第二章 二元一次方程 组 重点突破专项试题2025-2026学年浙教版数学七年级下册

二元一次方程（组）重点突破专题 1、 定义题 2、 含参问题 3、 同解错解问题 4、 与谁无关问题 5、 整体法解题题型 6、 新定义题型 一、二元一次方程组定义题 1．方程是关于x，y的二元一次方程，则　 　 ． 2．若(a－2)x|a|－1＋3y＝1是关于x，y的二元一次方程，则a的值为　 　. 3．若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则的值等于　 　． 4．若是关于x，y的二元一次方程，则（　　） A． B． C． D． 二、二元一次方程（组）——含参问题 5．若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为　 　． 6． 若关于 x，y 的二元一次方程组的解 x，y的值相等，则t的值为　 　. 7． 若关于，的方程组的解满足，则的值为（　　） A． B． C． D． 8．已知是关于的方程的解，若是方程组的解，求的值． 9． m为正整数，已知二元一次方程组有整数解，且x，y均为整数，求的值. 10．若关于的方程组的解为整数，则满足条件的所有整数的和为　 　． 11．关于x，y的方程组 有无数组解，则a，b的值为（　　）. A．a=0，b=0 B．a=-2，b=1 C．a=2，b=-1 D．a=2，b=1 12．关于x，y的方程组无解，则a的值为（　　）. A．-6 B．6 C．9 D．30 13．关于，的二元一次方程组的解是正整数，则正整数　 　． 14．已知方程组 有非负整数解，则正整数m的值有　 　个. 15．已 知 关 于 x，y的 方 程 组 （1）请写出方程x+2y-6=0的所有正整数解； （2）若方程组的解满足x+y=0，求m的值； （3）无论实数m取何值，方程x-2y+mx+5=0总有一组固定的解，请求出这组解； （4）若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，求m的值. 16．已知关于x，y的方程组 （1）请直接写出方程x+2y-6=0的所有正整数解． （2）若方程组的解满足x+y=0，求m的值． （3）无论实数m取何值，方程x-2y+ mx+5=0总有一个固定的解，请直接写出这个解？ （4）若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，求m的值． 17．已知关于x与y的方程组分别求出当a为何值时，方程组： （1）有唯一一组解. （2）无解. （3）有无穷多组解. 18．已知关于，的方程组（是常数）． （1）当时，则方程组可化为． ①请直接写出方程的所有非负整数解． ②若该方程组的解也满足方程，求的值． （2）当时，如果方程组有整数解，求整数的值． 三、同解错解问题 19．小亮和小明两人在解方程组时，小亮正确解得，小明因抄错，解得，则的值为（　　） A．3 B． C．2 D． 20．两位同学在解方程组 时，甲同学正确地解出 乙同学因把c抄错了解得则a，b，c正确的值应为（　　） A．a=-3， b=-1， c=-5 B．a=1， b=-1， c=-10 C．a=2， b=-4， c=-10 D．a=3， b=1， c=-10 21．小明和小文同解一个二元一次方程组，小明把方程①抄错，求得的解为，小文把方程②抄错，求得的解为． （1）求原方程组中a，b的值； （2）求原方程组的解． 22．甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试计算的值． 23．若关于x、y的方程组和有相同的解，则的值为（　　） A．0 B． C．1 D．2021 24．已知关于的方程组和的解相同，求的值． 25．已知关于，的方程组与方程组同解，则　 　，　 　． 四、与谁无关问题 26．已知关于的方程组无论取何值，的值都是一个定值，则这个定值为　 　． 27．已知关于x，y的二元一次方程(3x－2y＋9)＋m(2x＋y－1)＝0，不论m取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解是　 　． 28．已知关于的二元一次方程，无论取何值时，此二元一次方程都有一个相同的解，则这个相同的解是　 　． 29．关于的二元一次方程，当取一个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一个相同解，则这个相同解是． 30．若关于、的二元一次方程无论实数取何值，此二元一次方程都有一组相同的解，则这个解是　 　． 五、整体法解题题型 31．若关于x，y的二元一次方程组 的解是则关于x，y的二元一次方程组 的解是　 　 32．若方程组的解是则方程组的解是(　　) A． B． C． D． 33．已知关于的二元一次方程组的解为，且，则的值为　 　． 34．若方程组的解是（其中），则方程组的解是　 　． 35．若关于x，y的方程组的解为则方程组的解为　 　. 36．已知方程组，则的值为　 　． 37．关于，二元一次方程组的解满足，则的值为　 　 ． 38．已知关于x，y的方程组的解的和是，则　 　. 39．若x，y满足方程组则x+y=　 　. 六、新定义题型 40．【阅读材料】如果三个实数、、使得关于的分式方程的解和分式方程的解互为倒数，那么我们称实数对是该组方程的一个“的伴生数对”．例如：取，，，分式方程的解为，而分式方程的解为，所以是该组方程的一个“的伴生数对”；又如：取，分式方程的解为，而分式方程的解为，所以是该组方程的一个“的伴生数对”． 【解决问题】 （1）下列实数对是关于的分式方程和分式方程的“的伴生数对”的有___________（填序号）； ①②③ （2）若实数对是关于的分式方程和分式方程的“的伴生数对”，求的值； （3）若整数对是关于的分式方程和分式方程的“的伴生数对”，且满足（为整数），求整数的值． 41．对于代数式，定义运算“※”：，例如：，若，则　 　． 42．如果某个二元一次方程组的解互为相反数，那么我们称这个方程组为“关联方程组”． （1）判断方程组，是不是“关联方程组”，并说明理由； （2）如果关于x，y的方程组，是“关联方程组”，求a的值. 43．给出定义：对于关于、的二元一次方程（其中 ），若将其的系数与常数互换，得到的新方程称为原方程的“镜像方程”．例如方程的“镜像方程”为． （1）写出的“镜像方程”　 　，以及它们组成的方程组的解为　 　； （2）若关于、的二元一次方程与其“镜像方程”组成的方程组的解为，求的值． （3）若关于、的二元一次方程的系数满足，且与它的“镜像方程”组成的方程组的解恰是关于、的二元一次方程的一个解，请直接写出代数式的值． 44．定义：将满足二元一次方程的解记为点，这些点叫做该方程的有效点． （1）已知，两点是方程的有效点，，两点是方程的有效点，则它们的公共有效点是　 　． （2）若，，三点都是二元一次方程的有效点，则，， ，的数量关系是　 　． 答案解析部分 一、二元一次方程组定义题答案 1．【答案】或 【知识点】二元一次方程的概念；求代数式的值-直接代入求值 【解析】【解答】解：方程是关于x，y的二元一次方程， ，，， 解得，， 或． 故答案为：或． 【分析】根据二元一次方程的定义，即含有两个未知数，且未知数的次数都是1的整式方程，来确定m、n的值，进而求出 . 2．【答案】-2 【知识点】二元一次方程的概念 【解析】【解答】解：∵方程 是关于x、y的二元一次方程， 且 解得：a=-2， 故答案为：-2. 【分析】根据二元一次方程的定义得出a-2≠0且 1，求出即可. 3．【答案】 【知识点】二元一次方程的概念；有理数的乘方法则 【解析】【解答】解：由题意得：， 解得， ∴， 故答案为：． 【分析】先根据二元一次方程组的定义列出方程，求出的值，再代入代数式计算求解即可． 4．【答案】D 【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；二元一次方程的概念 【解析】【解答】解：是关于，的二元一次方程， ，， 解得：． 故答案为：D． 【分析】根据二元一次方程的定义可得：未知数的次数为1，且系数不能为0，即可得出关系式：， 解方程，求出mn的值，即可得出答案。 二、二元一次方程（组）——含参问题答案 5．【答案】4 【知识点】解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程的解求参数 【解析】【解答】解：解方程组：， 将两个方程相加，得： ∴， ∴， ∵方程组的解也是二元一次方程的解， ∴， 解得， 故答案为：4． 【分析】将方程组中的两个方程直接相加，得到 ，化简后得到 。 因为方程组的解同时满足 ，所以 。解得 。 6．【答案】0.5 【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数 【解析】【解答】解：∵关于 x，y 的二元一次方程组的解 x，y的值相等， ∴①+②，得： 3x+3y=4， ∴x+y=， ∴x=y=. 把x=y=代入①得： t=0.5. 故答案为：0.5. 【分析】先由已知方程组 ，结合x，y的值相等，进而解出此方程组，求出x、y的值。再把求得的x、y的值代入方程①中求出t的值即可. 7．【答案】D 【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数 【解析】【解答】解：对于方程组， 将①+②得：， 整理得：，两边同时除以10得：。 ∵方程组的解满足，∴。 故答案为：D 【分析】本题考查二元一次方程组的解的性质及求参数值，解题时观察方程组中两个方程的系数特征，发现将两个方程左右两边分别相加后，可整理出含的代数式，再通过化简得到与的等量关系，最后结合已知条件，代入后直接求出的值 8．【答案】解：因为是关于的方程的解， 所以， 即， 所以， 因为是方程组的解， 所以， ，得， 整理得， 因为， 所以， 所以． 【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数 【解析】【分析】先将代入可得，再将代入并利用加减法可得，再将代入可得，最后求出k的值即可. 9．【答案】解：由加减消元法得(m+3)x=10， 故 将代入3x-2y=0得 要使为整数，且m为正整数， ∴m=2或m=7. 要使为整数，且m为正整数， ∴m=2或m=12. 综上所述， 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【解析】【分析】联立方程消元，得到x和y的表达式，进而分析分母的取值条件，找到符合条件的m值，最后求其平方解答即可. 10．【答案】6 【知识点】解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数 【解析】【解答】解：解方程得，， ∵方程组的解为整数，为整数， ∴或，，，，， ∴或或或或或， ∴或或或或或， ∴或， ∴满足条件的所有整数的和为， 故答案为：． 【分析】本题考查含参数的二元一次方程组的求解及整数解的分析，解题关键是先消元求出方程组的解，再根据解为整数分析参数的取值。解题时用消元法将方程组相减消去，求出，再代入求出的表达式，根据、均为整数，确定的取值为、、，进而筛选出使为整数的的值，最后求和。 11．【答案】B 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【解析】【解答】解：关于x，y的方程组有无数组解， ∴a=-2，b=1. 故答案为：B. 【分析】根据方程组有无数组解，得到各系数对应相等，求出a与b的值即可. 12．【答案】A 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【解析】【解答】解：由2x-y=1得y=2x-1， 将y=2x-1代入ax+3y=9，得ax+3(2x-1)=9，整理，得(a+6)x=12. 因为方程组 无解， 所以(a+6)x=12无解，故a+6=0，即a=-6. 故答案为：A. 【分析】运用代入消元法求出(a+6)x=12，根据题意得到然后a+6=0，求出a的值解答即可. 13．【答案】2 【知识点】解二元一次方程组 14．【答案】2 【知识点】解二元一次方程组 【解析】【解答】解：解方程组 得 ∵方程组的解是非负整数 ∴ 即 由①得m=1，3，7 由②得m=1，3 ∴正整数m的值有2个 故填：2 【分析】首先解含参方程组，得到x，y的表达式，再根据x，y是非负整数找出正整数m的所有可能取值即可。 15．【答案】（1）解：由x+2y-6=0，得x=6-2y， 当y=1时，x=4； 当y=2时，x=2. ∴方程 x+2y-6 =0 的所有正整数解为 （2）解：由题意，得 解得 把 代入x-2y+ mx+5=0， 解得 （3）解：由x-2y+ mx+5=0，得(1+m)x-2y=-5， 当x=0时，y=2.5， 即固定的解为 （4）解： ①+②，得2x-6+ mx+5=0， 整理，得 ∵x恰为整数，m也为整数， ∴2+m=1或2+m=-1， 解得m=-1或m=-3 【知识点】解二元一次方程；解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数 【解析】【分析】⑴对于二元一次方程的正整数解，只有同时满足x，y都是正整数即可. ⑵求参数的值时，关键是要通过条件列出关于参数的方程或者方程组，进而求解. ⑶ 方程x-2y+mx+5=0的固定的解，即方程的解与参数m无关，据此得出这组解. ⑷求参数的值时，关键是要通过条件列出关于参数的方程或者方程组，进而求解. 16．【答案】（1）正整数解为 （2）解：若方程组的解满足x+y=0 ， ∴ 解得 把代入x-2y+mx+5=0，可得：m=. （3）固定的解为 （4）解：①+②，得： 2x+mx-1=0， （2+m）x=1， x=， ∵方程组的解中x恰为整数，m也为整数 ， ∴当m=-1时，x=1；m=-3时，x=-1. ∴若方程组的解中x恰为整数，m也为整数时，m=-1或-3. 【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数 【解析】【解答】解：（1）∵x+2y-6=0， ∴x=6-2y， ∴当y=1时，x=4；y=2时，x=2； ∴方程x+2y-6=0的所有正整数解为，. （3）方程x-2y+ mx+5=0 可变形为：（1+m）x-2y=-5， ∵无论实数m取何值，方程x-2y+ mx+5=0总有一个固定的解， ∴当x=0，y=2.5时，方程x-2y+ mx+5=0总有一个固定的解为：. 【分析】（1）由x+2y-6=0，可得x=6-2y，因为求的是方程x+2y-6=0的正整数解，所以当y=1时，x=4；y=2时，x=2；所以可知方程x+2y-6=0的所有正整数解为，. （2）若方程组的解满足x+y=0 ，可以重组方程组得解得然后把代入方程 x-2y+mx+5=0，解得：m=即可. （3）方程x-2y+ mx+5=0 可变形为：（1+m）x-2y=-5，要使无论实数m取何值，方程x-2y+ mx+5=0总有一个固定的解，只有当x=0，y=2.5时，方程x-2y+ mx+5=0总有一个固定的解，所以该固定的解为：. （4）若方程组的解中x恰为整数，m也为整数 ，必须通过方程组消去y，找到关于x、m的关系式，所以通过①+②，得到2x+mx-1=0，（2+m）x=1，所以x=，因为方程组的解中x恰为整数，m也为整数 ，可知2+m必须是1的约数，所以当m=-1时，x=1；m=-3时，x=-1.所以若方程组的解中x恰为整数，m也为整数时，m=-1或-3. 17．【答案】（1）由原方程组得2(a-2)(a+1)y=a-2. 当(a-2)(a+1)≠0，即a≠2且a≠-1时方程有唯一解，原方程组也有唯一解. （2）由原方程组得2(a-2)(a+1)y=a-2. 当(a-2)(a+1)=0且a-2≠0时，方程无解.因此当a=-1时，原方程组无解. （3）由原方程组得2(a-2)(a+1)y=a-2. 当(a-2)(a+1)=a-2=0，即a=2时，原方程组有无穷多组解. 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【解析】【分析】利用加减消元求出2(a-2)(a+1)y=a-2，根据方程组有唯一解得到(a-2)(a+1)≠0，求出a的取值范围即可； （2）根据无解的条件得到(a-2)(a+1)=0且a-2≠0，求出a的值即可； （3）根据无穷解的条件(a-2)(a+1)=a-2=0得到a的值解答. 18．【答案】（1）解：①方程x+2y=3的非负整数解为：，； ②∵根据题意可得， 解得， 将代入中， 得1-2×1+m=-5 解得； （2）解：当时，原方程组可化为， 由，可得， 整理可得， ∵方程组有整数解，且为整数， ∴或， 当时，解得，此时方程组的解为； 当时，解得，此时方程组的解为（舍去）； 当时，解得，此时方程组的解为； 当时，解得，此时方程组的解为（舍去）． 综上所述，整数的值为或0． 【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程；解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组 【解析】【解答】（1）解：①∵x+2y=3， ∴x=3-2y， ∵x、y都为非负整数， ∴方程的所有非负整数解为 ，； 【分析】（1）①首先将方程变形为x=3-2y，然后根据，为非负数即可求得方程的所有非负整数解； ②先解方程组，然后将，的值，然后根据方程解的定义将x与y的值代入方程可得关于字母m的方程，求解即可得出m的值； （2）将n=3代入原方程组，利用加减消元法得到，由方程组有整数解，且为整数可得5+2m=±1与5+2m=±5，然后分四种情况分别求出m的值及方程组的解，最后根据方程组的解为整数判断得出符合题意的m的值. （1）解：①∵，为非负整数， ∴方程的所有非负整数解为 ，； ②∵根据题意可得， 解得， 将代入中， 解得； （2）当时，原方程组可化为， 由，可得， 整理可得， ∵方程组由整数解，且为整数， ∴或， 当时，解得，此时方程组的解为； 当时，解得，此时方程组的解为（舍去）； 当时，解得，此时方程组的解为； 当时，解得，此时方程组的解为（舍去）． 综上所述，整数的值为或0． 三、同解错解问题答案 19．【答案】D 【知识点】二元一次方程组的解；三元一次方程组的应用 20．【答案】C 【知识点】二元一次方程（组）的错解复原问题；已知二元一次方程组的解求参数 【解析】【解答】解：将代入， 得， ∴a+b=-2，c=-10， 将代入， 得-3a-2b=2， 联立， 解得 故答案为：C. 【分析】根据题意，将方程的解代入方程得关于a、b、c的方程，求解方程得 a，b，c的值. 21．【答案】（1） （2）原方程组的解为 【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组；二元一次方程（组）的错解复原问题 22．【答案】解：把代入②，得， 解得； 把代入①，得， 解得； 所以． 【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；二元一次方程（组）的错解复原问题 【解析】【分析】先利用原方程组正确的解联立关于a和b的二元一次方程组，解方程组分别求出a与b的值再代入指定代数式中计算即可． 23．【答案】B 【知识点】二元一次方程（组）的同解问题 【解析】【解答】解：由题可列方程组， 解得， 把代入得， ①+②得， ， ． 故选：B． 【分析】根据题意组成新的方程组 求出x、y的值，再代入另一个方程得到关于a、b的方程组，直接相加得出4a+4b=-4，化简得a+b=-1，再代入代数式计算即可. 24．【答案】 【知识点】二元一次方程组的解；二元一次方程（组）的同解问题 25．【答案】1；8 【知识点】二元一次方程（组）的同解问题 四、与谁无关问题 26．【答案】 【知识点】解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组 27．【答案】 【知识点】二元一次方程的解；加减消元法解二元一次方程组 【解析】【解答】解： (3x－2y＋9)＋m(2x＋y－1)＝0， ∵不论m取何值，方程总有一个固定不变的解， ∴， 解得 . 故答案为： . 【分析】不论m取何值，方程总有一个固定不变的解，只有3x－2y＋9=0且2x＋y－1=0这种情况，再联立求解，即可解答. 28．【答案】 【知识点】二元一次方程的解；加减消元法解二元一次方程组 29．【答案】 【知识点】二元一次方程的解；加减消元法解二元一次方程组 30．【答案】 【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组 五、整体法解题题型答案 31．【答案】 【知识点】二元一次方程组的解 【解析】【解答】解：设x+1=X，y-2=Y，则可化为， 因为关于x，y的二元一次方程组 的解是 ， 所以X=2，Y=3， 所以x+1=2，y-2=3，解得x=1，y=5. 故答案为：. 【分析】设x+1=X，y-2=Y，将待求方程组，转化为求解. 32．【答案】B 【知识点】二元一次方程（组）的同解问题 【解析】【解答】解：方程组 可变形为 ∵关于x，y的方程组 的解是 ∴关于(3x-1)，2y 的方程组 的解是 解 得 ∴方 程 组 的解是 故选 C. 【分析】整理原方程，根据换元法得到求出x和y的值解答即可. 33．【答案】 【知识点】解二元一次方程组；求代数式的值-整体代入求值 34．【答案】 【知识点】二元一次方程的解；加减消元法解二元一次方程组 35．【答案】​​​​​​​ 【知识点】解二元一次方程组 【解析】【解答】解：方程组可化为 方程组的解为 方程组 故答案为：. 【分析】原方程化为，即可得到以，为根的方程的解为然后解方程求出x和y的值解答即可. 36．【答案】19 【知识点】加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-整体代入求值 37．【答案】 【知识点】解二元一次方程组 38．【答案】2 【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组 【解析】【解答】解：， 由得：， 解得：， 关于，的方程组的解的和是， ， 解得：， 故答案为：． 【分析】先解二元一次方程组得出，再根据解的和得出，进而计算求出即可. 39．【答案】7 【知识点】加减消元法解二元一次方程组 【解析】【解答】解： ①+②可得：3x+3y=21 ∴x+y=7 故答案为：7 【分析】两方程相加化简即可求出答案. 六、新定义题型 40．【答案】（1）① （2）或 （3）或 【知识点】因式分解的应用；解二元一次方程组；分式方程的解及检验；实数的混合运算（含开方） 41．【答案】 【知识点】分式的加减法；代入消元法解二元一次方程组 42．【答案】（1）解：方程组是“关联方程组”． 理由如下： (①－②)÷2，得x＋y＝0， 所以方程组是“关联方程组”． （2）解： (①＋②)÷2，得x＋y＝2＋a. 因为关于x，y的方程组是“关联方程组”，所以x＋y＝0. 所以2＋a＝0，解得a＝－2. 【知识点】加减消元法解二元一次方程组 【解析】【分析】(1)方程组 是“关联方程组”，利用①-②)÷2， 可得出x+y=0，进而可得出方程组 是“关联方程组”； (2)利用(①+②)÷2，可得出x+y=2+a，结合关于x，y的方程组 是“关联方程组”，可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值. 43．【答案】（1）； （2）解：由题意可知，的镜像方程为， 联立方程组得 方程组的解为， 解得 ． （3）解：， ． 与其镜像方程所组成的方程组为， 解得：， 将代入方程中，得． ． 【知识点】加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-直接代入求值；求代数式的值-整体代入求值 【解析】【解答】解：（1）的“镜像方程”为； 它们组成的方程组为， 解得：； 故答案为：；； 【分析】(1)根据“镜像方程”的定义写出关于x，y的二元一次方程3x-2y=-1的“镜像方程”，二者组成方程组并求解即可； (2)写出关于x，y的二元一次方程7x+my=9与它的“镜像方程”组成的方程组并将代入，得到关于m和n的二元一次方程组并求解即可； (3)写出关于x，y的二元一次方程ax+by=c与它的“镜像方程”组成的方程组并求解，将其解代入 mx-ny=p，得到m、n、p的数量关系并代入m(n-m)+p(p-n)+52计算即可. 44．【答案】； 【知识点】二元一次方程的解；加减消元法解二元一次方程组 学科网（北京）股份有限公司 $