第三章圆锥曲线的方程单元测试卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本单元卷聚焦高中数学选择性必修一第三章圆锥曲线的方程，通过单选、多选、填空、解答题全面覆盖椭圆、双曲线、抛物线核心知识，注重基础巩固与能力提升，适配单元复习，培养抽象能力、推理能力及模型意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|轨迹判断、离心率、标准方程|基础题夯实概念，如第1题轨迹判断考查抽象能力| |多选题|3|抛物线定义、椭圆性质|综合考查逻辑推理，如第9题结合抛物线定义与几何性质| |填空题|3|抛物线与圆综合、离心率计算|小综合题提升应用，如第12题抛物线与圆交点问题| |解答题|5|椭圆基本量、抛物线焦点弦、直线位置关系|分层设计，如15题基础认知与19题推理证明结合，体现数学思维|

高中数学人教A版选择性必修一第三章圆锥曲线的方程 一、单选题 1．已知，，动点满足，则点的轨迹是（     ） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．射线 2．设为坐标原点，点在抛物线上，若点到的准线的距离为3，则（    ） A． B． C． D． 3．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，且，那么抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 4．离心率为，焦点在轴且长轴长为 6 的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 5．比较下列四个椭圆的形状，其中更接近于圆的是（    ） A． B． C． D． 6．已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知双曲线的两个焦点分别为，点在上，则的离心率为（   ） A． B．3 C．2 D． 二、多选题 9．已知是抛物线的焦点，M是C上的点，为坐标原点，为抛物线的准线，过点M作于，则（    ） A． B． C．不可能为等边三角形 D．线段FQ的垂直平分线经过点M 10．若椭圆Γ上的动点到Γ的两个焦点的距离之和为10，且Γ上的动点到Γ的焦点的距离的最小值为2，则Γ的标准方程可能是（    ） A． B． C． D． 11．已知双曲线：，则（     ） A．双曲线的实轴长为 B．双曲线的虚轴长为 C．双曲线的离心率为 D．双曲线的渐近线的斜率为 三、填空题 12．已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则_______. 13．椭圆的离心率为________． 14．抛物线的焦点为直线与坐标轴的交点．其标准方程为_______. 四、解答题 15．已知分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，连接和. (1)写出椭圆的长轴长，短轴长，焦距和的坐标； (2)求△的周长. 16．已知抛物线：． (1)求抛物线的焦点F的坐标和准线的方程； (2)过焦点F且斜率为的直线与抛物线交于两个不同的点A、B，求线段AB的长． 17．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上． (1)求抛物线的方程； (2)过点作直线交抛物线于P，Q两点，若，求直线的方程． 18．已知椭圆的两个焦点分别是，，并且其离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆有两个公共点，求实数的取值范围. 19．设抛物线：的焦点为，直线：与抛物线相交于两点，点为线段的中点． (1)求的取值范围； (2)求证：点的纵坐标为定值． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版选择性必修一第三章圆锥曲线的方程 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B B D C A D ABD BD 题号 11 答案 ABD 1．A 【分析】根据圆锥曲线的定义判断即可. 【详解】由题意可知， 因为， 所以点的轨迹是双曲线的一支. 2．A 【分析】应用抛物线定义得出，进而得出抛物线方程得出点，再根据两点间距离公式计算. 【详解】由于，则， 于是，则，于是. 3．B 【分析】利用抛物线交点弦长公式和，，求出，进一步得出抛物线方程. 【详解】因为直线过焦点， 所以， 所以，所以抛物线方程为． 4．B 【详解】设为长半轴长，为短半轴长，为半焦距，因为离心率为，可得， 因为长轴长为 6，可得，所以，，所以，， 因为焦点在轴，所以椭圆的标准方程为. 5．D 【分析】计算出各选项中椭圆的离心率后，比较离心率大小，借助离心率越小椭圆越接近于圆判断即可得. 【详解】椭圆离心率； 对于椭圆 ，其离心率， 对于椭圆 ，则离心率， 对于椭圆 ，离心率， 对于椭圆 ，离心率， 因为，所以， 离心率越小椭圆越接近于圆，因为选项D的椭圆离心率最小，所以更接近于圆. 6．C 【详解】若方程表示椭圆，则，解得且， 所以“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件. 7．A 【详解】双曲线的渐近线方程为， 而双曲线的一条渐近线方程为，则， 所以双曲线的离心率为. 8．D 【分析】根据两点之间距离公式分别求得，由双曲线定义得出，由离心率公式即可求解． 【详解】由题意，设， 则，，， 所以，则离心率． 9．ABD 【分析】由抛物线的定义与性质依次验证选项即可，对于C，只需要考虑是否存在内角为的情况即可. 【详解】因为是抛物线的焦点，所以，解得，A正确； 设，因为点在抛物线上，故， 所以，B正确； 当与轴的正半轴夹角为时，此时，又， 故为等边三角形，C错误； 由抛物线性质，可知，故点在的垂直平分线上，D正确． 10．BD 【详解】椭圆Γ上的动点到Γ的两个焦点的距离之和为10，则，， 且Γ上的动点到Γ的焦点的距离的最小值为2，则， 即，解得， ，故选项BD正确. 11．ABD 【详解】由双曲线，得， 即， 所以双曲线的实轴长为，虚轴长为，离心率， 渐近线的斜率为，故A正确，B正确，C错误，D正确． 12． 【分析】利用抛物线与圆的对称性，得出即可求解. 【详解】设，（）， 由，得，所以. 因为在圆上，所以，得， 13． 【分析】将椭圆方程化为标准方程，即可得，利用，即可计算离心率. 【详解】将椭圆方程化为标准方程，所以，即. 所以，. 所以离心率. 14．或 【分析】利用直线与坐标轴交点求出抛物线的焦点，再利用焦点求出抛物线方程. 【详解】对于直线方程， 令，得；令，得， 所以抛物线的焦点为或． 当焦点为时，，所以， 此时抛物线的标准方程为； 当焦点为时，，所以， 此时抛物线的标准方程为. 故所求抛物线的标准方程为或. 15．(1)长轴长为，短轴长为，焦距为，坐标为 (2) 【详解】（1）因为椭圆方程为，所以，，所以， 所以，，，所以长轴长为，短轴长为，焦距为， 坐标为； （2）因为，两点在椭圆上，所以 ， ， 所以的周长为 . 16．(1) ，准线的方程为； (2) 【分析】（1）对照抛物线标准形式求出，直接推导焦点坐标和准线方程； （2）先写出过焦点的直线方程，与抛物线联立后用韦达定理结合抛物线定义求解弦长. 【详解】（1）由可得，即. 则抛物线的焦点坐标为，准线的方程为. （2）设点，，由题意，设直线的方程为. 联立直线与抛物线方程 消去，整理得， 则， 又因，， 故弦长. 17．(1) (2) 或 【分析】（1）将点A坐标代入抛物线方程求解p即可得抛物线方程； （2）设直线方程联立抛物线，结合韦达定理和抛物线焦点弦长公式求斜率. 【详解】（1）已知点在抛物线上， 代入方程得，解得，因此抛物线的方程为. （2）由（1）得抛物线焦点. ①当直线斜率不存在时，则，代入得，此时，不合题意； ②当直线斜率存在时，设直线方程为，， 联立方程得，整理得，恒成立， 由韦达定理得. 则，因此， 所以，解得，即，因此直线的方程为或. 18．(1) (2) 【分析】（1）利用椭圆的焦点与离心率求出，即得椭圆方程； （2）将直线方程与椭圆方程联立消元后，根据判别式为正，解不等式即得的取值范围. 【详解】（1）依题意可得，，可得， 则， 故椭圆的标准方程为. （2）联立，消元整理得 由，解得或. 即实数的取值范围为. 19．(1). (2)证明：设，则, 则点Q的纵坐标为. ∴点Q的纵坐标为定值2. 【分析】(1)利用直线与抛物线联立得到一元二次方程，然后利用判别式大于0求参数范围即可； (2)使用韦达定理得到纵坐标两根之和与的关系，然后得到定值 【详解】（1）直线l：与抛物线：联立得， ∴， 解得. （2）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $