暑期复习5--整式乘法 2025-2026学年浙教版七年级数学下册

**基本信息** 以整式乘法为核心，通过分层训练构建“基础运算-代数推理-几何应用”的逻辑体系，渗透抽象能力与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |例题|1道|多项式展开后系数归零法|幂的运算→多项式乘法法则推导| |基础练习|7道|幂的运算法则与公式直接应用|基本概念到简单运算的迁移| |提高练习|6道|错解分析与参数方程思想|不含项问题构建代数推理链条| |培优练习|10道|几何建模与数学文化应用|结合面积体积实现数形结合，渗透杨辉三角文化|

浙教版七年级下册暑期复习5 --整式乘法 一．例题 1．已知（x2+px+8）（x2﹣3x+q）的展开式中不含x2，x3项，求p，q的值． 知识点： 解题思路： 二．基础练习 2．3a•（﹣2a）＝　 　 ． 3．（﹣a2）3＝　 　 ． 4．下列代数运算正确的是（　　） A．x•x6＝x6B．（2x）3＝2x3C．（x+2）2＝x2+4 D．（x2）3＝x6 5．下列运算正确的是（　　） A．2a2+4a2＝6a4 B．a8÷a4＝a2 C．（﹣3a3）2＝﹣9a6 D．（3a+b）（3a﹣b）＝9a2﹣b2 6．已知2x+3y﹣2＝0，则9x•27y的值为 　 　 ． 7．下列运算正确的是（　　） A．（a3）3＝a6B．x6÷x2＝x3C．m3+m3＝2m6 D．﹣ab•a2b＝﹣a3b2 8．若（x﹣5）（x+3）＝x2﹣mx﹣15，则m为（　　） A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8 9．解决下列问题： （1）已知2x+3y﹣4＝0，求9x•27y的值； （2）已知9b＝4，3a＝2，求33a+2b的值． 三．提高练习 10．若（x2﹣mx+1）（x﹣3）展开后不含x2的项，则m的值是（　　） A． B．1 C．3 D．﹣3 11．如果（x2+px+q）（x2﹣3x+2）的展开式中不含x2项和x项，则p，q的值分别为（　　） A．p＝0，q＝0 B．p＝﹣3，q＝﹣9 C．p，q D．p＝﹣3，q＝1 12．已知实数x，y满足（x2+4x+7）（3y2+2y+1）＝2，则代数式x2+y2的值为（　　） A．4 B． C． D．5 13．已知a，b是常数，若化简（﹣2x+a）（x2+bx﹣3）的结果中不含x的二次项，则﹣12a+24b﹣3的值为（　　） A．﹣3 B．2 C．3 D．4 14．小马和小虎两人共同计算一道整式乘法题：（3x+a）（2x+b），由于小马抄错了b的符号（+﹣号），得到的结果为6x2﹣17x+12；由于小虎漏抄了第一个多项式中x的系数，得到的结果为2x2﹣5x﹣12． （1）求出a，b的值； （2）请你计算出这道整式乘法题的正确结果． 15．在计算（2x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到的结果是2x2+8x﹣24，乙错把a看成了﹣a，得到的结果是2x2+14x+20． （1）求a、b的值； （2）将a，b的值代入（2x+a）（x+b）并化简，求出正确的结果． 四．培优练习 16．一个长方体，长为2a+b，宽为2a﹣b，高为3b，则这个长方体的体积为（　　） A．4a2b﹣b3 B．12a2b﹣3b3 C．12a2﹣3b2 D．12a2b﹣4ab﹣3b3 17．如图是一所楼房的平面图，下列式子中不能表示它的面积的是（　　） A．a2+5a+15 B．（a+5）（a+3）﹣3a C．a（a+5）+15 D．a（a+3）+a2 18．【文化欣赏】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方（a+b）n展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4． 