3.2.2奇偶性专题讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.2.2 奇偶性 目录 知识点概要 0 考点1 函数奇偶性的定义与判断 2 考点2 根据奇偶性判断图像 2 考点3 由奇偶性求解析式 4 考点4 奇偶性的应用 4 考点5 由奇偶性求参 5 考点6 抽象函数的奇偶性 5 考点7 函数奇偶性解不等式 6 知识点概要 1．函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数． 奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为奇函数． 2．奇偶函数的图象 （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数． （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数． 3．奇偶函数的性质 ①对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称； ②整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立； ③可逆性： 是偶函数； 是奇函数； ④等价性： ； ⑤奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称； ⑥可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数. 4．函数奇偶性的重要结轮 ①奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反. ②，在它们的公共定义域上有下面的结论: 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 ③若奇函数的定义域包括，则. ④若函数是偶函数，则. ⑤定义在上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和. ⑥若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数，为奇， 为偶函数. 考点1 函数奇偶性的定义与判断 1．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数的定义域为，且不同时为0，则（    ） A．当时，恒为偶函数 B．当时，恒为偶函数 C．无论为何值，恒为奇函数 D．当时，为非奇非偶函数 2．（25-26高一上·全国·课后作业）判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)； (3)； (4)； (5) 3．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）下列函数是偶函数的是（    ）． A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·课前预习）函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数，又是偶函数 考点2 根据奇偶性判断图像 1．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·湖南邵阳·阶段练习）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·江苏盐城·阶段练习）函数 的图象大致是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·单元测试）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 考点3 由奇偶性求解析式 1．（2025高一·全国·专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的解析式是（    ）． A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）若函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， ． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知是奇函数，是偶函数，且，则 ， ． 4．（24-25高一下·安徽阜阳·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 考点4 奇偶性的应用 1．（25-26高一上·天津·期中）若是定义在上的偶函数，，有，则（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·北京顺义·阶段练习），若，则 . 3.（25-26高一上·全国·课后作业）若函数在区间[－2023，2023]上的最大值为4，则最小值为 ． 考点5 由奇偶性求参 1．（25-26高一上·全国·课前预习）若函数是定义在区间上的奇函数，则 ． 2．（25-26高一上·山东·开学考试）已知是偶函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高一上·全国·开学考试）设是偶函数，且定义域为，则 ． 4．（24-25高一上·广东汕头·期中）设函数，且为奇函数，则 . 5．（25-26高一上·全国·课堂例题）已知函数是定义在上的奇函数，则 ， . 考点6 抽象函数的奇偶性 1．（25-26高一上·云南·期中）已知函数的定义域为，对于任意的，都有成立，则（ ） A． B．若，则 C．一定是偶函数 D．若，则 2．（2025高一·全国·专题练习）已知函数的定义域为，则（    ） A． B． C．是偶函数 D．若对于任意的，有，则在上单调递增 3．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知函数的定义域为，则下列说法正确的是（    ） A．可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和 B．若是奇函数，则是偶函数 C．若是偶函数，则是偶函数 D．若是奇函数，则是奇函数 4．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为偶函数 D．为增函数 考点7 函数奇偶性解不等式 1．（24-25高一上·辽宁丹东·期中）已知函数，那么不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 2.（25-26高一上·河北保定·开学考试）定义在R上的函数满足，当时，，则不等式的解集为 ． 3．（2025高一·全国·专题练习）设函数，则使得成立的的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 4．（2025高一·全国·专题练习）已知定义在上的奇函数满足，若，则实数的取值范围是 ． 5．（24-25高二下·湖北武汉·期末）函数是定义域为的偶函数， 且，恒有，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.2 奇偶性 目录 知识点概要 0 考点1 函数奇偶性的定义与判断 2 考点2 根据奇偶性判断图像 4 考点3 由奇偶性求解析式 6 考点4 奇偶性的应用 8 考点5 由奇偶性求参 9 考点6 抽象函数的奇偶性 11 考点7 函数奇偶性解不等式 13 知识点概要 1．函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数． 奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为奇函数． 2．奇偶函数的图象 （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数． （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数． 3．奇偶函数的性质 ①对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称； ②整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立； ③可逆性： 是偶函数； 是奇函数； ④等价性： ； ⑤奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称； ⑥可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数. 4．函数奇偶性的重要结轮 ①奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反. ②，在它们的公共定义域上有下面的结论: 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 ③若奇函数的定义域包括，则. ④若函数是偶函数，则. ⑤定义在上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和. ⑥若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数，为奇， 为偶函数. 考点1 函数奇偶性的定义与判断 1．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数的定义域为，且不同时为0，则（    ） A．当时，恒为偶函数 B．当时，恒为偶函数 C．无论为何值，恒为奇函数 D．当时，为非奇非偶函数 【答案】BD 【分析】根据奇偶性的定义即可逐项判断． 【详解】∵函数定义域为R关于原点对称，故其奇偶性只需考虑关系即可： 当时，恒为奇函数，A错误； 当时，恒为偶函数，B正确，C错误； 当时，为非奇非偶函数，D正确． 故选：BD． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)； (3)； (4)； (5) 【答案】(1)奇函数 (2)既是奇函数又是偶函数 (3)既不是奇函数也不是偶函数 (4)奇函数 (5)奇函数 【分析】先判断函数的定义域是否关于原点对称，对于函数定义域不对称的即为非奇非偶函数，再结合函数奇偶性的定义逐一判断（1）（5）题即可． 【详解】（1）函数的定义域为，关于原点对称，且，则为奇函数． （2）对于函数，由可得， 其定义域为，关于原点对称．因为当时，都有， 满足，故既是奇函数又是偶函数． （3）由可得，即函数的定义域为，不关于原点对称， 故既不是奇函数也不是偶函数． （4）由可得，且， 即函数的定义域为且，关于原点对称，此时． 因为，所以函数是奇函数． （5）因函数的定义域为，关于原点对称． 且当时，，则； 当时，，则． 综上所述，，所以函数是奇函数． 3．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）下列函数是偶函数的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义，分别对各选项函数逐一判断即可. 【详解】对于A，函数的定义域为，关于原点对称， 任取，则， 因，故不是偶函数； 对于B，函数的定义域为，关于原点对称， 任取，则，， 因，故不是偶函数； 对于C，函数的定义域为，关于原点对称， 任取，则，，， 因，故不是偶函数. 对于D，函数的定义域为，关于原点对称， 因，故是偶函数. 故答案：. 4．（25-26高一上·全国·课前预习）函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数，又是偶函数 【答案】B 【分析】由函数奇偶性定义判断. 【详解】因为，所以函数的定义域为，关于原点对称． 又， 所以是偶函数,而，故不是奇函数， 故选：B. 考点2 根据奇偶性判断图像 1．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解. 【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D 2．（25-26高一上·湖南邵阳·阶段练习）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的奇偶性即可排除BD，再结合函数值正负判断即可. 【详解】由，， 则， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故BD错误； 而， 则时，；时，，故A满足题意，C错误. 故选：A. 3．（25-26高三上·江苏盐城·阶段练习）函数 的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得函数为奇函数，其图象关于原点对称，再求得在上单调递增，在上单调递减，结合选项，即可求解. 【详解】由函数，可得函数的定义域为， 且满足， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，可排除A选项， 又由当时，，可得在上单调递增， 当时，，可得在上单调递减， 所以D选项符合题意. 故选：D 4．（25-26高一上·全国·单元测试）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由解析式求函数的定义域并判断奇偶性，结合上的单调性，应用排除法即可得. 【详解】由得的定义域为，又，故为偶函数，排除B，C； 当时，，则在上单调递增，排除D， 故选：A 考点3 由奇偶性求解析式 1．（2025高一·全国·专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的解析式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数奇偶性求解析式即可. 【详解】解析 因为当时，，为奇函数， 所以当时，， 所以，即， 故选：D． 2．（2025高三·全国·专题练习）若函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， ． 【答案】 【分析】由奇函数的性质进行求解函数的表达式即可. 【详解】当时，则，得， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 故当时，. 故答案为: 3．（2025高三·全国·专题练习）已知是奇函数，是偶函数，且，则 ， ． 【答案】 ． 【分析】根据奇偶性构造出新的关系式，结合题干表达式，列方程组求解. 【详解】由题意得， 则有 两式相减得，所以 故答案为：， 4．（24-25高一下·安徽阜阳·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义求出解析式. 【详解】函数是定义在上的偶函数，当时，， 当时，，则. 故选：A 考点4 奇偶性的应用 1．（25-26高一上·天津·期中）若是定义在上的偶函数，，有，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到，且在上为减函数，得出，即可求解. 【详解】因为函数为定义在上的偶函数，所以， 又因为时，有， 所以函数在上为单调递减函数，可得， 所以. 故选：D. 2．（25-26高三上·北京顺义·阶段练习），若，则 . 【答案】 【分析】由进行求解． 【详解】， 则， 而，得， 故答案为： 3.（25-26高一上·全国·课后作业）若函数在区间[－2023，2023]上的最大值为4，则最小值为 ． 【答案】0 【分析】先展开整理函数解析式成，构造奇函数，利用奇函数图象关于原点对称的特征得到，可求得，即得答案. 【详解】因为， 令，则， 因为，所以函数为奇函数． 因为奇函数的图象关于原点对称，所以在上的最大值和最小值之和为0， 即，则， 因，故. 故答案为： 考点5 由奇偶性求参 1．（25-26高一上·全国·课前预习）若函数是定义在区间上的奇函数，则 ． 【答案】2 【分析】由奇函数定义及性质求解. 【详解】因为奇函数的定义域关于原点对称，所以，解得． 因为是奇函数，所以，所以， 即，解得，所以． 故答案为：2. 2．（25-26高一上·山东·开学考试）已知是偶函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由偶函数定义域关于原点对称求出的值，再由偶函数的定义式求出b即可. 【详解】因为偶函数的定义域关于原点对称，所以，且，解得； 由为偶函数，得，即，即， 因不恒为0，故，则. 故选： 3．（25-26高一上·全国·开学考试）设是偶函数，且定义域为，则 ． 【答案】 【分析】由偶函数的定义域是关于原点对称求出，再结合求出即可. 【详解】因为是偶函数， 所以定义域关于原点对称，即，解得， 由得， 即，所以，，所以． 故答案为：. 4．（24-25高一上·广东汕头·期中）设函数，且为奇函数，则 . 【答案】2 【分析】根据奇函数性质得到，代入化简得到答案. 【详解】若函数为奇函数， 则， 解得：. 故答案为：. 5．（25-26高一上·全国·课堂例题）已知函数是定义在上的奇函数，则 ， . 【答案】 1 0 【分析】由题知区间需对称，则，结合，即可求解，注意需检验. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 所以且，所以，. 此时，是定义在上的奇函数. 故答案为：1；0 考点6 抽象函数的奇偶性 1．（25-26高一上·云南·期中）已知函数的定义域为，对于任意的，都有成立，则（ ） A． B．若，则 C．一定是偶函数 D．若，则 【答案】BCD 【分析】通过赋值法结合偶函数定义判断各选项即可. 【详解】对于A，令，由得： ，故或者故A错误； 对于B，令则由得： 又时， 令，则可得，则，故B正确； 对于C，当时，令，则， 则，故，所以函数是偶函数， 当时，令，则， 所以，所以函数是偶函数， 综上可知，函数是偶函数，故C正确； 对于D，若，令，得， 令，则， ，则， ，则， ，则， ，则，      ，则， ，则， 故，故D正确. 故选：BCD. 2．（2025高一·全国·专题练习）已知函数的定义域为，则（    ） A． B． C．是偶函数 D．若对于任意的，有，则在上单调递增 【答案】ABC 【分析】令、代入关系式求值判断A、B；令得，令求得判断C；令得，结合已知有判断D. 【详解】A：令，对； B：令，则，对； C：令，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，对； D：令，则，所以， 又对于任意的，有，则所以， 所以在上不可能单调递增，错. 故选：ABC 3．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知函数的定义域为，则下列说法正确的是（    ） A．可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和 B．若是奇函数，则是偶函数 C．若是偶函数，则是偶函数 D．若是奇函数，则是奇函数 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用函数奇偶性定义逐项分析判断. 【详解】对于A，，令， 则，即是偶函数，是奇函数， 而，因此可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和，A正确； 对于B，是奇函数，则，，是偶函数，B正确； 对于C，是偶函数，则，，是奇函数，C错误； 对于D，是奇函数，则，，是奇函数，D正确. 故选：ABD 4．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为偶函数 D．为增函数 【答案】C 【分析】通过赋值法，结合函数的奇偶性和单调性即可求解. 【详解】令，则， 则，故A错误； 令，则， 则，故B错误； 令， 则， 所以为偶函数，故C正确； 由，，可知不是增函数，D错误. 故选：C 考点7 函数奇偶性解不等式 1．（24-25高一上·辽宁丹东·期中）已知函数，那么不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分析出的奇偶性，然后化简不等式并通过分类讨论求解出不等式解集. 【详解】因为的定义域为关于原点对称， 且， 所以为奇函数， 所以， 当时，，解得， 当时，，无解， 当时，，解得或（舍）， 综上所述，不等式解集为， 故选：C 2.（25-26高一上·河北保定·开学考试）定义在R上的函数满足，当时，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】令求出，令可得在R上为减函数，根据单调性和奇偶性即可得解. 【详解】令，则，得， 令，则，即， 所以为奇函数. 令，且，则， 因为，所以，所以， 所以在R上为减函数， 所以不等式 ， 即，解得. 故答案为： 3．（2025高一·全国·专题练习）设函数，则使得成立的的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数解析式，发现为偶函数，且在上为单调递增函数，将所求不等式变形为，然后利用函数性质拿掉“”，求解不等式即可． 【详解】函数的定义域为，， 所以，函数为偶函数， 又因为函数、在上均为增函数， 故函数在上是增函数， 由，得，则，即， 即，解得，即满足题设条件的的取值范围是. 故选：A. 4．（2025高一·全国·专题练习）已知定义在上的奇函数满足，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】是增函数，且， 因为为奇函数，所以在上是增函数． 由，得， 于是，解得．故． 故答案为：. 5．（24-25高二下·湖北武汉·期末）函数是定义域为的偶函数， 且，恒有，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可得，设，可判断函数的单调性及奇偶性，再利用单调性及奇偶性解不等式即可. 【详解】， ， 又，且，则，， 设，则， 所以在单调递增， 又函数是定义域为的偶函数，所以也是上的偶函数， 又，所以，即， 则，解得. 故选：C. 学科网（北京）股份有限公司 $