4.2.1 对数的概念-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦高中数学对数的概念这一核心知识点，从指数式aⁿ=N引入对数定义，系统梳理底数真数条件、常用与自然对数表示，通过指对数互化建立联系，再到对数性质（真数大于0、1的对数为0等）的应用，构建完整知识支架。 资料通过“微点拨”详细论证底数条件，培养学生逻辑推理的数学思维，例题与“练一练”强化指对数互化训练，提升数学表达能力。分层练习兼顾基础与提升，课中助力教师教学，课后帮助学生查漏补缺。

4．2　对数 4．2.1　对数的概念 ► 对应学生用书P59 [课程标准]　理解对数的概念和运算性质 一、对数的概念 1．对数：一般地，如果ab＝N(a>0，且a≠1)，那么b叫做以a为底N的对数，记作b＝logaN ，其中a叫做对数的底数 ，N叫做真数． 2．常用对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lg__N . 3．自然对数：在科学技术中常使用以无理数e＝2.718 28…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并且把logeN记为ln__N . 微点拨：1.对数概念中规定a>0，且a≠1 (1)若a<0，则当N为某些值时，x的值不存在．如：x＝log(－2)8不存在． (2)若a＝0，则①当N≠0时，x的值不存在．如：log03(可理解为0的多少次幂是3)不存在； ②当N＝0时，x可以是任意实数，是不唯一的，即log00有无数个值． (3)若a＝1，则①当N≠1时，x的值不存在．如：log13不存在； ②当N＝1时，x可以为任意实数，是不唯一的，即log11有无数个值．因此规定a>0，且a≠1. 2．对数式logaN不是loga与N的乘积，logaN是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是一个实数． 二、对数式与指数式的互化 当a>0且a≠1时，ax＝N⇔x＝logaN． 微点拨：指数式与对数式的互化(其中a>0，且a≠1)： 三、对数的性质 1．0和负数没有对数，即logaN中N>0 . 2．1的对数等于0，即loga1＝0． 3．底数的对数等于1，即logaa＝1(a>0，且a≠1). 4．对数恒等式：alogaN＝N． 【基点小试】 1．使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为(　　) A．a>且a≠1 B．0<a< C．a>0且a≠1 D．a< 解析：选B.由题意知解得0<a<. 2．(苏教版必修一P81例1，P82例2改编)(多选)下列指数式与对数式互化正确的是(　　) A．e0＝1与ln 1＝0 B．8－＝与log8＝－ C．log39＝2与9＝3 D．log77＝1与71＝7 解析：选ABD.A选项，e0＝1⇔ln 1＝0，正确．B选项，8－＝⇔log8＝－，正确．C选项，log39＝2⇔32＝9，C错误．D选项，log77＝1⇔71＝7，正确．故选ABD. 3．3log32＋log21＋log55＝________． 解析：因为3log32＝2，log21＝0，log55＝1，所以原式＝2＋1＝3. 答案：3 4．求下列各式中x的值． (1)log2(log4x)＝0； (2)log3(lg x)＝1. 解：(1)log2(log4x)＝0，∴log4x＝1，∴x＝4. (2)由已知lg x＝3，∴x＝103＝1 000. 题型一　对数的概念 角度1　指、对数式的互化 例1. 将下列对(或指)数式化成指(或对)数式： (1)logx＝3；(2)logx64＝－6； (3)3－2＝；(4)＝16. 解：(1)因为logx＝3，所以()3＝x. (2)因为log x64＝－6，所以x－6＝64. (3)因为3－2＝，所以log3＝－2. (4)因为＝16，所以log16＝x. [总结] 　指、对数式互化的注意事项 (1)利用对数与指数间的互化关系时，要注意各字母位置的对应关系，其中两式中的底数是相同的． (2)并非任何指数式都可以直接化为对数式，如(－3)2＝9就不能直接写成log(－3)9＝2，只有符合a>0，a≠1且N>0时，才有ax＝N⇔x＝logaN. 角度2　对数的底数、真数概念的理解 例2. 求下列各式中x的取值范围： (1)log2x＋1(x＋2)；　(2). 解：(1)由题意得 即故x>－且x≠0. 所以x的取值范围是. (2)根据题意得 即所以x>0且x≠1. 所以x的取值范围是{x|x>0且x≠1}． [总结] 　对数式中要求真数大于0，底数不但要大于0，而且不能等于1. 【练一练】 1．(2025·宿迁高一期末)若x＝log32，则3x的值为(　　 ) A．2 B．4 C．8 D．9 解析：选A.3x＝3log32＝2. 2．求下列各式中x的取值范围： (1)lg (x＋2)2；　(2)log1－2x(3x＋2). 解：(1)由(x＋2)2>0得x≠－2，故x的取值范围是{x|x∈R且x≠－2}． (2)由知 故x的取值范围是. 题型二　对数的计算 例3.(苏教版必修一P82例3改编)求下列各式中的x的值： (1)log64x＝－； (2)logx8＝6； (3)lg 100＝x; (4)－ln e2＝x. 解：(1)x＝(64)－＝(43)－＝4－2＝. (2)x6＝8，所以x＝(x6)＝8＝(23)＝2＝. (3)10x＝100＝102，于是x＝2. (4)由－ln e2＝x，得－x＝ln e2，即e－x＝e2.所以x＝－2. [总结] 　利用指数式与对数式的互化求变量值的策略 (1)已知底数与指数，用指数式求幂． (2)已知指数与幂，用指数式求底数． (3)已知底数与幂，利用对数式表示指数． 【练一练】 3．求下列各式中的x值： (1)logx27＝； (2)log2x＝－； (3)x＝log27. 解：(1)由logx27＝，可得x＝27， ∴x＝27＝(33)＝32＝9. (2)由log2x＝－，可得x＝2－. ∴x＝＝＝. (3)由x＝log27，可得27x＝， ∴33x＝3－2，∴x＝－. 题型三　对数性质的应用 例4.求下列各式中x的值： (1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lg x)＝1. 解：(1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝20＝1， ∴x＝51＝5. (2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3， ∴x＝103＝1 000. 【母题探究】　把本例(1)中的“log2(log5x)＝0”改为“log2(log5x)＝1”，求x的值． 解：因为log2(log5x)＝1， 所以log5x＝2，则x＝52＝25. [总结] 　有关“底数”和“1”的对数，可利用对数的性质求出其值“1”和“0”，化成常数，有利于化简和计算．当有多层对数时，应由外往里求解. 【练一练】 4．求下列各式中x的值． (1)log8[log7(log2x)]＝0； (2)log2[log3(log2x)]＝1； (3)log－1＝x. 解：(1)由log8[log7(log2x)]＝0，得 log7(log2x)＝1，即log2x＝7，∴x＝27. (2)由log2[log3(log2x)]＝1，得 log3(log2x)＝2，∴log2x＝9，∴x＝29. (3)∵log－1＝x， ∴(－1)x＝＝＝－1. ∴x＝1. 题型四　利用对数的结论及恒等式求值 例5.求值： （3）· 解：(1)原式＝＝3×5＝15. (2)原式＝10lg 3·10lg 4＝3×4＝12. (3)原式＝a·c＝ac. [总结] 　对于此类题目，首先要结合对数恒等式将原式化简，化成能利用对数恒等式的形式，然后再进行求值．在化简变形中灵活运用指数幂的运算性质． (1)应用对数恒等式要注意格式： ①它们是同底的； ②指数中含有对数形式； ③其值为对数的真数，且大于0. (2)合理利用对数、指数的运算法则，化为相同底数． 【练一练】 5．求值：(1) ； (2)eln 2＋ln 5； (3) . 解：(1)原式＝23÷＝8÷3＝. (2)原式＝eln 2×eln 5＝2×5＝10. (3)∵＝＝， ∴原式＝＋＝. [课后分层练(十八)]　对数的概念 （单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分） 【基础巩固题组】 1．8＝4化为对数式为(　　) A．log48＝ B．log4＝8 C．log84＝ D．log8＝4 解析：选C.由对数式与指数式的对应关系知C正确． 2．下列各式中，正确的个数是(　　) ①lg (lg 10)＝0；　②lg (ln e)＝0；　③若10＝lg x，则x＝10；　④ 若e＝ln x，则x＝e2. A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选B.①lg (lg 10)＝lg 1＝0，正确； ②lg (ln e)＝lg 1＝0，正确；③④错误． 3．．(2025·南通如皋高一上期末)()log25－1＝(　　 ) A．－ B．3 C． D． 解析：选C.()log25－1＝21－log25＝2log2＝. 4．在b＝loga－2(5－a)中，实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2)∪(5，＋∞) B．(2，5) C．(2，3)∪(3，5) D．(3，4) 解析：选C.由题意得解得2<a<3或3<a<5. 5．(多选)下列说法正确的有(　　) A．零和负数没有对数 B．任何一个指数式都可以化成对数式 C．以10为底的对数叫做常用对数 D．以e为底的对数叫做自然对数 解析：选ACD.只有a>0且a≠1时，ax＝N才能化为对数式．ACD正确，B不正确． 6．ln 1＋log(－1)(－1)＝________ . 解析：ln 1＋log(－1)(－1)＝0＋1＝1. 答案：1 7．已知logx＝3，则x＝________． 解析：由logx＝3，得x＝＝，所以x＝＝. 答案： 8．若a＝lg 2，b＝lg 3，则10a＋2b的值为____，100a－的值为________． 解析：∵a＝lg 2，∴10a＝2. ∵b＝lg 3，∴10b＝3， ∴10a＋2b＝10a×(10b)2＝2×32＝18， 100a－＝＝. 答案：18　 9．将下列指数式与对数式互化： (1)2－2＝；(2)102＝100；(3)ea＝16； (4)64－＝；(5)log39＝2；(6)logxy＝z. 解：(1)log2＝－2. (2)lg 100＝2. (3)ln 16＝a. (4)log64＝－. (5)32＝9. (6)xz＝y. 10．求下列各式中的x： (1)logx(3＋2)＝－2； (2)log5(log2x)＝0； (3)x＝log27. 解：(1)由logx(3＋2)＝－2，得3＋2＝x－2，∴x＝(3＋2)－＝＝－1. (2)由log5(log2x)＝0，得log2x＝1，∴x＝21＝2. (3)由x＝log27，得27x＝，即33x＝3－2，∴x＝－. 【能力提升题组】 11．方程lg (x2－1)＝lg (2x＋2)的根为(　　) A．－3 B．3 C．－1或3 D．1或－3 解析：选B.由lg (x2－1)＝lg (2x＋2)，得x2－1＝2x＋2，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.经检验x＝－1(不合题意)，所以原方程的根为x＝3.故选B. 12．若logx＝z，则(　　) A．y7＝xz B．y＝x7z C．y＝7·xz D．x＝z7y 解析：选B.由logx＝z得xz＝，两边同时7次方得(xz)7＝()7，即y＝x7z.故选B. 13.(2025·丹阳高一上期末)式子eln 3＋log25＋(0.125)－的值为(　　 ) A． B．10 C．11 D．12 解析：选C.由题意可得：原式＝3＋log()4＋[()3]－＝3＋4＋()-2＝7＋4＝11. 14．log6[log4(log381)]＋＝________． 解析：因为log381＝4， 所以log4(log381)＝log44＝1. 所以log6[log4(log381)]＝0. 又＝9，所以原式＝9. 答案：9 15．的值为________． 解析： 答案：6 16．求下列各式中x的取值范围： (1)log2(x－10)； (2)log(x－1)(x＋2)； (3)log(x＋1)(x－1)2. 解：(1)由题意知x－10＞0， ∴x＞10. (2)由题意知 即 ∴x＞1，且x≠2. (3)由题意知 解得x＞－1且x≠0，且x≠1. 17．解下列关于x的方程： (1)log2(2x＋1)＝log2(3x)； (2)log5(2x＋1)＝log5(x2－2). 解：(1)由log2(2x＋1)＝log2(3x)得2x＋1＝3x，解得x＝1.检验：当x＝1时，2x＋1＞0，3x＞0.故x＝1. (2)由log5(2x＋1)＝log5(x2－2)得2x＋1＝x2－2，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.检验：当x＝－1时，2x＋1＜0，x2－2＜0，不满足真数大于0，舍去；当x＝3时，2x＋1＞0，x2－2＞0，故x＝3. 学科网（北京）股份有限公司 $