暑期复习练习4--二元一次方程（组）的应用 2025-2026学年浙教版七年级数学下册

**基本信息** 以二元一次方程（组）应用为核心，通过实际问题建模与换元法技巧，系统整合概念应用与方法迁移，培养模型意识与运算能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |实际应用|例1+变式2-15|设元建模、分类讨论、方案优化|从单价/数量关系到几何图形、经济问题，构建“等量关系→方程（组）→求解验证”逻辑链| |方法技巧|例16+变式17-24|整体换元法|通过整体代换简化复杂方程组，体现“化繁为简”的数学思维，衔接代数变形能力|

浙教版七年级下册暑期复习4 --二元一次方程（组）的应用 一．例题 1．根据如表素材，完成表中的任务． 探究优惠购物问题 素材1 某校重视学生的课外体育活动，打算在某商店采购一批篮球和跳绳，已知篮球的单价比跳绳的单价的5倍多10元，购买2个篮球与购买11条跳绳所花的钱一样多． 素材2 该商店给学校提供以下两种优惠方案： 方案①：篮球和跳绳都按单价的八五折付款； 方案②：买一个篮球送一条跳绳． 现学校要购买篮球30个，跳绳a（a＞30）根． 问题解决 任务1 求篮球的单价与跳绳的单价各是多少？ 任务2 当a为何值时，使用方案①，方案②购买篮球和跳绳的总费用相同？ 任务3 若两种优惠方案可同时使用，当a＝60时，请你通过计算给出更省钱的购买方案． 知识点： 解题思路： 二．变式练习 2．某车间有22名工人，生产一种螺栓和螺帽，平均每人每小时生产螺栓1200个或螺帽2000个，1个螺栓要配2个螺帽，应安排多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？ 3．如图，10块完全相同的长方形墙砖拼成一个大长方形，设长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则依题意列方程组正确的是（　　） A．B． C． D． 4．如图，在长为20，宽为15的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形，若求阴影部分的面积，应先求一个小长方形的面积，设小长方形的长为x，宽为y，根据题意，下列方程组正确的是（　　） A．B． C． D． 5．如图，在长为20、宽为15的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形，设小长方形的长为x，宽为y，根据题意及图中信息可列方程组为（　　） A．B． C． D． 6．古书中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当．”翻译成现代文，其大意如下：甲乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计．甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩的羊一样多．”设甲有羊x只，乙有羊y只，则符合题意的方程组是（　　） A． B． C． D． 7．列方程（组）解应用题： 某超市用9600元购进甲、乙两种商品共200件，这两种商品的进价，标价如下表： 价格 类型 甲种 乙种 进价（元/件） 30 60 标价（元/件） 50 90 （1）求甲、乙两种商品各购进多少件？ （2）若甲种商品按标价下降a元出售，乙种商品按标价八折出售，那么这批商品全部售出后，超市共获利2640元，求a的值． 8．某水果店销售苹果单价8元/千克，梨单价6元/千克． （1）小明购买了苹果和梨，共支付44元，其中苹果比梨多买了2千克，求小明购买的苹果和梨的重量； （2）水果店推出一种苹果与梨搭配销售方式，若搭配方式由苹果a千克，梨b千克组成，则苹果单价下降2m元/千克，梨单价上涨m元/千克． ①请用含a，b，m的代数式表示搭配销售方式水果平均单价　 　 ． ②按搭配销售方式购买后，发现无论m为何值，支付的金额始终与小明相同，求搭配销售方式中苹果的重量a的值． 9．现有甲、乙、丙三种糖混合而成的糖50千克，其中各种糖的质量和单价如表． 品类 甲种糖 乙种糖 丙种糖 质量/千克 x y 20 单价/（元/千克） 35 30 25 已知乙种糖的质量是甲种糖的质量的2倍，且商店以糖的平均价（平均价＝混合糖的总价格÷混合糖的总质量）作为混合糖的单价． （1）求表中x，y的值． （2）要使混合糖的单价每千克降低2元，需加入甲、乙、丙三种糖中的哪一种糖？加入多少千克？ 10．根据表中的素材，完成下面的任务： 制作无盖长方体纸盒 素材1 裁剪长方形纸板 将某种规格的长方形纸板按图1、图2所示的两种方法裁剪，分别可裁得2块小长方形纸板和3块小正方形纸板． 