专题03 二次函数与一元二次方程的关系（专项训练）数学新教材沪教版五四制九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数与一元二次方程关系，以“交点-方程根-不等式解集”为逻辑主线，通过分层题型实现从基础到综合的能力突破，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|3类题型7题|含坐标轴交点计算（重）、图像判根情况、不等式解集（高频）|从具体交点坐标（令y=0/x=0）到图像分析根的个数，再到解集确定，形成“概念-图像-应用”链条| |综合攻坚·知能拔高|12题（选择/填空/解答）|结合图像综合判断、跨函数比较、动点与几何图形（如矩形）|深化二次函数与方程、不等式的关联，通过“果圆”“平移”等情境提升模型观念与应用意识|

专题03 二次函数与一元二次方程的关系 常考题型·精准突破 考点一 二次函数与一元二次方程的关系 题型1 二次函数与坐标轴的交点（重） 题型2 根据二次函数图像确定相应方程根的情况 题型3 根据交点确定不等式的解集（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 二次函数与一元二次方程的关系 ◆题型1二次函数与坐标轴的交点 1．已知二次函数（，，均为常数，）的图像与轴相交于点，，则二次函数的图像与轴交点的横坐标是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，由原二次函数与轴的交点可得其因式形式，从而用表示和，再代入新二次函数表达式并化简，最后求解方程得到与轴的交点横坐标，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图像与轴交于点和， ∴， ∴，， 对于新二次函数， 代入，得，， 令，则， ∵， ∴，即， ∴或， ∴新图像与轴交点的横坐标为，， 故选：． 2．已知方程的两根为2和，则抛物线的对称轴是直线________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数与x轴的两个交点的横坐标即为其对应的一元二次方程的两个实数根，据此可得抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为，再根据对称轴计算公式求解即可． 【详解】解：∵方程的两根为2和， ∴抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为， ∴抛物线的对称轴是直线， 故答案为：． 3．如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，在抛物线的对称轴上有一动点E，连接和，则的最小值是 ________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据轴对称求线段和最小，求抛物线与坐标轴的交点坐标，求对称轴，先作点C关于抛物线对称轴的对称点D，连接，连接，根据确定最小值，再求出点A，C的坐标，然后根据对称性求出点D的坐标，最后根据两点之间距离公式求出答案． 【详解】解：如图，作点C关于抛物线对称轴的对称点D，连接，连接， 则， 令， 解得，， ∴． 令，则， ∴． 又∵抛物线对称轴为直线，点C与点D关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 4．我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点、、、分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为，为半圆的直径，则这个“果圆”被轴截得的弦的长为___________． 【答案】/ 【分析】连接，，由抛物线的解析式可求出，，的坐标，进而求出，，的长，在直角三角形中，利用相似三角形的判定和性质可求出的长，进而可求出的长． 本题是二次函数综合题，主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题、解一元二次方程、圆周角定理、相似三角形的判定和性质，读懂题目信息，理解“果圆”的定义是解题的关键． 【详解】解：连接，， 抛物线的解析式为， 点的坐标为， 的长为， 设，则， 解得：或， ， ，， 为半圆的直径， ， ， ∴， ∴， ∴， ， ， ， 故答案为：． 5．如图，两条曲线关于轴对称，轴左侧的部分可以用表示．垂直于轴的直线与两条曲线依次相交于点，，，．若，则的长为_________． 【答案】 【分析】设点，，，的纵坐标是其中，可以求出点的坐标是，点的坐标是，根据对称性质可知点的坐标是，点的坐标是，根据可得，即可求出，根据的值即可求出的长度． 【详解】解：设点，，，的纵坐标是其中， 则有， 解得：，， 点的坐标是，点的坐标是， 两条曲线关于轴对称， 点的坐标是，点的坐标是， ，，， ， ， 解得：， ， ， ． 6．已知抛物线的对称轴是直线，与x轴交于，B两点，与y轴的交点C在x轴下方，若，则该抛物线的表达式可以是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二次函数的对称性可知交点B的坐标为，则有，然后可得，进而可得，最后问题可求解． 【详解】解：的图象经过，对称轴为直线， 交点B的坐标为， 可设表达式为， ， ∴， 二次函数与y轴交点在x轴下方， ， ， 当时，，即时， ， 该二次函数的表达式可以是（答案不唯一）． 7．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，（点在点的右边）． (1)求点、点、点坐标； (2)若抛物线顶点为，求的面积； 【答案】(1)，， (2)8 【分析】本题考查求抛物线顶点坐标，抛物线与坐标轴的交点，三角形的面积，解题的关键是求出抛物线与坐标轴的交点： （1）令，求出x的值，可求出A、C的坐标，令，求出y的值，可求出B 的坐标； （2）求出顶点M的坐标，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解∶当时，，解得，， ∵点在点的右边， ∴，， 当时，， ∴； （2）解：∵， ∴顶点M的坐标为， ∵，， ∴， ∴的面积为． ◆题型2 根据二次函数图像确定相应方程根的情况 1．已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，与轴交于，两点，其中．则下列结论： ①②③④⑤方程（为常数）有实数根． 其中正确的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据抛物线开口向下，顶点坐标为，与y轴交于正半轴，得到，，，即可判断①②③；根据抛物线的顶点坐标为得到，根据当时，，当时，，即可判断④；讨论抛物线与直线的交点情况即可判断⑤． 【详解】解∶∵抛物线开口向下，顶点坐标为，与y轴交于正半轴， ∴，，， ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴，故②错误； ∵，， ∴， ∴，故③正确； ∵抛物线的顶点坐标为， ∴当时，，即， ∴， 由图象可得当时，，即， ∴， ∴， 由图象可得当时，，即， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∵方程可化为， ∴该方程的解为抛物线与直线的交点的横坐标， ∵直线， ∴该直线过定点，且过第二、三、四象限， ∴抛物线与直线必有交点， ∴方程（为常数）有实数根．故⑤正确． 综上所述，正确的结论是③④⑤，共3个． 2．如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论不正确的有（    ）个 ①； ②；③一元二次方程有实数根；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是根据图象求出对称轴以及与0的大小关系．由题意可知：对称轴为直线，，由对称性可知：抛物线与轴的另外一个交点在与之间，从而可判断出正确答案． 【详解】解：对称轴为直线，， 抛物线与x轴的右边的交点在和之间， 由对称性可知：抛物线与轴的左交点在与之间， 当，且，开口向下，， 当时，，故①不正确，符合题意： 顶点， ， ，故②正确，不符合题意： 由顶点知，抛物线与有一个交点， 时，抛物线与无交点， 一元二次方程无实数根，故③不正确，符合题意． ， 即， ，故④不正确，符合题意； 综上可知，①③④不正确， 故选：C． 3．二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图像可知，方程的解是________． 【答案】 【分析】先求出抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线与x轴交点的横坐标即为方程的解求解即可． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，该抛物线与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴由图像可知，方程的解是． ◆题型3 根据交点确定不等式的解集 1．已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式，掌握数形结合思想的应用是解题的关键．根据二次函数的对称性得出图象与x轴的另一个交点坐标为，结合图象找出图象在x轴下方时对应的取值范围即可得答案． 【详解】解：由图可知：抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为． ∵抛物线开口向下，， 或． 故选：D． 2．抛物线开口向上，且过，下列结论： ①若抛物线过点，则； ②若，则不等式的解为； ③若，，为抛物线上两点，则时； ④若抛物线过点，且，则抛物线的顶点一定在的下方． 其中正确结论的个数是（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数综合运用；根据抛物线的对称轴、根与系数的关系、顶点坐标以及二次函数的增减性，结合各选项条件进行逐一判断即可． 【详解】解：①∵抛物线过和， ∴对称轴为直线， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∴抛物线过和， ∴不等式的解为，故②错误； ③∵抛物线开口向上，且过， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线对称轴在直线左边， ∵， ∴，故③正确； ④∵抛物线过点，， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴， ∴抛物线的顶点一定在的下方，故④正确． 其中正确结论的个数是3个． 故选：C． 3．如图，开口向上的抛物线与轴交于点和，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与一元二次方程的关系，由抛物线与轴交点知方程根为和，且抛物线开口向上，故不等式解集为两根之间，掌握二次函数的图像与性质、二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 【详解】解：∵开口向上的抛物线与轴交于点和， ∴方程的根为，， ∴当时，，即， ∴不等式解集为， 故答案为：． 4．二次函数的图象与轴交于点，且，． (1)求，的值． (2)当时，函数值都小于，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 或 【分析】（1）根据题意，得，，，结合，得，解方程，解答即可． （2）当时，得，利用数形结合思想，结合函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得二次函数的图象与轴交于点，且， ，，， ， ， ， ， 整理，得， 解得， 当时，，不满足要求，舍去； 当时，，满足要求； 故，． （2）解：，， 故二次函数的解析式为，且抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，得， 解得， 如图所示，此时， 时，函数值都小于，且对称轴左侧，y随x减小而减小， ， 解得； 时，函数值都小于，且对称轴右侧，y随x增大而减小， ， 解得； 综上所述，符合要求的的取值范围是或． 5．已知，二次函数（a，b，c是常数，）的y与x的部分对应值如表： x … 2 3 … y … 3 0 3 … (1)求二次函数的解析式． (2)当时，y的取值范围是 ；当时，x的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)；或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先将解析式化成顶点式，再结合二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：由题意，结合表格数据可得， ． ∴． ∴二次函数的解析式为； （2）解：由题意，∵， ∴当时，y取最小值为． 又∵当时，；当时，， ∴当时，． 令，则或， 又∵抛物线的开口向上， ∴当时，或． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，二次函数的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查根据二次函数图象判断各项系数和式子的符号．根据抛物线的开口方向和对称轴的位置确定的符号，由抛物线与x轴的交点个数确定的符号，由抛物线与y轴的交点位置确定c的符号，即可得出答案． 【详解】解：A、抛物线与y轴的交点在正半轴上， ，故本选项不符合题意； B、抛物线的对称轴为直线， ， ，故本选项不符合题意； C、抛物线的对称轴为直线，当时，， 当时，， ，故本选项不符合题意； D、抛物线的对称轴为直线， ，则， 当时，， ，则， ，故本选项符合题意； 故选：D． 2．已知函数与函数的图象如图所示．若，则自变量x的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】令两个函数的函数值相等，解方程求出的值，结合函数图象即可得到答案． 【详解】解：令，则， 解得或， ∴由函数图象可知当时，自变量x的取值范围是． 3．在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b为常数且），当时，x的取值范围为，则a的取值范围（　 　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，一元二次方程根的判别式等知识，设过和，且，则方程有解，得到，当时，当时，的取值范围为，得到，，对称轴为直线，整理得， 代入得解不等式即可； 当时，开口向下，当时，的取值范围为或，与矛盾，不合题意． 【详解】解：设过和，且， ∴方程有解， ∴， 当时，开口向上， ∴当时，的取值范围为， ∵当时，的取值范围为， ∴，， 即过和， ∴对称轴为直线， 整理得， 把代入得，解得或； 此时； 当时，开口向下， ∴当时，的取值范围为或， ∵当时，的取值范围为， ∴不合题意， 综上所述，． 故选：C． 4．如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【详解】解：对于二次函数，令，则， ∴二次函数的图象与y轴的交点为， ∵对于一次函数，令，则， ∴一次函数的图象与y轴的交点为， ∵两个图象交于，两点，已知点，点在轴上， ． 则不等式可变形为， 即， ∴有图象可得，它的解集是． 5．已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；⑤，其中所有正确结论的序号是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点，对称轴的两种表示方法，抛物线的增减性等解答即可； 【详解】解：根据图象，当时，直线与抛物线的交点位于第四象限，纵坐标小于0，此时对应的函数值为， ∴， 故①正确； 根据图象，当时，直线与抛物线的交点位于第二象限，纵坐标大于0，此时对应的函数值为，且为函数的最大值， ∵抛物线的图象与y轴的交点在正半轴上， ∴； ∴， 故②正确； ∵二次函数开口向下， ∴， ∵抛物线的图象与y轴的交点在正半轴上， ∴； ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 故③正确； 设抛物线与x轴的正半轴的交点为，与负半轴的交点为， ∵对称轴为直线， ∴， 解得， 根据图象，得， ∴， 解得， 根据图象，当时，直线与抛物线的交点位于第二象限，纵坐标大于0，此时对应的函数值为， 故， 故④错误； ∵抛物线的图象与y轴的交点在正半轴上， ∴； ∵二次函数开口向下， ∴， ∴， ∴， ∴， 故⑤正确； 6．已知二次函数（为常数），图象的顶点坐标是，且经过两点，．有下列结论： ①关于的一元二次方程有两个相等的实数根； ②当时，的值随值的增大而减小；③；④． 以上结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数和一元二次方程的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次函数顶点坐标和经过点，利用顶点式求出参数关系，再结合m的范围确定a的范围，最后逐一判断各结论． 【详解】解：∵二次函数图象的顶点坐标是， ∴当时，， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故①正确； ∴对称轴为直线，即， ∴， 设二次函数为，代入点， 得， ∴． 代入点得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴二次函数的图象开口向下， ∴当时，的值随值的增大而增大，故②错误； ∵，即， ∴， ∴，故结论④正确； 由对称性可得函数与x轴交于和， ∵二次函数的图象开口向下， ∴当时，，故③错误． 综上，正确结论有①④共2个． 故选：B． 二、填空题 7．如图，已知二次函数的图象与正比例函数交于点，与轴交于点，当时，自变量的取值范围是______． 【答案】 【分析】过A作轴于C，则当x取值在之间时，即有，所以只要求出C、B两点的坐标，问题即可得到解答． 【详解】解：过A作轴于C， 令，则：，解得：或4， ∴， ∵，轴， ∴ 时， ∴自变量的取值范围是． 8．如图，抛物线与直线交于A、B两点，则关于x的不等式的解集为______． 【答案】或 【分析】根据图象写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知：或时，， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，解题的关键是利用数形结合的思想． 三、解答题 9．函数的图象如图所示，结合图象回答下列问题：    (1)方程的两个根为 ； (2)当时，则x的取值范围为 ；当时，则变量y的取值范围为 ； (3)若方程有实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据函数图象即可得出答案； （2）根据函数图象结合当时，，即可得出答案； （3）根据函数图象即可得出答案． 【详解】（1）解：由图象可得：方程的两个根为． 故答案为：； （2）解：由图象可得：当时，则的取值范围为， ∵， ∴当时，， ∴当时，自变量的取值范． 故答案为：；； （3）解：由图象可得：若方程有实数根，取值范围是． 故答案为：． 10．已知二次函数的图象经过点． (1)求的值和该二次函数的顶点坐标； (2)当时，求自变量的取值范围． 【答案】(1) 的值为，该二次函数的顶点坐标为 (2) 或 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． ()根据二次函数的图象经过点，可以求得的值，然后将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的顶点坐标； ()根据和二次函数的性质，可以求得的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴， ∴该函数图象的顶点坐标为， 由上可得，的值为，该二次函数的顶点坐标为； （2）令，则：， ， 解得， ∵二次函数的二次项系数大于，抛物线开口向上， ∴当时，或． 11．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，点，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)求出的面积． (3)当时，的取值范围是_______； (4)若将该函数图象向下平移到与轴有唯一公共点，则平移后的函数解析式是_______． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）将解析式化为顶点式即可求解； （2）先求出，再求得点到的距离为5，从而可求得的面积； （3）先得出抛物线的开口方向向下，最大值为5，再分别求出当、时的函数值，从而可确定的取值范围； （4）先得出平移后的二次函数的顶点的纵坐标为0，横坐标为1，从而可得平移后的二次函数的解析式． 【详解】（1）解：∵， ∴二次函数的顶点坐标是， 故答案为：； （2）∵令，即， 解得， ∴，， ∴， ∵抛物线的顶点的坐标为， ∴点到的距离为5， ∴的面积是； （3）∵二次函数，二次项系数为，顶点坐标为， ∴抛物线的开口方向向下，最大值为5， 把代入， 得， 把代入， 得， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：； （4）∵将该函数图象向下平移到与轴有唯一公共点， ∴平移后的二次函数的顶点的纵坐标为0，横坐标为1， 即顶点变为， ∴平移后的二次函数的解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了把化成顶点式，二次函数图象的平移，抛物线与x轴的交点问题，利用不等式求自变量或函数值的范围等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 12．某校数学学习小组的同学们对过山车的轨道设计很好奇，他们在网上找到一张过山车的设计图，截取其中的一部分，利用一次函数和二次函数相关知识进行探究． 首先他们在平面直角坐标系中画出这个图形，如图①，将其整体看成图象，是二次函数和一次函数的图象组合．分析得到：若时，；若时，．随后他们测量了图象上一些点的坐标，数据如下： (1)直接写出，，的值． (2)如图②，他们在整个图象上设计了一个动点，设点的横坐标为，过点作一条平行于轴的直线，在直线上取点，点的横坐标为． ①当时，求出点落在图象上时的值． ②如图③，若过、两点作轴的垂线，垂足分别为点、点，得到矩形，当矩形为正方形时，求的值． ③在直线上另取点，点的横坐标为（点与点不重合），当线段的长度随的增大而增大时，分别直接写出线段与图象的交点个数为个和2个时的取值范围． 【答案】(1)，， (2)①；②当的值为，，，时，矩形为正方形；③当时，线段与图象的交点个数为个；当时，线段与图象的交点个数为个 【分析】（1）将，；；，，，代入当时，；当时，，求解即可； （2）①由题意知：当时，点，都在二次函数图象上，且轴，推出，求解即可； ②由题意知：点的横坐标为，点的横坐标为，轴，得，推出，点的纵坐标为或，分两种情况：当时，当时，分别求解即可； ③根据线段的长度随的增大而增大，推出，根据二次函数图象的对称性得点关于对称轴的对称点的横坐标为；继而推出当时，线段与图象的交点个数为个；然后再分两种情况：当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵当时，；当时，， 又∵当时，；当时；，当时，， ∴， 解得：， ∴当时，；当时，， （2）解：①∵当时，， 又∵当时，点，都在二次函数图象上，且点的横坐标为，点的横坐标为，轴， ∴， 解得：； ②∵点的横坐标为，点的横坐标为，轴， ∴， ∵矩形为正方形，轴， ∴， ∴点的纵坐标为或， 当时， ，解得：（不符合题意，舍去）或； ，解得：或； 当时，，解得： 综上所述，当的值为，，或时，矩形为正方形； ③∵点的横坐标为，点的横坐标为，轴， ∴， 又∵线段的长度随的增大而增大， ∴，即， ∴， 此时二次函数图象上点关于对称轴的对称点的横坐标为； ∵， ∴当时，线段与图象的交点个数为个； 当时，，此时线段与图象的交点个数为个； ∵当时，， 当时，， ∴， 当线段与图象的交点个数为个时，则， 解得：， ∴； 当线段与图象的交点个数为个时，则， 解得：（不符合题意，舍去）或， 综上所述，当时，线段与图象的交点个数为个；当时，线段与图象的交点个数为个． 【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合题，考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数的图象与性质，函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，一元二次方程与不等式的应用等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数与一元二次方程的关系 常考题型·精准突破 考点一 二次函数与一元二次方程的关系 ◆题型1二次函数与坐标轴的交点 1．A 【详解】解：∵二次函数的图像与轴交于点和， ∴， ∴，， 对于新二次函数， 代入，得，， 令，则， ∵， ∴，即， ∴或， ∴新图像与轴交点的横坐标为，， 故选：． 2． 【详解】解：∵方程的两根为2和， ∴抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为， ∴抛物线的对称轴是直线， 故答案为：． 3． 【详解】解：如图，作点C关于抛物线对称轴的对称点D，连接，连接， 则， 令， 解得，， ∴． 令，则， ∴． 又∵抛物线对称轴为直线，点C与点D关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 4．/ 【详解】解：连接，， 抛物线的解析式为， 点的坐标为， 的长为， 设，则， 解得：或， ， ，， 为半圆的直径， ， ， ∴， ∴， ∴， ， ， ， 故答案为：． 5． 【详解】解：设点，，，的纵坐标是其中， 则有， 解得：，， 点的坐标是，点的坐标是， 两条曲线关于轴对称， 点的坐标是，点的坐标是， ，，， ， ， 解得：， ， ， ． 6．（答案不唯一） 【详解】解：的图象经过，对称轴为直线， 交点B的坐标为， 可设表达式为， ， ∴， 二次函数与y轴交点在x轴下方， ， ， 当时，，即时， ， 该二次函数的表达式可以是（答案不唯一）． 7．(1)，， (2)8 【详解】（1）解∶当时，，解得，， ∵点在点的右边， ∴，， 当时，， ∴； （2）解：∵， ∴顶点M的坐标为， ∵，， ∴， ∴的面积为． ◆题型2 根据二次函数图像确定相应方程根的情况 1．B 【详解】解∶∵抛物线开口向下，顶点坐标为，与y轴交于正半轴， ∴，，， ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴，故②错误； ∵，， ∴， ∴，故③正确； ∵抛物线的顶点坐标为， ∴当时，，即， ∴， 由图象可得当时，，即， ∴， ∴， 由图象可得当时，，即， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∵方程可化为， ∴该方程的解为抛物线与直线的交点的横坐标， ∵直线， ∴该直线过定点，且过第二、三、四象限， ∴抛物线与直线必有交点， ∴方程（为常数）有实数根．故⑤正确． 综上所述，正确的结论是③④⑤，共3个． 2．C 【详解】解：对称轴为直线，， 抛物线与x轴的右边的交点在和之间， 由对称性可知：抛物线与轴的左交点在与之间， 当，且，开口向下，， 当时，，故①不正确，符合题意： 顶点， ， ，故②正确，不符合题意： 由顶点知，抛物线与有一个交点， 时，抛物线与无交点， 一元二次方程无实数根，故③不正确，符合题意． ， 即， ，故④不正确，符合题意； 综上可知，①③④不正确， 故选：C． 3． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，该抛物线与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴由图像可知，方程的解是． ◆题型3 根据交点确定不等式的解集 1．D 【详解】解：由图可知：抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为． ∵抛物线开口向下，， 或． 故选：D． 2．C 【详解】解：①∵抛物线过和， ∴对称轴为直线， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∴抛物线过和， ∴不等式的解为，故②错误； ③∵抛物线开口向上，且过， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线对称轴在直线左边， ∵， ∴，故③正确； ④∵抛物线过点，， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴， ∴抛物线的顶点一定在的下方，故④正确． 其中正确结论的个数是3个． 故选：C． 3． 【详解】解：∵开口向上的抛物线与轴交于点和， ∴方程的根为，， ∴当时，，即， ∴不等式解集为， 故答案为：． 4．(1)， (2) 或 【详解】（1）解：根据题意，得二次函数的图象与轴交于点，且， ，，， ， ， ， ， 整理，得， 解得， 当时，，不满足要求，舍去； 当时，，满足要求； 故，． （2）解：，， 故二次函数的解析式为，且抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，得， 解得， 如图所示，此时， 时，函数值都小于，且对称轴左侧，y随x减小而减小， ， 解得； 时，函数值都小于，且对称轴右侧，y随x增大而减小， ， 解得； 综上所述，符合要求的的取值范围是或． 5．(1) (2)；或 （2）先将解析式化成顶点式，再结合二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：由题意，结合表格数据可得， ． ∴． ∴二次函数的解析式为； （2）解：由题意，∵， ∴当时，y取最小值为． 又∵当时，；当时，， ∴当时，． 令，则或， 又∵抛物线的开口向上， ∴当时，或． 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1．D 2．C 3．C 4．C 5．C 6．B 二、填空题 【答案】 【分析】过A作轴于C，则当x取值在之间时，即有，所以只要求出C、B两点的坐标，问题即可得到解答． 【详解】解：过A作轴于C， 令，则：，解得：或4， ∴， ∵，轴， ∴ 时， ∴自变量的取值范围是． 【答案】或 【分析】根据图象写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知：或时，， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，解题的关键是利用数形结合的思想． 三、解答题 7． 【详解】解：过A作轴于C， 令，则：，解得：或4， ∴， ∵，轴， ∴ 时， ∴自变量的取值范围是． 8．或 【详解】解：由图象可知：或时，， 故答案为：或． 9．(1) (2)； (3) 【详解】（1）解：由图象可得：方程的两个根为． 故答案为：； （2）解：由图象可得：当时，则的取值范围为， ∵， ∴当时，， ∴当时，自变量的取值范． 故答案为：；； （3）解：由图象可得：若方程有实数根，取值范围是． 故答案为：． 10．(1) 的值为，该二次函数的顶点坐标为 (2) 或 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴， ∴该函数图象的顶点坐标为， 由上可得，的值为，该二次函数的顶点坐标为； （2）令，则：， ， 解得， ∵二次函数的二次项系数大于，抛物线开口向上， ∴当时，或． 11．(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：∵， ∴二次函数的顶点坐标是， 故答案为：； （2）∵令，即， 解得， ∴，， ∴， ∵抛物线的顶点的坐标为， ∴点到的距离为5， ∴的面积是； （3）∵二次函数，二次项系数为，顶点坐标为， ∴抛物线的开口方向向下，最大值为5， 把代入， 得， 把代入， 得， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：； （4）∵将该函数图象向下平移到与轴有唯一公共点， ∴平移后的二次函数的顶点的纵坐标为0，横坐标为1， 即顶点变为， ∴平移后的二次函数的解析式为， 故答案为：． 12．(1)，， (2)①；②当的值为，，，时，矩形为正方形；③当时，线段与图象的交点个数为个；当时，线段与图象的交点个数为个 【详解】（1）解：∵当时，；当时，， 又∵当时，；当时；，当时，， ∴， 解得：， ∴当时，；当时，， （2）解：①∵当时，， 又∵当时，点，都在二次函数图象上，且点的横坐标为，点的横坐标为，轴， ∴， 解得：； ②∵点的横坐标为，点的横坐标为，轴， ∴， ∵矩形为正方形，轴， ∴， ∴点的纵坐标为或， 当时， ，解得：（不符合题意，舍去）或； ，解得：或； 当时，，解得： 综上所述，当的值为，，或时，矩形为正方形； ③∵点的横坐标为，点的横坐标为，轴， ∴， 又∵线段的长度随的增大而增大， ∴，即， ∴， 此时二次函数图象上点关于对称轴的对称点的横坐标为； ∵， ∴当时，线段与图象的交点个数为个； 当时，，此时线段与图象的交点个数为个； ∵当时，， 当时，， ∴， 当线段与图象的交点个数为个时，则， 解得：， ∴； 当线段与图象的交点个数为个时，则， 解得：（不符合题意，舍去）或， 综上所述，当时，线段与图象的交点个数为个；当时，线段与图象的交点个数为个． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数与一元二次方程的关系 常考题型·精准突破 考点一 二次函数与一元二次方程的关系 题型1 二次函数与坐标轴的交点（重） 题型2 根据二次函数图像确定相应方程根的情况 题型3 根据交点确定不等式的解集（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 二次函数与一元二次方程的关系 ◆题型1二次函数与坐标轴的交点 1．已知二次函数（，，均为常数，）的图像与轴相交于点，，则二次函数的图像与轴交点的横坐标是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．已知方程的两根为2和，则抛物线的对称轴是直线________． 3．如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，在抛物线的对称轴上有一动点E，连接和，则的最小值是 ________________． 4．我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点、、、分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为，为半圆的直径，则这个“果圆”被轴截得的弦的长为___________． 5．如图，两条曲线关于轴对称，轴左侧的部分可以用表示．垂直于轴的直线与两条曲线依次相交于点，，，．若，则的长为_________． 6．已知抛物线的对称轴是直线，与x轴交于，B两点，与y轴的交点C在x轴下方，若，则该抛物线的表达式可以是________．（写出一个即可） 7．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，（点在点的右边）． (1)求点、点、点坐标； (2)若抛物线顶点为，求的面积； ◆题型2 根据二次函数图像确定相应方程根的情况 1．已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，与轴交于，两点，其中．则下列结论： ①②③④⑤方程（为常数）有实数根． 其中正确的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论不正确的有（    ）个 ①； ②；③一元二次方程有实数根；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图像可知，方程的解是________． ◆题型3 根据交点确定不等式的解集 1．已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D．或 2．抛物线开口向上，且过，下列结论： ①若抛物线过点，则； ②若，则不等式的解为； ③若，，为抛物线上两点，则时； ④若抛物线过点，且，则抛物线的顶点一定在的下方． 其中正确结论的个数是（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，开口向上的抛物线与轴交于点和，则不等式的解集为______． 4．二次函数的图象与轴交于点，且，． (1)求，的值． (2)当时，函数值都小于，求的取值范围． 5．已知，二次函数（a，b，c是常数，）的y与x的部分对应值如表： x … 2 3 … y … 3 0 3 … (1)求二次函数的解析式． (2)当时，y的取值范围是 ；当时，x的取值范围是 ． 综合攻坚·知能拔高 1．在平面直角坐标系中，二次函数的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．已知函数与函数的图象如图所示．若，则自变量x的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 3．在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b为常数且），当时，x的取值范围为，则a的取值范围（　 　） A． B． C． D． 4．如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 5．已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；⑤，其中所有正确结论的序号是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．已知二次函数（为常数），图象的顶点坐标是，且经过两点，．有下列结论： ①关于的一元二次方程有两个相等的实数根； ②当时，的值随值的增大而减小；③；④． 以上结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 7．如图，已知二次函数的图象与正比例函数交于点，与轴交于点，当时，自变量的取值范围是______． 8．如图，抛物线与直线交于A、B两点，则关于x的不等式的解集为______． 三、解答题 9．函数的图象如图所示，结合图象回答下列问题：    (1)方程的两个根为 ； (2)当时，则x的取值范围为 ；当时，则变量y的取值范围为 ； (3)若方程有实数根，则k的取值范围是 ． 10．已知二次函数的图象经过点． (1)求的值和该二次函数的顶点坐标； (2)当时，求自变量的取值范围． 11．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，点，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)求出的面积． (3)当时，的取值范围是_______； (4)若将该函数图象向下平移到与轴有唯一公共点，则平移后的函数解析式是_______． 12．某校数学学习小组的同学们对过山车的轨道设计很好奇，他们在网上找到一张过山车的设计图，截取其中的一部分，利用一次函数和二次函数相关知识进行探究． 首先他们在平面直角坐标系中画出这个图形，如图①，将其整体看成图象，是二次函数和一次函数的图象组合．分析得到：若时，；若时，．随后他们测量了图象上一些点的坐标，数据如下： (1)直接写出，，的值． (2)如图②，他们在整个图象上设计了一个动点，设点的横坐标为，过点作一条平行于轴的直线，在直线上取点，点的横坐标为． ①当时，求出点落在图象上时的值． ②如图③，若过、两点作轴的垂线，垂足分别为点、点，得到矩形，当矩形为正方形时，求的值． ③在直线上另取点，点的横坐标为（点与点不重合），当线段的长度随的增大而增大时，分别直接写出线段与图象的交点个数为个和2个时的取值范围． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $