25.3 实际问题与一元二次方程 （第3课时）课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦单循环与双循环问题的一元二次方程应用，通过“若干球队主客场双循环比赛安排及总场数”的问题导入，衔接一元二次方程解法，以四支球队比赛表格为学习支架，引导学生抽象数量关系。 其亮点在于以实际问题（握手、赠贺卡、球队比赛）为载体，通过归纳总结表格明确不同循环类型的公式，体现数学眼光（抽象能力）、数学思维（推理能力）和数学语言（模型意识）。如用n(n-1)和n(n-1)/2公式解决问题，帮助学生建立模型意识，教师可通过中考链接和分层练习提升教学效率。

25.3 实际问题与一元二次方程 （第3课时） 人教版 数学 九年级 上册 1 七彩城就梦想 【想一想】若干支球队进行主客场双循环比赛，如何安排比赛队伍？一共要进行多少场比赛？ 导入新知 素养目标 1. 能正确列出关于单（或双）循环问题的一元二次方程. 2. 通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识． 3 七彩城就梦想 若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300.他算得对吗?为什么? 你能解决这个问题吗？ 探究新知 列一元二次方程解决邀请赛问题 知识点 【分析】双循环比赛是指所有参赛球队彼此间进行两场比赛.如果有n支球队参赛，那么比赛的总场数为n(n-1). 探究新知 【探究】以A，B，C，D四支队伍为例： A B C D A — ✓ ✓ ✓ B ✓ — ✓ ✓ C ✓ ✓ — ✓ D ✓ ✓ ✓ — 主场 客场 共12场比赛 假设这个人算得对，即n支球队进行主客场双循环比赛的总场数为300，那么n(n-1)=300. 探究新知 由总场数为n(n-1)可知，其必为两个连续正整数的乘积，如2，6，12， 20，…，240，272，306，…. 由于1201不是完全平方数，所以n不可能为整数.因此，总场数不可能为300，这个人算得不对. 解方程可得：n= 例 n个人参加聚会，每两人都握1次手，所有人共握手10 次，共有多少人? 解:设共有x人， 则 =10. 解得 x1=5 , x2=-4(不合题意,舍去) 答:共有5人. 列一元二次方程解单（或双）循环问题 素养考点 探究新知 7 七彩城就梦想 1.引例和例中的数量关系有何区别？ A和B握一次手，等同于B和A握手，只算作一次事件; A作为主场和B比赛后，B也要作为主场和A比赛一次，共发生两次事件. 2.解决这类单（或双）循环问题有什么经验和方法？ （1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答； （2）注意是“单循环”还是“双循环”类型. 【思考】 探究新知 【归纳总结】 探究新知 类型 特点 常见问题 n 个元素的循环总次数 单循环 每两个元素之间算一次 握手问题、照相问题、签合同问题、比赛问题（每两队之间赛一场） ​ 双循环 每两个元素之间算两次 互赠贺卡、互发信息、比赛问题（每两队之间赛两场） 多边形对角线 每两个元素之间算一次 凸 n 边形对角线条数问题 ​ n(n−1) n(n−1) n(n−3) 已知一个凸多边形的对角线条数是14,则这个多边形的边数是________. 7 巩固练习 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，求全组有多少名同学？ 解：全组有x名同学，根据题意，得 x（x-1）=182. 解得 x1=14，x2=-13（不合题意，舍去）. 答：全组有14名同学. 巩固练习 （黑龙江中考）毕业前夕，班主任王老师让每一位同学为班级的其他同学发送祝福短信，全班一共发送870条，这个班级的学生总人数是（　　） A．40 B．30 C．29 D．39 B 链接中考 1.元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九年级一班共有多少名学生？设九年级一班共有x名学生，那么所列方程为（ ） A.x2=1980 B. x(x+1)=1980 C. x(x-1)=1980 D.x(x-1)=1980 D 课堂检测 基础巩固题 2.一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共多少人？ 解： 设这个小组共x人， 根据题意列方程，得 x(x-1)=72. 化简，得 x2-x-72=0. 解方程，得 x1=9， x2=-8（舍去）. 答：这个小组共9人. 探究新知 某校初三各班进行篮球比赛（单循环制），每两班之间共比赛了6场，求初三有几个班？ 解：初三有x个班，根据题意列方程，得 解方程，得 x1=4， x2=-3（舍去）. 答：初三有4个班. 课堂检测 能力提升题 单（或双）循环问题 双循环 单循环 课堂小结 n个元素的循环总次数为n(n-1) n个元素的循环总次数为 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习 课后作业 谢谢观看 $