专题3.3 奇偶性（举一反三讲义）高一数学人教A版必修第一册

专题3.3 奇偶性（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 函数奇偶性的定义与判断】 2 【题型2 由函数奇偶性求函数值、解析式】 4 【题型3 由函数奇偶性求参数】 5 【题型4 函数奇偶性的应用】 6 【题型5 抽象函数的奇偶性】 8 【题型6 函数图象的识别与判断】 11 【题型7 函数图象的应用】 13 【题型8 抽象函数的性质】 16 【题型9 函数的性质综合】 20 知识点1 函数的奇偶性 1．函数的奇偶性 (1)定义： 定 义 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数. 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数. 非奇非 偶函数 既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数. 定义域 特征 定义域必须是关于原点对称的区间. 等价 形式 设函数f(x)的定义域为I，则有f(x)是偶函数⇔x∈I，- x∈I，且 f(-x)-f(x)=0；f(x)是奇函数⇔x∈I，- x∈I，且f(-x)+f(x)=0.特别地，若f(x)≠0，还可以判断是否成立. (2)奇偶函数的图象特征（几何意义） ①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. ②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. ③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数. (3)奇、偶函数图象对称性的应用 ①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数； ②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. 2．函数奇偶性的判断 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 3．函数奇偶性的应用 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. (2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 【题型1 函数奇偶性的定义与判断】 【例1】（24-25高一下·山西大同·阶段练习）下列函数中是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用函数的奇偶性的定义依次判断即可. 【解答过程】对A，函数定义域为，关于原点对称，，不满足，故A不符合题意； 对B，函数定义域为，关于原点对称，，不满足，故B不符合题意； 对C，函数定义域为，关于原点对称，，满足，故C符合题意； 对D，函数定义域为，关于原点对称，，不满足，故D不符合题意. 故选：C. 【变式1-1】（24-25高一上·云南大理·期末）下列函数中，是偶函数的是（    ） A．（） B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据偶函数的定义，逐项分析即可得解. 【解答过程】对于A选项，()定义域不关于原点对称，故A错误； 对于B选项，，所以不是偶函数，故B错误； 对于C选项，函数定义域为R，且，所以是偶函数，故C正确； 对于D选项，，所以不是偶函数，故D错误. 故选：C. 【变式1-2】（25-26高一上·全国·单元测试）下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据函数解析式及奇偶性定义判断函数的奇偶性和单调性即可得. 【解答过程】A：函数是奇函数，且在上单调递增，不符合； B、D：函数，是偶函数，不符合； C：函数是奇函数，且在上单调递减，符合. 故选：C. 【变式1-3】（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】D 【解题思路】根据奇偶性的定义判断即可. 【解答过程】因为是定义在上的奇函数，所以； 是定义在上的偶函数，所以， 则，所以为奇函数，故A错误； ，所以为偶函数，故B错误； ，则为非奇非偶函数，故C错误； ，故为偶函数，故D正确. 故选：D. 【题型2 由函数奇偶性求函数值、解析式】 【例2】（24-25高一上·甘肃兰州·期末）已知函数是奇函数，当时，，那么的值是（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【解题思路】根据奇函数的性质即可求解. 【解答过程】因为函数为奇函数，当时，, 则. 故选：B. 【变式2-1】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用函数奇偶性求对称区域解析式，再利用绝对值的意义，把分段函数又写成含绝对值的函数即可. 【解答过程】当时，，即有， 再由是定义在上的奇函数，所以， 即有， 所以当时，， 当时，， 综上可得：， 故选：C. 【变式2-2】（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）设是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据奇函数的定义可得，求出即可. 【解答过程】因为是定义在上的奇函数，且当时，， 所以. 故选：D. 【变式2-3】（24-25高一上·辽宁盘锦·阶段练习）已知函数是定义域为的偶函数，且当时，，则当时，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用偶函数的性质求函数解析式即得. 【解答过程】当时，，则， ∵函数是定义域为的偶函数，∴， ∴. 故选：A. 【题型3 由函数奇偶性求参数】 【例3】（24-25高三上·广西河池·期末）已知为奇函数，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解题思路】利用求出值并验证即可. 【解答过程】函数的定义域为，而为奇函数，则， 此时，，即为奇函数， 所以. 故选：B. 【变式3-1】（24-25高一上·河南漯河·期末）已知是定义在上的偶函数，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用偶函数的定义域关于原点对称可求得的值，由偶函数的定义可得，可求的值，进而可求得结论. 【解答过程】因为是定义在上的偶函数， 所以，解得，所以定义域为 又，所以，所以， 又，所以，所以. 故选：D. 【变式3-2】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数，若为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】的对称中心为，根据为奇函数得到关于对称即可得解； 【解答过程】， 因为， 所以的对称中心为， 由题意得函数为奇函数关于对称， 则关于对称， 解得， 故选：A. 【变式3-3】（24-25高一上·重庆·期中）设是偶函数，且定义域为，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据奇偶性可得，，，解出，进而得出答案． 【解答过程】由偶函数的定义域是关于原点对称的，所以， 显然，，所以． 故选：B． 【题型4 函数奇偶性的应用】 【例4】（24-25高一上·广东揭阳·期末）设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据偶函数的性质，结合单调性即可求解. 【解答过程】由于为偶函数，故，， 由于时，是增函数，， 故， 故选：A. 【变式4-1】（24-25高一上·天津西青·期末）已知函数是定义在上的奇函数，，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解题思路】根据函数周期性和奇函数性质求解. 【解答过程】因为函数是定义在上的奇函数， 所以，， 又，即函数是周期为4的周期函数， . 故选：C. 【变式4-2】（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）若函数是奇函数，则下列各点一定是函数图象对称中心的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用函数的图象变换求解. 【解答过程】因为函数是奇函数， 所以函数的图象关于原点对称， 又函数的图象是的图象向左平移1个单位， 向上平移2个单位得到的， 所以函数图象对称中心的是， 故选：B. 【变式4-3】（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知为上的奇函数，，若且，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设，由题意得到为偶函数且在上单调递增，由，将原不等式转化为，然后利用的图象与性质将问题转化为，解不等式即可得解. 【解答过程】设，由且, 则在上单调递增，∵为奇函数，， 故为偶函数， 而， 则，解得：， 故选：D. 【题型5 抽象函数的奇偶性】 【例5】（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为偶函数 D．为增函数 【答案】C 【解题思路】通过赋值法，结合函数的奇偶性和单调性即可求解. 【解答过程】令，则， 则，故A错误； 令，则， 则，故B错误； 令， 则， 所以为偶函数，故C正确； 由，，可知不是增函数，D错误. 故选：C. 【变式5-1】（24-25高一上·重庆·期中）若，且，则（    ） A．-2 B．-1 C． D．0 【答案】A 【解题思路】利用赋值法，判断函数的周期，对称性，再利用周期性和对称性求值. 【解答过程】令，，得，得， 令，， 又，故，即， 故得到周期， 令，，即，故是偶函数， 又，，所以得到图象关于对称， 所以，，，， 所以. 故选：A. 【变式5-2】（24-25高一上·浙江温州·期末）已知定义域为的函数满足：，，且，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．， 【答案】D 【解题思路】利用赋值法结合题干信息逐项分析求解. 【解答过程】对A，令，则， 由，则，即，所以，故A错误； 对B，令，则，因为， 所以，解得，故B错误； 对于C，令，则， 又，所以，则， 当时，，不满足奇函数的定义， 所以不是奇函数，故C错误； 对D，由C选项知，，即， 所以，，故D正确. 故选：D. 【变式5-3】（2025·甘肃庆阳·一模）已知函数的定义域为R，，，则下列结论错误的是（    ） A． B．是奇函数 C． D．的图象关于点对称 【答案】D 【解题思路】利用赋值法可得，即可判断A，利用，即可根据奇函数的定义判断B，利用可判断的图象关于点对称，即可判断D，结合奇函数的性质，即可求解C. 【解答过程】取，则，即，得，故A正确； 取，则，得，故是奇函数，B正确； 对任意的都有，可得， 因此的图象关于点对称，故D错误； 由于且是奇函数，得，即， 因此，C正确. 故选：D. 