【应用体验】已知（x+2）4＝x4+8x3+mx2+32x+16，则m的值为（　　） A．4 B．8 C．16 D．24 19．用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个长为3a+2b，宽为a+b的长方形，需要B类卡片（　　）张． A．3 B．4 C．5 D．6 20．已知（x+a）（x+b）＝x2+mx+24，其中a，b为整数，则整数m可能的取值有（　　）个． A．2 B．4 C．6 D．8 21．如图，现有A，B两类正方形卡片和C类长方形卡片各若干张，如果要拼成一个长为（2m+3n），宽为（m+2n）的大长方形，那么需要C类卡片　 　 张． 22．如图，有一块长为（3a+2）米、宽为（a﹣1）米的长方形花园（阴影部分），因绿化面积不达标，计划按如图所示的方式等距外扩1米，改造成一个大长方形花园． （1）请用含a的代数式表示扩建后的长方形花园面积； （2）求扩建后花园面积增加多少平方米（用含a的代数式表示）． 23．如图，圆圆同学画了三个面积相等的大正方形和三个面积相等小正方形（两个大小不同的正方形不重合无间隙），她在三个图上分别画出了三块阴影面积．若图1，图2，图3的阴影面积分别记为S1，S2，S3.且，则S3＝（　　） A． B． C． D． 24．数学活动课上，张老师用图①中的1张边长为a的正方形A、1张边长为b的正方形B和2张宽和长分别为a与b的长方形C纸片，拼成了如图②中的大正方形．观察图形并解答下列问题． （1）由图①和图②可以得到的等式为 　 　 （用含a，b的代数式表示）；并验证你得到的等式； （2）嘉琪用这三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）的大长方形，求需要A、B、C三种纸片各多少张； （3）如图③，已知点C为线段AB上的动点，分别以AC、BC为边在AB的两侧作正方形ACDE和正方形BCFG．若AB＝6，且两正方形的面积之和S1+S2＝20，利用（1）中得到的结论求图中阴影部分的面积． 25．小聪和小明同做一道题：已知（x﹣1）（x+2）＝x2+ax+b，求a，b的值． 小聪的思路是：将左边（x﹣1）（x+2）化简，根据左右两边多项式中的同类项系数相同，从而求得a，b的值． 小明的思路是：因为左右两边是同一个代数式，只是表达形式不一样，因此当左右两边的x取同一个值时，等式成立．他将x＝0，x＝1分别代入，可以得到关于a，b的一个二元一次方程组，从而求得a，b的值． （1）请用小聪和小明的思路（两种不同的方法）分别求出a，b的值． （2）将代数式x2+2表示成（x+1）2+m（x+1）+n的形式，请选择其中一种方法求出m，n的值． 参考答案 一．例题 1． 【解答】解：（x2+px+8）（x2﹣3x+q）＝x4+（p﹣3）x3+（8﹣3p+q）x2+（pq﹣24）x+8q， ∵展开式中不含x2，x3项， ∴， 解得， 即求得p的值为3，q的值为1． 二．基础练习 2． 【解答】解：3a•（﹣2a）＝﹣6a2， 故答案为：﹣6a2． 3． 【解答】解：原式＝﹣a6． 故答案为：﹣a6． 4． 【解答】解：根据同底数幂的乘法法则、积的乘方法则、完全平方公式、幂的乘方法则逐项分析判断如下： A、x•x6＝x1+6＝x7≠x6，运算错误，不符合题意； B、（2x）3＝23•x3＝8x3≠2x3，运算错误，不符合题意； C、（x+2）2＝x2+4x+4≠x2+4，运算错误，不符合题意； D、（x2）3＝x2×3＝x6，运算正确，符合题意； 故选：D． 5． 【解答】解：2a2+4a2＝6a2，则A不符合题意， a8÷a4＝a4，则B不符合题意， （﹣3a3）2＝9a6，则C不符合题意， （3a+b）（3a﹣b）＝9a2﹣b2，则D符合题意， 故选：D． 6． 【解答】解：9x⋅27y＝32x⋅33y＝32x+3y， ∵2x+3y﹣2＝0， ∴2x+3y＝2， ∴原式＝32＝9． 故答案为：9． 7． 【解答】解：A、（a3）3＝a3×3＝a9，选项计算错误，不符合题意； B、x6÷x2＝x6﹣2＝x4≠x3，选项计算错误，不符合题意； C、m3+m3＝2m3，选项计算错误，不符合题意； D、﹣ab•a2b＝﹣a1+2b1+1＝﹣a3b2，选项计算正确，符合题意． 故选：D． 8． 【解答】解：∵（x﹣5）（x+3） ＝x2﹣5x+3x﹣15 ＝x2﹣2x﹣15， ∴m＝2， 故选：A． 9． 【解答】解：（1）∵2x+3y﹣4＝0， ∴2x+3y＝4， ∴9x•27y ＝（32）x×（33）y ＝32x×33y ＝32x+3y ＝34 ＝81； （2）∵9b＝4， ∴（32）b＝4，即32b＝4， ∵3a＝2， ∴（3a）3＝23＝8，即33a＝8 ∴33a+2b ＝33a×32b ＝8×4 ＝32． 三．提高练习 10． 【解答】解：∵多项式（x2﹣mx+1）（x﹣3）＝x3+（﹣m﹣3）x2+（3m+1）x﹣3不含x2项， ∴﹣m﹣3＝0， 解得m＝﹣3． 故选：D． 11． 【解答】解：∵（x2+px+q）（x2﹣3x+2）＝x4+（p﹣3）x3+（2﹣3p+q）x2+（2p﹣3q）x+2， 又∵式子展开式中不含x2项和x项， ∴， 解得． 故选：C． 12． 【解答】解：（x2+4x+7）（3y2+2y+1）＝2， ， ， ∵， ∴（x+2）2+3的最小值为3，最小值为， ∴， 解得：x＝﹣2，， ∴x2+y2 ， 故选：B． 13． 【解答】解：（﹣2x+a）（x2+bx﹣3） ＝﹣2x3﹣2bx2+6x+ax2+abx﹣3a ＝﹣2x3+（a﹣2b）x2+（6+ab）x﹣3a， 由于结果中不含x的二次项， ∴a﹣2b＝0， ∴﹣12a+24b﹣3＝﹣12（a﹣2b）﹣3＝﹣3． 故选：A． 14． 【解答】解：（1）（3x+a）（2x﹣b） ＝6x2﹣3bx+2ax﹣ab ＝6x2+（2a﹣3b）x﹣ab， ∵由于小马抄错了b的符号，得到的结果为：6x2﹣17x+12， ∴2a﹣3b＝﹣17①， ∵（x+a）（2x+b） ＝2x2+bx+2ax+ab ＝2x2+（b+2a）x+ab， ∵小虎漏抄了第一个多项式中x的系数，得到的结果为2x2﹣5x﹣12， 2a+b＝﹣5②， 由①②解得， 故a＝﹣4，b＝3； （2）由（1）得， （3x+a）（2x+b） ＝（3x﹣4）（2x+3） ＝6x2+9x﹣8x﹣12 ＝6x2+x﹣12， 故这道整式乘法题的正确结果为6x2+x﹣12． 15． 【解答】解：（1）（2x+a）（x+6） ＝2x2+12x+ax+6a ＝2x2+（12+a）x+6a， ∵计算（2x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到的结果是2x2+8x﹣24， ∴6a＝﹣24， ∴a＝﹣4， （2x+4）（x+b） ＝2x2+2bx+4x+4b ＝2x2+（2b+4）x+4b， 由条件可知4b＝20， ∴b＝5． （2）（2x﹣4）（x+5） ＝2x2+10x﹣4x﹣20 ＝2x2+6x﹣20． 四．培优练习 16． 【解答】解：V＝（2a+b）（2a﹣b）•3b ＝[（2a）2﹣b2]•3b ＝12a2b﹣3b3． 故选：B． 17． 【解答】解：A．是三个图形面积的和，正确，不符合题意； B．是补成一个大长方形，用大长方形的面积减去补的长方形的面积，正确，不符合题意； C．是上面大长方形的面积加上下面小长方形的面积，正确，不符合题意； D．不是楼房的面积，错误，符合题意． 故选：D． 18． 【解答】解：由题意得， mx2＝6×x2×22＝24x2， ∴m的值是24， 故选：D． 19． 【解答】解：长方形面积S＝长×宽， ∴S＝（3a+2b）（a+b）＝3a2+3ab+2ab+2b2＝3a2+5ab+2b2， 由题可知：A类面积＝a2，B类面积＝ab，C类面积＝b2， ∴需要A类，B类，C类卡片分别是3，5，2． 故选：C． 20． 【解答】解：∵（x+a）（x+b）＝x2+mx+24， ∴x2+ax+bx+ab＝x2+（a+b）x+ab＝x2+mx+24， ∴a+b＝m，ab＝24， ∵a、b为整数， ∴或或或或或或或， 或或或或或或或， ∴24+1＝25，12+2＝14，8+3＝11，6+4＝10，4+6＝10，3+8＝11，﹣24﹣1＝﹣25，﹣12﹣2＝﹣14，﹣8﹣3＝﹣11，﹣6﹣4＝﹣10， ∴a+b＝25或14或11或10或﹣25或﹣14或﹣11或﹣10， ∴m的取值有8个， 故选：D． 21． 【解答】解：由题意得， （2m+3n）（m+2n） ＝2m•m+2m•2n+3n•m+3n•2n ＝2m2+4mn+3mn+6n2 ＝2m2+7mn+6n2， ∴需要需要C类卡片7张， 故答案为：7． 22． 【解答】解：（1）由题意得：扩建后的长方形的花园长为3a+2+2＝（3a+4）米，宽为a﹣1+2＝（a+1）（米）， （3a+4）（a+1） ＝3a2+3a+4a+4 ＝（3a2+7a+4）平方米， ∴扩建后的长方形的花园面积为（3a2+7a+4）平方米； （2）扩建前花园面积为：（3a+2）（a﹣1）＝3a2﹣3a+2a﹣2＝（3a2﹣a﹣2）平方米， ∴3a2+7a+4﹣（3a2﹣a﹣2）＝3a2+7a+4﹣3a2+a+2＝（8a+6）平方米， ∴扩建后花园面积增加（8a+6）平方米． 23． 【解答】解：设大正方形和小正方形的边长分别为a，b，根据图1和图2列出方程为： ， 整理得a2﹣b2＝5， ， 整理得b2＝4，解得：b＝2； ∴a＝3， ∴S3＝a2+b2． 故选：A． 24． 【解答】解：（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2， 验证：（a+b）2＝（a+b）（a+b）＝a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2， 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2； （2）∵（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2， ∴所需A、B两种纸片各2张，C种纸片5张； （3）设AC＝a，BC＝CF＝b则a+b＝6， ∵S1+S2＝20， ∴a2+b2＝20， ∵（a+b）2＝a2+2ab+b2， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， ∴20＝62﹣2ab， ∴ab＝8， ∴阴影部分的面积ab8＝4． 25． 【解答】解：（1）小聪的思路：（x﹣1）（x+2）＝x2+x﹣2， ∴x2+ax+b＝x2+x﹣2， ∴a＝1，b＝﹣2； 小明的思路： 把x＝0代入（x﹣1）（x+2）＝x2+ax+b可得：（0﹣1）（0+2）＝b， ∴b＝﹣2， 把x＝1代入（x﹣1）（x+2）＝x2+ax+b可得：（1﹣1）（1+2）＝12+a+b， ∴a+b＝﹣1， 把b＝﹣2代入a+b＝﹣1可得：a﹣2＝﹣1， ∴a＝1； 发现：用两种思路求得的a，b的值一样，即小聪和小明的思路都是正确的； （2）选用小明的思路： ∵x2+2＝（x+1）2+m（x+1）+n， ∴把x＝﹣1代入x2+2＝（x+1）2+m（x+1）+n可得：1+2＝0+0+n， ∴n＝3， 把x＝0代入x2+2＝（x+1）2+m（x+1）+n可得：0+2＝12+m+n， ∴m+n＝1， ∴把n＝3代入m+n＝1可得：m+3＝1， ∴m＝﹣2． 1 学科网（北京）股份有限公司 $