问题 61．（2025七年级下·浙江·专题练习）已知是实数，若分式方程无解，则的值为（　　） A． B． C． D． 62．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）若关于的分式方程有增根，则m的值是____． 【题型三十二】列分式方程 63．（24-25七年级下·浙江温州·期末）马拉松赛是全民健身的热门项目，2025年乐清半程马拉松的总赛程约为21公里，在同一场比赛中选手甲每小时比选手乙快3千米，最终甲冲刺终点的时间比乙早30分钟，若乙的平均速度为每小时千米，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 64．（22-23七年级下·浙江衢州·期末）根据近期国际市场油价变化情况，国家为确保市场稳定供应采取相关联动及补贴政策，今年6月份每升汽油的价格是去年6月份每升汽油的价格的倍，小方用300元给汽车加的油量比去年6月份多了8升，设去年6月份每升汽油的价格为x元，则可列出方程为______． 【题型三十三】解分式方程（化为一元一次） 65．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）若，则（   ） A． B． C．或 D．或 66．（23-24七年级下·浙江宁波·月考）解下列分式方程： (1) (2) 【题型三十四】分式方程的行程问题 67．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）我国古代数学名著九章算术中记录的一道题：今有程，迟马至九百里，多一日；疾马至，少三日．疾马日速倍迟．译为白话文是：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍．设未知数，，依题意列出一个方程，则用一个未知数列出方程正确的是（   ） A． B． C． D． 68．（24-25七年级下·浙江金华·期末）小明在长为的跑道上训练机器人，机器人匀速行走1分钟后，提速度到原速的倍后继续匀速行走，结果比原计划提前40秒到达终点． (1)求该机器人走完全程所花的时间． (2)若A机器人一半路程以a米/分的速度行驶，另一半路程以b米/分的速度行驶；B机器人用一半时间以a米/分的速度行驶，另一半时间以b米/分的速度行驶．试比较A，B两机器人行走的时间大小，并说明理由． 【题型三十五】分式方程的工程问题 69．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）“绿水青山就是金山银山”，某市为美化环境，计划种植树木1200棵．在种植完400棵后，由于志愿者的加入，实际每天种植的棵树比原计划增加了，结果比原计划提前4天完成任务．设原计划每天植树x棵，则x满足的方程是______． 70．（24-25七年级下·浙江金华·期末）随着新能源汽车市场的迅速发展，市场对电池的需求也逐渐增大．某电池生产企业承接了生产58000组汽车电池的任务让甲、乙两个车间的工人来完成．若甲车间工人每人每天平均生产15组电池，乙车间工人每人每天平均生产20组电池，则需40天时间完成；若甲、乙车间工人每人每天平均都生产25组电池，则只需29天时间完成． (1)求甲、乙两个车间参与生产的工人数． (2)根据实际生产需要，该企业设计了如下两种具体生产方案： 甲车间 乙车间 新增费用 方案一 每人每天平均生产15组电池 租用先进设备，工作效率在每人每天平均生产20组电池的基础上提高了55% 租用设备费用为每天1200元，租用期间的来回运输费共1400元 方案二 从其他部门调配若干名工人到甲车间后，每人每天平均生产28组电池 每人每天平均生产24组电池 调配过来的工人每人每天需支付费用150元 若方案一比方案二多用了4天时间完成，请问：从新增费用的角度考虑，选择哪种方案更节省开支？请说明理由． 【题型三十六】分式方程的经济问题 71．（22-23七年级下·浙江金华·月考）文具店促销，一种笔记本折优惠出售，某同学发现，同样花元钱购买这种笔记本，正好可以比促销前多买一本，这种笔记本促销前每本的售价是（　　） A．元 B．元 C．元 D．元 72．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）现有甲、乙、丙三种糖混合而成的糖50千克，其中各种糖的质量和单价如表． 品类 甲种糖 乙种糖 丙种糖 质量/千克 x y 20 单价/（元/千克） 35 30 25 已知乙种糖的质量是甲种糖的质量的2倍，且商店以糖的平均价（平均价混合糖的总价格混合糖的总质量）作为混合糖的单价． (1)求表中x，y的值． (2)要使混合糖的单价每千克降低2元，需加入甲、乙、丙三种糖中的哪一种糖？加入多少千克？ 【题型三十七】分式方程和差倍分问题 73．数学家们在研究15，12，10这三个数的倒数时发现：．因此就将具有这样性质的三个数称为调和数，如6，3，2也是一组调和数．现有一组调和数：x，5，3（x＞5），则x=______． 74．（23-24七年级·浙江宁波·期末）某校七、八年级师生开展“一日游”活动，已知七年级师生共250人，八年级师生共230人．参观某景点时，需要乘船游玩，现有两种型号的游船，每艘型船的座位数是每艘型船的1.25倍．若七年级师生全部乘坐型船若干艘，刚好坐满；八年级全部乘坐型船，要比七年级乘坐的型船总数多一艘且空10个座位． (1)两种游船每艘分别有多少个座位； (2)若两个年级的师生联合租船，且每艘游船恰好全部坐满，请写出所有的租船方案． 【题型三十八】分式方程的其它实际问题 75．（2024七年级下·浙江·月考）李师傅要给一块长9米，宽7米的长方形地面铺瓷砖，如图，现有A和B两种款式的瓷砖，且A款正方形瓷砖的边长与B款长方形瓷砖的长相等，B款瓷砖的长大于宽，李师傅打算按如下设计图的规律进行铺瓷砖，若A款瓷砖的用量比B款瓷砖的2倍少14块，且恰好铺满地面，则B款瓷砖的长为_______米，宽为_______米． 76．（24-25七年级下·浙江台州·期末）在生产生活中，经常需要把两种溶液进行混合，得到新的溶液．例如，把咸淡不同的两碗汤混合；在已有盐水中加水配制生理盐水等等． (1)要用含盐的盐水克加水配制含盐的生理盐水，需要加水多少克？ (2)用咸淡程度不同的两碗汤甲和乙混合（甲汤比乙汤咸），得到丙汤． 请根据生活经验比较甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度： 请设出必要的字母，用代数式表示甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度，通过计算证明中的结论． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 5 章 分式 （15知识详解+38典例分析） 【知识点01】分式的概念 1.分式：这些代数式都表示两个整式相除，且除式中含有字母。像这样的代数式叫作分式。 2.分式必须满足三个条件：①具备的形式；②A,B 都是整式；③分母中含有字母。三个条件缺一不可。 示例1 分式 辨析 分式与分数的区别与联系 分式 分数 区别 分式是两个整式相除的商式。 分数是整式。 分式的分母中含有字母。 分数的分子、分母中都不含有字母。 联系 由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分数是分式中字母取特定值后的特殊情况。 说明：分式可看成两个整式的商，它的分子是被除式，分母是除式，分数线相当于除号，分数线还具有括号作用。例如 可表示为(x−y)÷(x+y),但(x−y)÷(x+y)是运算式，不符合的形式，不是分式。 【知识点02】分式有意义、无意义或分式的值为零的条件 分式中字母的取值不能使分母为零。当分母的值为零时，分式就没有意义。 分类 条件 分式 有意义 分母不等于零，即𝐵≠0 。 分式 无意义 分母等于零，即𝐵=0 。 分式的值为零 分子等于零，分母不等于零，即𝐴=0 ，𝐵≠0 （保证分式有意义。）。 示例2 分式有、无意义的条件 注意：（1）如果没有特别说明，分式的字母取值都不能使分母为零。 （2）分式有无意义，只与分式中分母的值是否为0有关，而与分式的值是否为零无关。 【知识点03】分式的基本性质 基本性质 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 字母表示 =,=（其中𝑀 是不等于零的整式）。 用途 进行分式化简和运算的依据。 注意（1）分子和分母要同时做“乘法（或除法）”运算； （2） 乘（或除以）的对象必须是同一个不等于零的整式。： 示例3 分式的基本性质 【知识点04】分式的符号法则 内容 分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。 字母表示 ===− 。 拓展：改变其中任何一个或三个后，新分式与原分式互为相反数，如分式与 互为相反数 【知识点05】分式的约分 1.分式的约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫作分式的约分。 注意：不改变分式的值 约分要约去分子、分母所有的公因式。 2.最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫作最简分式。 3.约分的方法： （1）若分子、分母都是单项式，则约去分子、分母系数的最大公因数和相同字母的最低次幂（公因式）； （2）若分子或分母中含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因式。 注意： 约分的最后结果是最简分式或整式。 示例4 分式的约分 【知识点06】多项式除以多项式 多项式除以多项式可转化为分式的约分，其依据是分式的意义和等式的基本性质。最后的结果要用整式（整除时）或最简分式（不整除时）表示。 【知识点07】分式的乘除法则 1.分式的乘法法则： 法则 式子表示 分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母。 示例1 分式的乘法 2.分式的除法法则： 法则 式子表示 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 示例2 分式的除法 注意：（1）整式与分式运算时，可以把整式看成分母是1的式子； （2）运算结果要化为最简分式或整式。 【知识点08】分式的乘除混合运算 分式乘除混合运算的步骤： 一般地，分式的乘除混合运算可以统一为乘法运算。在运算时，乘除是同一级运算，若没有括号，则应按照从左到右的顺序进行计算，若有括号，则先算括号里面的。 【知识点09】分式的乘方 法则 式子表示 分式的乘方 分式乘方要把分子、分母分别乘方。 ()=(𝑛是正整数) 。 注意：分式乘方时，一定要把分式加上括号，不要把()=写成()= 。 示例3 分式的乘方运算 敲黑板： 乘方运算结果符号的确定方法 进行分式的乘方时,一定要先确定乘方结果的符号，它与实数乘方确定符号的方法相同：正数的任何次方都是正数；负数的偶次方为正数，奇次方为负数． 【知识点10】同分母分式的加减 同分母分式加减的法则： 法则 字母表示 同分母分式 同分母的分式相加减，分式的分母不变，把分子相加减。 注意：（1）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式。 （2） 运算时要注意适当加括号,再去括号,以免出现符号错误。如 【知识点11】分式的通分 1.分式的通分：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫作通分。 2.确定公分母的方法： （1）各个分母都是单项式：一般取各分母的系数的最小公倍数与各分母所有字母的最高次幂的积为公分母； （2）分母是多项式：先将它分解因式，然后用（1）中的方法确定公分母。 示例4 确定公分母 辨析：约分和通分的区别与联系 约分 通分 区别 分式的个数 1个 2个或2个以上 目的 将分式化为最简分式或整式。 使几个异分母的分式化为同分母的分式。 联系 依据 分式的基本性质 分式的值 不变 【知识点12】异分母分式的加减 1.异分母分式的加减法则： 法则 字母表示 异分母分式 异分母分式相加减，先通分，转化为同分母分式的加减，然后按同分母分式的加减法则进行计算。 2.异分母分式加减法的一般步骤： （1）通分：将异分母分式化为同分母分式； （2）加减：按同分母分式的加减法则进行加减运算； （3）约分：把结果化成最简分式或整式。 【知识点13】分式方程的概念 1.分式方程：只含分式，或分式和整式，并且分母里含有未知数的方程叫作分式方程。 2.分式方程必须满足的条件：例如：方程 ，分母中含有未知数，但不是分式方程 ①是方程； ②只含分式，或分式和整式； ③分母中含有未知数。三者缺一不可。 辨析： 分式方程和整式方程的区别与联系 分式方程 整式方程 区别 分母中含有未知数。 分母中不含未知数。 联系 分式方程可以转化为整式方程。 【知识点14】分式方程的解法 1.解分式方程的基本思路： 2.解分式方程的一般步骤 3.分式方程的增根：分式方程去分母转化为整式方程，若整式方程的根使分母为零，这种根叫作原方程的增根。 产生拓展：增根的原因：去分母时，方程两边同乘的公分母是含有未知数的整式，这个整式有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根。 【知识点15】分式方程的应用 1.列分式方程解应用题的一般步骤： （1）审：了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设：设未知数； （3）列：找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解：解这个分式方程； （5）验：检验所求的根是不是增根，是否符合题意； （6）答：写出答案。 2.实际应用题中常见的基本数量关系 （1）行程问题:路程速度×时间； （2）工程问题:工作总量=工作效率×工作时间； （3）利润问题:利润=售价-进价，利润率=×100%。 【题型一】分式的判断 1．（24-25七年级下·浙江金华·月考）下列各式中，属于分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查了分式的定义，解题的关键是理解分式的概念，即形如、B是整式，B中含有字母且的式子叫做分式． 根据分式的定义，判断每个选项的分母是否含有字母；分母不含字母的是整式，分母含有字母的是分式，由此对各选项进行分析判断． 【详解】解：分式的定义为：形如、B是整式，B中含有字母且的式子叫做分式． 选项，式子中没有分母含字母的形式，属于整式． 选项，分母是常数，不是字母，属于整式． 选项，分母为其中含有字母a和符合分式的定义，属于分式． 选项，式子中没有分母含字母的形式，属于整式． 故选：C． 2．在代数式中，分式有_________个． 【答案】2 【题型二】分式无意义的条件 3．（23-24七年级下·浙江温州·期末）当时，分式没有意义，则b的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【知识点】分式无意义的条件 【分析】先将代入分式，再根据分母等于0时分式没有意义即可得到答案． 【详解】解：当，， ∵分式没有意义， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查分式没有意义的条件，熟知当分母为零时分式没有意义是解题的关键． 4．（23-24七年级下·浙江温州·期末）当_____时，分式无意义． 【答案】1 【知识点】分式无意义的条件 【分析】本题考查分式无意义的条件，熟练掌握分母为零时分式无意义的条件是解题的关键．根据分母为零时分式无意义进行解题即可． 【详解】解：要使分式无意义， 则分母为零， 即， 解得． 故答案为：1． 【题型三】分式有意义的条件 5．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）若有意义，则下列说法正确的是（　　） A． B． C．且 D． 【答案】B 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件．根据分式有意义的条件是分母不为零解答即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴． 故选：B 6．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）分式有意义，则的值不可能是______． 【答案】0 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母不能为零是解题的关键． 根据分母不能为零列不等式求解，进而完成解答． 【详解】解：由题意，得， 解得， 所以，即的值不可能是0． 故答案为：0． 【题型四】分式值为零的条件 7．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）要使分式的值为0，则x的取值应满足（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式有意义的条件、分式值为零的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式的值为0的条件，即分子为零，而分母不为零，熟练掌握和运用分式有意义的条件和分式的值为零的条件是解决本题的关键．根据分式的值为零的条件和分式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：分式的值为0， 且， 解得：， 故选：D． 8．（2023七年级下·浙江·专题练习）（1）取何值时，分式的值为零？无意义？ （2）当等于什么时，分式的值为零． 【答案】（1）、3，（2）3 【知识点】分式无意义的条件、分式值为零的条件 【分析】（1）根据分式的值为零的条件，分式无意义的条件，进行计算即可得到答案； （2）根据分式的值为零的条件，进行计算即可得到答案． 【详解】解：（1）要使分式的值为0，则 ， 解得：， 要使分式无意义，则， 解得：； （2）要使分式的值为0，则 ， 解得：． 【点睛】此题考查了分式值为0的条件和分式无意义的条件，特别分式的值为0时，注意分子为0，分母不为0． 【题型五】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 9．若分式的值是负数，则x的取值范围是（　　） A．x＞ B．x＞ C．x＜ D．x＜ 【答案】B 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】根据题意列出不等式即可求出x的取值范围． 【详解】解：由题意可知：2﹣3x＜0，且x2+1＞0恒成立， ∴x＞， 故选：B． 【点睛】本题考查分式的值，当分子和分母同号时，分式值为正数，当分子和分母异号时，分式值为负数． 10．（2023七年级下·浙江·专题练习）当的取值范围是多少时， (1)分式有意义； (2)分式值为负数． 【答案】(1) (2) 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、分式有意义的条件 【分析】（1）分式有意义的条件是分母不为0，进行计算即可得到答案； （2）分式值是负数的条件是分子分母异号，进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， 时，分式有意义； （2）解：，， ， ， 时，分式值为负数． 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件以及分式值的符号的确定方法． 【题型六】判断分式变形是否正确 11．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）下列各式从左到右的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查了分式的性质，根据分式的基本性质，逐一分析各选项的变形是否正确． 【详解】A选项：不等于． 例如，当时，左边为，右边为，显然不等，故A错误． B选项：与的分子分母分别加1，不符合分式的基本性质． 例如，取，，左边为，右边为，不等，故B错误． C选项：，分子分母同时乘以3，分式的值不变，符合分式的基本性质，故C正确． D选项：变形为 时，分子符号错误． 例如，当时，左边分子为，右边分子为，显然不等，故D错误． 故选：C． 12．在①，②，③，④这几个等式中，从左到右的变形一定正确的有______． 【答案】②④ 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式基本性质中，同乘的整式必须不为0的要求，逐一判断变形是否正确即可. 【详解】分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，据此逐一判断： ①，当时，该变形不成立，故①错误； ②，分式有意义，则，分子分母同乘不等于0的整式，变形成立，故②正确； ③，当时，该变形不成立，故③错误； ④，由平方的非负性得，因此，分子分母同乘不等于0的整式，变形成立，故④正确. 【题型七】将分式的分子分母各项系数化为整数 13．（2024七年级下·浙江·专题练习）不改变分式的值，把它的分子和分母中各项的系数都化为整数，结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】此题考查分式的基本性质的运用，注意当分子、分母为多项式时，要乘每一项．利用分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．把原分式的分子分母同乘10，再进一步计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 14．不改变分式的值，把分式中分子与分母各项的系数都化为整数． 【答案】 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】本题考查了分式的性质，原分式的分子、分母分别乘以即可求解．理解并掌握分式的基本性质是解决问题的关键． 【详解】解：． 【题型八】约分 15．（2024七年级下·浙江·专题练习）对下列分式约分，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】约分 【分析】本题考查了约分，掌握约分的方法是解题的关键．对分子、分母进行因式分解，约去公因式，再逐一判断，即可求解． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、不能约分，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 16．（2025七年级下·浙江·专题练习）用分式表示下列各式的商，并约分 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】约分 【分析】本题考查了分式的约分，解题的关键是找出公因式而约去． （1）写成分式的形式，再约分即可； （2）写成分式的形式，再约分即可； （3）写成分式的形式，再对分子、分母因式分解，约分即可； （4）写成分式的形式，再对分子、分母因式分解，约分即可； 【详解】（1）解∶原式 ； （2）解∶ ； （3）解∶ 原式 ； （4）解∶原式 ． 【题型九】最简分式 17．（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）下列分式中，最简分式是（　　）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】最简分式、约分 【分析】本题主要考查最简分式，掌握定义：一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时叫最简分式，是解题的关键． 根据最简分式的定义看分子与分母是否有非零次的公因式，求解即可． 【详解】解：A、，不是最简分式，不符合题意； B、，不是最简分式，不符合题意； C、，不是最简分式，不符合题意； D、是最简分式，符合题意． 故选：． 18．已知三张卡片上面分别写有6，，，从中任选两张卡片，组成一个最简分式为__________．（写出一个分式即可） 【答案】/ 【知识点】最简分式 【分析】直接利用分式的基本性质以及最简分式的定义形如，A、B是整式，B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式，一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时叫最简分式分析得出答案． 【详解】解：6为分母时不是分式， 不是分式， 不是最简分式， 是最简分式， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式的基本性质以及最简分式的定义，解题的关键是掌握分式的基本性质以及最简分式的定义． 【题型十】分式的求值 19．（24-25七年级下·浙江台州·期末）若，则分式的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【知识点】分式的求值 【分析】由已知条件，将分式的分子部分因式分解用该条件替换，化简后即可求解． 本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用因式分解法将分式化简． 【详解】∵ ∴ ． 故选：D． 20．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）若，则分式的值为________． 【答案】 【知识点】分式的求值 【分析】首先得到，然后代入求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 【题型十一】利用分式的基本性质判断分式值的变化 21．（24-25七年级下·浙江台州·期末）将分式中的x，y同时扩大为原来的3倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的2倍 C．扩大为原来的3倍 D．缩小为原来的3倍 【答案】C 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查分式的性质，将原分式中的和同时扩大为原来的3倍，代入后化简新分式，与原分式比较即可得出结论． 【详解】解：将原分式为．当和均扩大为原来的3倍， 代入得新分式： 原分式为，新分式化简后为原分式的3倍，即． 因此，分式的值扩大为原来的3倍， 故选C． 22．（2024七年级下·浙江·专题练习）已知分式的值为2．若其中的x，y的值都变为原来的3倍，则变化后分式的值为 ____． 【答案】6 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质成为解题的关键． 根据分式的基本性质进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：6． 【题型十二】将分式的分子分母的最高次项化为正数 23．（23-24七年级下·浙江宁波·月考）不改变分式的值，使分子、分母的最高次项的系数为正，则 __________． 【答案】 【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数 【分析】根据分式的基本性质计算即可． 【详解】解：． 24．（2023七年级下·浙江·专题练习）不改变分式的值，把下列分式的分子与分母的最高次项的系数都化为正数． (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数 【分析】根据分子、分母、分式中有两个改变符号，分式的值不变进行变形即可． 【详解】（1）解：原式＝； （2）原式＝ ． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练分式的变号法则． 【题型十三】求使分式值为整数时未知数的整数值 25．若表示一个整数，则整数x可取值的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．8个 【答案】C 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】表示一个整数，则是6的因数，即可求解． 【详解】解：∵表示一个整数， ∴是6的因数 ∴的值为-6，-3，-2，-1，1，2，3，6， 相应的，x=，-3，，-2，，，0，，共8个． ∴满足x是整数的只有4个， 故选C． 【点睛】本题首先要根据分式值是整数的条件，求出的值，再求出x的值是解题的关键． 26．（2024七年级下·浙江衢州·期末）阅读理解：我们知道：当a是c的因数时，（a、c为整数）的值是整数．例如，当或时，的值是整数；又如，因为，所以当或时，的值是整数． （1）如果分式的值是整数，那么a的正整数值是_______． （2）如果分式的值是整数，那么x的负整数值是_______． 【答案】 2 -3 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】（1）将分式变形得，则a+3=±1或±5，即可求解； （2）将分式变形得，则x-4=±1或±7，即可求解． 【详解】解：(1)∵， 又∵的值是整数， ∴a+3=±1或±5， ∴a=-2或-4或2或-8， ∴a的正整数值为2； （2）∵， 又∵的值是整数， ∴x-4=±1或±7， ∴x=5或3或11或-3， ∴x的负整数值为-3， 故答案为：（1）2；（2）-3． 【点睛】本题考查使分式值为整数时求未知数值的问题，理解并能应用阅读材料的解题方法将分式化简是解题的关键． 【题型十四】分式乘法 27．（24-25七年级下·浙江温州·期末）计算：__________． 【答案】 【知识点】分式乘法 【分析】本题主要考查了分式的乘法运算法则，熟练掌握分式乘法中分子相乘、分母相乘以及约分的方法是解题的关键．本题是分式的乘法运算，解题思路为：根据分式乘法法则，将分子相乘的积作为新分子，分母相乘的积作为新分母，然后进行约分化简． 【详解】解： 故答案为：． 28．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）一张如图1的长方形铁皮，四个角都剪去边长为30厘米的正方形，再四周折起，做成一个有底无盖的铁盒如图2，铁盒底面长方形的长是，宽是，这个无盖铁盒各个面的面积之和称为铁盒的全面积． (1)请用的代数式表示图1中原长方形铁皮的面积； (2)若要在铁盒的各个外表面漆上某种油漆，每50元钱可漆的面积为，则油漆这个铁盒需要多少钱（用的代数式表示）？ (3)是否存在一个正整数，使得铁盒的全面积是底面积的正整数倍？若存在，请求出这个，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)元； (3)存在，或7或5或1． 【知识点】分式乘法、多项式乘多项式与图形面积 【分析】此题考查整式的混合运算，掌握长方体的全面积与底面积的计算方法是解决问题的关键． （1）根据图形表示出原长方形铁皮的面积即可； （2）根据原长方形铁皮的面积剪去四个小正方形的面积，求出铁盒的表面积，乘以单价即可得到结果； （3）假设存在，列出铁盒的全面积和底面积的公式，求整数倍数即可． 【详解】（1）解：原铁皮的面积是； （2）油漆这个铁盒的表面积是：， 则油漆这个铁盒需要的钱数是： 元； （3）铁盒的全面积是， 底面积是， 假设存在正整数n，使， 则， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 所以存在铁盒的全面积是底面积的正整数倍，这时或7或5或1． 【题型十五】分式除法 29．（23-24七年级下·浙江杭州·月考）计算：_______． 【答案】/ 【知识点】分式除法 【分析】本题主要考查了分式除法运算，根据分式除法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 30．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）先化简：，再从1，2，3中选择一个恰当的数作为x的值代入求值． 【答案】， 【知识点】分式除法、分式有意义的条件 【分析】本题考查分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键，最后在选择一个恰当的数作为x的值时，要保证选取的x不能使分母为0．先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x的值代入进行计算即可． 【详解】原式， 要使分式有意义，，且， 所以且， 所以只能取， 当时，原式． 【题型十六】分式乘除混合运算 31．（2024·浙江杭州·二模）你听说过著名的牛顿万有力定律吗？任何两个物体之间都有吸引力，如果设两个物体的质量分别为m1，m2，它们之间的距离是d，那么它们之间的引力就是f＝（g为常数），人在地面上所受的重力近似地等于地球对人的引力，此时d就是地球的半径R．天文学家测得地球的半径约占木星半径的，地球的质量约占木星质量的，则站在地球上的人所受的地球重力约是他在木星表面上所受木星重力的（　　） A．倍 B．倍 C．25倍 D．4倍 【答案】B 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】根据题意和题目中的数据，可以表示出地球上一个人受的重力和木星上一个人的重力，然后作商即可． 【详解】设木星的质量为M，则地球的质量为，一个人的质量为m， ∵地球的半径为R，地球的半径约为木星半径的， ∴木星的半径为， ∴站在地球上的人所受的地球重力为：， 站在木星上的人所受的重力为：， 站在地球上的人所受的地球重力约是他在木星表面上所受木星重力的： ; 故选：B． 【点睛】本题考查阅读理解和分式的混合运算，解答本题的关键是表示出一个人在地球和木星上的重力． 32．（2023七年级下·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】（1）分式的分子和分母分别相乘，再进行约分即可； （2）把除法变成乘法，再进行约分即可； （3）先分解因式，再进行约分即可； （4）先分解因式，同时把除法变成乘法，再进行约分即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 【点睛】本题考查了分式的乘除法的应用，主要考查学生的计算能力．掌握分式的乘除运算法则是解题的关键. 【题型十七】分式乘方 33．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式乘方 【分析】本题考查分式的乘方运算，需应用分式乘方的法则：分子、分母分别乘方，并正确处理负号即可. 【详解】解： ， 故选：B． 34．（2024七年级下·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】分式乘法、分式乘方 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算． （1 ）先乘方，再计算乘除． （2 ）先把分子分母因式分解，然后约分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型十八】含乘方的分式乘除混合运算 35．计算 的结果是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】含乘方的分式乘除混合运算 【分析】先算乘方，然后再进行分式的乘除运算即可． 【详解】解：原式． 故选 【点睛】本题主要考查分式的乘除运算，熟练掌握分式的乘除运算是解题的关键． 36．（2024七年级下·浙江杭州·专题练习）（1）计算：_______；______． （2）上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式，请用含a、b的字母表示：______； （3）利用所学知识以及（2）所得等式，化简代数式． 【答案】（1）；；（2）；（3）． 【知识点】含乘方的分式乘除混合运算 【分析】（1）利用多项式乘法进行计算即可； （2）根据（1）中的结果确定答案； （3）逆运用新公式，把变形为，再化简分式． 【详解】解：（1）； ． 故答案为：，； （2）． 故答案为：． （3） ． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式法则及分式的化简等知识，掌握和理解新运算的公式，是解决本题的关键． 【题型十九】同分母分式加减法 37．（2023·浙江温州·三模）化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同分母分式加减法 【分析】本题主要考查了分式加减运算，根据同分母分式加减运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 故选：D． 38．（23-24七年级下·浙江杭州·期末） 计算：． 【答案】2 【知识点】同分母分式加减法 【分析】分母不变，分子相加，进行计算即可． 【详解】原式． 【题型二十】通分 39．若分式的分母经通分后变为，则分子应变为_______． 【答案】 【知识点】通分 【分析】本题考查分式的通分，分母变为，乘了，根据分式的基本性质，分子也应乘以． 【详解】解：， 因此分子应变为：， 故答案为：． 40．（25-26七年级下·浙江·课后作业）通分： (1)，． (2)，． (3)，，． 【答案】(1)， (2)， (3)，， 【知识点】通分 【分析】本题考查了分式的通分，掌握确定最简公分母的方法，以及对分母因式分解和处理互为相反因式的变形技巧是解题的关键． （1）确定各分母系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂，得到最简公分母，再将每个分式的分子分母同乘相应因式，使分母统一为最简公分母； （2）先对分母因式分解，确定最简公分母，注意处理与的符号关系，再通分； （3）确定各分母系数的最小公倍数和字母的最高次幂，得到最简公分母，再对每个分式变形． 【详解】（1）解：最简公分母是， ， ． （2）解：最简公分母是， ， ． （3）解：最简公分母是， ， ， ． 【题型二十一】最简公分母 41．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）分式和的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简公分母 【分析】本题考查了最简公分母．熟练掌握最简公分母是解题的关键． 根据最简公分母的定义求解作答即可．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 【详解】解：由题意知，最简公分母为， 故选：C． 42．（2023七年级下·浙江·专题练习）分式，，的最简公分母是_______． 【答案】 【知识点】最简公分母 【分析】根据最简公分母的定义即可解答． 【详解】解：分式、、的最简公分母是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简公分母，最简公分母的找法为：数字取最小公倍数，相同字母取最高次幂，只在一个分母中出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式． 【题型二十二】异分母分式加减法 43．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）设，，，有以下2个结论：①当时，；②当时，．下列判断正确的是（    ） A．①错②对 B．①对②错 C．①②都错 D．①②都对 【答案】A 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题考查分式的减法运算，计算出的值，进行分类讨论即可． 【详解】解：， 当时，， ∴， ∴， 当时，，， 当时，，则：， ∴， 当时，，则：， ∴， 故①错②对； 故选A． 44．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）化简：____． 【答案】 【知识点】异分母分式加减法 【分析】题目主要考查分式的加减运算，先通分，然后计算加减即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【题型二十三】整式与分式相加减 45．（23-24七年级下·浙江杭州·月考）化简，得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】整式与分式相加减 【分析】异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 【详解】解： ． 故选：C． 【点睛】本题考查分式的加减运算．熟练掌握通分和分式的加减运算是解题的关键． 46．（2024七年级下·浙江·期末）按条件求值： ①若分式的值是整数，求非负整数x的值． ②已知分式可以写成，利用上述结论解决；若分式表示一个整数，求整数x的值． ③化简：，再从0，，五个数中，选择一个你最喜欢的数代入并求值． 【答案】①3；②3或5或9或-1；③，1 【知识点】整式与分式相加减、分式化简求值 【分析】①根据分式的值是整数可得x+2=±5，从而求出x； ②将分式变形为，参照①中方法即可求出x； ③首先通分，计算括号里面分式的减法，然后再计算括号外的除法，化简后，再根据分式有意义的条件确定x的值，然后代入x的值即可． 【详解】解：①分式的值是整数， ∴x+2=±5， ∴x=3或x=-7， ∵x为非负整数， ∴x=3； ②==， ∴x-4=±1或±5， ∴x=3或5或9或-1； ③ = = = = ∵x不能取0，3，2，-3， ∴x=-2时， 原式==1． 【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，关键是掌握分式的除法和减法计算法则，正确把分式进行化简． 【题型二十四】分式加减混合运算 47．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式加减混合运算 【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可求解． 【详解】解： ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了分式的加减混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． 48．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）以下是圆圆计算的解答过程． 解：． 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 【答案】有错误，正确过程见解析 【知识点】分式加减混合运算 【分析】应用分式的加减法则进行进行计算即可得出答案． 【详解】有错误． 解：， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算法则进行求解是解决本题的关键． 【题型二十五】分式加减的实际应用 49．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）甲、乙两人前后两次同时在同一家超市购买大米，前后两次购买大米的价格每千克分别为m元和n元（m，n为不相等的正数）．若甲每次购买p千克大米，乙每次花p元钱购买大米（p为正数）．则甲、乙两种购买方式平均价格低的是（    ） A．甲 B．乙 C．甲、乙一样 D．不确定 【答案】B 【知识点】分式加减的实际应用 【分析】本题考查分式加减的应用，解题关键是理解题意．根据题意分别算出甲乙两次购买大米的平均价格，再作差，利用完全平方公式进行比较即可求解． 【详解】解：依题得：甲两次购买大米的平均价格为， 乙两次购买大米的平均价格为， ， 又， ， 即，乙两次购买大米的平均价格更低，更合理． 故选：． 50．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）我们规定：分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，，． (1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (2)将假分式化成一个整式与一个真分式的和的形式为：，求、的值；并直接写出当为何值时，分式为正整数； (3)自然数是的整数部分，则的数字和为______．（把组成一个数的各个数位上的数字相加，所得的和，就叫做这个数的数字和．例如：126的数字和就是） 【答案】(1) (2)m=-3，n=3；a=2或4． (3)80 【知识点】分式加减的实际应用、分式化简求值 【分析】（1）根据题意，把分式化为整式与真分式的和的形式即可； （2）将分子转化为（a2-a）-3（a-1）+3的形式，即可假分式化成一个整式与一个真分式的和的形式； （3）利用（1）和（2）方法，将化简转化即可． 【详解】（1）原式=； （2）原式=， ∴m=-3，n=3， ∵分式为正整数， ∴为整数且a-3+＞0， ∴a=2或4． （3）原式= ∴A=999 999 998， 所以A的数字和为80． 故答案为：80． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，读懂阅读材料中的方法并熟练掌握分式加减的运算法则是解题的关键． 【题型二十六】分式加减乘除混合运算 51．（22-23七年级下·浙江金华·月考）对于任意的值都有，则，值为（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】分式加减乘除混合运算、加减消元法 【分析】根据分式的计算，先对等式的右边，通分，进行加减运算，然后提取公因式，再根据等式的左边，得，解二元一次方程组，即可求出，． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查分式的知识，二元一次方程的知识，解题的关键是掌握分式的加减运算，解二元一次方程组． 52．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的混合运算，分式的混合运算一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （1）先通分，把分母都化为，然后进行同分母的加法运算，最后化简分式即可； （2）先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，然后约分即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 【题型二十七】分式化简求值 53．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）已知，则分式的值为_________． 【答案】 【知识点】约分、分式化简求值 【分析】此题考查分式的约分；分式的化简求值−整体代入，注意到题目所给的条件和要求的代数式之间在形式上似乎很有联系，故先将要求的代数式向条件的形式变形，然后将条件式整体代换进来，最后通过约分得到答案． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为： ． 54．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）先化简，再求值：，其中． 小文的部分解答过程如下： 原式……① ……② ……③ 当时，原式． 请指出小文解答过程中最早出现错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 【答案】最早出现错误步骤的序号是①，见解析 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值． 先找出最早出现错误步骤的序号，再计算即可． 【详解】解：第①步不应该乘以，即最早出现错误步骤的序号是①， 原式 当时，原式 【题型二十八】已知分式恒等式，确定分子或分母 55．（25-26七年级下·全国·单元测试）若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】已知分式恒等式，确定分子或分母、加减消元法 【分析】本题考查的知识点是分式的通分、解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握分式的运算法则． 先根据分式的通分求出，再求解即可． 【详解】解：， ， ， 解得． 故选：． 56．（2024七年级下·浙江·专题练习）已知，，都是正数）． (1)计算：； (2)若，说明的理由； (3)设，且为正整数，试用等式表示，之间的关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或或 【知识点】异分母分式加减法、已知分式恒等式，确定分子或分母 【分析】本题考查了分式的加减运算； （1）根据分式减法计算即可． （2）根据得到，的关系式． （3）根据与，的关系求解． 【详解】（1）解： ． （2）， ， ， ， ， ． （3） ， 是正整数，，都是正数， 或或． 或或， 或或． 【题型二十九】分式方程的定义 57．（2023七年级下·浙江·专题练习）下列方程：①；②；③；④．其中分式方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】分式方程的定义 【分析】根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，判断即可． 【详解】 解：①分母中含有未知数，故是分式方程； ②分母中不含有未知数，故是整式方程； ③分母中含有未知数，故是分式方程； ④分母中含有未知数，故是分式方程． 故选：C． 【点睛】 本题考查了分式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 58．下列方程中，是分式方程的有______（填序号）． ①；②；③；④． 【答案】②③ 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．根据分式方程的定义，逐个分析即可判断． 【详解】解：是整式方程，不是分式方程，故①不符合题意； 是分式方程，故②符合题意； 是分式方程，故③符合题意； 是整式方程，不是分式方程，故④不符合题意； 综上所述，是分式方程的有②③． 故答案为：②③． 【题型三十】根据分式方程解的情况求值 59．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若关于x的分式方程有增根，则实数a的值为（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【知识点】实数概念理解、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了分式方程的增根，分式方程的增根是使分母为零的解．原方程分母为和，故增根可能为或，将方程转化为整式方程后，解出的表达式，再代入可能的增根求解的值． 【详解】解： 去分母得，， 整理得，， 解得，， ∵关于x的分式方程有增根， ∴或， 当增根为，则，解得； 当增根为，则，方程无解，舍去； ∴综上所述，实数a的值为 故选：B． 60．（24-25七年级下·浙江金华·月考）关于的分式方程有增根，则的值是______． 【答案】2 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题主要考查分式方程增根的定义，分式方程的增根是使得最简公分母为的未知数的取值，根据分式方程的增根定义即可求解． 【详解】解：方程两边同时乘以得：， ∵方程有增根， ∴， 把代入得， 解得， 故答案为：2． 【题型三十一】分式方程无解问题 61．（2025七年级下·浙江·专题练习）已知是实数，若分式方程无解，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题主要考查了分式方程无解的情况，解分式方程求出，因为分式方程无解，所以可得：，解关于一元一次方程求出的值即可． 【详解】解：， 去分母： ， 移项、合并同类项：， 去分母：， 关于的分式方程无解， ， 解得：， ， 解得：． 故选：A． 62．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）若关于的分式方程有增根，则m的值是____． 【答案】6 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题主要考查了分式方程的增根，明确分式方程的增根的定义是解答本题的关键． 根据解分式方程的方法可以求得分式方程的解，再根据关于x的分式方程有增根，从而可以求得m的值． 【详解】解：， 去分母得：， 整理得：， ∵分式方程有增根， ∴，解得：。 故答案为：6． 【题型三十二】列分式方程 63．（24-25七年级下·浙江温州·期末）马拉松赛是全民健身的热门项目，2025年乐清半程马拉松的总赛程约为21公里，在同一场比赛中选手甲每小时比选手乙快3千米，最终甲冲刺终点的时间比乙早30分钟，若乙的平均速度为每小时千米，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查分式方程的应用．根据题意，乙的平均速度为，则甲的平均速度为，总赛程为21公里，甲比乙早到30分钟（即小时），据此建立方程，即可作答． 【详解】解：依题意，乙的用时为小时，甲的用时为小时， ∵甲比乙早到小时， ∴得方程：， 故选：D 64．（22-23七年级下·浙江衢州·期末）根据近期国际市场油价变化情况，国家为确保市场稳定供应采取相关联动及补贴政策，今年6月份每升汽油的价格是去年6月份每升汽油的价格的倍，小方用300元给汽车加的油量比去年6月份多了8升，设去年6月份每升汽油的价格为x元，则可列出方程为______． 【答案】 【知识点】列分式方程 【分析】设去年6月份每升汽油的价格为x元，则今年6月份每升汽油的价格为元，根据“300元给汽车加的油量比去年6月份多了8升”列出方程即可． 【详解】解：设去年6月份每升汽油的价格为x元，则今年6月份每升汽油的价格为元， 根据题意可列方程为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，正确列出方程． 【题型三十三】解分式方程（化为一元一次） 65．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）若，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可求解． 【详解】解：， 方程两边都乘，得 ， ， ， 或， 解得：或或， 经检验：和是分式方程的解，不是分式方程的解， 故选：C 【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． 66．（23-24七年级下·浙江宁波·月考）解下列分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)原分式方程无解 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】将两个分式方程分别去分母转化为整式方程，求出整式方程的解后，再检验，即可得到分式方程的最终结果． 【详解】（1）解：， 去分母得， 解得， 经检验：是原方程的解， 所以，分式方程的解为：； （2）解：， 去分母得， 解得， 经检验，当时，， 所以，是增根， 因此原分式方程无解． 【题型三十四】分式方程的行程问题 67．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）我国古代数学名著九章算术中记录的一道题：今有程，迟马至九百里，多一日；疾马至，少三日．疾马日速倍迟．译为白话文是：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍．设未知数，，依题意列出一个方程，则用一个未知数列出方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式方程的行程问题、列分式方程 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，根据各数量之间的关系及所列的方程，找出等量关系是解题的关键．由方程，可知慢马的速度为里/天，规定时间为x天．慢马所需时间为，快马速度为，所需时间为．根据路程相等，建立方程，即可解答． 【详解】解：由方程，可知慢马的速度为里/天，规定时间为x天．依题意，得 ， 由①，得， 将③代入②，得 ， 化简后得： 即． 故选D． 68．（24-25七年级下·浙江金华·期末）小明在长为的跑道上训练机器人，机器人匀速行走1分钟后，提速度到原速的倍后继续匀速行走，结果比原计划提前40秒到达终点． (1)求该机器人走完全程所花的时间． (2)若A机器人一半路程以a米/分的速度行驶，另一半路程以b米/分的速度行驶；B机器人用一半时间以a米/分的速度行驶，另一半时间以b米/分的速度行驶．试比较A，B两机器人行走的时间大小，并说明理由． 【答案】(1)机器人走完全程所花的时间为分钟 (2)当时，两机器人行走的时间相同，当时，A机器人行走的时间多，理由见解析 【知识点】异分母分式加减法、分式方程的行程问题、列代数式 【分析】本题考查分式方程的应用、分式的加减运算的应用、列代数式，理解题意，正确列出方程和代数式是解答的关键． （1）设原行走的速度为分，根据“结果比原计划提前40秒到达终点”列分式方程求解即可； （2）先根据题意求得两个机器人所需时间，然后作差，利用分式加减法计算后比较大小，进而可得结论． 【详解】（1）解：设原行走的速度为分， 根据题意得：， 解得， 经检验，为原方程的解， ， 机器人走完全程所花的时间分钟； （2）解：机器人所需时间， B机器人所需时间， ， 当时，， ∴，则，即两机器人行走的时间相同． 当时，，， ∴，则，即A机器人行走的时间多． 【题型三十五】分式方程的工程问题 69．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）“绿水青山就是金山银山”，某市为美化环境，计划种植树木1200棵．在种植完400棵后，由于志愿者的加入，实际每天种植的棵树比原计划增加了，结果比原计划提前4天完成任务．设原计划每天植树x棵，则x满足的方程是______． 【答案】 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设原计划每天植树x棵，则加入志愿者后实际每天植树棵，再根据结果比原计划提前4天完成任务列出方程即可． 【详解】解：设原计划每天植树x棵， 由题意得，， 故答案为：． 70．（24-25七年级下·浙江金华·期末）随着新能源汽车市场的迅速发展，市场对电池的需求也逐渐增大．某电池生产企业承接了生产58000组汽车电池的任务让甲、乙两个车间的工人来完成．若甲车间工人每人每天平均生产15组电池，乙车间工人每人每天平均生产20组电池，则需40天时间完成；若甲、乙车间工人每人每天平均都生产25组电池，则只需29天时间完成． (1)求甲、乙两个车间参与生产的工人数． (2)根据实际生产需要，该企业设计了如下两种具体生产方案： 甲车间 乙车间 新增费用 方案一 每人每天平均生产15组电池 租用先进设备，工作效率在每人每天平均生产20组电池的基础上提高了55% 租用设备费用为每天1200元，租用期间的来回运输费共1400元 方案二 从其他部门调配若干名工人到甲车间后，每人每天平均生产28组电池 每人每天平均生产24组电池 调配过来的工人每人每天需支付费用150元 若方案一比方案二多用了4天时间完成，请问：从新增费用的角度考虑，选择哪种方案更节省开支？请说明理由． 【答案】(1)甲车间参与生产的有30人，乙车间参与生产的50人 (2)选方案一更节省 【知识点】分式方程的工程问题、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】此题主要考查分式方程与二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列方程求解． （1）设甲车间人，乙车间人，根据题意列出二元一次方程组故可求解； （2）设方案二调配到甲车间人，根据题意列出分式方程，故可求解． 【详解】（1）解：设甲车间人，乙车间人，根据题意得 ， 解得， 答：甲车间参与生产的有30人，乙车间参与生产的50人； （2）解：设方案二调配到甲车间人，根据题意得 ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 方案一费用：（元） 方案二费用：（元） ∵． ∴选方案一更节省． 【题型三十六】分式方程的经济问题 71．（22-23七年级下·浙江金华·月考）文具店促销，一种笔记本折优惠出售，某同学发现，同样花元钱购买这种笔记本，正好可以比促销前多买一本，这种笔记本促销前每本的售价是（　　） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】设这种笔记本促销前每本的售价是元，根据题意列出分式方程，解方程即可求解． 【详解】解：设这种笔记本促销前每本的售价是元，根据题意得， 解得：，经检验，是原方程的解， ∴这种笔记本促销前每本的售价是元， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出分式方程是解题的关键． 72．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）现有甲、乙、丙三种糖混合而成的糖50千克，其中各种糖的质量和单价如表． 品类 甲种糖 乙种糖 丙种糖 质量/千克 x y 20 单价/（元/千克） 35 30 25 已知乙种糖的质量是甲种糖的质量的2倍，且商店以糖的平均价（平均价混合糖的总价格混合糖的总质量）作为混合糖的单价． (1)求表中x，y的值． (2)要使混合糖的单价每千克降低2元，需加入甲、乙、丙三种糖中的哪一种糖？加入多少千克？ 【答案】(1)x的值为10，y的值为20 (2)需加入丙种糖，加入50千克 【知识点】分式方程的经济问题、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用． （1）根据题意列方程组求解即可； （2）先求出降价后的平均价，可知应加入丙种糖，设加入丙种糖千克，列方程计算即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， 解得； （2）解：， ∴加入丙种糖， 设加入丙种糖千克，由题意得， ， 解得， 答：加入丙种糖50千克． 【题型三十七】分式方程和差倍分问题 73．数学家们在研究15，12，10这三个数的倒数时发现：．因此就将具有这样性质的三个数称为调和数，如6，3，2也是一组调和数．现有一组调和数：x，5，3（x＞5），则x=______． 【答案】15 【知识点】分式方程和差倍分问题 【分析】根据题意，利用已知规律求未知数，从x＞5判断，x是调和数中最大的数． 【详解】解：∵x＞5， ∴x是调和数中最大的数， 依题意得，， 解得，x=15． 经检验得出：x=15是原方程的解． 故答案为：15． 【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，解决本题的关键是通过观察分析，注意调和数的大小关系． 74．（23-24七年级·浙江宁波·期末）某校七、八年级师生开展“一日游”活动，已知七年级师生共250人，八年级师生共230人．参观某景点时，需要乘船游玩，现有两种型号的游船，每艘型船的座位数是每艘型船的1.25倍．若七年级师生全部乘坐型船若干艘，刚好坐满；八年级全部乘坐型船，要比七年级乘坐的型船总数多一艘且空10个座位． (1)两种游船每艘分别有多少个座位； (2)若两个年级的师生联合租船，且每艘游船恰好全部坐满，请写出所有的租船方案． 【答案】(1)型船每艘有50个座位，型船每艘有40个座位 (2)共3种租船方案：①租用12艘B型船；②租用4艘A型船，7艘B型船；③租用8艘A型船，2艘B型船 【知识点】分式方程和差倍分问题、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设型船每艘有个座位，则型船每艘有个座位，根据七年级师生全部乘坐A型船若干艘，刚好坐满；八年级全部乘坐B型船，要比七年级乘坐的A型船总数多一艘且空10个座位．列出分式方程，解方程即可； （2）设租用A型船a艘，B型船b艘，根据两个年级的师生联合租船，且每艘游船恰好全部坐满，列出二元一次方程，求出非负整数解，即可得出结论． 【详解】（1）解：设型船每艘有个座位，则型船每艘有个座位， 由题意得，， 解得，， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． ， 答：型船每艘有50个座位，型船每艘有40个座位； （2）设需租用型船艘，租用型船艘， 由题意得，， ， 又均为非负整数， 或或， 共3种租船方案：①租用12艘B型船；②租用4艘A型船，7艘B型船；③租用8艘A型船，2艘B型船． 【题型三十八】分式方程的其它实际问题 75．（2024七年级下·浙江·月考）李师傅要给一块长9米，宽7米的长方形地面铺瓷砖，如图，现有A和B两种款式的瓷砖，且A款正方形瓷砖的边长与B款长方形瓷砖的长相等，B款瓷砖的长大于宽，李师傅打算按如下设计图的规律进行铺瓷砖，若A款瓷砖的用量比B款瓷砖的2倍少14块，且恰好铺满地面，则B款瓷砖的长为_______米，宽为_______米． 【答案】 1 或 【知识点】分式方程的其它实际问题 【分析】设款瓷砖边长为米，款瓷砖长为米、宽为米，则，解得，由题意知是正整数，设为正整数），解得，将为正整数代入即可得出结果． 【详解】解：设款瓷砖边长为米，款瓷砖长为米、宽为米， 则， 解得：， 经检验，a=1是原方程的解， 由题意得：是正整数， 设为正整数）， 解得：， 当时，，舍去）； 当时，，舍去）； 当时，； 当时，． 故答案为：1，或． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，正确理解题意，根据题意设出未知数列出方程组是解题的关键． 76．（24-25七年级下·浙江台州·期末）在生产生活中，经常需要把两种溶液进行混合，得到新的溶液．例如，把咸淡不同的两碗汤混合；在已有盐水中加水配制生理盐水等等． (1)要用含盐的盐水克加水配制含盐的生理盐水，需要加水多少克？ (2)用咸淡程度不同的两碗汤甲和乙混合（甲汤比乙汤咸），得到丙汤． 请根据生活经验比较甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度： 请设出必要的字母，用代数式表示甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度，通过计算证明中的结论． 【答案】(1)需要加水克； (2)甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡； 见解析． 【知识点】分式加减乘除混合运算、分式方程的其它实际问题 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、分式的混合运算． 设需要加水，根据配制好的生理盐水的浓度为，可列方程，解方程即可求出需要加水的质量； 由生活经验可知：配制好的汤比咸汤淡，比淡汤咸，所以可知甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡； 设甲汤中盐的质量为克，汤的质量为克；乙汤中盐的质量为克，汤的质量为克，则丙汤中盐的质量为克，汤的质量为克，根据甲汤比乙汤咸，可得：，整理可得：，从而可得：，，比较可得：，从而可证甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡． 【详解】（1）解：设需要加水， 根据题意得：， 去分母得：， 解方程得：， 经检验，是原分式方程的解， 答：需要加水900克； （2）解：甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡； 解：设甲汤中盐的质量为克，汤的质量为克；乙汤中盐的质量为克，汤的质量为克， 则丙汤中盐的质量为克，汤的质量为克， 甲汤比乙汤咸， ， 整理得：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡． 1 学科网（北京）股份有限公司 $