知识点2 函数的图象 1．函数图象的对称性 (1)图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数. (2)图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数. 2．函数图象的识别、判断 (1)排除法：利用特殊点的值来排除； (2)利用函数的奇偶性、单调性来判断. 3．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 【题型6 函数图象的识别与判断】 【例6】（24-25高一上·四川成都·阶段练习）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用函数的奇偶性排除两个选项，再利用时函数值的正负即可判断得解. 【解答过程】函数中，，解得，函数的定义域为， 由，得函数是偶函数，其图象关于轴对称，排除AD； 当时，，排除选项C，选项B符合要求. 故选：B. 【变式6-1】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）函数的图象大致形状是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据函数的奇偶性和函数值的符号可得正确的选项. 【解答过程】的定义域为，而， 因此为奇函数，故排除CD， 当时，，故排除B， 故选：A. 【变式6-2】（24-25高一上·四川南充·期中）函数的大致图象如图所示，则可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据图象分析的奇偶性以及定义域，然后逐项判断即可. 【解答过程】由图象可知，为奇函数且定义域为， 对于A：定义域为关于原点对称，，是偶函数，不符合； 对于B：定义域为，不符合； 对于C：定义域为关于原点对称，，是奇函数，符合； 对于D：定义域为，不符合； 故选：C. 【变式6-3】（24-25高一上·贵州六盘水·期中）函数的图象为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【解题思路】判定函数的奇偶性和正负即可得解. 【解答过程】的定义域为，它关于原点对称，且， 所以是偶函数，排除AB， 当时，，排除C，经检验，D符合题意. 故选：D. 【题型7 函数图象的应用】 【例7】（24-25高一上·天津滨海新·期中）已知函数是上的奇函数，且当时，函数的部分图象如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题设，将不等式化为，结合奇函数对称性及图象确定其解集. 【解答过程】由题设，即， 当时，， 由图可知，时，时， 当时，， 根据奇函数的对称性，有时，时， 所以，不等式的解集为. 故选：D. 【变式7-1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数是定义在区间内的奇函数，且在区间内的图象如图所示，则的单调递增区间为（    ） A． B． C．和 D． 【答案】C 【解题思路】根据奇函数的定义求出的值，由图象可得函数在内单调递增，根据奇函数的对称性，求出函数在内单调递增，即可得解. 【解答过程】因为函数是定义在区间内的奇函数， 所以，解得， 所以函数是定义在区间内的奇函数， 由图可知，函数在内单调递增，由奇函数的性质可知函数在内单调递增， 因此的单调递增区间为和． 故选：A. 【变式7-2】（24-25高一上·贵州六盘水·期中）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A．的定义域为 B．的值域为 C．在区间上单调递减 D．的解集为 【答案】D 【解题思路】根据解析式和图像直接判断AB；对于C：结合奇函数性质分析判断；对于D：利用单调性解不等式即可. 【解答过程】对于选项A：显然函数的定义域为，故A错误； 对于选项B：由图象可知可以为负值，所以的值域不为，故B错误； 因为，可知为奇函数. 对于选项C：由图象可知：在区间上单调递增， 则在区间上单调递增，故C错误； 对于选项D：因为在区间上单调递增， 且，此时的解集为； 又因为在区间上单调递增， 且，此时的解集为； 综上所述：的解集为，故D正确； 故选：D. 【变式7-3】（24-25高一上·四川南充·期中）已知偶函数与奇函数的定义域都是，它们在上的图象分别如图1、图2所示，则使关于的不等式成立的的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】补全两个函数的图象，数形结合可得出不等式的解集. 【解答过程】因为函数为偶函数，函数为奇函数，补全这两个函数的图象如下图所示： 因为，则或， 由图可得，不等式组的解集为， 不等式组的解集为. 综上所述，不等式的解集为. 故选：C. 【题型8 抽象函数的性质】 【例8】（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则下列说法错误的是（   ） A． B．为偶函数 C． D．若，则 【答案】C 【解题思路】A选项，先令，可得，再令，可判断选项正误； B选项，令，结合定义域可判断选项正误； C选项，由题可判断在上单调递增，后由B选项分析可判断选项正误； D选项，由ABC选项可解不等式. 【解答过程】A选项，在中，令， 得，解得；再令， 得，解得，故A正确； B选项，令，得，所以， 又的定义域关于原点对称，所以是偶函数，故B正确； C选项，设，则，所以， 所以， 所以在上是增函数，因为是偶函数， 所以在上是减函数，从而，故C错误； D选项，因为是偶函数，则， 又在上是增函数，所以，解得，故D正确． 故选：C． 【变式8-1】（2025·新疆乌鲁木齐·二模）已知，都是定义在上的函数，对任意x，y满足，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C． D．若，则 【答案】D 【解题思路】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC，取可判断B，对于D，通过观察选项可以推断很可能是周期函数，结合的特殊性及一些已经证明的结论，想到令和时可构建出两个式子，两式相加即可得出，进一步得出是周期函数，从而可求的值. 【解答过程】解：对于A，令，代入已知等式得，得，故A错误； 对于B，取，满足及， 因为，所以的图象不关于点对称， 所以函数的图象不关于点对称，故B错误； 对于C，令，，代入已知等式得， 可得，结合得，， 再令，代入已知等式得， 将，代入上式，得，所以函数为奇函数. 令，，代入已知等式，得， 因为，所以， 又因为，所以， 因为，所以，故C错误； 对于D，分别令和，代入已知等式，得以下两个等式：，， 两式相加易得，所以有， 即：， 有：， 即：，所以为周期函数，且周期为3， 因为，所以，所以，， 所以， 所以，故D正确. 故选：D. 【变式8-2】（24-25高一上·辽宁丹东·期中）定义域为的函数满足. (1)求证：； (2)求证：为偶函数； (3)当时，，求证：在上单调递增，在上单调递减. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解题思路】（1）取计算出，再取即可； （2）取，再取计算出即可； （3）利用定义法证明函数在上的单调性，再结合函数奇偶性得出函数在上的单调性. 【解答过程】（1）取代入，得， 取代入， 得，故. （2）取代入，得， 取代入，所以， 所以，因为当时，，所以为偶函数. （3）设，则，由题设. 所以在上单调递增. 因为为偶函数，所以，而，所以在上单调递减. 【变式8-3】（24-25高一上·重庆·期中）已知函数的定义域为，对任意的都有，且 时, , 时, . (1)求的值并判断函数的奇偶性； (2)讨论的单调性并证明； (3)若对任意的成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，奇函数 (2)增函数，证明见解析 (3) 【解题思路】（1）对已知式中的依次赋值，求得，，利用奇偶性定义证明即得； （2）先证明 时, ，由是上的奇函数，可得，再由函数的单调性定义证明在 在上单调递增，再由奇函数即得为上的增函数； （3）通过赋值法，将题设不等式化成，再利用在上是增函数将其化成对任意的 成立问题，结合一次函数的图象即可求得. 【解答过程】（1）因对任意的都有. 当时,令 ,则，因，则 ； 再令 ,则，即，因，则. 令 ,则,故是奇函数. （2） 在上是增函数.以下提供证明: 当 时, 则，由，可得， 又 ，且时, ，故 时, . 又因是定义在上的奇函数,所以. 任取 ,则 ,从而 在 上单调递增, 又因是上的奇函数,则 在 上单调递增,且， 故在上是增函数; （3）在中，令 ，可得 ，因，则， 由可得， 即 因在上是增函数，即得对任意的 成立， 设， 则解得或 即实数的取值范围为. 【题型9 函数的性质综合】 【例9】（24-25高一上·北京东城·期末）已知奇函数，恒成立，且当时，，设，则下列说法不正确的是（   ） A． B．函数为周期函数 C．函数的图象既有对称轴又有对称中心 D．函数在区间上单调递减 【答案】D 【解题思路】推导出函数是周期函数，可推导出函数为周期函数，结合周期性可判断AB选项；利用函数的对称性可判断C选项；求出函数在上的解析式，结合函数的单调性可判断D选项. 【解答过程】因为函数为奇函数，恒成立， 则，故， 故函数是周期为的周期函数， 对于A选项，， 所以，函数是周期为的周期函数， 则， 当当时，，则，， 所以，，A对； 对于B选项，由A选项可知，B对； 对于C选项，因为 ， 所以，函数的图象关于直线对称， 又因为， 所以，，故函数的图象关于点对称， 因此，函数的图象既有对称轴又有对称中心，C对； 对于D选项，当时，，，， 则， ， 此时，， 所以，函数在区间上不是减函数，D错. 故选：D. 【变式9-1】（24-25高一上·福建福州·期中）已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则下列错误的是（　　） A． B．为函数图象的一条对称轴 C．函数在上单调递减 D． 【答案】D 【解题思路】由为奇函数可得，取，即可判断A；由为偶函数可得，即可判断B；分析可得在上单调递增，结合B选项可判断C；由，取，即可判断D． 【解答过程】A选项，因为奇函数，则， 令，得，可得，故A正确； B选项，因为偶函数，则， 即为函数图象的一条对称轴，故B正确； C选项，由，得为图象的一个对称中心， 又在上单调递增，则在[2,4]上单调递增， 所以在当单调递增， 又由B选项可知函数在上单调递减，故C正确； D选项，由B选项，，令，可得，故D错误． 故选：D． 【变式9-2】（24-25高一上·天津·期中）已知函数是定义域在上的奇函数，且. (1)求a，b的值； (2)用定义法证明函数在上单调递增； (3)解不等式. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【解题思路】（1）由及列方程求参数值，注意验证； （2）根据单调性定义，应用作差法比较大小，即可证； （3）由奇函数、单调性得，求解即可. 【解答过程】（1）由题设，，则， 所以，则，满足题设， 所以； （2）由（1），令， 则 ， 由，则， 所以函数在上单调递增； （3）由题设， 则， 所以，即. 【变式9-3】（24-25高一上·重庆·期中）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有 (1)求函数的解析式； (2)判断的单调性，并利用定义证明； (3)若对 ，都有对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)在上为增函数，证明见解析 (3) 【解题思路】（1）根据，求出，，再检验即得解； （2）函数在为单调递增函数，再利用函数的单调性定义证明； （3）分析得到对任意的恒成立，解不等式组即得解. 【解答过程】（1）函数是定义在上的奇函数， 则，即，解得， 又因为，即，解得， 经检验可得，符合题意． 所以当时，， 令则， 所以， 则当 综上所述，； （2）函数在上是增函数． 证明如下： 任取，且， 则 ， 因为 ， 所以，， 则，即， 故在上为增函数； （3）由（2）可知，函数在区间上单调递增， 所以， 由于对恒成立， 则 对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 构造函数，其中， 所以，即， 解得或或， 所以实数的取值范围是. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.3 奇偶性（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 函数奇偶性的定义与判断】 2 【题型2 由函数奇偶性求函数值、解析式】 2 【题型3 由函数奇偶性求参数】 3 【题型4 函数奇偶性的应用】 3 【题型5 抽象函数的奇偶性】 4 【题型6 函数图象的识别与判断】 5 【题型7 函数图象的应用】 6 【题型8 抽象函数的性质】 8 【题型9 函数的性质综合】 9 知识点1 函数的奇偶性 1．函数的奇偶性 (1)定义： 定 义 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数. 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数. 非奇非 偶函数 既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数. 定义域 特征 定义域必须是关于原点对称的区间. 等价 形式 设函数f(x)的定义域为I，则有f(x)是偶函数⇔x∈I，- x∈I，且 f(-x)-f(x)=0；f(x)是奇函数⇔x∈I，- x∈I，且f(-x)+f(x)=0.特别地，若f(x)≠0，还可以判断是否成立. (2)奇偶函数的图象特征（几何意义） ①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. ②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. ③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数. (3)奇、偶函数图象对称性的应用 ①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数； ②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. 2．函数奇偶性的判断 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 3．函数奇偶性的应用 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. (2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 【题型1 函数奇偶性的定义与判断】 【例1】（24-25高一下·山西大同·阶段练习）下列函数中是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一上·云南大理·期末）下列函数中，是偶函数的是（    ） A．（） B． C． D． 【变式1-2】（25-26高一上·全国·单元测试）下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【题型2 由函数奇偶性求函数值、解析式】 【例2】（24-25高一上·甘肃兰州·期末）已知函数是奇函数，当时，，那么的值是（   ） A． B． C．1 D．3 【变式2-1】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）设是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B．1 C． D． 【变式2-3】（24-25高一上·辽宁盘锦·阶段练习）已知函数是定义域为的偶函数，且当时，，则当时，（   ） A． B． C． D． 【题型3 由函数奇偶性求参数】 【例3】（24-25高三上·广西河池·期末）已知为奇函数，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【变式3-1】（24-25高一上·河南漯河·期末）已知是定义在上的偶函数，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数，若为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高一上·重庆·期中）设是偶函数，且定义域为，，则 （    ） A． B． C． D． 【题型4 函数奇偶性的应用】 【例4】（24-25高一上·广东揭阳·期末）设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一上·天津西青·期末）已知函数是定义在上的奇函数，，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式4-2】（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）若函数是奇函数，则下列各点一定是函数图象对称中心的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知为上的奇函数，，若且，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【题型5 抽象函数的奇偶性】 【例5】（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为偶函数 D．为增函数 【变式5-1】（24-25高一上·重庆·期中）若，且，则（    ） A．-2 B．-1 C． D．0 【变式5-2】（24-25高一上·浙江温州·期末）已知定义域为的函数满足：，，且，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．， 【变式5-3】（2025·甘肃庆阳·一模）已知函数的定义域为R，，，则下列结论错误的是（    ） A． B．是奇函数 C． D．的图象关于点对称 知识点2 函数的图象 1．函数图象的对称性 (1)图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数. (2)图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数. 2．函数图象的识别、判断 (1)排除法：利用特殊点的值来排除； (2)利用函数的奇偶性、单调性来判断. 3．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 【题型6 函数图象的识别与判断】 【例6】（24-25高一上·四川成都·阶段练习）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）函数的图象大致形状是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一上·四川南充·期中）函数的大致图象如图所示，则可能是（    ）    A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高一上·贵州六盘水·期中）函数的图象为（    ） A．   B．   C．   D．   【题型7 函数图象的应用】 【例7】（24-25高一上·天津滨海新·期中）已知函数是上的奇函数，且当时，函数的部分图象如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数是定义在区间内的奇函数，且在区间内的图象如图所示，则的单调递增区间为（    ） A． B． C．和 D． 【变式7-2】（24-25高一上·贵州六盘水·期中）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A．的定义域为 B．的值域为 C．在区间上单调递减 D．的解集为 【变式7-3】（24-25高一上·四川南充·期中）已知偶函数与奇函数的定义域都是，它们在上的图象分别如图1、图2所示，则使关于的不等式成立的的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【题型8 抽象函数的性质】 【例8】（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则下列说法错误的是（   ） A． B．为偶函数 C． D．若，则 【变式8-1】（2025·新疆乌鲁木齐·二模）已知，都是定义在上的函数，对任意x，y满足，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的图象关于点对称 C． D．若，则 【变式8-2】（24-25高一上·辽宁丹东·期中）定义域为的函数满足. (1)求证：； (2)求证：为偶函数； (3)当时，，求证：在上单调递增，在上单调递减. 【变式8-3】（24-25高一上·重庆·期中）已知函数的定义域为，对任意的都有，且 时, , 时, . (1)求的值并判断函数的奇偶性； (2)讨论的单调性并证明； (3)若对任意的成立，求实数的取值范围. 【题型9 函数的性质综合】 【例9】（24-25高一上·北京东城·期末）已知奇函数，恒成立，且当时，，设，则下列说法不正确的是（   ） A． B．函数为周期函数 C．函数的图象既有对称轴又有对称中心 D．函数在区间上单调递减 【变式9-1】（24-25高一上·福建福州·期中）已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则下列错误的是（　　） A． B．为函数图象的一条对称轴 C．函数在上单调递减 D． 【变式9-2】（24-25高一上·天津·期中）已知函数是定义域在上的奇函数，且. (1)求a，b的值； (2)用定义法证明函数在上单调递增； (3)解不等式. 【变式9-3】（24-25高一上·重庆·期中）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有 (1)求函数的解析式； (2)判断的单调性，并利用定义证明； (3)若对 ，都有对恒成立，求实数的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$