素材2 制作无盖长方体纸盒 4块相同的小长方形纸板和1块小正方形纸板可做成图3所示的无盖长方体纸盒；3块相同的小长方形纸板和2块小正方形纸板可做成图4所示的无盖长方体纸盒． 问题解决 任务 制作图3、图4规格的纸盒若干个 若有21张长方形纸板，且恰好能够完成制作（纸板无剩余），则能做成图3、图4规格的纸盒各多少个？ 11．工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大小齿轮，该车间有工人85人，其中女生人数比男生人数的2倍少8人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个． （1）请问该车间有男生、女生各多少人？ （2）已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为了使每天生产的大小齿轮恰好配套，应该分配多少工人负责生产大齿轮，多少工人负责生产小齿轮？ 12．学校组织植树活动，已知在甲地植树的有18人，在乙地植树的有7人，在丙地植树的有5人，现调40人去支援． （1）若前往支援的地点只有甲地和乙地，要使在甲地植树的人数是乙地植树人数的4倍，那么应调往甲、乙两地各多少人？ （2）若甲、乙、丙三地都需要支援，其中调往丙地的人数比调往乙地人数的2倍少1人，要使在甲地植树的人数恰好等于在乙地和丙地植树人数之和，那么应调往甲、乙、丙地各多少人？ 13． 制作更多的罐头 素材一 原材料是边长为8分米的正方形铝皮 素材二 通过两种方式裁剪，制作如图所示的罐头（罐头封扣处损耗忽略不计） 任务一 （1）填空：现在有21张铝皮，若使用裁法一剪裁的有x张，裁法二剪裁的y张，请根据素材，完成表格； 圆形材料 长方形材料 裁法一 4x 　 　 裁法二 　 　 2y 合计 　 　 　 　 任务二 （2）结合任务一，将裁剪出的圆形和长方形材料用于制作铝制罐头（上下盖均为圆形，侧面为长方形）且裁剪出的材料恰好用完，则最多可以做多少个罐头？ 任务三 （3）若在2024年年终盘点库存时，发现库存中还剩长方形材料40张，在新的一年，对原材料购买时，至少应该买 　 　 张正方形铝皮，才能将库存一次性用完．（直接写出答案） 14．如图所示的甲、乙、丙三种长方形木板可以用来制作无盖长方体木箱，其中甲木板锯成两块刚好能做箱底和一个长侧面，乙木板锯成三块刚好能做箱底和两个短侧面，丙木板锯成两块刚好能做一个长侧面和一个短侧面．设甲木板有x块，乙木板有y块． （1）已知丙木板有12块． ①根据题意填写下表： 木板种类 长侧面 短侧面 箱底 甲 　 　 / x 乙 / 　 　 y 丙 12 12 / 合计 　 　 　 　 x+y ②将三种木板锯成的木块全部用于制作无盖长方体木箱，材料恰好无剩余，求x，y的值． （2）已知三种木板共有m块（100＜m＜120），用它们去做无盖长方体木箱，要求材料无剩余，求能做多少个长方体木箱？ 15．某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元．当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16t；如果进行精加工，每天可加工6t，但两种加式方式不能同时进行，受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案． 方案一：将蔬菜全部进行粗加工； 方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没有来得及加工的蔬菜在市场上全部销售； 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成，你认为选择哪种方案获利最多，为什么？ 三．例题 16．综合与实践 问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组：． 观察发现：（1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的（4x+3y）看成一个整体，把（6x﹣y）看成一个整体，通过换元，可以解决问题．设4x+3y＝m，6x﹣y＝n，则原方程组可化为 　 　 ，解关于m，n的方程组，得，所以，解方程组，得 　 　 ； 探索猜想：（2）运用上述方法解下列方程组：； 拓展延伸：（3）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求关于x，y的方程组的解． 知识点： 解题思路： 四．变式练习 17．已知方程组的解是，则方程组的解是 　 　 ． 18．我们知道方程组的解是．现给出另一个方程组，它的解是 　 　 ． 19．已知方程组的解为，则方程组的解为　 　 ． 20．如表，表1，表2分别列举了关于x，y的方程ax+by＝p和方程mx+ny＝q的部分解： 表1 x … 1 2 3 4 … y … 0 1 2 3 … 表2 x … 0 1 2 3 … y … 3 2 1 0 … 则关于x，y的方程组的解为 　 　 ． 21．“换元法”是解决数学问题的重要思想方法，若方程组的解是，则方程组的解为　 　 ． 22．若方程组的解是，则方程组的解是 　 　 ． 23．已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于x、y的方程组的解为 　 　 ． 24．若方程组的解是，则方程组的解是　 　 ． 参考答案 一．例题（共1小题） 1． 【解答】解：（任务1）设跳绳的单价是x元，篮球的单价是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：篮球的单价是110元，跳绳的单价是20元； （任务2）根据题意得：0.85（110×30+20a）＝110×30+20（a﹣30）， 解得：a＝35， 答：a的值为35； （任务3）选择方案①所需费用为（110×30+20×60）×0.85＝3825（元）； 选择方案②所需费用为110×30+20×（60﹣30）＝3900（元）； 先按方案②购买30个篮球（获赠30条跳绳），再按方案②购买60﹣30＝30（条），跳绳所需费用为110×30+20×0.85×30＝3810（元）， ∵3900＞3825＞3810， ∴当a＝60时，更省钱的购买方案为：先按方案②购买30个篮球（获赠30条跳绳），再按方案①购买30条跳绳． 二．变式练习 2． 【解答】解：设应安排x名工人生产螺栓，则安排（22﹣x）名工人生产螺帽，由题意，得： 2×1200x＝2000（22﹣x）， 解得x＝10， ∴22﹣x＝12； 答：应安排10名工人生产螺栓，12名工人生产螺帽． 3． 【解答】解：∵大长方形的宽为75厘米， ∴x+2y＝75； ∵大长方形的对边相等， ∴2x＝x+3y，即x＝3y， ∴根据题意可列出方程组． 故选：B． 4． 【解答】解：∵大矩形的长为20， ∴x+2y＝20； 观察图形，可知：x＝3y， ∴根据题意可列方程组， 故选：C． 5． 【解答】解：∵大长方形的长为20， ∴x+2y＝20； ∵小长方形的长是小长方形宽的3倍， ∴3y＝x， ∴根据题意可列出方程组． 故选：C． 6． 【解答】解：设甲有羊x只，乙有羊y只． ∵甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．” ∴x+9＝2（y﹣9）； ∵乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩的羊就一样多．” ∴x﹣9＝y+9． 联立两方程组成方程组． 故选：C． 7． 【解答】解：（1）设甲种商品购进x件，乙种商品购进y件， 根据题意得：， 解得：． 答：甲种商品购进80件，乙种商品购进120件； （2）根据题意得：（50﹣a﹣30）×80+（90×0.8﹣60）×120＝2640， 解得：a＝5． 答：a的值为5． 8． 【解答】解：（1）设小明购买了x千克苹果，y千克梨， 根据题意得：， 解得：． 答：小明购买了4千克苹果，2千克梨； （2）①根据题意得：搭配销售方式水果平均单价为元/千克． 故答案为：元/千克； ②根据题意得：（8﹣2m）a+（6+m）b＝44， ∴8a+6b+（b﹣2a）m＝44， ∵无论m为何值，支付的金额始终与小明相同， ∴， 解得：． 答：搭配销售方式中苹果的重量a的值为2.2． 9． 【解答】解：（1）根据题意得：， 解得：． 答：x的值为10，y的值为20； （2）混合糖的单价为29（元/千克）， ∵35＞30＞29＞25， ∴要使混合糖的单价每千克降低2元，需加入丙种糖． 设需加入丙种糖m千克， 根据题意得：29﹣2， 解得：m＝50． 答：需加入丙种糖，加入50千克． 10． 【解答】解：设需要图1长方形纸板x张，图2长方形纸板（21﹣x）张，则有小长方形纸板2x张，小正方形纸板3（21﹣x）张； 再设可制作图3规格的纸盒m个，图4规格的纸盒n个，则需小长方形纸板（4m+3n）张，需小正方形纸板（m+2n）张， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵x为整数， ∴x＝15，16，17，18， 由①+②，得5（m+n）＝63﹣x， ∴， 由题意可得：x＝18， ∴m＝9，n＝0， ∴能做成图3规格的纸盒9个，图4规格的纸盒0个． 答：能做成图3规格的纸盒9个，图4规格的纸盒0个． 11． 【解答】解：（1）设该车间有男生x人，有女生y人， 根据题意得：， 解得：， 答：该车间有男生31人，女生54人； （2）设应该分配m名工人负责生产大齿轮，则分配（85﹣m）名工人负责生产小齿轮， 根据题意得：3×16m＝2×10（85﹣m）， 解得：m＝25， ∴85﹣m＝60， 答：应该分配25名工人负责生产大齿轮，60名工人负责生产小齿轮． 12． 【解答】解：（1）设调往甲地x人，则调往乙地（40﹣x）人， 由题意得：18+x＝4（7+40﹣x）， 解得：x＝34， ∴40﹣x＝6， 答：调往甲地34人，调往乙地6人； （2）设调往乙地m人，调往丙地n人，则调往甲地（40﹣m﹣n）人， 由题意得：， 解得：， ∴40﹣m﹣n＝40﹣8﹣15＝17， 答：应调往甲地17人，乙地8人，丙地15人． 13． 【解答】解：（1）根据素材，完成表格如下： 圆形材料 长方形材料 裁法一 4x 3x 裁法二 8y 2y 合计 4x+8y 3x+2y （2）由题意列二元一次方程组得，， 解得， 则长方形材料有3x+2y＝3×14+2×7＝42+14＝56（张）， 因为1个铝制罐头需要2张圆形材料和1张长方形材料， 所以最多可以做56个罐头； （3）由素材二可知，使用裁法二剪裁得到的圆形材料更多，长方形材料更少， 设买m张正方形铝皮，则圆形材料有8m张，长方形材料有2m张， 由题意列一元一次方程得，8m＝2（2m+40）， 整理得，4m＝80， 解得m＝20， 所以至少应该买20张正方形铝皮，才能将库存一次性用完． 故答案为：20． 14． 【解答】解：（1）①由题意可知，甲种长方形木板中的长侧面为x个，乙种长方形木板中的短侧面为2y个，合计长侧面为（12+x）个，合计短侧面为（12+2y）个， 故答案为：x，2y，12+x，12+2y； ②由题意得：， 解得：， 答：x＝6，y＝3； （2）设甲木板有x块，乙木板有y块，则丙木板有（m﹣x﹣y）块， 此时长侧面有（m﹣y）块，短侧面有（m﹣x+y）块，箱底有（x+y）块， 根据题意得：， 由①得：x＝2y， 代入②得：m＝7y． ∵m、n均为正整数，且100＜m＜120， ∴或或， ∴x+y＝45或48或51， 答：能做45个或48个或51个长方体木箱． 15． 【解答】解：①方案一获利为：4500×140＝630000（元）． ②方案二获利为：7500×（6×15）+1000×（140﹣6×15）＝675000+50000＝725000（元）． ③设x天进行粗加工，y天进行精加工， 由题意，得 解得： 所以方案三获利为：7500×6×10+4500×16×5＝810000（元）． 由于810000＞725000＞630000，所以选择方案三获利最多． 答：选择方案三获利最多． 三．例题 16． 【解答】解：（1）设4x+3y＝m，6x﹣y＝n， 则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， 所以， 解方程组，得， 故答案为：，； （2）设2x+y＝m，x﹣2y＝n， 则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， 所以， 解方程组，得； （3）方程组可化为， ∵关于x，y的二元一次方程组的解为， ∴， ∴． 四．变式练习 17． 【解答】解：将是代入， 得， 方程组转化为： 则， 解得． 故答案为：． 18． 【解答】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 19． 【解答】解：由题意得： ， 解得：， 即方程组的解为， 故答案为：． 20． 【解答】解：由表格数据可得关于x，y的方程ax+by＝p和方程mx+ny＝q的公共解为， 已知关于x，y的方程组， 整理得：， 则2，1， 解得：x＝4，y＝2， 则关于x，y的方程组的解为， 故答案为：． 21． 【解答】解：将方程组中每一个方程两边同除以5，得， 令，，则， 由题意可得：， ∴， 解得， 故答案为：． 22． 【解答】解：∵， ∴， 整理得， ∵方程组的解是， ∴， 解得． 故答案为：． 23． 【解答】解：设x+2003＝m，y﹣2003＝n， ∴方程组可转化为：， ∵关于x、y的二元一次方程组的解为， ∴， ∴， 解得：． ∴关于x、y的方程组的解为：， 故答案为：． 24． 【解答】解：∵方程组的解是， ∴方程组的解为：， 解得， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $