专题02 整式的乘法运算（八大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年七年级数学下册《知识解读·题型专练》（浙教版）

专题02 整式的乘法运算（八大题型） 【题型1 单项式乘单项式】..................................................................................................1 【题型2 单项式乘多项式及求值】.......................................................................................1 【题型3 单项式乘多项式的应用】.......................................................................................2 【题型4 计算多项式乘多项式】...........................................................................................2 【题型5 多项式乘多项式--化简求值】.................................................................................3 【题型6 已知多项式乘积不含某项求字母的值】.................................................................4 【题型7 多项式乘多项式与图形面积】................................................................................6 【题型8 多项式乘法中的规律性问题】................................................................................9 【题型1 单项式乘单项式】 1．计算：______． 2．计算：______． 3．计算：________. 4．_______． 5．计算：_____ 【题型2 单项式乘多项式及求值】 6．计算：_____． 7．计算： ______． 8．计算： _______． 9．计算：_________． 10．计算的结果是_____． 11．计算：____________． 12．若，则的值为______． 【题型3 单项式乘多项式的应用】 13．如果一个长方形的长是，宽是，则这个长方形的面积为____________． 14．已知一个长方形的周长为100，一边的长为x，则这个长方形的面积为_______． 15．定义一种新运算：，则_____． 16．今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题　　，空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写__． 17．如图，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接，，若两个正方形的面积之和为，且，阴影部分的面积______． 【题型4 计算多项式乘多项式】 18．化简：． 19．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．计算： (1) (2) 21．计算 (1) (2) 22．计算： (1)； (2)； (3)． 【题型5 多项式乘多项式--化简求值】 23．先化简，再求值：，其中． 24．先化简，再求值：，其中． 25．先化简，再求值：，其中． 26．先化简，再求值：，其中． 27．先化简，再求值：其中． 28．先化简，再求值：，其中． 29．先化简，再求值：，其中，． 【题型6 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 30．已知的展开式中不含项，常数项是，求m、n的值． 31．关于x的代数式化简后不含的项和常数项． (1)分别求m、n的值； (2)求的值． 32．已知的展开式中不含x的一次项，且常数项是． (1)求m，n的值； (2)先化简，再根据（1）中的结果求值． 33．若的积中不含x项与项． (1)求p，q的值； (2)求代数式的值． 34．的展开式中不含和项． (1)求的值？ (2)当取第（1）小题的值时，求的值． 【题型7 多项式乘多项式与图形面积】 35．如图，开心农场的农场主准备用60米长的护栏围成一边靠墙的长方形花园，设长方形花园的长为米，宽为米． (1)农场主计划在中间阴影部分的正方形地块做一个水池，其余空白部分绿化，若该正方形地块的边长为米，求空白部分的面积S（用含a、b的代数式表示，并化简）； (2)当，时，求S的值． 36．如图，某小区有一块长，宽的长方形空地，物业规划了一块长方形花园(图中阴影部分)，花园的北面和东、西两面都留有宽度为的小路(图中空白部分)． (1)在花园北面和东、西两面的小路上都铺上地砖，用含，的代数式表示铺设地砖的面积，并化简； (2)若，，预计每平方米铺设地砖的价格是元，那么购买所需地砖需要多少元? 37．如图，某学校设计在长为，宽为的大长方形场地中，并排新建三个大小一样的篮球场，三个篮球场之间及篮球场与长方形场地边缘的距离均为，篮球场的宽为． (1)用含a，b的代数式表示一个篮球场的周长； (2)当，时，求整个场地的面积． 38．“9·3”阅兵仪式以点线面铸就钢铁洪流，是展现国家力量的绝对证明．在阅兵仪式的观礼区内，有一块长为米，宽为米的长方形座位区．为方便特殊观礼群体，工作人员在这块长方形座位区中划出了两块边长均为y米的正方形区域作为专属观礼区，剩余的“T”形区域（阴影部分）为普通观礼区． (1)用含x，y的式子表示普通观礼区的面积； (2)当时，请计算普通观礼区的面积． 39．如图，某校园内有一块长为，宽为的长方形活动场地，计划在场地中间开辟一个长为，宽为的长方形舞台用于文艺表演，舞台之外的阴影部分将铺设塑胶跑道供学生活动． (1)长方形舞台的占地面积是_____； (2)求铺设塑胶跑道区域（阴影部分）的面积； (3)若，铺设塑胶跑道的价格为110元，则铺设塑胶跑道共需多少元？ 40．如图，一块长方形铁皮的长为，宽为将这块长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为的正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子． (1)求这个盒子的表面积；（用含a、b的式子表示） (2)当时，求这个盒子表面积的值． 【题型8 多项式乘法中的规律性问题】 41．我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（   ） A．15 B．10 C．9 D．6 42．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了非负整数展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”．则展开式中所有项的系数和是（   ） A．512 B．1024 C．2048 D．4096 43．观察下面的运算规律： ，，，……若一个两位数个位为，其十位数字为（为正整数），则_________ 44．观察下列多项式与多项式相乘的规律：①；②；③；④，．则______． 45．观察下列各式的规律，解答下列问题． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… (1)根据上述规律，请写出第5个等式：________． (2)猜想：_______． (3)利用（2）中的结论，求的值． (4)已知，化简 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式的乘法运算（八大题型） 【题型1 单项式乘单项式】..................................................................................................1 【题型2 单项式乘多项式及求值】.......................................................................................2 【题型3 单项式乘多项式的应用】.......................................................................................4 【题型4 计算多项式乘多项式】...........................................................................................6 【题型5 多项式乘多项式--化简求值】.................................................................................9 【题型6 已知多项式乘积不含某项求字母的值】.................................................................11 【题型7 多项式乘多项式与图形面积】................................................................................15 【题型8 多项式乘法中的规律性问题】...............................................................................20 【题型1 单项式乘单项式】 1．计算：______． 【答案】6 【分析】本题考查单项式乘以单项式，单项式乘以单项式的运算法则为：系数相乘，同底数幂相乘，指数相加，熟练掌握运算法则是解题关键．根据单项式乘以单项式运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为： 2．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查单项式的乘法运算，解题的关键是掌握单项式乘法法则． 根据单项式乘法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．计算：________. 【答案】 【分析】此题考查了单项式的乘法，熟练掌握运算法则是关键． 根据单项式乘单项式的运算法则，系数相乘，同底数幂相乘进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为： 4．_______． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，单项式乘单项式，先运算积的乘方，再运算单项式乘单项式，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故答案为：． 5．计算：_____ 【答案】 【分析】本题考查了单项式的乘法运算，根据单项式乘法的法则，将系数相乘，同底数幂的指数相加． 【详解】解：． 故答案为：． 【题型2 单项式乘多项式及求值】 6．计算：_____． 【答案】/ 【分析】本题考查单项式乘以多项式，根据单项式乘以多项式的法则进行计算即可． 【详解】解：原式， 故答案为：． 7．计算： ______． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据单项式乘以多项式运算法则即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 8．计算： _______． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据单项式乘多项式的运算法则进行计算． 【详解】解： ． 故答案为：． 9．计算：_________． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘多项式，根据单项式乘多项式进行计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 10．计算的结果是_____． 【答案】 【分析】本题考查整式的乘法运算，涉及多项式乘以单项式、单项式乘以单项式及同底数幂的乘法运算法则等知识，熟练掌握整式的乘法运算法则是解决问题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 11．计算：____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握运算法则，根据单项式乘多项式运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12．若，则的值为______． 【答案】16 【分析】此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式利用单项式乘以多项式法则计算即可得到结果． 【详解】解：原式， 当时，原式， 故答案为：16． 【题型3 单项式乘多项式的应用】 13．如果一个长方形的长是，宽是，则这个长方形的面积为____________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以单项式的实际应用，解题关键是列出算式． 先列出算式，再计算． 【详解】解：∵长方形的长是，宽是， ∴这个长方形的面积为， 故答案为：． 14．已知一个长方形的周长为100，一边的长为x，则这个长方形的面积为_______． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，解题的关键是先根据周长公式求出长方形另一边的长，再根据面积公式计算面积． 先利用长方形周长公式求出另一边的长度表达式，再根据长方形面积公式得到面积关于的表达式． 【详解】已知长方形周长公式为长 + 宽）（表示周长）， 该长方形周长，一边长为，设另一边长为， 则可列出， 移项化简得到， 根据长方形面积公式长宽（表示面积）， 长，宽代入面积公式， 可得长方形面积． 15．定义一种新运算：，则_____． 【答案】/ 【分析】本题考查整式的混合运算、新定义，根据，可以将所求式子变形，然后化简即可，解题的关键是明确题意，利用新定义解答． 【详解】解：∵， ∴ ， ， 故答案为：． 16．今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题　　，空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写__． 【答案】 【分析】直接利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案． 【详解】解：， 横线上应填写， 故答案为：． 【点睛】本题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握单项式乘以多项式的运算法则是解此题的关键． 17．如图，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接，，若两个正方形的面积之和为，且，阴影部分的面积______． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式的化简求值与几何图形的结合应用，正确归纳几何信息，熟练掌握代数式化简及正方形和三角形的面积计算是解题的关键．根据题意可得：，，再根据阴影部分的面积的面积正方形的面积的面积，然后进行化简计算即可解答． 【详解】解：由题意得：，， 阴影部分的面积的面积正方形的面积的面积 ， 故答案为：． 【题型4 计算多项式乘多项式】 18．化简：． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据多项式乘多项式、单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可． 【详解】解： ． 19．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了多项式乘法，掌握多项式乘多项式法则、乘法公式是解题关键． （1）利用多项式乘多项式法则展开计算即可； （2）利用多项式乘多项式法则展开计算即可； （3）利用多项式乘多项式法则展开计算即可； （4）利用多项式乘多项式法则展开计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 20．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握多项式乘多项式和单项式乘多项式运算的知识点是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式的法则计算即可； （2）先分别进行多项式乘多项式和单项式乘多项式运算，再合并同类项即可得解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ． 21．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的乘法，解题的关键是掌握单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则． （1）根据单项式乘多项式的运算法则将原式展开即可； （2）根据多项式乘多项式的运算法则将原式展开，再合并同类项． 【详解】（1）解：           （2）               ． 22．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握整式的相关运算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并即可； （2）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并即可； （3）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【题型5 多项式乘多项式--化简求值】 23．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式乘法的计算法则是解题的关键，根据整式乘法法则进行计算，然后合并同类项，最后将代入化简结果进行计算即可求解． 【详解】解： 将代入得 24．先化简，再求值：，其中． 【答案】，0． 【分析】本题考查了整式的混合运算．先利用多项式乘多项式、单项式乘多项式展开，再合并同类项，然后把代入计算即可解答． 【详解】解： ， 当时，原式． 25．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了整式化简求解，先进行多项式乘以多项式运算，再进行加减运算，最后代值计算，即可求解． 【详解】解：原式， ， ． 当时， 原式， ． 26．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的化简求值，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．先把原式去括号合并同类项，得到最简结果，然后再把和的值，代入计算即可求值． 【详解】解：原式 ， 当时，原式 27．先化简，再求值：其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据多项式乘以多项式法则、合并同类项法则化简，然后把x、y的值代入计算即可． 【详解】解： 原式 ， 把代入上式得： 原式 ． 28．先化简，再求值：，其中． 【答案】；． 【分析】本题主要考查了整式化简求值，根据多项式乘多项式，单项式乘多项式进行运算，然后代入数据求值即可． 【详解】解： ， 把代入得：原式． 29．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了多项式乘以多项式以及求值、单项式乘以多项式等知识，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．先计算多项式乘以多项式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减，然后将的值代入计算即可得． 【详解】解：原式 ． 将，代入得：原式． 【题型6 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 30．已知的展开式中不含项，常数项是，求m、n的值． 【答案】， 【分析】先将多项式展开，合并同类项后，根据不含项得到项的系数为，根据常数项是得到常数项的等式，联立两个方程求解、的值． 【详解】解： 由展开式不含项，得， 由常数项为，得， 解得 ， 将代入得， 解得． 31．关于x的代数式化简后不含的项和常数项． (1)分别求m、n的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据整式的混合运算法则将括号打开，再合并同类项即可化简，再由题意可得，，求解即可； （2）将，代入式子计算即可得解． 【详解】（1）解：， ∵关于x的代数式化简后不含的项和常数项， ∴，， ∴，； （2）解：∵，， ∴ 32．已知的展开式中不含x的一次项，且常数项是． (1)求m，n的值； (2)先化简，再根据（1）中的结果求值． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式运算、代数式求值等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据多项式乘以多项式运算法则将原式展开，结合展开式中不含的一次项，常数项是可得，，求解即可获得答案； （2）根据多项式乘以多项式运算法则将原式化简原式，然后将，的值代入求解即可． 【详解】（1）解：，          展开式中不含的一次项，且常数项是， ，， ； （2）解：原式，                     当时， 原式． 33．若的积中不含x项与项． (1)求p，q的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查多项式乘多项式．注意不要漏项、漏字母、有同类项的合并同类项，解题的关键是正确求出p，q的值． （1）将原式根据多项式乘以多项式法则展开后合并同类项，由积中不含项与项可知项与项的系数均等于0，解方程即可； （2）由（1）中的值得，将原式整理变形成，再将的值代入计算即可． 【详解】（1）解：原式 ， ∵的积中不含x项和项， ∴且， ∴，； （2）解：当，时，， ． 34．的展开式中不含和项． (1)求的值？ (2)当取第（1）小题的值时，求的值． 【答案】(1)，； (2) 【分析】此题主要考查了多项式乘以多项式． （1）利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，根据展开式中不含和项列出关于m与n的方程组，求出方程组的解即可得到m与n的值； （2）先利用多项式乘以多项式的法则将展开，再合并同类项化为最简形式，然后将（1）中所求m、n的值代入计算即可． 【详解】（1）解： ， 根据展开式中不含和项得：， 解得：． 即，； （2）解： ， 当，时，原式． 【题型7 多项式乘多项式与图形面积】 35．如图，开心农场的农场主准备用60米长的护栏围成一边靠墙的长方形花园，设长方形花园的长为米，宽为米． (1)农场主计划在中间阴影部分的正方形地块做一个水池，其余空白部分绿化，若该正方形地块的边长为米，求空白部分的面积S（用含a、b的代数式表示，并化简）； (2)当，时，求S的值． 【答案】(1)平方米； (2)平方米． 【分析】本题考查了整式乘法的应用、列代数式，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据长方形面积减去正方形面积，即，然后通过运算法则化简即可； （2）把，时代入即可求解． 【详解】（1）解： （平方米）， 答：空白部分的面积为平方米； （2）当，时， （平方米）． 36．如图，某小区有一块长，宽的长方形空地，物业规划了一块长方形花园(图中阴影部分)，花园的北面和东、西两面都留有宽度为的小路(图中空白部分)． (1)在花园北面和东、西两面的小路上都铺上地砖，用含，的代数式表示铺设地砖的面积，并化简； (2)若，，预计每平方米铺设地砖的价格是元，那么购买所需地砖需要多少元? 【答案】(1) (2)8550元 【分析】本题主要考查了利用整式解决实际问题，整式的混合运算，代数求值等，解题的关键是掌握整式的各运算法则． （1）根据题意列出代数式，利用多项式乘多项式进行化简即可； （2）代数求值即可． 【详解】（1）解：地砖面积为空地面积减去花园面积， 即 故地砖面积为． （2）解：当，， ， 元， 故购买所需地砖需要元． 37．如图，某学校设计在长为，宽为的大长方形场地中，并排新建三个大小一样的篮球场，三个篮球场之间及篮球场与长方形场地边缘的距离均为，篮球场的宽为． (1)用含a，b的代数式表示一个篮球场的周长； (2)当，时，求整个场地的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求代数式的值和列代数式，能正确根据题意列出代数式是解此题的关键． （1）根据题意找到篮球场的长即可求得周长； （2）找到整个场地的长，结合面积公式把a和b的值代入，求解即可． 【详解】（1）解：一个篮球场的周长为 （2）由图可知，， 整个场地的面积为， 当，时，， 答：整个场地的面积为 38．“9·3”阅兵仪式以点线面铸就钢铁洪流，是展现国家力量的绝对证明．在阅兵仪式的观礼区内，有一块长为米，宽为米的长方形座位区．为方便特殊观礼群体，工作人员在这块长方形座位区中划出了两块边长均为y米的正方形区域作为专属观礼区，剩余的“T”形区域（阴影部分）为普通观礼区． (1)用含x，y的式子表示普通观礼区的面积； (2)当时，请计算普通观礼区的面积． 【答案】(1)平方米； (2)8200平方米． 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式与图形面积； （1）根据图形及题意可直接进行求解； （2）由（1）可知绿化部分的面积为平方米，然后把代入求解即可． 【详解】（1）平方米 （2）当时， 平方米． 答：普通观礼区的面积为平方米． 39．如图，某校园内有一块长为，宽为的长方形活动场地，计划在场地中间开辟一个长为，宽为的长方形舞台用于文艺表演，舞台之外的阴影部分将铺设塑胶跑道供学生活动． (1)长方形舞台的占地面积是_____； (2)求铺设塑胶跑道区域（阴影部分）的面积； (3)若，铺设塑胶跑道的价格为110元，则铺设塑胶跑道共需多少元？ 【答案】(1)； (2)铺设塑胶跑道区域（阴影部分）的面积为； (3)铺设塑胶跑道共需20130元． 【分析】本题主要考查了整式的混合运算和代入求值，解决此题的关键是正确的计算， （1）根据长方形的面积等于长乘以宽计算即可． （2）根据长方形的面积等于长乘以宽，得到整式的混合运算，再计算即可得到答案； （3）分别代入求值即可得到答案； 【详解】（1）解：根据题意可知长方形舞台的占地面积是 （2）解： ． 答：铺设塑胶跑道区域（阴影部分）的面积为 （3）解：当时，． （元）． 答：铺设塑胶跑道共需20130元 40．如图，一块长方形铁皮的长为，宽为将这块长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为的正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子． (1)求这个盒子的表面积；（用含a、b的式子表示） (2)当时，求这个盒子表面积的值． 【答案】(1) (2)159 【分析】本题主要考查了列代数式、多项式乘法、代数式求值等知识点，正确用代数式表示出盒子的表面积是解题的关键． （1）先求出表面积为矩形，再求出四个小正方形的面积，然后用长方形的面积减去四个小正方形的面积即可列出代数式； （2）将代入（1）所得的代数式求解即可． 【详解】（1）解：长方形面积 ， ； 四个正方形面积 ； 盒子表面积 ． （2）解：当时，原式． 答：当时，表面积为159． 【题型8 多项式乘法中的规律性问题】 41．我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（   ） A．15 B．10 C．9 D．6 【答案】B 【分析】本题考查杨辉三角的规律，运用归纳推理思想，解题关键是掌握杨辉三角的生成规律，易错点是行数与项数的对应关系错误，解题思路是通过推导杨辉三角后续行的系数，确定展开式中含项的系数． 【详解】解：杨辉三角的规律是：每行两端的数为1，中间的数为上一行相邻两数之和． 由图可得展开式的系数依次为：1，4，6，4，1， 因此展开式的系数依次为：1，5，10，10，5，1， 所以， 所以展开式中含项为从左向右第4项，系数为10． 故选：B． 42．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了非负整数展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”．则展开式中所有项的系数和是（   ） A．512 B．1024 C．2048 D．4096 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律探索，多项式乘法中的规律性问题，解题关键是从式子中找出其中的变化规律． 根据题意可以得出规律：展开式中所有项的系数为，则展开式中所有项的系数和是，以此求解． 【详解】解：由题可知， 展开式中所有项的系数为1； 展开式中所有项的系数为； 展开式中所有项的系数为； 展开式中所有项的系数为； 展开式中所有项的系数为； … 得出规律：展开式中所有项的系数为， ∴展开式中所有项的系数和为：， 故选：B． 43．观察下面的运算规律： ，，，……若一个两位数个位为，其十位数字为（为正整数），则_________ 【答案】 【分析】本题考查了数的运算规律的探究，观察给出的算式得到一般规律是解决本题的关键；观察给出的运算规律，发现个位数为的两位数的平方等于十位数字与的乘积乘以再加． 【详解】解：∵，，， ∴对于任意个位为的两位数，其十位数字为，则其数为，其平方为，可表示为； 故答案为：． 44．观察下列多项式与多项式相乘的规律：①；②；③；④，．则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字规律、整式的混合运算等知识点，找出计算规律是解题的关键． 根据已知的几个算式发现规律，然后运用规律解答即可． 【详解】解：∵①； ②； ③； ④，， 由规律可知，对于正整数 ，有 ， ∴ ∴． 故答案为：． 45．观察下列各式的规律，解答下列问题． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… (1)根据上述规律，请写出第5个等式：________． (2)猜想：_______． (3)利用（2）中的结论，求的值． (4)已知，化简 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据已知等式写成第5个等式即可； （2）观察可知第个式子左边的第一个多项式为，第二个多项式中是按照字母的指数降序排列的，且每一项只含有两个字母，每一项的系数都为 1 ，字母的指数之和为，等式右边是，据此可得答案； （3）令式子中，得到，据此可得答案． （4）将变形得到，根据（ 2 ）的结论得，再代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，第五个等式为； （2）解：第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． ， 以此类推可知，； （3）解：由（2）可知， ． （4）解： ， 根据（ 2 ）的结论，， ∴ ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $