15.1.2线段的垂直平分线 课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦线段垂直平分线的性质、判定及应用，通过探究活动让学生观察直线上点与线段两端点距离关系，引导从猜想过渡到证明，结合尺规作图和实例构建知识脉络，形成学习支架。 其亮点是以探究为核心，培养几何直观（观察点的位置关系）和推理能力（全等证明），通过分组讨论、尺规作图（如作对称轴）和实例（商场位置问题）渗透模型意识。小结归纳互逆命题和三角形垂直平分线交点，助力学生系统掌握知识，提升推理与应用能力，也为教师提供清晰教学流程和丰富素材。

人教版（2024） 八年级上册 15.1.2 线段的垂直平分 第十五章 · 轴对称 线段的垂直平分线的性质和判定 知识目标 1.理解线段的垂直平分线的定义，明确其性质定理和判定定理。 2.能区分原命题与逆命题，识别互为逆定理的关系（如性质定理与判定定理互为逆命题），并举例说明. 能力目标 1.独立完成对垂直平分线性质及判定定理的逻辑推导，提升几何论证的严谨性。 2.在复杂情境中，灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定定理，培养建模意识。 素质目标 1.感知数学知识与实际生活的普遍联系。 2.培养学生的探索能力和进取精神。 3.通过反复推敲证明细节，树立“言必有据”的理性精神，抵制直觉经验的片面性。 教学难点 教学重点 “垂直”“平分”“等距”三要素的内在联系 “性质”与“判定”的使用方向；在复合图形中识别隐含的垂直平分线特征 探究新知 【探究】如图，直线 l 垂直平分线段AB，点P1，P2，P3，…在 l 上，分别比较点P1，P2，P3，…与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现？ A B l P1 P2 P3 【发现】AP1=BP1 ，AP2=BP2 ，AP3 =BP3 … 3 探究新知 【探究】如图，直线 l 垂直平分线段AB，点P1，P2，P3，…在 l 上，分别比较点P1，P2，P3，…与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现？ A B l P1 P2 P3 【猜想】线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 4 探究新知 A B l C P 已知：如图，直线 l⊥AB，垂足为C，AC = BC，点P 在 l 上． 求证：PA =PB． 证明：当点P与点C不重合时， ∵　l⊥AB， ∴ ∠PCA =∠PCB = 90°． 又 AC =CB，PC =PC， ∴ △PCA ≌△PCB（SAS）． ∴ PA =PB． 当点P与点C重合时，显然成立 分析问题，寻找对应 如果点 M，N 都在线段 AB 的垂直平分线上，那么我们能画出线段 AB 的垂直平分线吗？为什么？ 分组讨论 A B M N 可以. 如图，过点 M，N 画一条直线，这条直线就是线段 AB 的垂直平分线. 理由：因为点 M，N 都在线段 AB 的垂直平分线上，而两点确定一条直线，所以直线 MN 就是线段 AB 的垂直平分线． 分析问题，寻找对应 如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？ 分组尝试 A B C D 作法： （1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于C，D两点. （2）作直线CD. CD即为所求. 特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图，我们也可以用这种方法确定线段的中点. 线段垂直平分线的判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 应用格式： ∵ PA = PB， ∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上． P A B 判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 作用： 判定定理： 知识点2 线段的垂直平分线的判定 想一想线段垂直平分线的判定 例2 △ABC 中，AB =AC,D 在AB边上，M 在线段AD上，且MB =MC, 求证：DB =DC． A B C D M 证明： ∵ AB = AC，MB = MC， ∴ 直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线， ∵D在直线AM 上， ∴ DB=DC. 验证 已知：如图，在△ABP 中，PA＝PB. 求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上． 证明：过点 P 作 PC 垂直于 AB，垂足为 C ，则∠PCA＝∠PCB＝90°． 当点 P 与点 C 不重合时， ∵ PA＝PB，PC＝PC， ∴ Rt△PAC ≌ Rt△PBC（HL）， ∴ AC＝BC． 又 PC⊥AB， ∴ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上． A B P C 当点 P 与点 C 重合时，结论显然也成立． 新知 线段的垂直平分线的定理： 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 线段的垂直平分线可以看成与这条线段两个端点距离相等的所有点的集合． 针对训练 1. 导入问题： 商场应该建在两个小区连线的垂直平分线上才符合要求 商场 针对训练 2. 如图，AB = AC，MB = MC. 直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线吗？为什么？ 教材P67练习 第2题 A B M C 解：直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线. 理由：∵AB = AC， ∴点 A 在线段 BC 的垂直平分线上. ∵MB = MC， ∴点 M 也在线段 BC 的垂直平分线上， ∴直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线. 新课讲解 从上面两个结论可以看出： 1. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.2. 对称轴是一条直线，而不是射线或线段. 2. 所以线段的垂直平分线可以看成与这条线段两个端点距离相等的所有点的集合. 归纳 新课讲解 例 3. 如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P. (1)求证：PA=PB=PC. (2)点P是否也在边AC的垂直平分线上？由此你还能 得出什么结论？ 解：(1)证明：∵ 边AB，BC的垂直平分线相交于点P， ∴ PA=PB，PB=PC， ∴ PA=PB=PC. (2)解：∵ PA=PC， ∴ 点P在边AC的垂直平分线上. 由此可得出结论： ①三角形三边的垂直平分线相交于一点； ②这个点与这个三角形三个顶点的距离相等. *三角形外接圆的圆心 例题练习 如图中的五角星，请作出它的一条对称轴.　 A A′ l 可以选择一对对应点A和A′，连接AA′，作出线段AA′的垂直平分线 l，则 l 就是这个五角星的一条对称轴. 类似地，请你尝试作出这个五角星的其他对称轴. A 17 活动三：探究互逆命题与互逆定理的概念 说一说，你学过哪些互逆定理呢？ 定理：全等三角形的对应边相等. 逆定理：对应边相等的两个三角形是全等三角形. 定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两端点的距离相等. 逆定理：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理：两直线平行，同旁内角互补. 逆定理：同旁内角互补，两直线平行. 探究新知 例1 如图，在△ABC 中，AB = AC，DE 是 AB 的垂直平分线，△BCE 的周长为 14，BC = 6，求 AB 的长. 分析：根据线段垂直平分线的性质定理可得 AE = BE，结合△BCE 的周长为 14，可知 AC与BC 的和为14，又已知 BC = 6，进而得出AC 的长. 经典例题 A C B D E 解：∵DE 是AB的垂直平分线， ∴AE=BE. ∵BE + EC + BC =14，∴ AE + EC + BC=AC +BC= 14. ∵ BC = 6，∴AC=14-6=8. ∵AB = AC，∴AB = 8. 应用新知 例3 判断下列命题的真假，写出其逆命题并判断真假： (1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点； (2)如果a>b，那么a2>b2； (3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零； (4)如果ab<0，那么a>0，b<0. 解：(1)原命题是真命题. 逆命题：如果两条直线只有一个交点，那么它们相交. 逆命题是真命题. (2)原命题是假命题. 逆命题：如果a2>b2，那么a>b.逆命题是假命题. (3)原命题是真命题. 逆命题：如果两个数的和为零，那么它们互为相反数. 逆命题是真命题. (4)原命题是假命题. 逆命题：如果a>0，b<0，那么ab<0. 逆命题是真命题. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线线上 B 总结归纳 解题秘方：根据“三角形三边的垂直平分线相交于一点，三个内角的平分线也相交于一点” 进行证明. 练习1如图，等腰 中， ， 的垂直 平分线 交 于点D，交 于点E，则 的周长为( ) A.13 B.16 C.8 D.10 解析：∵ 的垂直平分线 交 于点D，交 于点E， ∴ ， ∴ 的周长 ； 故选A. 练习7 .小军做了一个如图所示的风筝，其中 ，小军说不用测量就知道 是 的垂直平分线.其中蕴含的道理是 . 解析：∵ , ∴直线 是线段 的垂直平分线, ∴D是 的中点 ∴ ,故选：B 练习8 如图,在 中, ,D是 上的一点,O是 上一点,且 ,若 ,则 的长为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 $