15.2画轴对称的图形 讲义 2026-2027学年初中数学人教版八年级上册

本初中数学讲义聚焦“画轴对称的图形”核心知识点，以轴对称定义和性质为基础，先梳理轴对称变换的定义与性质，再通过画点、线段的对称图形逐步过渡到画复杂图形的对称图形，最终总结“找关键点、画对称点、顺次连接”三步法并应用于补全图案和折叠问题。 该资料通过“核心口诀”“三步法流程图”等直观呈现，培养学生几何直观与空间观念，折叠问题分析中强调推理意识，典型例题涵盖基础作图、网格问题等，课中辅助教师清晰授课，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

人教版八年级数学 · 15.2 画轴对称的图形 · 讲义 15.2 画轴对称的图形 讲义 一、知识回顾：轴对称及其性质 1. 轴对称的定义 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴。 2. 轴对称的性质（核心依据） 序号 性质内容 ① 成轴对称的两个图形全等（形状、大小完全相同） ② 对应点所连的线段被对称轴垂直平分 ③ 对应线段相等，对应角相等 ④ 对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线 核心口诀： 见轴对称，想垂直平分；折叠前后，全等进行替换。 二、轴对称变换的定义与性质 1. 定义 轴对称变换： 由一个平面图形得到它的轴对称图形的变换，叫做轴对称变换。 实质上就是将一个图形沿着某条直线翻折（折叠），得到它的对称图形。 2. 轴对称变换的性质 序号 性质 ① 新图形与原图形的形状、大小完全相同（全等） ② 新图形上的每一点都是原图形上某一点关于对称轴的对称点 ③ 连接任意一对对称点的线段被对称轴垂直平分 ④ 对称点的连线互相平行（或在同一直线上） ⑤ 对应线段平行或相交，交点在对称轴上 注意： 轴对称变换得到的图形一定全等，但全等的图形不一定是通过轴对称变换得到的（还可能是平移、旋转等）。 三、画一个点的对称点 1. 问题引入 已知：点A和直线l（A不在l上）。求作：点A关于直线l的对称点A'。 2. 作图方法（尺规+直尺） 步 具体操作 ① 过点A作直线l的垂线，垂足为O ② 在垂线上截取OA'=OA（即延长AO到A'，使OA'=AO） ③ 点A'就是点A关于直线l的对称点 3. 原理说明 由作图可知：AO=OA'（截取相等），且AA'⊥l（垂线定义）。 ∴ O是AA'的中点，且l⊥AA'。 ∴ 直线l垂直平分线段AA'。 ∴ A'与A关于直线l对称（满足轴对称的定义）。 特殊情况： 若点A在对称轴l上，则A关于l的对称点就是它自身（A'=A）。 四、画一条线段的对称图形 1. 问题引入 已知：线段AB和直线l。求作：线段AB关于直线l的对称线段。 2. 作图方法 线段由两个端点确定，因此只需画出两个端点的对称点，再连接即可。 步 具体操作 ① 分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为O₁、O₂ ② 在垂线上分别截取O₁A'=OA，O₂B'=OB ③ 连接A'B'，线段A'B'即为所求 3. 关键说明 ① 端点处理：若线段的某个端点在对称轴l上，则该点的对称点就是它自身（如端点C在l上，则C'=C）。 ② 顺序对应：连接对称点时，必须按照原线段端点的对应顺序连接（A→B对应A'→B'）。 五、画一个图形的对称图形（核心方法） 1. 核心思想 核心思想： 几何图形可以看作由无数个点组成。要画一个图形关于某条直线的对称图形，只需画出图形中所有关键点（如顶点、端点、拐点）的对称点，再按原图顺序顺次连接即可。 2. 教材例题：画△ABC的对称图形 已知△ABC和直线l，画出与△ABC关于直线l对称的图形。 分析 △ABC由三个顶点的位置确定，只要分别画出A、B、C三点关于直线l的对称点，连接这些对称点，就能得到要画的图形。 作法 3. 验证方法 画好后，可以通过折叠的方法验证：将纸沿直线l对折，观察△ABC与△A'B'C'能否完全重合。 也可以验证：AA'、BB'、CC'是否都被l垂直平分。 4. 常见图形的关键点选择 图形类型 关键点的选择 线段 两个端点 三角形 三个顶点 四边形 四个顶点 多边形 所有顶点 圆 圆心 + 圆上若干点（或画直径端点） 不规则图形 所有拐点 + 曲线上的若干点 六、三步法总结与流程图 画轴对称图形的通用三步法：① 找：在原图形上找特殊点（顶点、端点、拐点）；② 画：画出各个特殊点关于对称轴的对称点；③ 连：按原图形的顺序顺次连接各对称点。 注意事项 序号 注意要点 ① 对称轴上的点的对称点是其自身，不需要移动 ② 作垂线时可以用三角板，确保垂直关系准确 ③ 截取等距时要精确，保证对称点到对称轴的距离相等 ④ 连接对称点时必须按原图的顺序，不能乱连 ⑤ 画完后可折叠验证，检查是否完全重合 七、补全轴对称图案 1. 问题类型 已知一个轴对称图形的一部分（对称轴已给出），补全整个图形。 2. 解题方法 与方法相同，只需在已知的一半图形上找关键点，画出它们关于对称轴的对称点，再顺次连接。 3. 剪纸问题与轴对称 将一张纸折叠后剪裁，展开后得到的图案关于折痕对称。 解题技巧： 将最终图案沿折痕"对折"，只分析一半即可还原折叠前的纸片形状。 口诀： 折叠剪裁不用怕，展开对称画一画；折痕就是对称轴，一半还原全图案。 八、折叠问题（轴对称的实际应用） 1. 折叠的本质 核心认识： 折叠（翻折）就是一种轴对称变换！折叠前后的图形全等，折痕就是对称轴。 2. 折叠问题的常用结论 序号 结论 ① 折叠前后的图形全等（对应边相等、对应角相等） ② 折痕是对应点连线的垂直平分线 ③ 折叠前后重叠部分的图形关于折痕对称 ④ 利用全等关系，可以将未知线段/角转化为已知线段/角 3. 典型折叠题型分析 题型一：求角度 将长方形ABCD沿DE折叠，使A点落在BC上的F处。若∠EFB=50°，求∠CFD。 分析： 折叠→△DAE≌△DFE→∠DFE=∠A=90°。 ∠DFB=180°-∠EFB=180°-50°=130°。 ∠DFC=180°-∠DFB=180°-130°=50°。 在△DFC中：∠C=90°，∠DFC=50°→∠CFD=40°。 题型二：求线段长 利用折叠前后对应边相等，将分散的线段集中到同一三角形中，再用勾股定理求解。 技巧： 见到折叠，立刻标记全等关系（边等、角相等），再把条件"搬"到合适的三角形中使用。 九、典型例题精讲 【例1】基础作图：画三角形的对称图形 如图，已知△ABC和直线l，画出与△ABC关于直线l对称的图形。 作法： (1) 过点A作l的垂线，垂足为O，截取OA'=OA，得A'。 (2) 同理得B'、C'。 (3) 连接A'B'、B'C'、C'A'，则△A'B'C'即为所求。 【例2】补全图形 如图，给出了一个图案的一半，虚线l为对称轴。请准确画出它的另一半。 作法： 在左侧图形上选取关键点P₁~P₅，分别作它们关于l的对称点P₁'~P₅'，按原轮廓顺序连接即可。 【例3】网格中的轴对称图形 在2×4的正方形网格中，△ABC为格点三角形。在网格中画出与△ABC成轴对称的格点三角形（尽可能多画）。 方法： 在网格中，对称轴通常是网格线或格点连线。逐一尝试每条可能的对称轴。 以竖直网格线为对称轴→得到1个；以水平网格线为对称轴→得到1个；以对角线为对称轴→逐一验证。 答案：最多可画出3个（以不同网格线为对称轴）。 【例4】找点构成轴对称图形 已知点A、B、C，请再找一个点D，使A、B、C、D四点构成一个轴对称图形，这样的点D有几个？ 分析： 以AB为对称轴→C的对称点D₁。 以BC为对称轴→A的对称点D₂。 以AC为对称轴→B的对称点D₃。 ∴ 这样的点D有3个。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $