专题03 二次函数的最值问题（六大压轴题专项训练）数学新教材沪教版五四制九年级上册

**基本信息** 以“轴与区间关系”为核心，构建代数到几何的二次函数最值方法体系，通过分类讨论与模型转化培养推理能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|2条底线原则|锁定对称轴与区间位置，几何问题坐标转化|从代数本质到几何应用的逻辑递进| |题型归纳|6类题型（含例题+变式）|定轴定区间比较端点顶点，动轴/动区间分类讨论，线段和用对称转化，面积用割补法|从基础代数最值到复杂几何应用的层级拓展| |压轴挑战|15道综合题|参数分类与多知识点融合|深化最值问题在复杂情境中的迁移应用|

专题03 二次函数的最值问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、定轴定区间求最值 题型二、动轴定区间求最值 题型三、定轴动区间求最值 题型四、求线段最值 题型五、求线段和最值 题型六、求面积最值 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 二次函数区间与几何最值类问题是初中数学核心重难点，所有题型均围绕轴与区间动静分类、单线段最值、线段和最值、图形面积最值六大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是二次函数求最值必须先锁定对称轴与自变量取值区间的相对位置，不能直接套用顶点纵坐标；二是几何类最值需结合图像坐标转化函数表达式，求出结果后验证自变量取值是否符合区间限制. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、定轴定区间求最值 题型模版 1.特征：二次函数解析式固定，对称轴位置确定，同时给出明确、不变的自变量取值范围，求函数最大值或最小值。 2.方法：先算出函数顶点纵坐标，对比对称轴与给定区间的位置；若对称轴落在区间内，顶点处取一个最值，区间两个端点取另一最值；若对称轴在区间外侧，最值直接在区间左右端点取得，最后对比数值确定最大、最小值。 【例1】已知二次函数，当≤≤时，函数的最大值与最小值的差为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先根据二次函数的已知条件，得出二次函数的图象开口向上，再根据变量x在- 1≤x≤2的范围内变化，再分别进行讨论，即可得出函数y的最大值与最小值，即可求解． 【详解】解：∵二次函数， ∴该抛物线的对称轴为，且， ∴当时，二次函数有最大值为1+c；当时，二次函数有最小值为-3+c． ∴函数的最大值与最小值的差为1+c-（-3+c）=4． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数对称轴的求解，考查了二次函数的最值问题，本题中求得二次函数的对称轴是解题的关键． 【例2】已知二次函数在时有最小值，则(    ) A．3 B．或 C．3或 D．或 【答案】C 【详解】解：二次函数， 对称轴为直线， ①，抛物线开口向上， 时，有最小值， 解得：； ②，抛物线开口向下， 对称轴为直线，在时有最小值， 时，有最小值， 解得：； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【变式1-1】已知二次函数（其中是自变量），当时.随的增大而增大，且时，的最小值为，则的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线的对称轴为x= 2， ∵当时，随的增大而增大， ∴抛物线开口向下即a＜0， ∵当时，的最小值为-7， ∴x=-6时，函数有最小值， 解得a= ， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的开口，对称性，增减性和最值，熟练掌握二次函数的性质灵活求解是解题的关键． 【变式1-2】已知二次函数（其中是自变量），当时，随的增大而减小，且时，的最大值为9，则的值为(   ) A．2或 B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据题目中的函数解析式可以求得该函数的对称轴，然后根据当x≥2时，y随x的增大而减小，且-2≤x≤1时，y的最大值为9，可以判断a的正负，得到关于a的方程，从而可以求得a的值． 【详解】解：∵二次函数y=ax2+2ax+2a2+3=a（x+1）2+2a2-a+3， ∴该函数的对称轴为直线x=﹣1， ∵当x≥2时，y随x的增大而减小，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9， ∴a＜0，当x=﹣1时，y=9， ∴9=2a2-a+3， 解得，a1=﹣，a2=2（舍去）， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【变式1-3】二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表．其中有一处被墨水覆盖，仅能看到当时y的值是负数，已知当时，y的最大值为，则c的值为（    ） x 0 y 7 -█ A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题知二次函数y＝ax2﹣4ax+c， 当x＝0时，y值为负数， 即 c＜0． 又由图表可知， y＝ax2﹣4ax+c过（﹣2，7）点， 即：4a+8a+c＝7， 12a＝7﹣c， ∵c＜0， ∴7﹣c＞0， ∴12a＞0． 即：a＞0． ∴二次函数y＝ax2﹣4ax+c开口方向向上． 其对称轴为x＝ ＝2， 又∵当0≤x≤3时，y有最大值﹣9， ∵x＝3相比于x＝0离对称轴更近， ∴应该在x＝0处取得大值﹣9． ∴y＝ax2﹣4ax+c过（0，﹣9）点． 即 c＝﹣9． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质． 题型二、动轴定区间求最值 题型模版 1.特征：自变量取值范围固定不变，二次函数解析式含参数，对称轴随参数变化左右移动，已知最值情况反过来求参数取值。 2.方法：写出含参数的对称轴表达式，分三类讨论对称轴位置：对称轴在区间左侧、对称轴落在区间内部、对称轴在区间右侧；结合每类情况对应的最值列方程求解参数，检验参数是否满足该分类前提条件。 【例3】函数在有最大值6，则实数的值是______． 【答案】或 【详解】二次函数的对称轴为， 由题意，分以下三种情况： （1）当时， 在内，y随x的增大而增大， 则当时，y取得最大值，最大值为， 因此有，解得，符合题设； （2）当时， 在内，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而 增大， 则当或时，y取得最大值， 因此有或， 解得或（均不符题设，舍去）； （3）当时， 在内，y随x的增大而减小， 则当时，y取得最大值，最大值为， 因此有，解得，符合题设； 综上，或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，依据题意，正确分三种情况讨论是解题关键． 【例4】已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则的最大值为（    ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】C 【详解】解：抛物线的对称轴为直线：， ①当时，抛物线开口向上， ∵时，y随x的增大而减小， ∴，即． 解得， ∴， ∵， ∴． ②当时，抛物线开口向下， ∵时，y随x的增大而减小， ∴，即， 解得， ∴， ∵， 当时，有最大值， ∵， ∴此情况不存在． 综上所述，最大值为8． 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的性质．解题的关键是将的最大值转化为二次函数求最值． 【变式2-1】已知二次函数为常数，当时，函数值y的最小值为，则m的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：∵二次函数（为常数）， ∴抛物线的对称轴为直线x==m， 当m＜-1时，-1＜x＜2表示的数在对称轴的右侧， ∵二次函数（为常数）中，a=1＞0, ∴在对称轴的右侧，y随x的增大而增大， ∴当x=-1时，函数y取得最小值，即1+2m=-2，解得m=； 当-1＜m＜2时， ∵二次函数（为常数）中，a=1＞0,函数有最小值， ∴当x=m时，y取得最小值，即=-2， 解得m= 或m=-（不在范围内，舍去）； 当m＞2时， ∵二次函数（为常数）中，a=1＞0, ∴在对称轴的左侧，y随x的增大而减小， ∴当x=2时，函数y取得最小值，即4-4m=-2，解得m=，（不在范围内，舍去） 综上所述，m的值为或， 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，最值，函数的增减性，利用分类思想，灵活运用二次函数的增减性确定最值是解题的关键． 【变式2-2】已知关于的二次函数，其中为实数. （1）当取任意实数时，该二次函数有最小值为________； （2）当时，该二次函数有最小值10，则的值为________. 【答案】 1 或5 【分析】 【详解】（1）∵，又抛物线开口向上， ∴取任意实数时，函数有最小值1. （2）由（1）可知抛物线的对称轴为直线， 当时，最小值为1； 当，时，为最小值，解得（舍去）或. 当，时，为最小值，解得或（舍去）. 综上所述，的值为或5. 【点睛】本题考查一元二次方程、配方法，二次函数的性质，注意根据增减性确定自变量取值范围内的函数极值是解题的关键． 【变式2-3】在平面直角坐标系中，抛物线． (1)若抛物线经过，两点时，求抛物线的解析式； (2)若点，在抛物线上，且，请直接写出结果m的取值范围； (3)当时，函数y的最小值等于6，直接写出m的值． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)当， m的取值范围为 (3)m的值为m=-2或 【分析】 【详解】（1）解：当抛物线经过时，， 解得：， 当抛物线经过时，， 解得， ∵抛物线经过，两点， ∴m=1， 抛物线的解析式为； （2）解：∵a=1＞0，抛物线开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小， 当点，都在对称轴左侧抛物线上， ， 解得， 当点D在对称轴的右侧，点C在对称轴左侧，点C离对称轴远，点D离对称轴近，抛物线得对称轴为x=-m; ∴5+m＜-m-2， 解得， ∴当， m的取值范围为； （3）解：当时，函数y的最小值等于6， 抛物线对称轴，抛物线， ∴， 解得m=3（舍去）或m=-2， 当对称轴-m＜1即m＞-1，在对称轴右侧y随x的增大而增大， ∴x=1是取最小值，即， ∴解得（舍去）或， 当对称轴-m＞3即m＜-3，在对称轴左侧y随x的增大而减小， ∴x=3时，取最小值，即， 解得，都舍去， 综合得m的值为m=-2或． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，抛物线的性质，增减性，最值，掌握待定系数法求抛物线解析式，抛物线的性质，增减性，最值是解题关键． 题型三、定轴动区间求最值 题型模版 1.特征：二次函数对称轴固定，自变量取值区间含有参数、位置可左右平移，根据最值结果求参数范围。 2.方法：固定对称轴，分区间整体在对称轴左侧、区间包含对称轴、区间整体在对称轴右侧三种情况讨论；根据每种区间对应的最值规律建立等式或不等式，求出参数后验证区间范围符合分类要求。 【例5】当时，二次函数的最小值为8，则的值为（    ） A．或5 B．5或8 C．或8 D．0或5 【答案】C 【详解】解：二次函数的对称轴为直线 时，当时，二次函数有最小值 即： 解得：（舍去） 时，当时，二次函数有最小值 即： 解得：（舍去） 故：的值为或8 故选：C 【点睛】本题考查二次函数的最值问题．根据对称轴的位置确定二次函数的最值是解题关键． 【例6】（第二十二章二次函数突破12二次函数与区间最值（二）定轴动区间）已知二次函数． (1)求该抛物线的对称轴； (2)当二次函数的自变量x满足时，此函数的最大值为p，最小值为q，且，求m的值． 【答案】(1)直线 (2)m的值或． 【分析】 【详解】（1）解：， ， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：∵抛物线的对称轴为直线， ①如图1，当时，当时，， 当时，， ， 解得（舍）；          图1                     图2 ②如图2，当时，即， 当时，，当时， ， ， 解得或（舍）； ③如图3，当时，即， 当时，，当时，， ， 解得（舍）或；     图3               图4 ④如图4，当时，即， 当时，， 当时，， ， 解得（舍）； 综上所述，m的值或． 【变式3-1】已知二次函数，当且时，的最小值为，最大值为，则的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】解：二次函数的大致图象如下：    ①当时，当时，取最小值，即， 解得：． 当时，取最大值，即， 解得：或均不合题意，舍去； ②当时，当时，取最小值，即， 解得：． 当时，取最大值，即， 解得：， 或时，取最小值，时，取最大值， ，， ， ， 此种情形不合题意， 所以． 故选：B． 【变式3-2】已知二次函数，当时，y有最小值和最大值5，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：二次函数对称轴为， 由题意得，二次函数经过点，，， 结合图象可知：①当时，最小值为时y的值，最大值为5； ②当时，最小值为，最大值为5； ③当时，最小值为，最大值为时y的值； ∴m的取值范围是． 故选：D． 【点睛】本题考查了求二次函数最值的问题，解决本题的关键是根据顶点式求出对称轴和最大值． 【变式3-3】已知二次函数（为常数，）．点在该二次函数的图象上． (1)求该抛物线与坐标轴的交点； (2)当时，该二次函数值取得的最大值为9，求的值． 【答案】(1)该抛物线与坐标轴的交点为，，； (2)． 【分析】 【详解】（1）解：∵点在二次函数的图象上， ∴． ∴． 解得：或． ∵， ∴． ∴二次函数的解析式为， 当时，，当时，， 解得，， ∴该抛物线与坐标轴的交点为，，； （2）解：∵二次函数的解析式为， 配方得：， ∴抛物线的对称轴为，顶点． 当时，， ∴． ∴解得：或． ∵当时，的最大值为9， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的二次函数图象与性质，解题的关键是熟练运用待定系数法确定二次函数的解析式． 题型四、求线段最值 题型模版 1.特征：抛物线图像上存在动点，用动点横坐标表示竖直线段、水平线段或斜线段长度，求线段长度的最大、最小值。 2.方法：设动点横坐标为，用上下两点纵坐标差值表示竖直线段、横坐标差值表示水平线段；斜线段利用两点间距离公式构造二次函数；确定动点的取值范围，结合对称轴与区间位置求线段最值。 【例7】如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于，两点，在线段上取一点，过作轴于，轴于，连接，则线段长度的最小值为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】 【详解】解：设点的坐标为， ，， ， ， 当时，最短，线段长度的最小值为， 故选：D． 【例8】在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，经过点，直线经过点． (1)求直线的表达式； (2)点是抛物线上一点，其中，过点作垂直于轴的直线，交直线于点，判断线段的长有无最大值，若有，求出最大值；若无，说明理由． 【答案】(1) (2)线段的长有最大值，最大值为 【分析】 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点A，经过点， 当时，， ∴，， ∴， 设直线l的表达式为， 把，代入得， 解得：， ∴直线l的表达式为； （2）如图， 过点作垂直于x轴的直线，交直线l于点N， ∴点N的纵坐标为，点M的纵坐标为， ∵抛物线开口向上，抛物线与直线l交于点，， ∴当时，点N在点M的上方， ∴， ∴线段的长有最大值，最大值为． 【变式4-1】如图，点是抛物线上第一象限内一动点，，，过点分别作轴、轴的平行线，分别交直线于，两点，过点作的垂线，垂足为．下列说法中正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为2 D．周长的最大值为 【答案】D 【详解】解：设直线解析式为，则有，解得， ∴直线解析式为； 设，则点H的坐标为， ∴， 配方得：， 当时，有最大值； ∵，， ∴； ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为，故选项C错误； ∴由勾股定理得； ∵， ∴，由勾股定理得， 即 ∴的最大值均为， 故选项A、B错误； ∵周长为， ∴当最大时，周长也最大，且最大值为：， 故选项D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，求一次函数解析式等知识，善于转化是解题的关键． 【变式4-2】如图，线段，点P在线段上，在的同侧分别以为边长作正方形和，点M，N分别是，的中点，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：作交延长线于，则四边形为矩形， ∴． ∵N是的中点， ∴， ∴． 设，，则， 在中，由勾股定理得：， 即． ∵， ∴当，即时，， ∴．即的最小值为5； 故选C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，二次函数的最值．熟练掌握勾股定理和二次函数的最值是解决问题的关键． 【变式4-3】如图，直线与抛物线相交于和，点P是线段上异于A、B的动点，过点P作轴于点D，交抛物线于点C (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)是否存在这样的P点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)； (2)6 (3)线段最大为． 【分析】 【详解】（1）解：∵在直线上， ∴， ∴， ∵，在抛物线上， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令，则，解得， ∴， ∴的面积； （3）解：设动点P的坐标为，则C点的坐标为， ∴， ∵， ∴当时，线段最大为． 题型五、求线段和最值 题型模版 1.特征：抛物线背景下，定点与抛物线上动点相连，求两条线段之和最小，常见将军饮马模型。 2.方法：利用抛物线对称轴作其中一个定点的对称点，连接对称点与另一个定点，连线与抛物线交点即为取最小值的动点；求出交点坐标，再代入计算线段和的最小值，注意动点存在的取值限制。 【例9】如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图所示，设抛物线与轴的另一个交点为，连接，， ∵，令， 即， 解得：， ∴, 令，解得， ∴， ∵点是对称轴上的一个动点， ∴， ∵ ∴当三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 即， 故选：D． 【点睛】本题考查了根据二次函数对称性求线段和的最值，掌握二次函数对称性是解题的关键． 【例10】如图，抛物线交轴于点，交轴于点，对称轴是直线，点是抛物线对称轴上的一个动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】抛物线交轴于点，对称轴是直线， ， 解得， 抛物线解析式为， 令，得， ， 根据对称性可得，抛物线与轴另一交点为， 如图所示，连接， 点与点关于对称轴对称，点在对称轴上， ， ， 根据两点之间线段最短，当、、三点共线时，最小，最小值为线段的长， 在中，，， ， 的最小值为． 【变式5-1】如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点，M点在抛物线的对称轴上，当周长最小时，点M的坐标为__________ 【答案】 【详解】解：连接， ∵点M在对称轴上， ∴， ∴， ∴当点M在上时，的最小值，此时的周长最小， ∵点， 设解析式为，把点A、C的坐标代入得：， 解得， ∴解析式为， 当时， 则点． 【变式5-2】已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为，点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，点的坐标为_____． 【答案】 【详解】解：把代入，得， 解得：， 抛物线的解析式为：， 令，则， 解得：，， ，， 由于A、B两点关于直线对称，连接交直线于点P，则点P即为所求， 当时，， ， 设直线的解析式为， 将C、B两点的坐标代入得， 解得：， 直线的解析式为， 当时，． 点P的坐标为． 【变式5-3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且抛物线交轴于点、，交轴于点，在轴上有一点，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）若点为轴上方抛物线上的一个动点，连接，，设的面积为，点的横坐标为，求与的函数关系式； （3）在抛物线对称轴上是否存在一点，使得的值最小，若存在，则求出最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）点的坐标为时，的值最小，最小长度为的长，即为． 【分析】 【详解】解：（1）抛物线的对称轴为直线，且抛物线交轴于点， 解得 抛物线的表达式为； （2）令，解得，， ，， 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得 直线的解析式为． 如解图①，过点作轴于点，延长交的延长线于点， 设，则，， 与的函数关系式为； （3）存在．如解图②，连接，交对称轴于点， 抛物线对称轴为直线， 设，直线的解析式为，将，代入得， 解得 直线的解析式为， ， 点在对称轴和直线上， 点的横坐标为， 将代入直线的解析式为得， 点的坐标为时，的值最小，最小长度为的长，即为． 【点睛】本题考查的是已知点求二次函数式，及根据二次函数的性质求出三角形的面积的解析式，还考查了根据线段最短求出符合条件的点的坐标及最短线段长．用含m的代数式表示三角形的面积是本题的难点． 题型六、求面积最值 题型模版 1.特征：坐标系内，以抛物线动点为顶点构成三角形、四边形，设动点横坐标，求图形面积的最大值或最小值。 2.方法：用横坐标表示各关键点坐标，采用割补法、底乘高表示图形面积，整理得到关于的二次函数；确定动点实际取值区间，对比对称轴与区间位置求解面积最值，舍去超出范围的结果。 【例11】如图，抛物线的顶点为，其坐标为，抛物线交轴于，两点，交轴于点，已知． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，，判断的形状； (3)若点是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值，并求出取得最大值时E点坐标． 【答案】(1) (2)是直角三角形 (3)面积的最大值，此时点E的坐标为 【分析】 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）解：在中，当时，， 解得或， ∴； ∵，， ∴，， ， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：如图所示，过点E作轴交于点F， 设直线的表达式为，则， ∴， ∴直线的表达式为； 设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 则，即此时点E的坐标为． 【例12】如图，已知抛物线的顶点为，抛物线与y轴交于点，与x轴交于C、D两点，点P是x轴上的一个动点．    (1)求此抛物线的解析式； (2)试判断的形状，并说明理由，且求； (3)若点Q是直线上方抛物线上的一个动点，则的面积有最大值吗？若有最大值，请求出最大值，若没有最大值，说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形，； (3)当时，的面积有最大值． 【分析】 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式， 把点代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：是直角三角形，理由如下： 由（1）知，抛物线的解析式为； 令，则， ∴或， ∴； ∵，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； （3）解：的面积有最大值，理由如下： 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 设，其中， 过点Q作轴交于点G，      ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积有最大值． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的勾股定理，铅锤法求三角形的面积是解题的关键． 【变式6-1】如图，经过，，的抛物线与y轴交于D，点E在第四象限抛物线上，点F在线段上． (1)求抛物线的解析式； (2)当与y轴平行且取最大值时，求点E的坐标； (3)四边形的面积是否存在最大值？若存在，能否求出点E，F的坐标？若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)四边形的面积存在最大值，此时，此时F为上任意一点． 【分析】 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 由题意得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴； 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为； 设，则， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值， 此时， ∴； （3）解：如图所示，连接，过点E作轴交于点H， 同理可得直线的解析式为， 由（2）得直线的解析式为， ∴， ∴点F到的距离为定值， ∴为定值， ∵， ∴当有最大值时，有最大值； 设，则， ∴ ， ∴ ， ∵ ∴当时，有最大值，即此时有最大值， 由（2）可知，此时， ∴四边形的面积存在最大值，此时，此时F为上任意一点． 【变式6-2】如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求函数解析式和点的坐标； (2)在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标； (3)第一象限内的抛物线上有一动点M，连接、，求面积的最大值，以及取得最大值时点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)面积的最大值为4，此时点的坐标为 【分析】 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，点的坐标是，抛物线的对称轴是直线， ∴， 将点代入得：，解得， ∴函数解析式为． （2）解：把代入得，， ∴， 如图，连接，交直线于点，连接， 由轴对称的性质可得， 由两点之间线段最短可知，，此时点即为所求， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， ∵点在对称轴直线上， ∴点的横坐标为1， 将代入函数得：， ∴点的坐标为． （3）解：如图，过点作轴于点，交于点， 设，则， ∴． ∵，， ∴的边上的高与的边上的高之和为， ∴， 由二次函数的性质可知，当时，的面积最大，最大值为4， 此时， 所以面积的最大值为4，此时点的坐标为． 【变式6-3】如图①，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)求点坐标和面积； (3)若点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接，交于点．设，是否存在最大值？如果存在求出此时点的坐标并求出此时的最大值，否则请说明理由． 【答案】(1) (2)，6 (3)存在最大值，最大值为2，此时 【分析】 【详解】（1）解：把代入中，得： ， 解得， 抛物线解析式为； （2）解：令，得， ∴， ∴， ∵ ， ； （3）解：存在最大值，理由如下， 设，， 如图所示， ， 当时，取得最大值为2，此时， 则． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．函数在有最小值，则实数的值是___________． 【答案】或 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，则时，函数有最小值， 此时，解得； 当时，则时，函数有最小值， 此时，解得不合题意，舍去； 当时，则时，函数有最小值， 此时，解得舍去， 综上，实数的值是或， 故答案为：或． 2．已知二次函数，当自变量的取值在的范围中时，函数有最小值，则的最大值是______. 【答案】 【详解】解：二次函数图象的对称轴为直线． 当时，时取最小值，此时； 当时，时取最小值，此时； 当时，时取最小值，此时． 综上所述：的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，分、及三种情况考虑是解题的关键． 3．在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点，且点在点的左侧． （1）点的坐标为______________； （2）当时，抛物线的最小值为，则的值为_____________. 【答案】 1或 【分析】 【详解】解：（1）由题意得：令， 则， 解得：，， ∵点在点的左侧， ∴点的坐标为； （2）由（1）知点的坐标为，点的坐标为； ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，抛物线开口向上，当时，最小值为， ∵当时，抛物线的最小值为， ∴， ∴； 当时，抛物线开口向下，当有最大值， ∵，，且； ∴当时，离对称轴较远， 故在时，抛物线取得最小值， 即， 解得； 所以的值为1或． 故答案为：；1或． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数的对称轴和最值问题，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 4．当时，函数的最小值为1，则的值为（     ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 【答案】D 【详解】解：， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点处函数最小值为． 当时，函数的最小值为1， 分两种情况讨论： ①如图1，当时，即时， 最小值在处取得， ∴，即，解得或， ∵， ∴． ②如图2，当时， 最小值在处取得， ∴，解得或， ∵， ∴． 综上，的值为或． 5．已知抛物线在自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为9，则m的值为（   ） A．或5 B．或2 C．或1 D．1或4 【答案】C 【详解】解：由题意，抛物线为， 抛物线开口向上，当时，取最小值为1；当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． ①当时，即， 当时，取最大值为． 或（舍去）． ②当时， 当时，取最大值为． （舍去）或． ③当时，即， 当或时，取最大值为或． 或，或或，均不符合题意． 综上，或． 故选：C． 6．如图，中，，，，D是线段上一个动点，以为边在外作等边．若F是的中点，连接，则的最小值为______．    【答案】9 【详解】解：如图，连接，    ∵为等边三角形，F是的中点， ∴，平分，即点F在的平分线上， 如图，当，点D在上时，最小，    在中，， 则， 由勾股定理得：， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：9． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、垂线段最短，得出，点D在上时，最小是解题的关键． 7．已知抛物线与直线相交于、两点，则线段长的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设， 联立抛物线与直线方程 整理得 由根与系数的关系得 ∵ ∴ ∵ ， ∴ 当 时，取得最小值 代入得． 8．已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（    ）． A．或4 B．或 C．或4 D．或4 【答案】D 【详解】解：二次函数的对称轴为：直线， （1）当时，当时，随的增大而减小，当，随的增大而增大， 当时，取得最小值， ， ； （2）当时，当时，随的增大而增大，当，随的增大而减小， 当时，取得最小值， ， ． 故选：D． 9．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)点为该抛物线上第二象限内的一点，连接，，若，求点的坐标； (3)若点为线段上一动点，则的最小值为________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：过点作轴的垂线，交轴于点， 设点的坐标为， ∵抛物线与轴交于、两点， 令， 解得：，； ∴，， ∵点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∵点在第二象限， ∴， ∴， ∴点． （3）解：过点作，交于点， 由（2）可知，，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当点，，三点共线时，有最小值， 此时， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 10．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为．    (1)求抛物线的表达式； (2)若点是第四象限内抛物线上一动点，连接，，求的面积的最大值； (3)当时，抛物线有最小值5，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】 【详解】（1）设抛物线的表达式为：, 又∵ ∴； （2）过点作轴交于点,    当时，, ∴点, 设直线的表达式为， 把和代入得： ，解得 ∴直线的表达式为, 设点, 则点, ∴， ∵， ∴有最大值，最大值为； （3）∵， 即抛物线的最小值是， 即和不可能在抛物线对称轴两侧； 当时, 即, 则时，抛物线取得最小值， 即, 解得:(舍去)或, 即； 当时, 即, 则时, 抛物线取得最小值, 即, 解得:或(舍去)， 综上,或； 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系. 11．已知二次函数的图象经过点和点． (1)求该二次函数的表达式． (2)点在该函数图象上（其中），求的值； (3)在（2）的条件下，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点，使的值最小，若存在求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】 【详解】（1）解：将点和点代入二次函数表达式， 得 解得：，， 该二次函数的表达式为：． （2）解：∵点在函数图像上， ， 则或， ， 的值为：6． （3）解：如图，由（2）可知点，对称轴为 作点关于对称轴的对称点,连接与对称轴的交点为， 设直线的解析式为， 把点，,代入得， 解得，， 所以直线的解析式为， 当时，， 则， 所以当点时，最小． 12．在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，顶点为D，且，． (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)E为抛物线上一点，当时，求点E的坐标； (3)已知点满足，M、N分别是x轴，直线AD上的动点，当的最小值为时，求n的值． 【答案】(1)解析式为，顶点D的坐标为 (2)点E的坐标为 (3) 【分析】 【详解】（1）解：把，代入抛物线得 ， 解得． ∴抛物线的解析式为． ∴顶点D的坐标为． （2）如图，过点A作交抛物线于点E， 过点D作轴于点H，过点E作轴于点F． ∵，， ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． ∴是等腰直角三角形． 设， ∴，． ∵． ∴． （不符合题意，舍去），． ∴点E的坐标为． （3）如图，作关于x轴的对称点， 过点作于点N，交x轴于点M， 过点作轴交直线于点T， ∵P，关于x轴对称， ∴． ∴． 当时，最小，最小值为的长度， ∴． ∵轴， ∴． ∴． ∴． 由，， 设直线的解析式为， ∴． 解得∴． ∴． ∵， 将代入得，． ∴． ∴． ∴． 13．如图，二次函数的图象与轴交于点、点，点是该函数与轴的交点，且，连接、． (1)求二次函数的表达式； (2)判断的形状并说明理由； (3)若是此二次函数图象上第一象限内的点（如图），设点横坐标为，记的面积为，写出关于的函数关系式，有没有最大值?如果有，求出的最大值． 【答案】(1) (2)是直角三角形 (3)当时，有最大值，最大值为 【分析】 【详解】（1）点是该函数与轴的交点，且， 点的坐标为， 抛物线的图像过点和， ， 解得， 二次函数的表达式为； （2）令，则， 解得，， 点的坐标为， ，，， ， 是直角三角形； （3）设直线的解析式为， ，， ， 解得， ， 过点作轴交于点， 则点的纵坐标为，点的纵坐标为， ， ， ，， 当时，有最大值，最大值为． 14．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点和点两点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式： (2)如图1，若点为抛物线对称轴上的动点，当点在对称轴上下移动的过程中，求周长的最小值； (3)如图2，点为线段上的一动点，过动点作交抛物线第一象限部分于点，连接，记与的面积和为，当取得最大值时，求点的坐标，并求出此时的最大值． 【答案】(1) (2) (3)当时，取最大值，点P的坐标为 【分析】 【详解】（1）解：二次函数的图象与轴交于点和点两点， 设抛物线的表达式为， 将代入上式，得：， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：如图，作点C关于对称轴的对称点，连接，， 抛物线的表达式为， 对称轴为直线， ， ，即， ， ， 由轴对称得， ， 当A，M，共线时等号成立，取最小值，最小值为， 周长的最小值为：； （3）解：由已知点，，， 设直线的表达式为， 将，代入上式，得， 解得， 直线的表达式为， 同理可得直线的表达式为， ， 设直线的表达式为， 由（1）设， 代入直线的表达式得：， 解得， 设直线的表达式为， 联立， 解得， ， P，D都在第一象限， ， 当时，取最大值， 此时点P的坐标为． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，周长最短问题及面积问题，理解题意，熟练掌握运用二次函数的综合性质是解题关键． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，交轴于点，，点是抛物线上一点． (1)求抛物线的表达式并直接写出顶点的坐标． (2)当时，求二次函数的最大值与最小值． (3)若点是直线上方抛物线上的点（不与点、重合），设点的横坐标为，连接，，求面积的最大值，并求出此时点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为：； (2)函数最大值为，函数最小值为 (3)面积最大值为， 【分析】 【详解】（1）解：将点，点代入抛物线中， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为：， 化成顶点式， ． （2）抛物线的对称轴为直线，开口向下， 当时，随的增大而减小， 当时，函数有最大值， 当时，函数有最小值． （3）点是直线上方抛物线上的点，点的横坐标为， ， 设的解析式为， 将点，点代入可得： ， 解得：， ， 过点作垂直于轴的线交于点，此时的横坐标为， ， ， ， ， 面积最大值为，此时， 当时，， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数的最值问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、定轴定区间求最值 题型二、动轴定区间求最值 题型三、定轴动区间求最值 题型四、求线段最值 题型五、求线段和最值 题型六、求面积最值 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 二次函数区间与几何最值类问题是初中数学核心重难点，所有题型均围绕轴与区间动静分类、单线段最值、线段和最值、图形面积最值六大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是二次函数求最值必须先锁定对称轴与自变量取值区间的相对位置，不能直接套用顶点纵坐标；二是几何类最值需结合图像坐标转化函数表达式，求出结果后验证自变量取值是否符合区间限制. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、定轴定区间求最值 题型模版 1.特征：二次函数解析式固定，对称轴位置确定，同时给出明确、不变的自变量取值范围，求函数最大值或最小值。 2.方法：先算出函数顶点纵坐标，对比对称轴与给定区间的位置；若对称轴落在区间内，顶点处取一个最值，区间两个端点取另一最值；若对称轴在区间外侧，最值直接在区间左右端点取得，最后对比数值确定最大、最小值。 【例1】已知二次函数，当≤≤时，函数的最大值与最小值的差为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】已知二次函数在时有最小值，则(    ) A．3 B．或 C．3或 D．或 【变式1-1】已知二次函数（其中是自变量），当时.随的增大而增大，且时，的最小值为，则的值为（    ） A．3 B． C． D． 【变式1-2】已知二次函数（其中是自变量），当时，随的增大而减小，且时，的最大值为9，则的值为(   ) A．2或 B． C． D．1 【变式1-3】二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表．其中有一处被墨水覆盖，仅能看到当时y的值是负数，已知当时，y的最大值为，则c的值为（    ） x 0 y 7 -█ A． B． C． D． 题型二、动轴定区间求最值 题型模版 1.特征：自变量取值范围固定不变，二次函数解析式含参数，对称轴随参数变化左右移动，已知最值情况反过来求参数取值。 2.方法：写出含参数的对称轴表达式，分三类讨论对称轴位置：对称轴在区间左侧、对称轴落在区间内部、对称轴在区间右侧；结合每类情况对应的最值列方程求解参数，检验参数是否满足该分类前提条件。 【例3】函数在有最大值6，则实数的值是______． 【例4】已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则的最大值为（    ） A．4 B．6 C．8 D． 【变式2-1】已知二次函数为常数，当时，函数值y的最小值为，则m的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2-2】已知关于的二次函数，其中为实数. （1）当取任意实数时，该二次函数有最小值为________； （2）当时，该二次函数有最小值10，则的值为________. 【变式2-3】在平面直角坐标系中，抛物线． (1)若抛物线经过，两点时，求抛物线的解析式； (2)若点，在抛物线上，且，请直接写出结果m的取值范围； (3)当时，函数y的最小值等于6，直接写出m的值． 题型三、定轴动区间求最值 题型模版 1.特征：二次函数对称轴固定，自变量取值区间含有参数、位置可左右平移，根据最值结果求参数范围。 2.方法：固定对称轴，分区间整体在对称轴左侧、区间包含对称轴、区间整体在对称轴右侧三种情况讨论；根据每种区间对应的最值规律建立等式或不等式，求出参数后验证区间范围符合分类要求。 【例5】当时，二次函数的最小值为8，则的值为（    ） A．或5 B．5或8 C．或8 D．0或5 【例6】已知二次函数． (1)求该抛物线的对称轴； (2)当二次函数的自变量x满足时，此函数的最大值为p，最小值为q，且，求m的值． 【变式3-1】已知二次函数，当且时，的最小值为，最大值为，则的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【变式3-2】已知二次函数，当时，y有最小值和最大值5，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知二次函数（为常数，）．点在该二次函数的图象上． (1)求该抛物线与坐标轴的交点； (2)当时，该二次函数值取得的最大值为9，求的值． 题型四、求线段最值 题型模版 1.特征：抛物线图像上存在动点，用动点横坐标表示竖直线段、水平线段或斜线段长度，求线段长度的最大、最小值。 2.方法：设动点横坐标为，用上下两点纵坐标差值表示竖直线段、横坐标差值表示水平线段；斜线段利用两点间距离公式构造二次函数；确定动点的取值范围，结合对称轴与区间位置求线段最值。 【例7】如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于，两点，在线段上取一点，过作轴于，轴于，连接，则线段长度的最小值为（　　） A．2 B． C．3 D． 【例8】在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，经过点，直线经过点． (1)求直线的表达式； (2)点是抛物线上一点，其中，过点作垂直于轴的直线，交直线于点，判断线段的长有无最大值，若有，求出最大值；若无，说明理由． 【变式4-1】如图，点是抛物线上第一象限内一动点，，，过点分别作轴、轴的平行线，分别交直线于，两点，过点作的垂线，垂足为．下列说法中正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为2 D．周长的最大值为 【变式4-2】如图，线段，点P在线段上，在的同侧分别以为边长作正方形和，点M，N分别是，的中点，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 【变式4-3】如图，直线与抛物线相交于和，点P是线段上异于A、B的动点，过点P作轴于点D，交抛物线于点C (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)是否存在这样的P点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； 题型五、求线段和最值 题型模版 1.特征：抛物线背景下，定点与抛物线上动点相连，求两条线段之和最小，常见将军饮马模型。 2.方法：利用抛物线对称轴作其中一个定点的对称点，连接对称点与另一个定点，连线与抛物线交点即为取最小值的动点；求出交点坐标，再代入计算线段和的最小值，注意动点存在的取值限制。 【例9】如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【例10】如图，抛物线交轴于点，交轴于点，对称轴是直线，点是抛物线对称轴上的一个动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点，M点在抛物线的对称轴上，当周长最小时，点M的坐标为__________ 【变式5-2】已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为，点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，点的坐标为_____． 【变式5-3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且抛物线交轴于点、，交轴于点，在轴上有一点，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）若点为轴上方抛物线上的一个动点，连接，，设的面积为，点的横坐标为，求与的函数关系式； （3）在抛物线对称轴上是否存在一点，使得的值最小，若存在，则求出最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型六、求面积最值 题型模版 1.特征：坐标系内，以抛物线动点为顶点构成三角形、四边形，设动点横坐标，求图形面积的最大值或最小值。 2.方法：用横坐标表示各关键点坐标，采用割补法、底乘高表示图形面积，整理得到关于的二次函数；确定动点实际取值区间，对比对称轴与区间位置求解面积最值，舍去超出范围的结果。 【例11】如图，抛物线的顶点为，其坐标为，抛物线交轴于，两点，交轴于点，已知． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，，判断的形状； (3)若点是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值，并求出取得最大值时E点坐标． 【例12】如图，已知抛物线的顶点为，抛物线与y轴交于点，与x轴交于C、D两点，点P是x轴上的一个动点．    (1)求此抛物线的解析式； (2)试判断的形状，并说明理由，且求； (3)若点Q是直线上方抛物线上的一个动点，则的面积有最大值吗？若有最大值，请求出最大值，若没有最大值，说明理由． 【变式6-1】如图，经过，，的抛物线与y轴交于D，点E在第四象限抛物线上，点F在线段上． (1)求抛物线的解析式； (2)当与y轴平行且取最大值时，求点E的坐标； (3)四边形的面积是否存在最大值？若存在，能否求出点E，F的坐标？若不存在，请说明理由． 【变式6-2】如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求函数解析式和点的坐标； (2)在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标； (3)第一象限内的抛物线上有一动点M，连接、，求面积的最大值，以及取得最大值时点的坐标． 【变式6-3】如图①，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)求点坐标和面积； (3)若点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接，交于点．设，是否存在最大值？如果存在求出此时点的坐标并求出此时的最大值，否则请说明理由． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．函数在有最小值，则实数的值是___________． 2．已知二次函数，当自变量的取值在的范围中时，函数有最小值，则的最大值是______. 3．在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点，且点在点的左侧． （1）点的坐标为______________； （2）当时，抛物线的最小值为，则的值为_____________. 4．当时，函数的最小值为1，则的值为（     ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 5．已知抛物线在自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为9，则m的值为（   ） A．或5 B．或2 C．或1 D．1或4 6．如图，中，，，，D是线段上一个动点，以为边在外作等边．若F是的中点，连接，则的最小值为______．    7．已知抛物线与直线相交于、两点，则线段长的最小值为（     ） A． B． C． D． 8．已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（    ）． A．或4 B．或 C．或4 D．或4 9．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)点为该抛物线上第二象限内的一点，连接，，若，求点的坐标； (3)若点为线段上一动点，则的最小值为________． 10．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为．    (1)求抛物线的表达式； (2)若点是第四象限内抛物线上一动点，连接，，求的面积的最大值； (3)当时，抛物线有最小值5，求的值． 11．已知二次函数的图象经过点和点． (1)求该二次函数的表达式． (2)点在该函数图象上（其中），求的值； (3)在（2）的条件下，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点，使的值最小，若存在求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，顶点为D，且，． (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)E为抛物线上一点，当时，求点E的坐标； (3)已知点满足，M、N分别是x轴，直线AD上的动点，当的最小值为时，求n的值． 13．如图，二次函数的图象与轴交于点、点，点是该函数与轴的交点，且，连接、． (1)求二次函数的表达式； (2)判断的形状并说明理由； (3)若是此二次函数图象上第一象限内的点（如图），设点横坐标为，记的面积为，写出关于的函数关系式，有没有最大值?如果有，求出的最大值． 14．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点和点两点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式： (2)如图1，若点为抛物线对称轴上的动点，当点在对称轴上下移动的过程中，求周长的最小值； (3)如图2，点为线段上的一动点，过动点作交抛物线第一象限部分于点，连接，记与的面积和为，当取得最大值时，求点的坐标，并求出此时的最大值． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，交轴于点，，点是抛物线上一点． (1)求抛物线的表达式并直接写出顶点的坐标． (2)当时，求二次函数的最大值与最小值． (3)若点是直线上方抛物线上的点（不与点、重合），设点的横坐标为，连接，，求面积的最大值，并求出此时点的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $