14.2.5.1直角三角形全等的判定（课件）2026-2027学年沪科版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“直角三角形全等的判定（HL定理）”，通过舞台背景直角三角形问题导入，引导学生思考直角边被遮挡时的判定方法，衔接普通三角形全等判定，构建从现实情境到操作探究、几何语言表述及应用练习的学习支架。 其亮点在于以情景导入培养数学眼光，通过作图叠合操作发展几何直观，规范证明书写与判定思路表强化推理能力，帮助学生区分HL与普通判定的差异。教师可借助系统资源提升教学效率，学生能在探究中深化对核心定理的理解与应用。

授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 沪科版（2024）数学八年级上册教学课件 第14章 全等三角形 14.2.5.1直角三角形全等的判定 2026年8月6日 沪科版八年级上册14.2.5.1直角三角形全等的判定同步练习题 本节专门学习直角三角形专属全等判定方法HL，是直角三角形独有的简便判定定理。HL定理内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。该定理仅适用于直角三角形，无需两角、另一条直角边条件，规避了普通三角形“SSA不能判定全等”的误区。直角三角形既可以用普通判定方法SSS、SAS、ASA、AAS，也可以用专属HL判定。本节重点掌握HL定理适用条件、规范书写格式，能根据题型灵活选择判定方法，是几何直角模型证明的核心考点。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 直角三角形专属全等判定定理是（ ） A. SSS B. SAS C. HL D. AAS 2. 能利用HL判定两个Rt△全等的条件是（ ） A. 两条直角边对应相等 B. 斜边和一条直角边对应相等 C. 一锐角和一条直角边相等 D. 两个锐角对应相等 3. 下列说法正确的是（ ） A. HL定理适用于所有三角形 B. SSA可判定直角三角形全等 C. HL本质是直角三角形专属SSA特例 D. 锐角相等的直角三角形全等 4. 在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AB=DE，AC=DF，判定依据为（ ） A. HL B. SAS C. ASA D. SSS 5. 不能判定两个直角三角形全等的是（ ） A. 一锐角和斜边相等 B. 斜边和一直角边相等 C. 三个角对应相等 D. 两条直角边相等 二、填空题（每题4分，共20分） 1. HL判定定理：________和一条________对应相等的两个直角三角形全等。 2. HL定理只能用于________三角形，不能用于普通三角形。 3. 直角三角形全等可使用普通判定方法和________专属方法。 4. 在Rt△ABC中，斜边AB固定，一条直角边AC固定，则三角形________确定。 5. 两直角三角形仅锐角相等，只能判定相似，不能判定________。 三、解答题（共60分） 1.（18分）基础定理巩固。（1）准确叙述HL全等判定定理；（2）说明HL为何不适用于普通三角形；（3）写出HL证明的标准书写格式。 2.（20分）基础HL证明题型。已知：AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别为C、D，AC=BD。求证：Rt△ABC≌Rt△BAD。（1）找出全等条件；（2）完成完整规范证明。 3.（22分）综合应用证明。已知：CD⊥AB，BE⊥AC，垂足为D、E，AB=AC，AD=AE。（1）判定Rt△ABE与Rt△ACD的全等依据；（2）完整证明两三角形全等；（3）推出一组对应边相等结论。 参考答案及解析 一、选择题 1. C 解析：HL是直角三角形独有的全等判定定理，其余为通用判定方法。 2. B 解析：HL定理核心条件为斜边、一条直角边对应相等。 3. C 解析：普通三角形SSA不能判定全等，直角三角形中斜边+直角边的SSA特例可判定全等，即HL定理。 4. A 解析：直角对应相等，AB、DE为斜边，AC、DF为直角边，满足HL判定条件。 5. C 解析：三角相等仅能确定形状相同，大小不一定相等，无法判定全等。 二、填空题 1. 斜边；直角边 2. 直角 3. HL 4. 形状大小 5. 全等 三、解答题 1. 解析：（1）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；（2）普通三角形SSA条件无法固定三角形形状，存在两种画法，故不能判定全等，仅直角三角形可适用HL；（3）书写时必须先标注直角三角形，列出斜边、直角边两组相等条件，最后标注判定依据HL。 2. 解析：证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠C=∠D=90°，△ABC、△BAD均为直角三角形。在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB=BA（公共斜边），AC=BD（已知），∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）。 3. 解析：（1）判定依据为HL；（2）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠AEB=∠ADC=90°，两三角形为直角三角形。在Rt△ABE和Rt△ACD中，AB=AC（已知），AE=AD（已知），∴Rt△ABE≌Rt△ACD（HL）；（3）由全等可得BE=CD。 知识点总结：本节核心掌握直角三角形专属HL判定定理，牢记适用前提为直角三角形，条件为斜边加一条直角边相等。区分普通三角形SSA不可用、直角三角形HL可用的特殊规律，做题优先观察是否为直角模型，灵活选用五种判定方法。HL是直角三角形证明最简方法，书写需标注直角三角形，步骤规范、依据准确，是几何直角模型计算与证明的必考核心知识点。 如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但两个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量. 你能帮他想个办法吗？ 能 情景导入 情境引入 方法一：先用直尺量出斜边的长度，再用量角器量出其中一个锐角的大小，若它们对应相等，根据“AAS”可证明两个直角三角形全等. 方法二：先用直尺量出未被遮住的直角边长度，再用量角器量出其中一个锐角的大小，若它们对应相等，根据“ASA”或“AAS”，可以证明这两个直角三角形全等. ASA AAS AAS 探究新知 3 已知：如图，Rt△ABC，其中∠C为直角. 求作：Rt△A′B′C′，使∠C′为直角，A′C′= AC，A′B′= AB. 作法： (1)画∠MC′N=∠C=90°； (2)在射线C′M上取C′A′=CA； (3)以A′为圆心、线段AB长为半径画弧，交射线C′N于点B′； (4)连接A′B′ ． B′ N M A ′ C ′ A C B 操作 探究新知 操作 将画好的Rt△A'B'C'与Rt△ABC叠一叠，看看他们能否完全重合？ A′ N M B′ C′ B C A 完全重合 总结 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等． 由此，你能得到什么结论？ 探究新知 归纳 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.简记为“斜边、直角边”或“HL”. 几何语言: 如图，在Rt△ABC与Rt△A'B'C'中： ∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(HL). AB=A'B'， BC=B'C'， B C A B′ C′ A′ 探究新知 1．如图，BD⊥AB，BD⊥CD，若要用“HL”判定△ABD≌△CDB，可添加下列条件中的(　　) A．AD＝CB B．AB＝CD C．∠A＝∠C D．AD∥BC 1星题 基础练 A 举一反三 2．△ABC和△DBE按如图所示的位置放置，已知∠C＝90°，DE⊥AB于点E，且AB＝DB，AC＝DE.若∠A＝35°，则∠CBD的度数为(　　) A．130° B．110° C．100° D．120° B 举一反三 思考 判定两个直角三角形全等的思路 已知的条件(除直角外) 找第三个条件 判定依据 一直角边对应相等 另一直角边对应相等 SAS 斜边对应相等 HL 一锐角对应相等 ASA或AAS 斜边对应相等 一直角边对应相等 HL 一锐角对应相等 AAS 一锐角对应相等 一边对应相等 ASA或AAS 探究新知 典型例题 已知：如图，∠BAC=∠CDB=90°，AC=DB.求证：AB=DC. B C A D 分析：AB和DC分别在△ABC和△DCB 中，所以要证AB=DC，只需证明 △ABC≌△DCB即可. 已知： AC=DB； 由∠BAC=∠CDB=90°，可得△ABC与△DCB都是直角三角形； BC是两个三角形的公共边. 探究新知 典型例题 已知：如图，∠BAC=∠CDB=90°，AC=DB.求证：AB=DC. B C A D 证明：∵∠BAC=∠CDB=90°，(已知) ∴△ABC，△DCB都是直角三角形. 又 ∵AC=DB，(已知) BC=CB，(公共边) ∴Rt△ABC≌Rt△DCB.(HL) ∴AB=DC.(全等三角形的对应边相等) 注意：利用“HL”判定两三角形全等时，必须都是直角三角形. 探究新知 3.【教材改编题】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D为斜边BC上一点，且BD＝BA，过点D作BC的垂线交AC于点E.求证：点E在∠ABC的平分线上． 证明：连接BE.∵ED⊥BC，∴∠BDE＝∠A＝90°. 在Rt△ABE和Rt△DBE中，∵ ∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL）. ∴∠ABE＝∠DBE.∴点E在∠ABC的平分线上. 举一反三 4．[徐州期中]下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是(　　) A．两个锐角对应相等 B．一个锐角和斜边对应相等 C．两条直角边对应相等 D．一条直角边和斜边对应相等 A 举一反三 抢答 1.在Rt△ABC与Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，有如下几个条件： ①AC=A'C'，∠A=∠A'；②AC=A'C'，AB=A'B'；③AC=A'C'，BC=B'C'； ④AB=A'B'，∠A=∠A'；其中能判定Rt△ABC与Rt△A'B'C'的条件的 个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 随堂练习 ASA HL SAS AAS D 探究新知 抢答 随堂练习 2.已知：如图，AC⊥BD于点O，且OA=OC，AB=CD. 求证：AB∥CD. B A D C O 证明：∵AC⊥BD于点O，(已知) ∴∠DOC=∠BOA=90°. 又∵OA=OC， (已知) AB=CD， (已知) ∴Rt△DOC ≌ Rt△BOA.(HL) ∴∠B=∠D. (全等三角形的对应角相等) ∴ AB∥CD. (内错角相等，两直线平行) 探究新知 抢答 3.如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE=BF，求证：AE=DF. 证明：∵AE⊥BC，DF⊥BC，(已知) ∴∠DFC=∠AEB=90°. 又∵CE=BF， (已知) ∴CE – EF=BE – EF，即CF=BE. 又∵CD=AB， ∴Rt△DFC ≌ Rt△AEB.(HL) ∴DF=AE. (全等三角形的对应边相等) 随堂练习 探究新知 5. 【新趋势·过程性学习】如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且有BF＝AC，FD＝CD. 求证：BD＝AD. 证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°. 在△BFD和△ACD中，∵ ∴△BFD≌△ACD.∴BD＝AD. 举一反三 上面的证明过程正确吗？如果不正确，说明错在哪里，并写出正确的证明过程． 解：不正确，“边边角”无法证明三角形全等. 正确的证明过程如下： 证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°. 在Rt△BFD和Rt△ACD中，BF＝AC，FD＝CD， ∴Rt△BFD≌Rt△ACD（HL），∴BD＝AD. 举一反三 6．如图，BD＝CF，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BE＝CD，若∠AFD＝134°，则∠EDF的度数为(　　) A．44° B．36° C．46° D．34° A 2星题 中档练 举一反三 7.【分类讨论思想】如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q从点A出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝______时，△ABC与△APQ全等． 5或10 举一反三 8．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，CF＝AE，BC＝DA.求证：△ABE≌△CDF. 举一反三 证明：在Rt△ADC与Rt△CBA中，∵ ∴Rt△ADC≌Rt△CBA（HL），∴DC＝BA. ∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB＝∠CFD＝90°. 在Rt△ABE与Rt△CDF中，∵ ∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）. 举一反三 9.【推理能力】在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E. (1)若点B，C在DE的同侧(如图①所示)，且AD＝CE.求证：AB⊥AC. 3星题 提升练 举一反三 证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠ADB＝∠AEC＝90°. 在Rt△ABD和Rt△CAE中，∵ ∴Rt△ABD≌Rt△CAE（HL）.∴∠DBA＝∠EAC. 易知∠DAB＋∠DBA＝90°，∴∠DAB＋∠EAC＝90°. ∴∠BAC＝180°－（∠DAB＋∠EAC）＝90°. ∴AB⊥AC. 举一反三 (2)若点B，C在DE的异侧(如图②所示)，且AD＝CE，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由． 解：AB⊥AC.证明如下： 同（1）一样可证得Rt△ABD≌Rt△CAE， ∴∠DAB＝∠ECA.易知∠CAE＋∠ECA＝90°， ∴∠CAE＋∠DAB＝90°，即∠BAC＝90°，∴AB⊥AC. 举一反三 两个直角三 角 形 全 等 的 判 定 三角形全等的判定-HL： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 简记为“斜边、直角边”或“HL”. 注意：利用“HL”判定两三角形全等时，必须都是直角三角形. 几何语言: 如图，在Rt△ABC与Rt△A'B'C'中： ∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(HL). AB=A'B'， BC=B'C'， 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看 THANKS $