第三章 圆锥曲线的方程单元试卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本单元卷聚焦圆锥曲线方程，涵盖椭圆、双曲线、抛物线核心知识，通过基础巩固到综合应用的梯度题型，适配单元复习，培养数学抽象、逻辑推理与运算能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|椭圆与双曲线焦点、渐近线、离心率|结合定义求周长（如第4题），考查几何直观| |多选题|3题|渐近线与圆位置关系、椭圆与抛物线综合|多选项辨析（如第9题），培养批判性思维| |填空题|3题|椭圆定义、抛物线顶点、直线与抛物线|轨迹方程应用（如第12题），体现模型观念| |解答题|5题|双曲线方程、抛物线性质、椭圆综合证明|分层设计（如第19题），提升逻辑推理与运算能力|

高中数学人教A版选择性必修一第三章圆锥曲线的方程 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D B C D A C ABD AC 题号 11 答案 ABC 1．C 【详解】由题可知，所以. 2．D 【分析】利用双曲线的渐近线为，可得，则，再利用离心率即可求解. 【详解】双曲线的渐近线为. 因为一条渐近线倾斜角为，所以，即. 所以双曲线的离心率. 3．D 【详解】的渐近线方程为， 故，平方得，故. 4．B 【分析】根据切线性质可得切线方程为，与椭圆方程联立可得韦达定理，利用弦长公式求，利用焦半径公式求，，即可得结果. 【详解】因为，所以点在上， 又因为，所以过点作⊙O 的切线斜率为， 所以切线方程为，即， 设，， 联立，消去整理得， 则， 所以； 由椭圆，可得，所以，所以， 所以右焦点， 则， 同理得， 所以， 所以. 5．C 【分析】联立直线方程与椭圆方程，求出点坐标，根据两点间距离公式求解即可. 【详解】椭圆，化为标准形式为：，左焦点. 联立，整理得，解得或. 因为点在轴的上方，所以. 故. 6．D 【分析】作出另一个焦点，利用椭圆的定义结合余弦定理求出基本量的关系，可得椭圆的离心率. 【详解】如图， 设椭圆的左焦点为，根据椭圆的对称性可得：四边形为平行四边形， 所以，， 所以，所以. 又，所以. 在中，由余弦定理得：， 即. 所以椭圆的离心率为. 7．A 【分析】设,利用余弦定理表示出，利用抛物线定义结合梯形中位线性质表示出，从而可得的表达式，进而利用基本不等式化简，可求得答案. 【详解】由抛物线可得准线方程为，焦点， 设，因为点，在抛物线上，且满足 由余弦定理可得, 由抛物线定义可得到准线的距离等于 ，到准线的距离等于， 设为的中点，由梯形的中位线定理可得到准线的距离为， 则弦的中点到轴的距离， 故， 又， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为1. 8．C 【分析】利用圆周角定理和等腰三角形的性质得到平行关系，再借助中位线性质确定有关线段长度；结合双曲线的定义求出焦半径，最后利用余弦定理求离心率． 【详解】因为在以为直径的圆上，所以． 又三点共线，故． 由，知为等腰三角形． 取的中点，则，从而． 在中，为的中点，所以为的中点，故 设，则，． 点在双曲线左支上，所以 点在双曲线右支上，且，所以即，解得． 因此 故为等边三角形，． 又，． 在中，由余弦定理，得 所以，故双曲线的离心率为 9．ABD 【分析】对A，根据双曲线方程，即可求解；对B，利用直线与圆的位置关系的判断方法，即可求解；对C，利用渐近线方程，结合且，即可求解；对D，结合图形，分种情况讨论，即可求解. 【详解】对于A，双曲线的渐近线为，所以A正确， 对于B，因为圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为，则渐近线与圆相交，所以B正确， 对于C，且，所以圆上只有两个点到的一条渐近线的距离为1，故C错误， 对于D，因为双曲线的渐近线为，圆的圆心，半径为，由B知渐近线与圆相交，如图所示， 与和圆各恰有一个公共点的直线有种情况， ①直线平行于轴，与圆相切，与双曲线的一支相交，易知此时直线为或， ②直线与圆和双曲线的一支都相切， 设直线，则，整理得， 由，消得到， 则，且，由得到，代入， 解得，，此时直线为或，经检验满足题意， ③直线平行于渐近线，与圆相切，与双曲线的一支相交， 设直线：，由，解得或（舍，此时与双曲线的下支相切）， 此时符合条件的直线为，， ④直线与圆相切，与双曲线的两支都相交，此时与单支只有一个交点，这样的直线有无数条，综上可知D正确． 10．AC 【分析】根据图形的周长得，由离心率计算得，进而判断A，再由计算，得抛物线的方程，即可得抛物线的准线方程，即可判断B，由椭圆的方程与抛物线的方程联立解出点的坐标，即可判断CD. 【详解】由题意得：图形的周长为，所以， 又，所以，所以，故A正确； 由，所以，所以抛物线， 所以抛物线的准线方程为：，故B错误； 所以椭圆， 由，化简得，解得或（舍去）， 当时，，解得， 所以，所以，故C正确， 图形的面积为，故D错误. 11．ABC 【分析】求出焦点坐标判断A；利用抛物线定义，结合两点间线段最短求解判断B；利用抛物线定义求出倾斜角判断C；联立直线与抛物线方程，利用韦达定理及抛物线定义求出弦长关系判断D. 【详解】对于A，由直线与轴的交点为，得焦点，准线方程为， 因此抛物线的焦点到准线的距离，A正确； 对于B，由点，，过点作准线的垂线，垂足为， 则周长为， 当且仅当共线时取等号，B正确； 对于C，设直线与抛物线的准线交于点，过点作准线的垂线，垂足为， 设，则，由，即， 得，则，因此直线的倾斜角为，斜率，C正确； 对于D，由消去得，设， 显然，，，，D错误. 12． 【分析】根据椭圆的标准方程，椭圆的定义，及正弦定理即可求解． 【详解】由椭圆的标准方程， 则点和为椭圆的焦点坐标， 又点B在椭圆上， 则由椭圆的定义可得， 所以由正弦定理可得． 13． 【分析】由垂直关系求得抛物线对称轴所在直线方程，再求得对称轴与准线的交点，进而可求解. 【详解】准线的斜率为， 因此过焦点且垂直于准线的对称轴斜率为​， 可得方程是，整理得， 联立，解得，即垂足为， 顶点即为焦点和垂足的中点， 由中点坐标公式得： ，​， 因此顶点坐标为. 14． 【分析】设直线与抛物线联立，结合的向量点积为0的条件，可推导出直线恒过定点，原点到直线的距离最大值即为原点到定点的线段长度. 【详解】设，，由得， 即 ， 因不与重合，约去非零因子，得. 设直线，代入得， 由韦达定理，，代入上式得， 因此直线，恒过定点. 原点到直线的距离满足：过定点的直线中，原点到直线的距离不超过原点到的线段长， 即，当且仅当时取等号. 故原点到直线的距离的最大值为. 15．(1) (2) 如图所示： 设点的坐标为，则，即． 双曲线的两条渐近线，的方程分别为，， 则点到两条渐近线的距离分别为，， 则． 所以点到双曲线的两条渐近线的距离之积为定值． 【分析】（1）由渐近线倾斜角得到，再把点代入，建立方程求解； （2）设出点M的坐标为，，利用点到直线距离公式得到点M到双曲线C的两条渐近线的距离之积为定值. 【详解】（1）由双曲线的一条渐近线的倾斜角为，有，可得， 又由点在双曲线上，有， 代入，有，可得，， 故双曲线的标准方程为. （2）略 16．(1) (2)， 【分析】（1）根据抛物线的定义列式计算即可求解； （2）设，直线与抛物线联立方程组，由韦达定理结合中点坐标公式及弦长公式计算即可求解. 【详解】（1）由抛物线的定义可知，所以， 即抛物线的方程为； （2）设， 直线与抛物线联立方程组可得， 则，， 所以，， 所以，中点坐标为，. 17． 【详解】设，由题意有， 化简得：，即，， 故所求动点的轨迹方程为. 18． 【详解】由题意得，即，化简得. 19．(1)； (2)由题意得直线的斜率存在，， 所以设直线方程为，令得，则， 将直线方程代入椭圆方程得：， 因为在椭圆内部，则直线与椭圆必有两个交点， 设 则， 由， 即， ， . 【分析】（1）根据相切得到，再分析得，联立即可得到方程； （2）设直线方程为，将其与椭圆方程联立得到韦达定理式，再求出，再通分代入韦达定理式即可. 【详解】（1）由题意：以椭圆的右焦点为圆心， 以为半径的圆的方程为， 所以圆心到直线的距离①， 因为椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，所以，联立①得，， 故所求椭圆方程为. （2）略. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版选择性必修一第三章圆锥曲线的方程 一、单选题 1．已知椭圆和双曲线的焦点相同，则（    ） A． B． C．3 D．5 2．双曲线的一条渐近线倾斜角为，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 3．若双曲线的一条渐近线方程为，则（    ）. A． B． C． D． 4．已知，点F为椭圆的右焦点. 过点作的切线与椭圆Γ交于A、B两点，则的周长为（ ） A． B． C． D．5 5．已知直线与椭圆交于，B两点，且点在轴的上方，设为该椭圆的左焦点，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．已知椭圆（）的右焦点为，过原点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且满足，设弦的中点到轴的距离为，则的最小值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知双曲线的左、右两个焦点分别为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线C在第二象限交于点， 直线与双曲线C右支交于点，，则双曲线C的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 二、多选题 9．已知双曲线的一支，圆，则（    ） A．的渐近线方程为 B．的渐近线与圆相交 C．圆上恰有三个点到的一条渐近线的距离为 D．与和圆各恰有一个公共点的直线不止条 10．已知，分别是离心率为的椭圆的左、右焦点，抛物线与M交于A，B两点，顺次连接所得封闭图形的周长为，则（    ） A． B．C的准线方程为 C． D．图形的面积为 11．抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，点在第一象限，则（     ） A．抛物线的焦点到准线的距离为4 B．若点的坐标为，则周长的最小值为9 C．当时， D．当变化时，的最小值为8 三、填空题 12．在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点B在椭圆上，则_______． 13．已知抛物线的焦点坐标为，准线方程为，则其顶点坐标为_______． 14．已知点在抛物线上，直线与抛物线交于点，，且，则原点到直线的距离的最大值是______． 四、解答题 15．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上．点为双曲线右支上除右顶点外的任意点． (1)求双曲线的标准方程； (2)证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值. 16．已知抛物线的焦点为，为抛物线上的点，且． (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线相交于，两点，求，中点坐标及弦长． 17． 已知点，，动点满足直线和的斜率乘积为.求动点的轨迹方程. 18． 动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，设动点的轨迹为曲线.求的方程. 19．已知椭圆C：的两焦点与短轴的一个端点连接构成等腰直角三角形，直线与以椭圆C的右焦点为圆心，以为半径的圆相切. (1)求椭圆C的方程； (2)若过椭圆C右焦点F作直线L交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，且，.求证：为定值. 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $