专题04 二次函数几何综合（专项训练）数学新教材沪教版五四制九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数与几何综合，按面积、角度、特殊三角形题型分类，通过典例构建代数与几何融合的解题逻辑，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |面积问题|4题|动点面积计算、面积相等/最大值|二次函数图像性质→坐标表示→面积公式应用| |角度问题|2题|角度相等判定、角度计算|函数解析式→几何图形性质→角度关系推理| |特殊三角形|3题|等腰/直角三角形存在性|二次函数与三角形性质结合→分类讨论思想|

专题04 二次函数几何综合 常考题型·精准突破 考点一 二次函数几何综合 题型1二次函数中的面积问题 题型2 二次函数中的角度问题 题型3 二次函数中的特殊三角形 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 二次函数几何综合 ◆题型1二次函数中的面积问题 1．已知二次函数的图象交轴于两点．若其图象上有且只有三点满足，则的值是（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】由题意易得点的纵坐标相等，进而可得其中有一个点是抛物线的顶点，然后问题可求解． 【详解】解：假设点A在点B的左侧， ∵二次函数的图象交轴于两点， ∴令时，则有，解得：， ∴， ∴， ∵图象上有且只有三点满足， ∴点的纵坐标的绝对值相等，如图所示： ∵， ∴点， ∴； 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 2．在平面直角坐标系中．已知二次函数图象与轴交于点和点．与轴交于点．点是抛物线上的动点（不与点、重合），连、、．若与的面积相等，则满足条件的点的个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．5个 【答案】C 【分析】先根据二次函数与轴交点设出解析式，利用三角形面积公式建立等式，化简后求解方程，排除与、重合的解，得到满足条件的点的个数． 【详解】解：∵二次函数过和 ∴可设抛物线解析式为 ， 可得，直线的解析式为 设动点 ，由题意且 ∴ 过作轴垂线交于点，则 令，可得： ∵，， ∴两边约去 得： 分情况去绝对值求解： 1 当时， ，解得，符合条件，是有效点； 2 当时， ，解得，符合条件，是有效点； 3 当时， ，解得，不符合条件，舍去； 综上，共有2个满足条件的点． 3．如图，抛物线与直线交于A，B两点，点C为抛物线的顶点，连接，，，且的面积为4，则的值为（    ）    A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】过点作于点，先证明是等腰直角三角形，再设，，根据的面积为4，求出的值，表示出点的坐标代入解析式即可． 【详解】解：如图，过点作于点，   抛物线与直线交于A，B两点 由二次函数图象是轴对称图形，得， ， 是等腰直角三角形， ， ， 设，， ， ， ， 抛物线的对称轴为直线， 把点代入抛物线得： 把点，代入抛物线得： 由解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是本题的关键． 4．如图，抛物线与坐标轴交于两点，与轴交于点．，如果直线平分四边形的面积，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线交x轴于点E，交线段CD于点F，利用一次函数函数图象上点的坐标特征及二次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B、C、D、E、F的坐标，由直线平分四边形OBDC的面积，可得出关于k的分式方程，解出k值后经检验后即可得出结论． 【详解】设直线交x轴于点E，交线段CD于点F，如图所示， ∵抛物线与坐标轴交于A，B两点，与y轴交于点C， ∴点A(-1，0)，点B(3，0)，点C(0，)， 当时，有， 解得：， ∴点D(2，)， ∴CD＝2， ∵直线交x轴于点E，交线段CD于点F， ∴点E(，0)，点F(， )， ∵直线平分四边形OBDC的面积， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解，符合题意． 故答案为：B． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征以及梯形的面积，由直线平分四边形OBDC的面积，找出关于k的分式方程是解题的关键． ◆题型2 二次函数中的角度问题 1．如图，抛物线与x轴分别交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)P是抛物线上的一个点，连接，，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）当点P在x轴上方时，取点，连接，可证明，推出，则点P在射线上，求出直线的解析式为，联立对应的函数解析式求出点P的坐标即可；当点P在x轴下方时，取点，连接，同理可证明点P在射线上，联立对应的函数解析式求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴分别交于，两点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图所示，当点P在x轴上方时，取点，连接， 在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点P在射线上； 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得或， ∴点P的坐标为； 如图所示，当点P在x轴下方时，取点，连接， 同理可证明， ∴， ∵， ∴， ∴点P在射线上； 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得或， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 2．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D在第一象限内的抛物线上，连接，，请求出面积的最大值； (3)点在抛物线上移动，连接，存在，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)4 (3)点的坐标为：或． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由面积，即可求解； （3）当点在轴上方时，则点和点关于抛物线对称轴对称，即可求解；当点在轴下方时，由，求出点，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线的表达式为：， 则， 解得：， 则抛物线的表达式为：①； （2）解：过点作轴交于点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点， 则面积， ， 故面积有最大值，当时，面积的最大值为4； （3）解：当点在轴上方时， 所以平行于x轴 则点和点关于抛物线对称轴对称， 则点； 当点在轴下方时， 设交轴于点，设点， ， 则， 则， 解得：， 即点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：②， 联立①②得：， 解得：（舍去）或， 即点的坐标为：； 综上，点的坐标为：或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算等，分类求解是解题的关键． ◆题型3 二次函数中的特殊三角形 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点C，E为线段AC上一动点（不与点A、C重合）。P为第三象限内抛物线上一动点，连接PE并延长垂直x轴于点D，过点E作AC的垂线，与y轴交于点G，则的最大值为_______． 【答案】 【分析】利用待定系数法求出直线的解析式，过点作轴于点，设，则，说明，从而得出，用含有m的式子表示，再运用二次函数求最值方法即可. 【详解】解：当时，， 点． 当时，， 解得：， . 设直线的解析式为， 把代入， 得：，解得：. 直线的解析式为：． ， ． 过点作轴于点， ， . . . . 设，则， . . 由题意有， 当时，取最大值，最大值为. 2．如图，抛物线经过点、，与直线交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P位于直线下方时，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)过点P作x轴的垂线交x轴于点H，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)的面积的最大值为8， (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作轴，交于点E，先表示，，得出，故，再利用二次函数的性质求解即可； （3）因为，且是等腰直角三角形，得，由（2）知，所以，，则，再解出方程，即可作答． 【详解】（1）解：抛物线经过点、， ， 解得   抛物线的解析式为， （2）解：抛物线的解析式为与直线交于B、D两点． ， 解得，， 把代入，得， 点D的坐标为， 如图1，过点P作轴，交于点E， 则，， ， 点B的坐标是 ， 当时，的面积的最大值为8， 此时． （3）解：如图2，过点P作x轴的垂线交x轴于点H， 轴于H， ， 是等腰直角三角形， ， 由（2）知， 点H的坐标为， 由（1）可知， ，， ， 或， 即或， 当时， 解得或（舍去）， 此时； 当时， 解得或（舍去）， 此时， 综上，点P的坐标为或． 3．如图，二次函数的图像交x轴于点、，交y轴于点C． (1)求二次函数的表达式； (2)若点P是二次函数图像上一点，且点P在第二象限，连接线段交x轴于点D，若的面积是的面积的4倍，求点P的坐标． (3)二次函数图像上是否存在点Q使为直角三角形？如果存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，，， 【分析】本题综合考查了二次函数的解析式、二次函数与面积以及特殊三角形问题，掌握二次函数的相关性质是解题关键． （1）根据题意可得，对称轴为，再利用待定系数法求解即可； （2）由题意得，，，结合的面积是的面积的4倍，可得即可求解； （3）根据为直角三角形，分，，三种情况讨论求解． 【详解】（1）解：图像交x轴于点、， 对称轴为， ，解得， 则二次函数的表达式为； （2）由题意得， ， 又的面积是的面积的4倍， 所以， 点P在第二象限， ， 代入，得， 解得或， 又点P在第二象限， 所以点P的坐标为； （3）由题意知，，， 设直线的解析式为， 则，解得， 直线的解析式为， 又为直角三角形， 当，即, 设关于轴对称点为，则，又， ， ，则，即， ，， 直线的解析式为，即直线的解析式为， 令，即， 解得， 所以； ②当时，即, 设关于轴对称点为，则， ， ，，即， ，， 直线的解析式为，即直线的解析式为， ，即， 解得， 所以； ③当时，， 设， ， 整理得， 解得， 所以，， 综上，符合条件的点Q的坐标为，，，. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点的左侧．若点在轴上，点在抛物线上，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题意分三种情况讨论，然后根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点， ∴当时， ∴ ∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形，点在轴上，点在抛物线上， ∴当是对角线时，和互相平分， ∴， ∴ ∴ 将代入得， 解得或 ∴； 当是对角线时，和互相平分， ∴， ∴ ∴ 同理可得； 当是对角线时，和互相平分， ∴， ∴ ∴； 由图像可得，直线与抛物线有两个不同的交点， ∴此时有两个符合条件的点P， 综上所述，符合条件的点有3个． 二、填空题 2．将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示，当直线与新函数的图象恰有个公共点时，的取值范围为______． 【答案】 【分析】当直线经过点时，直线与新函数的图象有个公共点，把点的坐标代入解析式求出，当时，抛物线关于轴翻折后的图象的解析式是，当直线与的图象有一个交点时，直线与新函数图象有个交点，根据一元二次方程根的判别式求出的值，即可得到的取值范围． 【详解】解：解方程， 分解因式可得， 可得，， 点的坐标为，点的坐标为， 当直线经过点时， 可得， 解得， 此时，直线与新函数的图象有个公共点， 直线再往下平移，则直线与新函数的图象有个公共点， ， 把抛物线整理成顶点坐标式， 可得， 抛物线的顶点坐标是， 点关于轴对称的点的坐标是， 当时，抛物线关于轴翻折后的图象的解析式是， 当直线与的图象有一个交点时，直线与新函数图象有个交点， 方程有两个相等的实数根， 整理可得， ， 解得， 当时，直线与新函数的图象恰有个公共点． 三、解答题 3．已知：如图，抛物线与轴交于点，． (1)试确定该抛物线的函数表达式； (2)已知点是该抛物线的顶点，若点是线段上的一动点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了用待定系数法求解析式以及二次函数图象的性质，熟练掌握用待定系数法求解析式是解题关键． （1）将点与点坐标代入抛物线解析式得到关于的方程组，由此求出的值，从而进一步得出解析式即可； （2）根据垂线段最短可知当时，最小，据此进一步利用三角形的面积公式求出即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：当是边上的高时，的值最小， ∵点是得顶点， ∴，即， ∵，， ∴，，点到轴的距离为2， ∴， ∴， ∴的最小值是． 4．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A和点B，交y轴于点C．已知A（﹣3，0），C（0，﹣3），抛物线的顶点为点D．请解答下列问题： （1）求抛物线的解析式，直接写出顶点D的坐标． （2）P是抛物线上的一动点，当∠PBO＝∠CAO时，则点P的坐标为 ． 【答案】（1），（-1，-4）；（2）（-2，-3）或（-4，5） 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式，抛物线过 A（﹣3，0），C（0，﹣3），代入解析式得：，解方程组，求出解析式配方为顶点式即可； （2）先用待定系数法求出AC解析式，设PB解析式为，过点B（1，0）根据PB∥AC，得出，PB解析式为，联立方程组求解得出点P（-4，5）再根据OA=3，OC=3，∠AOC=90°，OA=OC，△AOC为等腰直角三角形，当PB⊥AC时，∠CAO=∠OBP=45°，△EOB为等腰直角三角形，求出PB解析式为，联立方程组即可． 【详解】解：（1）∵抛物线过 A（﹣3，0），C（0，﹣3），代入解析式得： ， 解得：， 抛物线， 抛物线， 抛物线的顶点（-1，-4）； （2）当PB∥AC时，∠CAO=∠PBO， 设AC解析式为把A、C坐标代入得： ， 解得， AC解析式为， 设PB解析式为，过点B（1，0）， ∵PBAC， ∴， ∴， ∴， ∴PB解析式为， 点P在直线PB与抛物线上， ∴， 消去y得， 解得， ，点P（-4，5）， ，点B（1，0）， ∵OA=3，OC=3，∠AOC＝90°，OA=OC， ∴△AOC为等腰直角三角形， 当PB⊥AC时，∠CAO=∠OBP=45°，PB交y轴于E， ∵∠BOE=90°， ∴OE=OB=1， 点E（0，-1）， 设BE解析式为，把B、E坐标代入得： ， 解得， ∴BE解析式为， 点P在直线BE与抛物线上， ， 消去y得， 解得， 当，P（-2，-3）， 当，B（1，0）． 综合得当∠PBO＝∠CAO时，则点P的坐标为（-2，-3）或（-4，5）． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，配方顶点式，一次函数解析式，联立方程组，解方程组，分类讨论思想，掌握待定系数法求抛物线解析式，配方顶点式，一次函数解析式，联立方程组，解方程组，分类讨论思想是解题关键． 5．综合与实践 如图1所示的是某一呈轴对称关系的建筑工地，由直线形建筑与抛物线形建筑组成，且，如图2，以的中点为原点，所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，已知． (1)求抛物线的解析式． (2)如图2，若在抛物线形建筑安装一条过道，且点，点到的距离均为，求过道的长． (3)若要在抛物线形建筑上安装两盏路灯，使这两盏路灯与抛物线的顶点构成以为直角顶点的等腰直角三角形，求出这两盏路灯的坐标． 【答案】(1) (2) (3)这两盏路灯的坐标分别为 【分析】（1）根据题意，得出点的坐标为，点的坐标为，设抛物线的解析式为，将代入，求出的值，即可得出结果； （2）令，求解对应自变量的值即可； （3）假设，两盏路灯与点构成等腰直角三角形，且，可得垂直于轴，垂足为，且，设点的横坐标为，得，求解出的值，即可得出最终结果． 【详解】（1）解：据题意，可得， ∴点的坐标为，点的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵点，点到的距离均为， ∴令， 解得， ∴． （3）解：如图，假设，两盏路灯与点构成等腰直角三角形，且， 可得垂直于轴，垂足为，且， 设点的横坐标为，则点的纵坐标为， 可得， 解（舍去）． 当时，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 即这两盏路灯的坐标分别为或． 6．如图1，拋物线交轴于A，B两点（在的左边），与轴负半轴交于点，且，连接． (1)求拋物线的解析式； (2)为抛物线上一点，若，求点的坐标； (3)如图2，为线段上一动点，过点作轴交抛物线于点，第四象限的拋物线上是否存在点，连接，使与互相平分，若存在求点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)点的坐标为 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，二次函数的综合应用，平行四边形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，先得出点的坐标为，点的坐标为，结合令是该方程的根，解得，即可作答． （2）读懂题意，然后进行分类讨论，即点在轴上方，或点在轴下方，分别作图，再运用二次函数的图象性质列式计算，即可作答． （3）依题意，假设存在点．因为与互相平分，所以且，因为且轴交抛物线于点，则，得①，②，联立①②，解得：，将代入中得，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，令，得，即点的坐标为， ∵， ，即点的坐标为， 令是该方程的根， ， 得， 故抛物线的解析式为：； （2）解：依题意，设点坐标为， 如图，若点在轴上方，作轴于点， 由（1）知：， ， ， 即：， 得：或（舍去）， 此时点坐标为， 若点在轴下方， 同理得：， 即：， 得：或（舍去）， 此时点坐标为； 综上：点的坐标为或； （3）解：依题意，假设存在点． 当四边形是平行四边形时，与互相平分， 且， 且轴交抛物线于点， 则， 故点与点是一对对称点， ①， 又， ②， 联立①②，解得：， 将代入中得：， 点的坐标为． 7．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线解析式及点坐标； (2)是平面直角坐标系内一点，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标； (3)该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或或 (3)存在， 【分析】（1）根据待定系数法求出抛物线的解析式，然后即可求出抛物线与轴和轴的交点坐标； （2）分三种情况，先确定四边形的对角线，找到对角线的中点，然后根据中点坐标公式即可求解； （3）如图，作，使，连接，交对称轴于点，作轴于，即，点即为所求；证明，则，，待定系数法求直线的解析式为，将代入，计算求解，进而可得． 【详解】（1）解：将，代入解析式得， ， 抛物线的解析式为， 点的坐标为； （2）解：由题意知，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况求解； 当为对角线，则为对角线， 设的中点为，则， 设， ∴， 解得，， ∴； 当为对角线，则为对角线， 设的中点为，则， 设， ∴， 解得，， ∴； 当为对角线，则为对角线， 设的中点为，则， 设， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，点的坐标为或或； （3）解：存在，理由如下； 如图，作，使，连接，交对称轴于点，作轴于， ∵，， ∴，即，点即为所求； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 由题意知，的对称轴为直线， 将代入得，， ∴， ∴存在，． 【点睛】本题综合考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与平行四边形综合，二次函数与角度综合，一次函数解析式等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与平行四边形综合，二次函数与角度综合，一次函数解析式是解题的关键． 8．如图，抛物线经过点，点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在点P，使的面积是面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，， 【分析】（1）将点，点，代入抛物线得，求出的值，进而可得抛物线的解析式． （2）将解析式化成顶点式得，可得点坐标，将代入得，，可得点坐标，求出的值，根据可得，设，则，求出的值，进而可得点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：存在． ∵， ∴， 将代入得，， ∴， 又∵B（2，-3）， ∴BC//x轴， ∴到线段的距离为1，， ∴， ∴， 设，由题意可知点P在直线BC上方， 则， 整理得，， 解得，或， ∴，， ∴存在点P，使的面积是面积的4倍，点P的坐标为，． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数顶点式，二次函数与三角形面积综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 9．如图，已知抛物线经过、两点，D是抛物线的顶点 (1)求该抛物线的解析式及顶点坐标； (2)P为抛物线上一点，若使得，求出点的坐标； (3)E在y轴上，若为直角三角形，直接写出点E的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或 【分析】（1）将、两点代入，解得b、c即可得到解析式，再化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）设点，根据三角形面积公式以及，即可算出y的值，代入抛物线解析式即可得到P点坐标． （3）先设，由（1）得，结合，运用两点距离公式表示出∴，，，再根据为直角三角形，进行分类讨论且进行作图，运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：将、两点代入， ， 解得， 抛物线解析式为， ， 顶点坐标为； （2）解：，， ， 设点，则， ， 当时，， 解得，， 此时或； 当时，， 此时方程无解； 综上所述，P点坐标为或． （3）解：依题意，设， 由（1）得， ∵， ∴， ， ∵为直角三角形， ∴当时，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 此时； ∴当时，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 此时； ∴当时，如图所示： 则， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ 则 解得， 此时或， 综上：E的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法，顶点坐标的求法，坐标系中三角形的面积以及二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与特殊直角三角形，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04二次函数几何综合 常考题型精准突破 ·考点一二次函数几何综合。 ◆题型1二次函数中的面积问题 1.C 【详解】解：假设点A在点B的左侧， :二次函数y=2x2-8x+6的图象交x轴于A,B两点， .令y=0时，则有0=2x2-8x+6,解得：x=1,x2=3, .A1,0),B(3,0). .AB=3-1=2, ,图象上有且只有，B,B三点满足SBm=S=Sm=m, ∴点，乃，的纵坐标的绝对值相等，如图所示： P2 B y=2x2-8x+6=2(x-2)}-2, “点(2，-2)， .m=SM隅 2×2x2=2: 故选C. 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键 2.C 【详解】解：：二次函数y=a2+br+c过A(-2,0)和B(4,0) 1/28 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴可设抛物线解析式为y=a(x+2)(x-4)(a≠0)，AB=4-(-2)=6 可得C(0,-8a),直线BC的解析式为y=2ar-8a 设动点P(ma(m+2(m-4),由题意m≠-2且m≠4 8m-4B3(m+2m-4 过p作x轴垂线交BC于点D,则PD=p-(2am-8a)am(m-4) D 及e号pm,=24mm-4 令SPB=SPaC,可得： 3d(m+2)(m-4)=2dm(m-4 ,a≠0，m≠4， ∴两边约去4m-4得：3m+2=2m 分情况去绝对值求解： 1当m<-2时，-3(m+2)=-2m,解得m=6,符合条件，是有效点： 2当25<0时，3m+22m,解得m,符合条件，是有效 3当m>0时，3(m+2)=2m,解得m=6,不符合条件，舍去： 综上，共有2个满足条件的点P. 3.A 【详解】解：如图，过点C作CE⊥AB于点E, 0 B 抛物线 与直线 交于A,B两点 y=m y=ax2+bx+c y=m 2/28 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由二次函数图象是轴对称图形，得AC=BC, :∠ACB=90°， △ABC是等腰直角三角形， ∴∠CAE=∠CBE=∠ACE=∠BCE=45°， .AE=CE=BE, 设AE=CE=BE=1,AB=21, 1 六S=2B-CE=2x21x1=4, 2 t>0, .1=2, 抛物线y=ar2+r+c的对称轴为直线x=一力 2a 把点以”+2m代入物线y=a心+br+e得： 2a a-(-2d +22+b(,2+2)+c=m① 把点C 2am-2),代入抛物线y=a心+hr+e得： a-(-7d 6+b2+e=m-2@ 1 由①②解得：a= 故选：A 4.B 【详解】设直线y=:-2交x轴于点E,交线段CD于点F,如图所示， y 0 E B 3/28 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 3 ,抛物线y=- 2r+x+2与坐标轴交于A,B两点，与y轴交于点C, ÷点A1,0.点B6,0.点c0,3, 3 1 33 当y=2时，有2+x+2 22 解得：七=0，x2=2 点D(2, 2) CD=2, :直线y=a-2交x轴于点E,交线段CD于点F, 点经0点， :直线y=x-2(k≠0)平分四边形OBDC的面积， 2 7 CD+OB 5 “k+2k 2 2 解得：飞=山 5 11 经检验，k=5是原方程的解，符合题意 故答案为：B. ◆题型2二次函数中的角度问题 1.(1)y=-x2+2x+3 211(413 (2)点P的坐标为 39或3-9 【详解】(1)解：：抛物线y=ax2+bx+3与x轴分别交于A(-l,0),B(3,0)两点， a-b+3=0 .9a+3b+3=0 a=-1 b=2’ ∴.抛物线的解析式为y=-x2+2x+3: 4/28 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：如图所示，当点P在x轴上方时，取点D(O,),连接BD, 在y=-x2+2x+3中，当x=0时，y=3, C(0,3), 0C=3, A(-1,0),B(3,0),D(0,1), .0A=OD=1,OB=3=0C 又，∠AOC=∠DOB=90°， .:△AOC≌aDOB(SAS). ∴.∠DBO=∠ACO, ,∠PBA=∠ACO ∴.∠PBA=∠DBO, ∴点P在射线BD上： 设直线BD的解析式为y=a+b(k≠0)， 「3k+b=0 则6=1· 1 k=- 3 b=1 直线BD的解析式为y= 3x+1, 1 ts、2 3 联立得y=-。x+1 3 ，解得 ,11或x=3, y=-x2+2x+3 9 y=0 (211 .点P的坐标为3'9： 5/28 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图所示，当点P在x轴下方时，取点E(0,-),连接BE, 同理可证明△ACO≌△EBO, :∠EBO=∠ACO, ,∠PBA=∠ACO ∠PBA=∠EBO, ∴点P在射线BE上； 设直线BE的解析式为y=K饮+b"(K≠0)， 3k'+b"=0 则6=-1 1 b”=-1 六直线B正的解析式为 3x1, x=-4 联立得y=3x- ,解得 13或x=3, y=-x2+2x+3 y=- 9 y=0 413 六点P的坐标为3-9 211)(413 综上所述， 点P的坐标为39或39 3 2.(1)y=- 2+x+2 2 2 (2)4 国点D的坐标为：B2或仔）】 【详解】(1)解：抛物线的表达式为：y=a(r+lx-4)=a(x2-3x-④)， 6/28 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则4a=2, 解得：a=- 2, 12 3 则抛物线的表达式为：y=2+2+2①： (2)解：过点D作DH∥y轴交BC于点H, H 由点B40小C0,2)的坐标得，直线BC的表达式为：y= 2+2, 设点+号+2则点方+列 则n面xDmx08-=2+2x+2+分-2-2+4， -1<0 故△BCD面积有最大值，当x=2时，△BCD面积的最大值为4： (3)解：当点D在x轴上方时， :∠DCB=∠ABC 所以CD平行于x轴 则点D和点C关于抛物线对称轴对称， 则点D(3,2): 当点D在x轴下方时， 设CD交x轴于点H,设点H(x,O), 7/28 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D' A H D:∠DCB=∠ABC 则CH=BH, 则(4-)2=x2+4, 3 解得：x Γ2 即点40 由点c片的丝标得，直线0g的表达式为：y=专+2@， 联立02得：+号+2+2， 2 17 解得：x=0(舍去)或3， 1750 即点D的坐标为： 3-9月 苏上，点D的些标为：2攻仔劉】 ◆题型3二次函数中的特殊三角形 5 1.4 【详解】解：当x=0时，y=-3, 点C(0,-3) 当y=0时，x2+2x-3=0, 解得：x=-3,x3=1 8/28 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .A(-3,0). 设直线AC的解析式为y=ac+b(k≠O), 把A(-3,0),C(0,-3)代入， 「-3k+b=0 k=-1 得：1b=-3 ,解得：1b=-3 ∴直线AC的解析式为：y=-x-3 ..OA=OC=3 .∠0AC=∠OCA=45° 过点E作EK1y轴于点K, :EG⊥AC, ∴.LCGE=∠GCE=45° .∠KEG=∠KGE=45 .EG=V2EK=√2OD .2EG=20D 设P(m,m+2m-3,则E(m,-m-3),D(-m,0), ∴.PE=-m-3-(m2+2m-3=-m2-3m,0D=-m PE+V2EG=PE+20D=-m2-3m-2m=-m2-5m=-m+ 5)2 25 2 4 由题意有-3<m<0, 5 2时，PE+V2EG取最大值，最大值为4 D G 2.(1)y=x2-x-6 (②)aBDP的面积的最大值为8，P(L,-6) 9128 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3(4,6)或(2，-4) 【详解】(1)解：抛物线y=x2+bx+c经过点B(3,0)、C(0,-6), 9+3b-6=0 c=-6 [b=-1 解得1c=-6 :抛物线的解析式为y=x2-x-6, (2)解：“抛物线的解析式为y=x-x-6与直线y=x-3交于B、D两点. ∴.x-3=x2-x-6, 解得x=-1,2=3, 把x=-1代入y=x-3,得y=4, 点D的坐标为山4)， 如图1，过点P作PE‖y轴，交BD于点E, 则P%2-1-6).E6,1-3)。 ∴PE=1-3-(2-1-6)=-+21+3, 点B的坐标是(3,0) ∴.SARDP=S△DPE+S△BPE E()) -PE化w =2(-2+21+3) =-2(t-1)2+8, 10/28 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .当I=1时，△BDP的面积的最大值为8， 此时P(1,-6) (3)解：如图2，过点P作x轴的垂线交x轴于点H, 日H" H B 轴于H, 图2 ,PH⊥x ∠PHA=90°， :△AHP是等腰直角三角形， .AH PH, 由(2)知P%,-t-6), ∴点H的坐标为，0)， 由(1)可知4(-2,0)， AH=k-（-2=+2,PH=2-t-6, k+2=2-1-6, t+2=-1-6或1+2=-(2-1-6)， 即2-2t-8=0或2-4=0， 当t2-21-8=0时， 解得1=4或1=-2（舍去）， 此时P(4,6) 当2-4=0时， 解得t=2或1=-2（舍去）， 此时P(2,-4), 综上，点P的坐标为(4,6)或(2,4) 11/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(1)y=x2+2x-3 (2)(-5,12) (3)存在， 2(-1,4)’92,5)’1 2，2 【分析】本题综合考查了二次函数的解析式、二次函数与面积以及特殊三角形问题，掌握二次函数的 相关性质是解题关键， (1)根据题意可得，对称轴为x=-1，再利用待定系数法求解即可： (②由题意得，Sam×3xBD,Sm号D小，结合。PBD的面积是.CBD的面积的4倍， 可得y,=12即可求解： (3)根据△AC0为直角三角形，分∠QCA=90°，∠Q4C=90°，∠A0C=90°三种情况讨论求解. 【详解】(1)解：图像交x轴于点A(-3,0)、B(1,0), 对称轴为x=-1, b =-1 2a 解得」a=1 a+b-3=0 b=2 则二次函数的表达式为y=x+2x-3: (2)由题意得C(0,-3) :.S.CBD 2x3x BD.8..m 又△PBD的面积是ACBD的面积的4倍， 所以y,=4×3=12, ~点P在第二象限， …yp=12 代入y=12,得x2+2x-3=12, 解得x=-5或x=3, 又点P在第二象限， 所以点P的坐标为(-5,12)： (3)由题意知4(-3,0)，C(0,-3),AC=32, 设直线AC的解析式为y=kc+b, 12/28 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -3k+b=0 [k=-1 则1b=3 ,解得6=3” ∴直线AC的解析式为y=-x-3 又△ACD为直角三角形， ①当∠0CA=90°，即C⊥AC, A 设A关于y轴对称点为4，则4(3,0)，又C(0,-3) ∴0C=OA=0A, :.∠AC0=∠AC0=45°，则∠ACA=90°，即4C1AC, ·A(3,0),C(0,-3) :直线AC的解析式为y=x-3,即直线QC的解析式为y=x-3, 令x2+2x-3=x-3,即x2+x=0, 解得x=-l,x=0 所以2(-1，-4)： ②当∠0AC=90°时，即OA⊥AC, 设C关于x轴对称点为C,则C(0,3), :.0A=0C=0C, ·.∠CA0=∠CA0=45°，∠C4C=90°，即CA⊥AC, A(-3,0).C(0,3). 13/28 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :直线AC的解析式为y=x+3,即直线A的解析式为y=x+3, x2+2x-3=x+3,即x2+x-6=0, 解得x=-3,x=2。 所以2(2,5)： ③当∠A0C=90°时，0AP+0C2=AC2, 设(x,x2+2x-3), (x+3)2+(x2+2x-3+x2+(x2+2x)2=18 整理得x(x+3)川x2+x-)=0, 解得x=0,x=3x25,x=1+5 2 所以 综合攻坚知能拔高 1.C 【详解】解：抛物线y=ar+2ar+c(a>0)与y轴交于点C, .当x=0时，y=C .C(0,c) ,以A,C,E,P为顶点的四边形是平行四边形，点E在x轴上，点P在抛物线上， ∴，当AC是对角线时，AC和PE互相平分， .ya+yc=yE+yp, 14/28 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :0+c=0+yr ∴yp=C 将yp=c代入y=a2+2a+c得，c=a2+2am+c 解得x=0或x=-2 P(-2,c: 当AP是对角线时，AP和CE互相平分， ∴.ya+yp=yg+yc, .0+yp=0+c “yp=c 同理可得P(-2,c): 当AE是对角线时，AE和CP互相平分， ∴.ya+yg=yp+yc, .0+0=yp+c ..yp=-c; 由图像可得，直线y=-c与抛物线y=x+2ar+c(a>0)有两个不同的交点， ∴此时有两个符合条件的点P, 综上所述，符合条件的点P有3个. 2.-7<b<-6 【详解】解：解方程-x2+2x+3=0, 分解因式可得(x-3)(x+)=0. 可得x=-1,x2=3, :点A的坐标为(-1,0)，点B的坐标为(3,0)， 当直线y=2x+b经过点B时， 可得6+b=0, 解得b=6, 此时，直线y=2x+b与新函数的图象有3个公共点， 直线再往下平移，则直线y=2x+b与新函数的图象有4个公共点， ∴.b<6, 15/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 把抛物线y=-x2+2x+3整理成顶点坐标式， 可得y=-(x-1)+4, :抛物线y=-x2+2x+3的顶点坐标是（山，4）， 点（山，4)关于x轴对称的点的坐标是（山，-4）， 当-1≤x≤3时，抛物线关于x轴翻折后的图象的解析式是y=(x-1)-4, 当直线y=2x+b与y=(-°-4(-1≤x≤3)的图象有一个交点时，直线y=2x+b与新函数图象有3 个交点， :方程(x--4=2x+b有两个相等的实数根， 整理可得x2-4x-b-3=0, ∴.△=b2-4ac=16+4b+12=0, 解得b=-7, 当-7<b<6时，直线y=2x+b与新函数的图象恰有4个公共点. v=2x+b v=2x+b M 12 3 3.(1)y= 2x+x 2 32 【详解】(1)解：：抛物线y=a2+x+c与x轴交于点A(-l,0),B(3,0), 1 a=- 2 .a-1+c=0，解得 3 C= 9a+3+c=0 2 1 3 ∴抛物线的解析式为y=-。x2+x+ 2 2 (2)解：当OP是BC边上的高时，OP的值最小， 16/28 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 3 点C是y= 2+x+得顶点， (b 4ac-b2 :.C-2a'Aa 即C(,2）) B(3,0),C12), :.BC=V1-3}+(2-0}=25,OB=3,C点到x轴的距离为2， .SAOBC -78c.0r-508x2=3x2=3, :0P=6-32 BC 2 ,3v2 ·Op的最小值是2 4.(1)y=x2+2x-3,(-1,4);(2)(-2,-3)或(-4,5) 【详解】解：(1)：抛物线y=x+bx+c过A(-3,0),C(0,-3),代入解析式得： 9-3b+c=0 c=-3 [b=2 解得： c=-3’ 抛物线y=x2+2x-3. 抛物线y=x2+2x-3=(x+1)2-4, 抛物线的顶点(-1,4)： (2)当PBIIAC时，∠CAO=LPBO, 设AC解析式为y=a+b把A、C坐标代入得： b=-3 -3k+b=0' b=-3 解得k=-1' AC解析式为y=-x-3, 设PB解析式为y=kx+b,过点B(1,0), .PBll AC, k=-1, 17/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0=-1+6, 6=1, PB解析式为y=-x+1, 点P在直线PB与抛物线上， y=-x+1 =2+2x-3 消去y得x2+2x-3=-x+1, 解得=-4，x2=1, x=-4,y4+1=5,点P(4,5), x=1,y=-1+1=0,点B(1,0), 0A=3,0C=3,∠A0C=90°，0A=0C, ∴△AOC为等腰直角三角形， 当PB1AC时，∠CAO=∠OBP=45°，PB交y轴于E, ∠B0E=90°， .0E=0B=1, 点E(0,1), 设BE解析式为y=mr+n,把B、E坐标代入得： n=-1 m+n=0? n=-1 解得m=1· BE解析式为y=x-1, 点P在直线BE与抛物线上， 18/28 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=x-1 y=x2+2x-3 消去y得x2+2x-3=x-1, 解得=-2，为=1， 当出=-2，y=-2-1=-3,P(-2,3), 当￥=，y=1-1=0,B(1,0): D 综合得当∠PB0=∠CA0时，则点P的坐标为(-2，-3)或(-4,5)， 3@y=。r+100 Γ91 (2)MW-12V5m (3)这两盏路灯的坐标分别为(-9,91)，(9,91) 【详解】(1)解：据题意，可得0C=100m,OB=30m, 点C的坐标为(0,100)，点B的坐标为(30,0)， 设抛物线的解析式为y=ax2+100, 将(30,0)代入y=ax2+100, 得0=a×302+100 解得0=-)： 1 ∴.抛物线的解析式为y=-。x2+100 9 (2)解：，点M,点N到AB的距离均为80m, ÷令-。2+100=80， 9 19/28 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得x=±6V5, .MN =125m (3)解：如图，假设E,F两盏路灯与点C构成等腰直角三角形，且∠ECF=90°， 可得EF垂直于y轴，垂足为D,且CD=DF, 设点F的横坐标为m则点F的纵坐标为)㎡+100， D B 可得100 m2+100 9 =m 解m=9,m2=0(舍去). 当m=9时，y=gm+100=91, ∴点E的坐标为(-9,91)，点F的坐标为(9,91)， 即这两盏路灯的坐标分别为(9,91)或(9,91)】 6.(1)y=x2-2x-3 (2)点M的坐标为(4,5)或(2，-3) 【详解】(1)解：依题意，令x=0,得y-3,即点C的坐标为(0，-3)， .OB=OC ∴.OB=OC=3,即点B的坐标为(3,0)， 令y=0,x2+mx-3=0,x=3是该方程的根， .32+3m-3=0, 得m=-2, 故抛物线的解析式为：y=x2-2x-3: (2)解：依题意，设M点坐标为(，-21-3)， 20/28 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图，若点M在x轴上方，作MN⊥x轴于点N, 由(1)知：∠MAN=∠ABC=45°， ∴.AN=MN」 P-2t-3=t+1, 即：-31-4=0， 得：1=4或-1（舍去）， 此时M点坐标为(4,5)， 若点M在x轴下方， 同理得：-(-21-3)=1+1， 即：t2-1-2=0 得：t=2或-1（舍去）， 此时M点坐标为(2，-3)： 综上：点M的坐标为(4,5)或(2，-3)： (3)解：依题意，假设存在点Pn,n2-2n-3)。 当四边形ADPE是平行四边形时，DE与AP互相平分， ∴.PE∥AD且PE=AD, ~D(a,O)且DE⊥x轴交抛物线于点E, 则E(a,ad-2a-3), 故点P与点E是一对对称点， ÷a+”=10, 2 又PE=AD, 21/28 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .n-a=a+l②， 1.5 联立①②，解得：a= 3 将x-代入)-2x-3中得：少= 5 9, 532 点p的坐标为3-9月 7.)y=- 42-8x+4,(0,4) x 3 (2②)(-4,4)或(-2，-4)或(4,4) (3)存在， (劉 4x9-3b+c=0 【详解】(1)解：将 代入解析式得 3x1+b+c=0 A(-3,0）B(1,0) 8 b=- 3 C=4 数的发的解所为少=青女-子+4 点C的坐标为(0,4)： (2)解：由题意知，以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况求解： ①当AC为对角线，则BD为对角线， &4c的中点为p:则(】 设D(a,b), 1+a_3 2 0+b-2 2 解得a=-4,b=4, D(-4,4): ②当AB为对角线，则CD为对角线， 22/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设AB的中点为F,则F(L,0), 设D(a,b), 0+a=-1 2 4+b =0 2 解得a=-2,b=-4, D（-2,-4) ③当BC为对角线，则AD为对角线， 设BC的中点为E 公 设D(a,b), [-3+a=1 22 0+b=2 解得a=4,b=4, D(4,4): 综上所述，点D的坐标为(-4,4)或(-2,4)或(4,4)： (3)解：存在，理由如下： 如图，作MA⊥AC,使MA=AC,连接CM,交对称轴于点E,作MN⊥x轴于N, y M :MA⊥AC,MA=AC, ∠ACM=∠AMC=45°，即∠ACE=45°，点E即为所求； :∠MAN+∠AMN=90°=∠MAW+∠CAO. .∠AMN=∠CAO 23/28 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又：∠ANM=∠COA=90°， .△AM≌aCOA(AAS), ∴.MN=OA=3,AN=OC=4, M(-7,3), 设直线CM的解析式为y=ac+d, 「-7k+d=3 将M(-7,3)C(0,4)代入得，d=4 k= 解得， d=4 直线CM的解析式为y=x+4, 7 由题意知，y=一 兮+4的对称轴为直线x=-1 27 将x=-1代入y=7+4得，y=7, ) “存在， () 8.(1)y=x2-2x-3 ②存在，+5，，B1-5, 【详解】(1)解：：抛物线y=x2+bx+c过点A(-1,0),点B(2-3), [1-b+c=0 4+2b+c=-3' [b=-2 解得c=-3' ∴.抛物线的解析式为：y=x2-2x-3. (2)解：存在. y=x2-2x-3=(x-12-4, .D(1,-4, 24/28 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 将x=0代入得，y=-3, C(0-3), 又B(2,-3), BCx轴， :D到线段BC的距离为1，BC=2, 1 .SacD=5×2×1=1, 2 '.S.Pc =4S.nCD=4, 设P(m,m-2m-3),由题意可知点P在直线BC上方， 则，=2×2x(m2-2m-3+3）=4, 整理得，m2-2m=4. 解得m=1+V5，,或m,=1-V5, +5,.￡1-5，： 存在点P,使△PBC的面积是ABCD面积的4倍，点P的坐标为R+V5,,B-V5, 9.(1)y=x2-2x-3,(1,-4) (2)(-2,5)或(4,5) eo》0)度05-20-5-2 【详解】(1)解：将A(-l,0)、B(3,0)两点代入y=x2+bx+c, [0=1-b+c 0=9+3b+c b=-2 解得1c=-3' ∴抛物线解析式为yx2-2x-3, y=x2-2x-3=(x-102-4, :顶点坐标为D(1,-4): (2)解：A(-1,0),B(3,0), ∴.AB=4, 25/28 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设点Pk少则Sm号4B=2y=10, y=5, 当y=5时，x2-2x-3=5, 解得=-2，=4， 此时P(-2,5)或(4,5)： 当y=-5时，x2-2x-3=-5, 此时方程无解： 综上所述，P点坐标为(-2,5)或(4,5) (3)解：依题意，设E(0,e), 由(1)得D(1,-4), :A(-1,0) AD2=(-1-12+[0-(4)]=4+16=20, ED2=(0-12+[e-(-4)]=1+(e+4), E=[0-(-H)]了+(e-o)2=1+e ,△ADE为直角三角形， .当∠EAD=90°时，如图所示： B ∴ED2=AE2+AD2, .1+(e+4)2=1+e2+20, .1+e2+8e+16=1+e2+20, .8e=20-16, 解得e=分》 26/28 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,当∠EDA=90°时，如图所示： A E D .AE2 =ED2+AD2, .1+e2=1+(e+4)2+20. .1+e2=1+e2+8e+16+20, .-8e=16+20, 解阳e-号， 当∠DEA=90°时，如图所示： y E B衣 D 则AD2=ED2+AE2, 20=1+(e+4}+1+e2, .20=1+e2+8e+16+1+e2, .e2+4e=1, se2+4e+4=5 (e+2)}2=5 27/28 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则e+2=t5 解得9=5-2,9，=-5-2 此时E(0,5-2或E,(0,-V5-2) 综上：E的色标为0)成0)度（包5-2到0-5-2列 28/28 专题04 二次函数几何综合 常考题型·精准突破 考点一 二次函数几何综合 题型1二次函数中的面积问题 题型2 二次函数中的角度问题 题型3 二次函数中的特殊三角形 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 二次函数几何综合 ◆题型1二次函数中的面积问题 1．已知二次函数的图象交轴于两点．若其图象上有且只有三点满足，则的值是（    ） A．1 B． C．2 D．4 2．在平面直角坐标系中．已知二次函数图象与轴交于点和点．与轴交于点．点是抛物线上的动点（不与点、重合），连、、．若与的面积相等，则满足条件的点的个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．5个 3．如图，抛物线与直线交于A，B两点，点C为抛物线的顶点，连接，，，且的面积为4，则的值为（    ）    A． B． C．1 D．2 4．如图，抛物线与坐标轴交于两点，与轴交于点．，如果直线平分四边形的面积，那么的值为（    ） A． B． C． D． ◆题型2 二次函数中的角度问题 1．如图，抛物线与x轴分别交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)P是抛物线上的一个点，连接，，直接写出点P的坐标． 2．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D在第一象限内的抛物线上，连接，，请求出面积的最大值； (3)点在抛物线上移动，连接，存在，请直接写出点的坐标． ◆题型3 二次函数中的特殊三角形 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点C，E为线段AC上一动点（不与点A、C重合）。P为第三象限内抛物线上一动点，连接PE并延长垂直x轴于点D，过点E作AC的垂线，与y轴交于点G，则的最大值为_______． 2．如图，抛物线经过点、，与直线交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P位于直线下方时，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)过点P作x轴的垂线交x轴于点H，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 3．如图，二次函数的图像交x轴于点、，交y轴于点C． (1)求二次函数的表达式； (2)若点P是二次函数图像上一点，且点P在第二象限，连接线段交x轴于点D，若的面积是的面积的4倍，求点P的坐标． (3)二次函数图像上是否存在点Q使为直角三角形？如果存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点的左侧．若点在轴上，点在抛物线上，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 2．将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示，当直线与新函数的图象恰有个公共点时，的取值范围为______． 三、解答题 3．已知：如图，抛物线与轴交于点，． (1)试确定该抛物线的函数表达式； (2)已知点是该抛物线的顶点，若点是线段上的一动点，求的最小值． 4．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A和点B，交y轴于点C．已知A（﹣3，0），C（0，﹣3），抛物线的顶点为点D．请解答下列问题： （1）求抛物线的解析式，直接写出顶点D的坐标． （2）P是抛物线上的一动点，当∠PBO＝∠CAO时，则点P的坐标为 ． 5．综合与实践 如图1所示的是某一呈轴对称关系的建筑工地，由直线形建筑与抛物线形建筑组成，且，如图2，以的中点为原点，所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，已知． (1)求抛物线的解析式． (2)如图2，若在抛物线形建筑安装一条过道，且点，点到的距离均为，求过道的长． (3)若要在抛物线形建筑上安装两盏路灯，使这两盏路灯与抛物线的顶点构成以为直角顶点的等腰直角三角形，求出这两盏路灯的坐标． 6．如图1，拋物线交轴于A，B两点（在的左边），与轴负半轴交于点，且，连接． (1)求拋物线的解析式； (2)为抛物线上一点，若，求点的坐标； (3)如图2，为线段上一动点，过点作轴交抛物线于点，第四象限的拋物线上是否存在点，连接，使与互相平分，若存在求点的坐标，若不存在，请说明理由． 7．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线解析式及点坐标； (2)是平面直角坐标系内一点，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标； (3)该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，抛物线经过点，点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在点P，使的面积是面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由． 9．如图，已知抛物线经过、两点，D是抛物线的顶点 (1)求该抛物线的解析式及顶点坐标； (2)P为抛物线上一点，若使得，求出点的坐标； (3)E在y轴上，若为直角三角形，直接写出点E的坐标． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $