5.1勾股定理及逆定理（题型专练）数学青岛版2024八年级上册

5.1勾股定理及逆定理 （4大题型基础达标练+能力提升练+拓展培优练） 题型一 已知直角三角形的两边，求第三边. 题型二 利用勾股定理建立方程求解 题型三 已知三角形三边，判断该三角形是否是直角三角形 题型四 勾股定理及逆定理的实际应用 题型一 已知直角三角形的两边，求第三边. 1．如图，用篱笆围一个直角三角形花田，若，米，米，则边需要的篱笆长为（    ） A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理计算即可． 【详解】解：在中，， 米，米， ∴AC2=AB2-BC2=52-42=9 ∴AC=3 边需要的篱笆长为3米． 故选：D． 2．如图，在中，，点D是边上的一个动点（不与点A，B重合），连接，当时，则的面积为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，同高的两个三角形的面积关系，先求解，，再结合即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴AB2=AC2+BC2=25， ∵， ∴BD=3 ∵， ∴， 故选：D 3.如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，若，，则的长为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，垂直平分线的性质，掌握勾股定理与垂直平分线的性质是解题的关键． 连接，根据勾股定理在中求出，再由垂直平分线的性质得到，进而即可解答． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴NB2=NC2+BC2=25， ∴NB=5 ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． 故选：B 4．如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理以及正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 先求出，再由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：由正方形的性质得：， ∴， 在中，由勾股定理得：AC2=AB2-BC2=16， ∴AC=4 故答案为：4． 5．如图，在中，，，垂足为．如果，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理．根据勾股定理可得的长，再由，即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴AB2=AC2-BC2=16， ∴AB=4 ∵， ∴， ∴， 解得：． 故答案为： 6．在中，，则的值为（   ） A．9 B．9或7 C．9或41 D．41 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，理解勾股定理并分类讨论是解题的关键． 未明确直角顶点，需分情况讨论；当直角顶点为时，为斜边，利用勾股定理计算；当直角顶点为时，为斜边，再次应用勾股定理． 【详解】解：①当直角顶点为时：和为直角边，为斜边， 由勾股定理得：， 此时； ②当直角顶点为时：和为直角边，为斜边， 由勾股定理得：， ∴， 解得：； 综上，的值为9或41． 故选：C． 题型二 利用勾股定理建立方程求解 1．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题．大意是：有一个水池，纵截面是一边长为10尺（即）的长方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇径直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，如图．设芦苇长为x尺，那么可以列出方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．设芦苇长为x尺，则水深为尺，根据勾股定理列出方程即可． 【详解】解：设芦苇长为x尺，则水深为尺， 由题意得：， 故选：D． 2．如图，在长方形纸片中，．将沿折叠，使点落在点处，交于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，根据折叠前后的图形全等得到相关条件是解答本题的关键．先证明，可得，设，则，在中，由勾股定理得，即可得出结论． 【详解】解：在长方形中，，， ∵由折叠的性质可知：，， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵在中，由勾股定理得：， ∴，解得， ∴， 3．如图，在中，，，，射线BC上有一点P．当是以BP为腰的等腰三角形时，的长为 ． 【答案】2或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理．分，两种情形分析，根据等腰三角形的性质以及勾股定理求即可． 【详解】解：在中，，，， ∴AB2=AC2+BC2=25， ∴AB=5 当时， ∴； 当时， 设， 则， ∵， ， 解得，， 即， 综上所述，的长为2或． 故答案为：2或． 4．如图，在中，，，，D为的中点，过点D作交于点E，求的长． 【答案】． 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质以及勾股定理．先连接，根据线段垂直平分线的性质，可得，然后设，由勾股定理可得方程，继而求得答案． 【详解】解：连接， ∵D为的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∵，，， ∴AB2=AC2+BC2=100， ∴AB=10 设，则， 在中，， 即， 解得：， 即． 题型三 已知三角形三边，判断该三角形是否是直角三角形 1．下列长度的各组线段能组成一个直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用；求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A. ∵，∴不能构成直角三角形，故选项错误； B. ∵，∴不能构成直角三角形，故选项错误； C. ∵，∴能构成直角三角形，故选项正确； D. ∵，∴不能构成直角三角形，故选项错误； 故选：C． 2．三角形的三边长a，b，c满足，则此三角形是（   ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键． 根据勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】解：， ∴ 即， 所以此三角形是直角三角形， 故选：C． 3．如图，已知中，于点，，，．判断的形状，并说明理由． 【答案】是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理、勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理求出、的长，得出的长，在中利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可解答． 【详解】解：是直角三角形，理由如下： ， ， ，， ∴CD2=BC2-BD2=1.44， ∴CD=1.2 在中，AD2=AC2-CD2=2.56， ∴AD=1.6 ， ， 是直角三角形． 4．如图，在中，是内一点，连接，且．已知．    (1)求的周长； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)30 (2)24 【分析】本题主要考查了勾股定理和逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形． （1）根据勾股定理得出AB=5，再求出结果即可； （2）先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，，再根据求出结果即可． 【详解】（1）解：， ∴AB2=AD2+BD2=25， ∴AB=5 的周长为． （2）解：由（1）知， ， ， 是直角三角形，， ． 题型四 勾股定理及逆定理的实际应用 1．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验.同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【答案】(1)绳子的总长度为； (2)滑块向左滑动的距离为． 【分析】本题主要考查了勾股定理．解决本题的关键是利用勾股定理求出直角三角形的未知边的长度． 根据直角三角形中直角边的长度是，的长度是，利用勾股定理求出斜边的长度，绳子的长度就是斜边与直角边的长度之和； 物体升高，则斜边的长度增加，斜边的长度增加为，利用勾股定理求出的长度，用的长度减去的长度，就是滑块向左滑动的距离． 【详解】（1）解：根据题意得，， ∴AB2=AC2+BC2=100 ∴AB=10 ， 答：绳子的总长度为； （2）解：如下图所示， ： 根据题意得，，，， ∴BD2=AB2-AD2=225， ∴BD=15 ， 答：滑块向左滑动的距离为． 2．《九章算术》记载：今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地问木长几何？其大意是：墙高1丈（1丈=10尺），一根木棒靠于墙壁，木棒上与墙头齐平．当木棒下端沿地面从点向右滑动1尺到点时，木棒上端恰好沿墙壁从点下滑到点（如图所示）．问木棒长多少尺？ 【答案】50.5尺 【分析】本题考查勾股定理解古代问题，涉及勾股定理、解方程等知识，读懂题意，数形结合，由勾股定理列方程求解即可得到答案，读懂题意，以勾股定理建立方程求解是解决问题的关键． 【详解】解：设木棒长为尺，则木棒右端离墙的距离尺， 在中，由勾股定理可知， ∴，解得， 答：木棒的长为尺． 3．为了让学生更好地学会用勾股定理，某校八年级数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践调查，并利用皮尺等工具采集了如下的实验数据． 【采集数据】 如图，利用皮尺测量水平距离米，然后根据手中剩余风筝线的长度得出风筝线的长度米，最后测量放风筝的小康同学的身高米 【数据应用】 当点均在同一平面内，已知图中各点均在同一平面内，点，，，在同一直线上． (1)求此时风筝的垂直高度． (2)若站在点不动，想把风筝沿着的方向从点的位置上升18米到点的位置，则还需要放出风筝线多少米？ 【答案】(1)米 (2)14米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用： （1）根据题意可得米，再由勾股定理求出的长即可得到答案； （2）先求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，米，， 在中，由勾股定理得：DF2=BF2-BD2=144， ∴DF=12 ∴米； ∴此时风筝的垂直高度为米； （2）解：由题意得，米， 在中，由勾股定理得BC2=BD2+CD2=1156， ∴BC=34 ∵米， ∴还需要放出风筝线14米． 4．全民健身手牵手，社区运动心连心．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形进行改建，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．经测量，四边形中，，米，米，米，米． (1)求的长度； (2)已知运动型塑胶地板每平方米200元，请计算在四边形地面上全部铺设运动型塑胶地板，购买运动型塑胶地板的费用需要多少元？ 【答案】(1)25米 (2)46800元 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理即可求出的长度； （2）由（1）得，米，利用勾股定理的逆定理证出，利用三角形的面积公式计算出和的面积，得到四边形的面积，结合运动型塑胶地板每平方米200元，即可求解． 【详解】（1）解：，米，米， （米）， ∴AC2=AB2+BC2=625， ∴AC=25 的长度为25米． （2）解：由（1）得，米， 又米，米， ， ， （平方米）， （平方米）， （平方米）， 运动型塑胶地板每平方米200元， 购买运动型塑胶地板的费用为：（元）． 答：购买运动型塑胶地板的费用需要46800元． 5．如图，在一条东西走向的河的一侧，有一村庄，河边原有两个取水点、，其中由于某种原因，由到的路已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水占在同一条直线上），并修建一条路，测得千米，千米，千米， (1)问是不是村庄到河边最近的一条路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)千米 【分析】本题考查了垂线段最短，勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确计算是解题的关键． （1）由题意得，根据勾股定理的逆定理即可得到结论； （2）根据勾股定理得出，计算即可得到答案． 【详解】（1）解：是村庄到河边最近的一条路，理由如下： （千米）， （千米）， ， ， 是村庄到河边最近的一条路； （2）解：由（1）知，， ， , ， ， （千米）． 1．如图，在中，，，．按如图所示作图痕迹作图，在上得点D，在上得点E，则的长为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图，勾股定理，角平分线的性质．利用勾股定理求得，由作图知，平分，，利用角平分线的性质知，根据三角形的面积公式列式计算即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴AC2=AB2+BC2=169， ∴AC=13 由作图知，平分，， ∵， ∴， ∵， 即， ∴， 故选：C． 2．在中，，D是的中点，以为腰向外作等腰直角连接，交于点F，交于点G． (1)求证：； (2)试判断线段与三者之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形综合问题以及勾股定理，证是解题关键． （1）证得，结合、可得，即可求证； （2）由得，结合，得，根据勾股定理即可求解. 【详解】（1）证明：∵，D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意得：， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．已知与都是等边三角形． (1)如图1，点A、B、E三点共线，求证：； (2)如图2，点D是外一点，且，请证明结论； 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是作出恰当的辅助线． （1）先由等边三角形的性质得出，然后利用“边角边”定理证明两三角形全等，进而得到 （2）连接，由等边三角形性质证得，于是可证两三角形全等，则得出然后证得为直角，最后由勾股定理即可证得结论． 【详解】（1）证明：与都是等边三角形， 在和中， ， （2）证明：如图2，连接， ∵与都是等边三角形， 在和中， 4．如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点是的斜边上的点，连接． (1)求的度数； (2)求证： 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查等腰三角形的定义，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）证明，得出即可求解； （2）根据（1）的结论，推出，根据勾股定理结合等腰直角三角形的性质即可得出结论； 【详解】（1）解：与都是等腰直角三角形， ， ， ， ． ． ； （2）证明：， ， 即． ， 在中，， ，即； 1．阅读小敏的数学日记，思考并解决问题． 2024年9月6日  星期五  天气：晴 从勾股定理到面积关系的思考 经过《探索勾股定理》一节的学习，我已经知道：如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，则根据勾股定理，易得出，，之间的数量关系：_____改成其他图形，那么这个面积关系是否仍然成立呢？ 对此，我展开了探究： 如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用，，表示，我发现，，，之间有如下数量关系：_____． 理由如下：…… 任务一：如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，请写出，，之间的数量关系：_____． 任务二：如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用，，表示，请问：任务一中，，之间的数量关系是否仍然成立？并说明理由． 任务三：如图3，四边形的对角线互相垂直，现以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，，，．已知，，，则_____． 【答案】任务一：；任务二：结论仍成立，理由见解析；任务三：4 【分析】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．结合图形及正方形的面积公式，半圆的面积公式逐项推导即可得解． 【详解】任务一：∵为直角三角形，如图1 ， 即 故答案为： 任务二：结论仍成立，理由如下： 为直角三角形，如图2 ， 即 任务三：设相交于点，如图： 则均为直角三角形，由勾股定理得： 又 即 又，， ， 故答案为：4 2．【问题提出】 如图1，在中，，为边上一点（不与点，重合），以为直角边在右侧做等腰直角，连接． （1）的度数为______； （2）线段，，之间有怎样的数量关系，写出并说明理由； 【类比探究】 如图2，若点在边的延长线上，其他条件不变， （3）试探究线段，，之间满足的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理： （1）证明，得到，利用角的和差关系进行求解即可； （2）根据全等三角形的性质，结合线段的和差关系即可得出结论； （3）证明，求出为直角三角形，利用全等三角形的性质和勾股定理即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 由（1）知：， ∴， ∵， ∴； （3），理由如下： ∵， ∴， ∴，， ∴； ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴． 3．【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接． 请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是_____． A． B． C． D． （2）由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是_____． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【初步运用】 如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，则线段的长_____． 【灵活运用】 如图③，在中， ，D为中点，交于点交于点F，连接，试猜想线段三者之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）B；（2）；；，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形三边关系以及勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定定理解答； （2）根据三角形的三边关系计算； 初步运用  延长到M，使，连接BM，证明，根据全等三角形的性质解答； 灵活运用  延长到点G，使，连结，证明，得到，根据勾股定理解答． 【详解】解：（1）在和中， ， ∴， 故选B； （2）∵， ∴， 在中， ， ∴ ∴， 故答案为； 【初步运用】延长AD到M，使，连接， ∵， ∴， ∵AD是中线， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； 【灵活运用】线段之间的等量关系为：． 证明：如图3，延长到点G，使，连结， ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴中，， ∴． 4．数学活动课上，老师为了激发同学们的数学思维，让同学们模拟把一块三角形蛋糕均分成小三角形蛋糕，分发给若干名小朋友． (1)【初步感知】 小红得到的题目如下：把如图①的等腰三角形蛋糕均分成两块小三角形蛋糕，分发给两名小朋友．于是他沿着底边上的中线切成了两块小三角形蛋糕．他用的数学原理是________； （A）三角形的稳定性    （B）等腰三角形是轴对称图形    （C）三角形内角和等于 (2)【思考操作】 小星得到的题目如下：把如图②的三角形蛋糕均分成四块小三角形蛋糕，分发给四名小朋友．请你用两种不同方法，在图中作出尺规作图条件下能够完成的“切痕”（直接画出“切痕”，写出切割依据即可）； (3)【拓展延伸】 小梅得到的题目如下：如图③，在中，、、边上的中线、、相交于点． ①求证； ②若，，，求的面积． 请你给小梅写出解答过程． 【答案】(1)B (2)见解析 (3)①见解析；② 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形底边上的中线所在的直线为等腰三角形的对称轴，即等腰三角形的中线可以把等腰三角形分成两个相同的部分，据此可得答案； （2）方法一：作的四等分点E、D、F，连接，折痕为；方案二：作的中点E、F，连接，折痕为； （3）①由三角形中线平分三角形面积可得，，则可证明，再证明，可得，即；②延长到M，使得，连接，证明，得到；由（1）可得，可证明，得到，则，即可得到． 【详解】（1）解：由题意得，他用的数学原理是等腰三角形是轴对称图形， 故选：B； （2）解：如图，作的四等分点E、D、F，连接， 则，折痕为， ∴ 如图，分别作的中点E、F，连接，折痕为， 则； （3）解：①∵是的中线， ∴，， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴，即； ②延长到M，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴； 由（1）可得， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.1勾股定理及逆定理 （4大题型基础达标练+能力提升练+拓展培优练） 题型一 已知直角三角形的两边，求第三边. 题型二 利用勾股定理建立方程求解 题型三 已知三角形三边，判断该三角形是否是直角三角形 题型四 勾股定理及逆定理的实际应用 题型一 已知直角三角形的两边，求第三边. 1．如图，用篱笆围一个直角三角形花田，若，米，米，则边需要的篱笆长为（    ） A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 2．如图，在中，，点D是边上的一个动点（不与点A，B重合），连接，当时，则的面积为（   ） A． B． C．2 D． 3.如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，若，，则的长为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 4．如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且，则的长为 ． 5．如图，在中，，，垂足为．如果，，则的长为 ． 6．在中，，则的值为（   ） A．9 B．9或7 C．9或41 D．41 题型二 利用勾股定理建立方程求解 1．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题．大意是：有一个水池，纵截面是一边长为10尺（即）的长方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇径直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，如图．设芦苇长为x尺，那么可以列出方程为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在长方形纸片中，．将沿折叠，使点落在点处，交于点，则的长为 ． 3．如图，在中，，，，射线BC上有一点P．当是以BP为腰的等腰三角形时，的长为 ． 4．如图，在中，，，，D为的中点，过点D作交于点E，求的长． 题型三 已知三角形三边，判断该三角形是否是直角三角形 1．下列长度的各组线段能组成一个直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．三角形的三边长a，b，c满足，则此三角形是（   ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 3．如图，已知中，于点，，，．判断的形状，并说明理由． 4．如图，在中，是内一点，连接，且．已知．    (1)求的周长； (2)求图中阴影部分的面积． 题型四 勾股定理及逆定理的实际应用 1．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验.同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 2．《九章算术》记载：今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地问木长几何？其大意是：墙高1丈（1丈=10尺），一根木棒靠于墙壁，木棒上与墙头齐平．当木棒下端沿地面从点向右滑动1尺到点时，木棒上端恰好沿墙壁从点下滑到点（如图所示）．问木棒长多少尺？ 3．为了让学生更好地学会用勾股定理，某校八年级数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践调查，并利用皮尺等工具采集了如下的实验数据． 【采集数据】 如图，利用皮尺测量水平距离米，然后根据手中剩余风筝线的长度得出风筝线的长度米，最后测量放风筝的小康同学的身高米 【数据应用】 当点均在同一平面内，已知图中各点均在同一平面内，点，，，在同一直线上． (1)求此时风筝的垂直高度． (2)若站在点不动，想把风筝沿着的方向从点的位置上升18米到点的位置，则还需要放出风筝线多少米？ 4．全民健身手牵手，社区运动心连心．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形进行改建，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．经测量，四边形中，，米，米，米，米． (1)求的长度； (2)已知运动型塑胶地板每平方米200元，请计算在四边形地面上全部铺设运动型塑胶地板，购买运动型塑胶地板的费用需要多少元？ 5．如图，在一条东西走向的河的一侧，有一村庄，河边原有两个取水点、，其中由于某种原因，由到的路已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水占在同一条直线上），并修建一条路，测得千米，千米，千米， (1)问是不是村庄到河边最近的一条路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 1．如图，在中，，，．按如图所示作图痕迹作图，在上得点D，在上得点E，则的长为（   ） A．4 B． C． D． 2．在中，，D是的中点，以为腰向外作等腰直角连接，交于点F，交于点G． (1)求证：； (2)试判断线段与三者之间的等量关系，并证明你的结论． 3．已知与都是等边三角形． (1)如图1，点A、B、E三点共线，求证：； (2)如图2，点D是外一点，且，请证明结论； 4．如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点是的斜边上的点，连接． (1)求的度数； (2)求证： 1．阅读小敏的数学日记，思考并解决问题． 2024年9月6日  星期五  天气：晴 从勾股定理到面积关系的思考 经过《探索勾股定理》一节的学习，我已经知道：如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，则根据勾股定理，易得出，，之间的数量关系：_____改成其他图形，那么这个面积关系是否仍然成立呢？ 对此，我展开了探究： 如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用，，表示，我发现，，，之间有如下数量关系：_____． 理由如下：…… 任务一：如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，请写出，，之间的数量关系：_____． 任务二：如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用，，表示，请问：任务一中，，之间的数量关系是否仍然成立？并说明理由． 任务三：如图3，四边形的对角线互相垂直，现以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，，，．已知，，，则_____． 2．【问题提出】 如图1，在中，，为边上一点（不与点，重合），以为直角边在右侧做等腰直角，连接． （1）的度数为______； （2）线段，，之间有怎样的数量关系，写出并说明理由； 【类比探究】 如图2，若点在边的延长线上，其他条件不变， （3）试探究线段，，之间满足的数量关系，并说明理由． 3．【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接． 请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是_____． A． B． C． D． （2）由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是_____． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【初步运用】 如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，则线段的长_____． 【灵活运用】 如图③，在中， ，D为中点，交于点交于点F，连接，试猜想线段三者之间的等量关系，并证明你的结论． 4．数学活动课上，老师为了激发同学们的数学思维，让同学们模拟把一块三角形蛋糕均分成小三角形蛋糕，分发给若干名小朋友． (1)【初步感知】 小红得到的题目如下：把如图①的等腰三角形蛋糕均分成两块小三角形蛋糕，分发给两名小朋友．于是他沿着底边上的中线切成了两块小三角形蛋糕．他用的数学原理是________； （A）三角形的稳定性    （B）等腰三角形是轴对称图形    （C）三角形内角和等于 (2)【思考操作】 小星得到的题目如下：把如图②的三角形蛋糕均分成四块小三角形蛋糕，分发给四名小朋友．请你用两种不同方法，在图中作出尺规作图条件下能够完成的“切痕”（直接画出“切痕”，写出切割依据即可）； (3)【拓展延伸】 小梅得到的题目如下：如图③，在中，、、边上的中线、、相交于点． ①求证； ②若，，，求的面积． 请你给小梅写出解答过程． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$