专题6.2 指数函数（举一反三讲义）高一数学苏教版必修第一册

专题6.2 指数函数（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 指数函数的判定】 1 【题型2 根据函数是指数函数求参数】 2 【题型3 求指数函数的解析式】 4 【题型4 比较指数幂的大小】 6 【题型5 解指数不等式】 8 【题型6 指数函数图象的识别与应用】 9 【题型7 指数（型）函数的单调性问题】 12 【题型8 指数型复合函数及其应用】 14 【题型9 指数函数模型的应用】 17 知识点1 指数函数的概念 1．指数函数的定义 (1)一般地，函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)解析式的结构特征： ①ax的系数为1； ②底数a是大于0且不等于1的常数. 【题型1 指数函数的判定】 【例1】（24-25高一上·全国·课前预习）下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据指数函数定义即可判断. 【解答过程】根据指数函数的定义形如且为指数函数判断： 对于A：为幂函数，故A错误； 对于B：中不能作为底数，故B错误； 对于C：中系数不为1，故C错误； 对于D：是指数函数，故D正确； 故选：D. 【变式1-1】（24-25高一上·全国·课前预习）判断函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D．（，且） 【答案】D 【解题思路】由指数函数定义可判断选项正误. 【解答过程】指数函数是指形如且的函数. 则四个选项中，只有D满足条件. 故选：D. 【变式1-2】（24-25高一上·全国·课后作业）下列函数是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由指数函数的定义即可判断. 【解答过程】由指数函数的定义可知，带有常数项，A错误； 与的系数都不为1，B错误，D错误； ，符合题意，C正确. 故选：C. 【变式1-3】（24-25高一上·江西新余·期中）下列函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据指数函数的定义，结合选项判断即可. 【解答过程】根据指数函数的定义：形如（且）的函数叫做指数函数，结合选项从而可判断选项D正确． 故选：D． 【题型2 根据函数是指数函数求参数】 【例2】（25-26高一上·全国·课前预习）函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由指数函数的定义列出限制条件，求解不等式组可得答案. 【解答过程】由指数函数的定义得解得，且，故的取值范围是． 故选：C. 【变式2-1】（24-25高一上·全国·课堂例题）若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由指数函数的定义即可求解. 【解答过程】因为函数（是自变量）是指数函数，所以，解得：且； 故选：C. 【变式2-2】（24-25高一上·天津河西·期末）若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．1或 D． 【答案】D 【解题思路】由指数函数的定义可得且，，解方程验证可得． 【解答过程】解：因为函数是指数函数， 且，， 由解得或， ， 故选：D. 【变式2-3】（24-25高一上·全国·课后作业）若函数（是自变量）为指数函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据条件，利用指数函数的定义，即可求解. 【解答过程】由为指数函数，得且，解得， 故选：A. 【题型3 求指数函数的解析式】 【例3】（2025高一·全国·专题练习）若指数函数的图象过点，则的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设出解析式，将点代入，求出解析式. 【解答过程】设（且），则， 解得，故. 故选：D. 【变式3-1】（24-25高一上·全国·课后作业）若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设，（且），代入点运算求解即可. 【解答过程】设，（且）， 因为函数的图象过点，则，解得， 所以. 故选：B. 【变式3-2】（24-25高一上·陕西宝鸡·期末）已知函数是指数函数． (1)求的表达式； (2)判断的奇偶性，并加以证明. 【答案】(1) (2)是偶函数，证明见解析 【解题思路】（1）由指数函数定义即可列方程求解； （2）由偶函数定义即可判断并得证. 【解答过程】（1）函数是指数函数，且， ， 可得或舍去， （2）是偶函数    , 证明如下：，， ， 是偶函数． 【变式3-3】（24-25高一上·重庆·期中）已知指数函数，且过点. (1)求函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意，由求解； （2）利用函数在R上递减，将不等式转化为求解. 【解答过程】（1）解：因为指数函数，且过点， 所以，解得， 所以函数的解析式为； （2）由（1）知函数在R上递减， ，转化为， 所以，解得， 所以实数的取值范围是 . 知识点2 指数函数的图象与性质 1．指数函数的图象与性质 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 R 值域 过定点 图象过定点(0,1)，即当x=0时，y=1 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化范围 当x<0时，y>1 当x<0时，0<y<1 当x=0时，y=1 当x=0时，y=1 当x>0时，0<y<1 当x>0时，y>1 2．底数对指数函数图象的影响 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的底数对图象的影响可以从不同角度来记忆理解. (1)无论是a>1还是0<a<1，在第一象限内，自下而上，图象越高的指数函数的底数越大，即“底大图高”. (2)左右比较：在直线y=1的上面，a>1时，a越大，图象越靠近y轴；0<a<1时，a越小，图象越靠近y轴. (3)上下比较：比较图象与直线x=1的交点，交点的纵坐标越大，对应的指数函数的底数越大. 3．比较指数幂的大小的方法 比较指数幂的大小的方法（分三种情况）： (1)底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断； (2)底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象变化规律来判断； (3)底数不同，指数不同：通过中间量来比较，一般引入中间量“1”. 4．指数方程(不等式)的求解思路 指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化求解. 【题型4 比较指数幂的大小】 【例4】（24-25高一上·吉林长春·期中）已知，，，则三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用指数函数性质比较大小即得. 【解答过程】依题意，，，， 所以. 故选：A. 【变式4-1】（24-25高一上·湖北恩施·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】结合待比较的三个数的指数，底数的特点，构造指数函数，幂函数，根据它们的单调性即可求解. 【解答过程】设，根据指数函数的单调性，在上单调递减，则，即； 设，根据幂函数的单调性，在上单调递增，则，即. 故. 故选：D. 【变式4-2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用指数函数的单调性比较大小即可. 【解答过程】因为， 函数是减函数， 所以， 同理，函数是增函数，所以. 综上，可得. 故选：B. 【变式4-3】（25-26高一上·全国·单元测试）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据指数函数的单调性比较大小即可. 【解答过程】由， 因为在上单调递减，且， 所以． 故选：C. 【题型5 解指数不等式】 【例5】（24-25高一上·全国·课前预习）若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D．全不对 【答案】B 【解题思路】应用指数函数的单调性计算求解. 【解答过程】函数在上为减函数， 因为，所以， 即恒成立，． 故选：B. 【变式5-1】（25-26高一上·全国·课后作业）若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用指数函数的单调性解不等式即可得出结果． 【解答过程】因，则， 即，解得， 所以的取值范围为． 故选：B． 【变式5-2】（24-25高一上·河北·期末）已知函数（，且）的图象过点，． (1)求，的值； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）将点，代入函数解析式，解方程组即可求解； （2）根据指数函数的单调性列不等式组求解即可. 【解答过程】（1）因为函数的图象过点，， 所以，解得. （2）由（1）得， 由，得，所以， 所以或， 解得或， 即不等式的解集为． 【变式5-3】（24-25高一上·全国·周测）已知指数函数（且）的图象过点． (1)求的值； (2)若，，求的值； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）将点代入解析式中即可得解； （2）利用（1）中的解析式以及指数幂的运算即可求解； （3）利用指数函数的单调性可求解. 【解答过程】（1）指数函数的图象过点， ，，，； （2）由（1）知，， ，，，， ，； （3）不等式，即， 在上单调递减， ，即，解得， 不等式的解集为． 【题型6 指数函数图象的识别与应用】 【例6】（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知且，则在同一直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】易得两个函数的图象都经过定点，即可排除B；再分和两种情况讨论即可得解. 【解答过程】题目所给的两个函数的图象都经过定点，故B错误； 因为且，所以为增函数， 当时，为增函数，此时的零点，故A错误； 当时，为减函数，此时的零点，故C正确，D错误. 故选：C. 【变式6-1】（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由指数函数的图象与性质可得，.再根据函数（，且）与函数（，且）的图象的对称性，数形结合即可求解. 【解答过程】由图得，，所以. 因为函数（，且）的图象与函数（，且）的图象关于轴对称，如图所示， 由图可知：，则. 故选：A. 【变式6-2】（24-25高一上·浙江·期中）函数图象的一部分如图所示，则函数的解析式有可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据函数的单调性排除C、D，再由函数过点，即可判断B. 【解答过程】因为函数在定义域上单调递增， 因为，在定义域上单调递减，故排除C、D； 又当时，显然不过点，故B错误； 在定义域上单调递增，且，所以，符合题意. 故选：A. 【变式6-3】（24-25高一上·安徽六安·阶段练习）设指数函数：，：，：的图象如图，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】做直线，数形结合，可得的大小关系. 【解答过程】如图： 做直线，得到直线与三个指数函数图象的交点分别为，，，由图可知：. 故选：A. 【题型7 指数（型）函数的单调性问题】 【例7】（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用复合函数的单调性，结合二次函数、指数函数的单调性可得结果. 【解答过程】函数中，令，则函数在上单调递减，上单调递增， 而函数为减函数，因此函数在上单调递增，上单调递减， 所以函数的单调递增区间是. 故选：A. 【变式7-1】（2025·山东济宁·二模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】是由与复合而成，先分析外层函数单调性，再根据复合函数单调性确定内层函数单调性，进而求出的取值范围. 【解答过程】是由与复合而成， 在中，，，所以在上单调递减. 因为在上单调递减，且外层函数在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，可知内层函数在上单调递增. 对于二次函数，其图象开口向上，对称轴为. 二次函数在对称轴右侧单调递增，要使在上单调递增， 则对称轴需满足，解得. 故选：A. 【变式7-2】（24-25高一上·重庆江北·期末）函数的减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据复合函数单调性“同增异减”的原则可确定选项. 【解答过程】令，，则， ∵在上为增函数，在上为减函数， ∴的减区间为. 故选：B. 【变式7-3】（24-25高一上·山东日照·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据复合函数的单调性求解判断. 【解答过程】令，对称轴为，又是R上增函数， 因为是上的增函数， 所以，即， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 【题型8 指数型复合函数及其应用】 【例8】（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数. (1)若在上为增函数，求实数的取值范围； (2)若在上最小值为4，求实数的值； 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由复合函数的性质得在上是增函数，由此可得的范围； （2）换元后根据二次函数的对称轴与区间的关系分类讨论． 【解答过程】（1）令，由于是增函数，若在为增函数， 则在上是增函数， 则，所以 （2）令 即最小值为4 若则时最小，得. 若则时最小，得无解. 若时则时最小，得舍去. . 【变式8-1】（24-25高一上·河南·阶段练习）已知函数，． (1)当时，求的值域： (2)若单调递增，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）当代入，令化简，通过一元二次函数计算值域即可； （2）通过（1）可知只需在上单调递增，分别讨论，和即可. 【解答过程】（1）当时，， 令，则，故， 所以的值域为． （2）由（1）可得，， 因为在上单调递增， 要使在上单调递增，只需在上单调递增即可， ①当时，在上单调递减，不符合题意； ②当时，的图象开口向下，不符合题意； ③当时，则需，解得：. 所以m的取值范围是. 【变式8-2】（25-26高一上·新疆·期中）已知函数，且是上的奇函数. (1)求实数的值； (2)①判断函数的单调性并用定义证明； ②求不等式的解集； (3)若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)0 (2)①单调递增，证明见解析；② (3) 【解题思路】（1）利用函数为奇函数，结合其定义，即可求得答案； （2）①结合（1）得出的解析式，结合函数单调性的定义可判断并进行证明；②利用函数单调性的定义求解，即得答案； （3）由已知可分离参数，得对恒成立，即可构造函数，求出新函数的最值，即可求得答案. 【解答过程】（1）因为是上的奇函数，所以， 所以，所以， 即，化简得， 即，所以，解得； （2）①由（1）得， 所以， 所以函数在上单调递增，证明如下： 由于的定义域为R，任取， 则， 因为，所以，，，所以， 所以，所以函数在上单调递增； ②因为是上的奇函数，所以不等式等价于，即， 因为函数在上单调递增，所以，解得， 所以不等式的解集为； （3）因为，所以，即， 因为，不等式恒成立， 所以当时，恒成立，则； 当时，恒成立， 令，， 则，该函数在为减函数， 所以，所以， 所以实数的取值范围为. 【变式8-3】（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）已知函数． (1)试确定的奇偶性； (2)求证：函数在上是减函数； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)奇函数 (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）由于函数的定义域为，关于原点对称，且化简求得，可得函数为奇函数； （2）化简函数的解析式为，设，化简，可得函数在上是减函数； （3）由于为奇函数，不等式即恒成立，再由函数在上是减函数可得恒成立，即恒成立．由判别式，解得的取值范围． 【解答过程】（1）函数的定义域为，关于原点对称， 且有， 故函数为奇函数. （2）证明：， 设，再由， 可得， 故函数在上是减函数. （3）对任意的，不等式恒成立，为奇函数， 恒成立， 由函数在上是减函数， 可得 恒成立， 即恒成立， ，解得：， 故的取值范围为. 【题型9 指数函数模型的应用】 【例9】（25-26高一上·全国·单元测试）某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以的增长率生长，8天后，该植物的长度是原来的倍，则24天后该植物的长度是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【解题思路】设植物原来长度为m，根据8天后，该植物的长度是原来的倍，求出，再结合指数幂的运算即可求得24天后该植物的长度是原来的多少倍． 【解答过程】方法1 设植物原来长度为m，8天后，该植物的长度是原来的倍， 故，即，即． 24天后该植物的长度是，即为原来的倍， 又， 所以24天后该植物的长度是原来的倍． 方法2  设植物原来长度为1，8天后，该植物的长度是， 24天后，该植物的长度是， 即24天后该植物的长度是原来的倍． 故选：C. 【变式9-1】（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）著名数学家，物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．若当空气温度为时，某物体的温度从下降到用时分钟，则再经过分钟后，该物体的温度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由已知可得出，，，将代入关系可得出，再将代入关系式，结合指数运算可求得结果. 【解答过程】由题知，，，所以，可得， 再经过分钟后，该物体的温度为， 即该物体的温度为． 故选：C． 【变式9-2】（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）衣柜里的樟脑丸随着时间会挥发，使得体积缩小，刚放进的新丸体积为，经过天后，体积与天数的关系式为.已知新丸经过25天后，体积变为，则新丸经过75天，体积变为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题干中的指数函数模型得，进而将代入模型计算即可. 【解答过程】分别设和时的体积为，则，即. 又当时. 故选：C. 【变式9-3】（24-25高一上·全国·课堂例题）有容积相等的桶和桶，开始时桶中有升水，桶中无水．现把桶中的水注入桶中，分钟后，桶的水剩余（升），其中为正常数．假设5分钟后，桶和桶中的水相等，要使桶中的水只有升，必须再经过（    ）    A．12分钟 B．15分钟 C．20分钟 D．25分钟 【答案】B 【解题思路】由题意可得桶中水的体积，由，可得，利用，结合指数运算可得答案. 【解答过程】由题意，桶中水的体积， 因为时，，所以，得． 设再经过分钟后桶中的水只有升，则， 所以， 所以，即再经过15分钟，桶中的水只有升． 故选：B. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.2 指数函数（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 指数函数的判定】 1 【题型2 根据函数是指数函数求参数】 2 【题型3 求指数函数的解析式】 2 【题型4 比较指数幂的大小】 4 【题型5 解指数不等式】 4 【题型6 指数函数图象的识别与应用】 5 【题型7 指数（型）函数的单调性问题】 6 【题型8 指数型复合函数及其应用】 7 【题型9 指数函数模型的应用】 8 知识点1 指数函数的概念 1．指数函数的定义 (1)一般地，函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)解析式的结构特征： ①ax的系数为1； ②底数a是大于0且不等于1的常数. 【题型1 指数函数的判定】 【例1】（24-25高一上·全国·课前预习）下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一上·全国·课前预习）判断函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D．（，且） 【变式1-2】（24-25高一上·全国·课后作业）下列函数是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高一上·江西新余·期中）下列函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【题型2 根据函数是指数函数求参数】 【例2】（25-26高一上·全国·课前预习）函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高一上·全国·课堂例题）若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一上·天津河西·期末）若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．1或 D． 【变式2-3】（24-25高一上·全国·课后作业）若函数（是自变量）为指数函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型3 求指数函数的解析式】 【例3】（2025高一·全国·专题练习）若指数函数的图象过点，则的解析式为（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高一上·全国·课后作业）若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一上·陕西宝鸡·期末）已知函数是指数函数． (1)求的表达式； (2)判断的奇偶性，并加以证明. 【变式3-3】（24-25高一上·重庆·期中）已知指数函数，且过点. (1)求函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 知识点2 指数函数的图象与性质 1．指数函数的图象与性质 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 R 值域 过定点 图象过定点(0,1)，即当x=0时，y=1 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化范围 当x<0时，y>1 当x<0时，0<y<1 当x=0时，y=1 当x=0时，y=1 当x>0时，0<y<1 当x>0时，y>1 2．底数对指数函数图象的影响 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的底数对图象的影响可以从不同角度来记忆理解. (1)无论是a>1还是0<a<1，在第一象限内，自下而上，图象越高的指数函数的底数越大，即“底大图高”. (2)左右比较：在直线y=1的上面，a>1时，a越大，图象越靠近y轴；0<a<1时，a越小，图象越靠近y轴. (3)上下比较：比较图象与直线x=1的交点，交点的纵坐标越大，对应的指数函数的底数越大. 3．比较指数幂的大小的方法 比较指数幂的大小的方法（分三种情况）： (1)底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断； (2)底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象变化规律来判断； (3)底数不同，指数不同：通过中间量来比较，一般引入中间量“1”. 4．指数方程(不等式)的求解思路 指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化求解. 【题型4 比较指数幂的大小】 【例4】（24-25高一上·吉林长春·期中）已知，，，则三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一上·湖北恩施·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高一上·全国·单元测试）若，则（   ） A． B． C． D． 【题型5 解指数不等式】 【例5】（24-25高一上·全国·课前预习）若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D．全不对 【变式5-1】（25-26高一上·全国·课后作业）若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一上·河北·期末）已知函数（，且）的图象过点，． (1)求，的值； (2)求不等式的解集． 【变式5-3】（24-25高一上·全国·周测）已知指数函数（且）的图象过点． (1)求的值； (2)若，，求的值； (3)求不等式的解集． 【题型6 指数函数图象的识别与应用】 【例6】（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知且，则在同一直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一上·浙江·期中）函数图象的一部分如图所示，则函数的解析式有可能是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高一上·安徽六安·阶段练习）设指数函数：，：，：的图象如图，则（    ） A． B． C． D． 【题型7 指数（型）函数的单调性问题】 【例7】（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2025·山东济宁·二模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高一上·重庆江北·期末）函数的减区间为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25高一上·山东日照·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型8 指数型复合函数及其应用】 【例8】（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数. (1)若在上为增函数，求实数的取值范围； (2)若在上最小值为4，求实数的值； 【变式8-1】（24-25高一上·河南·阶段练习）已知函数，． (1)当时，求的值域： (2)若单调递增，求m的取值范围． 【变式8-2】（25-26高一上·新疆·期中）已知函数，且是上的奇函数. (1)求实数的值； (2)①判断函数的单调性并用定义证明； ②求不等式的解集； (3)若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【变式8-3】（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）已知函数． (1)试确定的奇偶性； (2)求证：函数在上是减函数； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【题型9 指数函数模型的应用】 【例9】（25-26高一上·全国·单元测试）某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以的增长率生长，8天后，该植物的长度是原来的倍，则24天后该植物的长度是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【变式9-1】（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）著名数学家，物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．若当空气温度为时，某物体的温度从下降到用时分钟，则再经过分钟后，该物体的温度为（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）衣柜里的樟脑丸随着时间会挥发，使得体积缩小，刚放进的新丸体积为，经过天后，体积与天数的关系式为.已知新丸经过25天后，体积变为，则新丸经过75天，体积变为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（24-25高一上·全国·课堂例题）有容积相等的桶和桶，开始时桶中有升水，桶中无水．现把桶中的水注入桶中，分钟后，桶的水剩余（升），其中为正常数．假设5分钟后，桶和桶中的水相等，要使桶中的水只有升，必须再经过（    ）    A．12分钟 B．15分钟 C．20分钟 D．25分钟 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $