考点04 二次函数与一元二次方程（5考点+6题型+能力强化）（专项训练）数学新教材沪教版五四制九年级上册

**基本信息** 以数形结合为主线，构建“概念-原理-应用”三级方法体系，系统整合二次函数与方程的本质联系及综合应用 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |本质关系|2|函数值为0得方程，交点横标即实根|从代数定义到几何意义，建立数与形的对应| |判别式应用|7|Δ定根的个数与交点情况，含参问题列不等式|通过Δ值分类讨论，衔接函数图像特征| |韦达定理与距离|8|根与系数关系，交点距离公式，对称性质|深化方程根的性质，拓展到线段长度计算| |图像法|5|零点两侧函数值异号，二分法缩小区间|体现几何直观，培养估算与推理意识| |不等式|6|开口方向定区间，“上大下小”口诀|结合图像解不等式，强化模型应用能力| |综合压轴|6|联立函数得方程，用Δ判交点，结合面积最值|整合前序知识，提升综合解题与运算能力|

考点04 二次函数与一元二次方程 考点一：二次函数与一元二次方程的本质关系 设二次函数解析式为：，令函数值 ，即可得到一元二次方程：。 几何核心意义：抛物线与 x 轴交点的横坐标，就是对应一元二次方程 的实数根。 拓展结论：抛物线 与水平直线 的交点横坐标，是方程 的实数根。 考点二：判别式Δ与方程根、抛物线交点的对应关系 判别式公式：（使用前提：函数为二次函数，即 ） 取值范围 一元二次方程根的情况 抛物线与 x 轴交点情况 图像特征 两个不相等的实数根 2个不同交点 抛物线穿过 x 轴 两个相等的实数根 1个交点（顶点在x 轴上） 抛物线与 x 轴相切，仅有一个零点 无实数根 无交点 抛物线全程在 x 轴上方或下方 考点三：韦达定理与交点距离公式 当 时，方程 存在两个不相等实数根 ，满足以下结论： 1. 韦达定理（根与系数关系） 2. 两交点线段长度公式 抛物线与 x 轴两交点 A(x₁,0)、B(x₂,0)，线段长度： 3. 对称性结论 两交点的中点横坐标即为抛物线对称轴：，已知一个交点坐标，可快速求出另一交点。 考点四：图像法求一元二次方程近似根 核心原理：利用函数零点两侧函数值正负交替的特征锁定根的范围 解题步骤： 1. 绘制二次函数 的简易图像； 2. 观察图像与 x 轴交点所在的两个整数区间； 3. 区间内取值计算函数值，根据 y 值正负交替不断缩小区间，得到方程近似根。 考点五：二次函数与一元二次不等式（数形结合核心） 以抛物线与 x 轴交点 为分界点，结合开口方向判断解集： 1. 当 （开口向上）： ，解集： 或 （取 x 轴上方图像对应 x） ，解集：（取 x 轴下方图像对应 x） 2. 当 （开口向下）：解集方向与开口向上完全相反 口诀：上大于，下小于，开口定区间。 题型一：判断抛物线与x轴交点个数（基础题型） 1. 优先判断 a 是否为0，区分一次函数与二次函数； 2. 二次函数直接计算判别式 ； 3. 根据 三种情况判定交点个数； 4. 含参题型根据交点个数要求，列不等式求解参数范围。 1．若二次函数的图象与轴没有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵二次函数的图象与轴没有交点， ∴一元二次方程没有实数根， 即， ∴， 解得． 2．若关于x的二次函数的图象与x轴的交点坐标是和，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：∵ 二次函数的图象与轴的交点坐标是和， ∴ 一元二次方程的解为，． 故选：D． 3．已知二次函数的图象与轴只有一个交点，且图象过和两点，设，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】A 【详解】解：∵二次函数的图象与轴只有一个交点， ∴，即， ∵图象过和两点且两点的函数值相同， ∴， ∴，， ∴， 代入得：， ∴， ∴当时，有最小值． 故选：A． 4．已知二次函数（是常数）的图象与轴有两个不同的交点，则的值可以是______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：二次函数的图象与轴有两个不同交点 一元二次方程有两个不相等的实数根 ， 解得， 满足，（答案不唯一）． 5．若抛物线与轴无交点，则的值是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵抛物线与轴无交点， ∴方程无实数根， ∴， 解得，， 实数的值可以是（答案不唯一）． 6．抛物线与x轴交于A，B两点，且，则m的值为_______． 【答案】或 【详解】解：设，， 令，得 ， 由根与系数的关系得，， ， ∵， ∴， 两边平方得， 整理得， 因式分解得， 解得或． 7．若函数与轴有且仅有1个交点，则的值为_________． 【答案】0或 【详解】解：分两种情况讨论： 当时，函数解析式为，是一次函数，一次函数的图象与轴有且仅有一个交点，符合题意，因此满足条件． 当时，函数是二次函数，若二次函数的图象与轴有且仅有一个交点，则根的判别式． 对于一元二次方程，其中，，，可得： 令，即， 解得，即或，均满足，符合题意． 综上，的值为或或． 题型二：求抛物线与x轴交点坐标 1. 代数法：令 ，解一元二次方程，方程的根即为交点横坐标； 2. 对称法：已知一个交点和对称轴，利用中点公式快速求另一交点； 3. 交点式法：直接从解析式 读出交点坐标。 8．二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标为，则与轴的另一个交点的横坐标是（   ） A． B．1 C．2 D．0 【答案】D 【详解】解：由二次函数可知：对称轴为直线， ∵图象与轴的两个交点关于对称轴对称，已知一个交点的横坐标为， 设另一个交点的横坐标为， 则， 即， ∴， 故另一个交点的横坐标为； 故选D． 9．抛物线的一部分如图所示，那么该抛物线在轴右侧与轴交点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由抛物线对称轴为， ∵抛物线与轴的一个交点为， ∴该抛物线在轴右侧与轴交点的坐标是， 故选：． 10．如图，抛物线与x轴的一个交点为，则一元二次方程的实数根是 _______________ ． 【答案】 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴一元二次方程的实数根为． 故答案为：． 11．如图，二次函数的部分图像与轴交于，该函数图象的顶点为，则该函数图象与轴的另一个交点坐标是_____． 【答案】 【详解】解：由题意，二次函数的顶点坐标为， 对称轴是直线． 又图象与x轴的一个交点的横坐标是2， 二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标为：． 故答案为：． 12．二次函数的图像与轴的交点坐标是____________． 【答案】和 【详解】令代入，得方程， 因式分解得：， 或， 二次函数的图像与轴的交点坐标是和． 故答案为：和． 13．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，抛物线经过C，D两点，点A在x轴上，连接．E，F分别是上的一点，且，若，，则点E的坐标是________． 【答案】 【详解】解：连接， ∵， ∴当时，，当时，解得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，点关于轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 题型三：抛物线两交点线段长度计算（中档必考） 1. 验证 ，确认存在两个不同交点； 2. 代入交点距离公式 直接计算； 3. 含参题型结合线段长度已知条件，列方程求解参数。 14．二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】B 【详解】解：二次函数图象与轴交点的纵坐标为 令，得方程 解得， ，两点的坐标为和 线段的长为 15．如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（    ）    A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 C．，两点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于，两点， ∴ ∴ ∴二次函数解析式为，对称轴为直线，顶点坐标为，故A，B选项不正确，不符合题意； ∵，抛物线开口向上，当时，的值随值的增大而减小，故D选项不正确，不符合题意； 当时， 即 ∴， ∴，故C选项正确，符合题意； 故选：C． 16．定义为函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些结论：（1）当时，函数图像的顶点坐标是；（2）当时，函数图像截轴所得的线段长度大于；（3）当时，函数在时，随的增大而减小；（4）当时，无论取何值函数图像经过定点．其中正确的结论有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】①当时，特征数为， ∴，， ∴函数图象的顶点坐标是：，故①正确； ②当时，令，有， 解得， ∴， ∴， ∴当时，函数图象截x轴所得的线段长度大于，故②正确； ③当时，是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：直线，在对称轴的右边y随x的增大而减小， ∵当时，，即对称轴在直线右边， ∴函数在右边先递增到对称轴位置，再递减，故③错误； ④∵， 令， 解得或， 将代入得， 将代入得， ∴时，函数图象经过定点，，故④正确； ∴正确的有：①②④共3个， 故选：D． 17．抛物线与x轴交于A、B两点，则线段的长为______； 【答案】5 【详解】解：在中，当时，则， 解得或， ∴抛物线与x轴的两个交点坐标为， ∴， 故答案为：5． 18．若抛物线与直线交于A，B两点，则点A与点B之间的距离__________ 【答案】 【详解】根据题意，得， 解得， ∴, ∴， 故答案为：． 19．已知抛物线，与轴的交点，（点在点的左侧）． (1)若时，求点，的坐标及线段长． (2)若，求的值及抛物线的对称轴． 【详解】（1）解：， ， 令，则， ， ，， 点在点的左侧， ，， ； （2）解：令，则， ， 或， ，， 点在点的左侧，， ，， ， ， ， 抛物线的对称轴为． 20．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)将抛物线向上平移个单位长度后与轴交于M，N两点，若，求的取值范围； (3)当时，抛物线的最大值和最小值的差为，求的值． 【详解】（1）解：将点和点代入得 ， 解得 所以抛物线的表达式为：； （2）解：设M，N两点坐标分别为 因为抛物线向上平移个单位长度后为， 所以关于的方程的两个实数根为 所以 所以 因为， 所以， 解得； （3）解：抛物线开口向下，对称轴为， ①即时，随的增大而增大 时时 所以， 解得：； ②且，即时， 当时，当时， 所以， 解得：（舍） ③且，即时， 当时时， 所以4－， 解得：（舍） ④时，随的增大而减小 时时 所以， 解得：； 综上所述，的值为或0． 题型四： 图像法求一元二次方程近似根 1. 函数零点两侧的函数值必然一正一负； 2. 采用二分法不断缩小根的取值区间，精确到指定小数位； 3. 拓展：方程 的根，对应抛物线与直线 的交点横坐标。 21．二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，一元二次方程的根中较大的根的范围是（    ） 0 0.5 1 1.5 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由表格可得： 当时，； 当时，，当时，， 二次函数图像的对称轴为直线， 当时，， 设一元二次方程的根为，，且， ∴，， 即一元二次方程的根中较大的根的范围是， 故选：D． 22．二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为______． 【答案】 【详解】∵二次函数的图象与x轴交于 ，两点， ∴关于的一元二次方程的解为． 故答案为：． 23．已知抛物线（为常数，且）经过点，有如下结论：①抛物线对称轴为；②；③若两点在抛物线上，且，则方程有一根满足；④过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有两条．其中正确的结论有______________（填正确结论的序号）． 【答案】①③④ 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴对称轴为直线；故①正确； 无法确定的符号，故②错误； 若两点在抛物线上，且，则抛物线与轴的一个交点的横坐标的范围为， ∵对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点的横坐标的范围为：， ∴方程有一根满足；故③正确； 设过点的直线的解析式为：， 当时，令， 整理，得：， ∵直线与抛物线只有一个交点， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理，得：， ∴， 当时，， ∵， ∴当时，， ∴与只有一个交点，满足题意， 综上：过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有两条，故④正确； 故答案为：①③④． 24．在平面直角坐标系中画出函数的图象；并在图象上描出以方程的两根为横坐标的点，标记为A，B． 【详解】解: 抛物线 的顶点坐标是(1,-4), 对称轴是直线x = 1. 列表： x ··· 0 1 2 3 y 0 0 描点并连线，得函数 的图象，如图所示： 由 得 所以直线 与抛物线 的两个交点A，B即为所求，如图． 25．对于一些比较复杂的方程，可以利用函数图象来研究方程的根．问题∶ 探究方程的实数根的情况． 下面是小董同学的探究过程，请帮她补全： (1)设函数， 这个函数的图象与直线_______的交点的横坐标就是方程的实数根． (2)注意到函数解析式中含有绝对值，所以可得：当时， ；当时，_______； (3)在如图的坐标系中，已经画出了当 时的函数图象，请根据（2） 中的解析式，通过描点，连线，画出当 时的函数图象． (4)画直线 ，由此可知的实数根有_______个． (5)深入探究：若关于x的方程 有三个不相等的实数根，且这三个实数根的和为负数，则m的取值范围是___________． 【详解】（1）解：根据题意可得当时，即为方程的实数根， 故答案为：； （2）解：当时，， 故答案为：； （3）解：取点如下： x 1 2 3 4 … y 0 6 16 … 然后描点，利用光滑的曲线连接如图： （4）解：如图所示： ∴实数根有3个， 故答案为：3； （5）解：∵ ∴ 与直线的图象如图所示： 由图象可知：直线与函数的交点的横坐标，且，， ∴， ∵有三个不相等的实数根，且这三个实数根的和为非负数， ∴， ∴关于的方程即有三个不相等的实数根，且这三个实数根的和为非负数，则的取值范围是． 题型五：数形结合解一元二次不等式 1. 由二次项系数 a 判断抛物线开口方向； 2. 求解方程 的两个实数根，确定分界点； 3. 绘制简易抛物线，根据图像在 x 轴上下的位置，对应写出 x 的取值范围。 26．如图，已知抛物线与直线交于两点．则关于的不等式的解集是（   ）    A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【详解】∵抛物线与直线交于， ∴不等式为：或， 故选：． 27．已知二次函数，当时，的取值范围是或．若二次函数的图象经过点，，则的值不可能是（    ） A． B．0 C． D．5 【答案】C 【详解】解：根据题意可知，该二次函数图像开口向下，且经过点和 ∴对称轴为直线， ∵， ∴点比点更靠近对称轴， ∴，整理得， ∴当时，有， 解得； 当时，有， 解得， 综上所述，或， ∴选项A，B，D不符合题意，选项C符合题意． 故选：C． 28．已知二次函数，经过点．当时，的取值范围为或，则如下四个值中有可能为c的是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】解：当时，， ， 当时，的取值范围为或， 或是方程的两个根， ， ， ， 是函数的对称轴，且， ， 函数经过点， ， ， ， ， ， ， 设抛物线， 令，解得， 令，解得， 根据抛物线开口向上， 的解集为或 的可能取值为2， 故选：A． 29．二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是________． 【答案】或 【详解】解：由图象可知，二次函数的对称轴为直线， 当时，或， ∴通过图象可知：不等式的解集是或， 故答案为：或． 30．已知函数，其中为常数．若该函数的图像显示随着的增大而增大，则的取值范围为______． 【答案】 【详解】解：左段函数为， 该函数开口向下，对称轴为直线， 要使该函数的图像显示随着的增大而增大， 则， 右段函数为， 该函数开口向上，对称轴为直线， 要使该函数的图像显示随着的增大而增大， 则，解得， 当时，左段函数值要小于等于右段函数， 即， 整理可得， 令， 解得，， 根据二次函数的图象可得的解集为或（舍去）， 综上，， 故答案为：． 31．已知二次函数（）． (1)求该函数图象的顶点坐标； (2)①若函数的图象与x轴有公共点，直接写出a的取值范围； ②若该函数的图象与x轴有两个公共点，，点A在点B的左侧且，求a的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴该函数图象的顶点坐标为． （2）解：①∵函数的图象与x轴有公共点， ∴， 令， 当 时，， 解得，， ∴的解集是或， ∵ ， ∴a的取值范围为或． ②∵函数的图象与x轴有两个公共点， ∴， 则由①可知，或， 当 时，图象开口向上，对称轴为， ∵函数的图象与x轴有两个公共点，，，对称轴在之间， ∴当 时，， 解得， 当时，， 解得， ∴； 当时，图象开口向下， 同理可得， 解得， ∴； 综上所述，a的取值范围为或． 题型六：二次函数与一次函数交点压轴题 核心转化思路：联立两个函数解析式 联立 ，消去 y 得： 1. ：两个函数有2个交点； 2. ：两个函数图像相切，仅有1个交点； 3. ：两个函数无交点； 常结合考点：交点距离、图形面积、动点坐标、函数最值综合求解。 32．小明在学习二次函数知识的时候，发现二次函数图象和一次函数图像的交点个数有3种情况：有2个交点，有1个交点和没有交点，带着这样的结果，小明提问：若过定点的一次函数与二次函数的图象有2个交点，则的取值范围是（） A．，且 B． C． D．或 【答案】D 【详解】解：一次函数的图象过定点， ， 把代入得： ， 整理得， 当时，两函数图象有一个交点， 即， 解得． 一次函数与二次函数的图象有2个交点，的取值范围是或． 故选：D 33．定义：若一次函数的图像与二次函数的图像有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数. 函数（c为常数，）的图像与x轴交于点M，其轴点函数与x轴的另一交点为N. 若，求b的值（    ） A． B．或1 C．3或 D．3 【答案】B 【详解】解：在函数中， 当时，， 当时，，解得：， 函数与x轴交于，与y轴交于点， 其轴点函数经过点， ，； ，即， 其轴点函数与x轴的另一交点为， ，即， ， ， ， ， ， 当时，，当时， 或1， 故选：B． 34．如图，二次函数与一次函数的交点A，B的坐标分别为，，则不等式的解集为______． 【答案】或 【详解】解：∵与一次函数的交点的坐标分别为1,7, 由图象可知， 当 ，时， ； 当， 二次函数图象在一次函数图象下方，即 ； 当时 二次函数图象在一次函数图象上方， 此时， 也即， ∴不等式的解集：或． 故答案为：或． 35．已知一次函数的图象经过点．    (1)求的值； (2)求一次函数与二次函数的图象的交点坐标． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得：； （2）解：联立得：， 整理得：， 解得：，， 方程组的解为：或， 交点坐标为：和． 36．我们知道，求两个一次函数图象的交点坐标时，可联立两个一次函数表达式组成方程组，方程组的解就是两个一次函数图象交点的坐标．类似的，我们解决二次函数图象与直线的交点问题时，也可以用同样的方法求解． 下面是通过方程思想解决二次函数（）图象与一次函数（）图象的交点情况的部分探究过程：联立方程组得， 整理得：， ∵， ∴方程是关于x的一元二次方程，则， 当时，方程有两个不相等的实数根， ∴二次函数的图象与一次函数的图象有两个交点． 任务： (1)请参照文中时的分析过程，直接写出当和时的二次函数（）图象与一次函数（）图象的交点情况； (2)若二次函数的图象与一次函数的图象有两个交点，求c的取值范围； (3)当（2）中的c取最小正整数时，直接写出不等式的解集． 【详解】（1）解：∵当时，方程有两个不相等的实数根， ∴二次函数的图象与一次函数的图象有两个交点． ∵当时，方程没有实数根， ∴二次函数的图象与一次函数的图象无交点， ∵当时，方程有两个相等实数根， ∴二次函数的图象与一次函数的图象有一个交点； （2）解：联立方程组得， 整理得：， ∵， ∴方程是关于x的一元二次方程，则， ∵二次函数的图象与一次函数的图象有两个交点， ∴时，即：，解得：； （3）解：∵当（2）中的c取最小正整数时，， ∴， ∴， ∴二次函数图象如下图所示： ， ∵，解得：， 通过图象可知的解集为：或． 一、单选题 1．根据下列表格对应值： x                                    判断关于x的方程的一个解x的范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴关于的方程的一个解的范围是． 故选：B． 2．如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】解：根据函数图像可知，当时，，， 结合函数图像可知，当成立的的取值范围是或， 故选：D． 3．如图，将抛物线在x轴下方部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到图形，当直线（b为常数）与图形恰有三个公共点时，则b的值是（　　） A．-1或-3 B．1或 C．1或3 D．3或 【答案】B 【详解】解：令， 解得：， ∴， ∵翻折， ∴翻折部分的解析式为：； 当直线过点时，直线（b为常数）与图形恰有三个公共点， 把代入，得：； 当直线与只有一个交点时，满足题意， 令， 整理，得：， 则：， 解得：； 综上：或； 故选：B． 4．已知抛物线（m、n是常数，）的对称轴为直线，将抛物线L向上平移，使得平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点，则下列平移方式正确的是（    ） A．向上平移1个单位长度 B．向上平移2个单位长度 C．向上平移3个单位长度 D．向上平移4个单位长度 【答案】B 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ， ， 抛物线的解析式为， 抛物线的顶点坐标为， 平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点， 平移后的抛物线顶点在轴上， 抛物线应向上平移2个单位长度， 故选：B． 5．如图，抛物线的对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④，正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：由图象知，抛物线开口向下，则， 抛物线的对称轴为直线，即， ∴ ∴， 抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，则， ∴，故①错误； 由图象知，抛物线与x轴有两个不同的交点，即有两个不相等的实数解， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； 由图象知，当时，即，故④正确； 综上，正确的有3个， 故选：B． 6．定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．函数（c为常数，）的图象与x轴交于点M，其轴点函数与x轴的另一交点为．若，则的值为（ ） A． B．5或 C． D．或3 【答案】D 【详解】解：函数（为常数，）的图象与轴交于点 其轴点函数与轴的两个交点为、 或 解得：或 故选：D． 二、填空题 7．已知二次函数的图象与轴有且只有一个交点，则___ 【答案】 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有且只有一个交点， 故， 即， 解得：． 故答案为：． 8．由表的对应值知，一元二次方程（a，b，c为常数，）的一个根的百分位上的数字是__________． x 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 【答案】4 【详解】解：由表格得，当时，；当时，， 故一元二次方程（a，b，c为常数，）的一个根在3.24与3.25之间， ∴一元二次方程（a，b，c为常数，）的一个根的百分位上的数字是4， 故答案为：4． 【点睛】此题考查了一元二次方程的根的情况，正确理解一元二次方程的表示方法是解题的关键． 9．已知二次函数，当对应的函数值y随x的增大而增大，且对应的图象与直线有公共点时，a的取值范围为______． 【答案】 【详解】解：由二次函数解析式可知： 函数开口向下，对称轴为直线， ∴在时，随的增大而增大， ∴，即， 当时，， 解得：或（在对称轴右侧，故舍去）， ∵当时，对应的图象与直线有公共点， ∴且， ∴且， 综上，， 故答案为：． 10．在函数的学习过程中，图像始终是不可或缺的一部分，它是我们认识一个未知函数的窗口．有些时候，当遇到一些棘手的函数问题时，我们同样可以通过图像法来解决，数形结合是十分重要的一个点，不光是对于考试中应试的重要，更是对于数学学习及未来生活的重要． 例：解不等式． 解：如图所示，作出函数与的图像． 可以发现，直线与抛物线的两个交点的中间部分，抛物线的函数值大于直线的函数值，故而求出两个交点，即可解出此不等式，其解集为_____． 【答案】 【详解】解：令， 解得或， 由图象可知，当时，抛物线的函数值大于直线的函数值， 所以不等式的解集为． 故答案为：． 11．如图，函数经过点，对称轴为直线，则： ①； ②； ③； ④若点、在抛物线上，则； ⑤（m为任意实数）． 其中结论正确的结论有________．    【答案】①③⑤ 【详解】解：①抛物线与轴有两个交点， ， ， ①正确，符合题意； ②抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴在轴右侧， 与异号，即， 抛物线与轴交点在轴下方， ， ， ②错误，不符合题意； ③抛物线对称轴为，与轴的一个交点为， 抛物线与轴的另一个交点为， 则， 故③正确，符合题意； ④， ， 抛物线对称轴为，抛物线开口向上，在对称轴右侧随增大而增大， ， ④错误，不符合题意； ⑤可以转化为：， 即时，函数取得最小值，符合题意， 故⑤正确； 故答案为：①③⑤． 三、解答题 12．如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点． (1)求二次函数的解析式； (2)若在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标． 【详解】（1）解：把、代入得， ， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：当时，， 解得，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 如图，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，则， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得(不合，舍去) 或， ∴． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线交抛物线对称轴于点，为轴下方抛物线上一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)直线，分别交对称轴于点，，当点，均在点的下方时，求证：为定值． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， ， 解得，                                   抛物线的函数表达式为； （2）证明：，当时，， ， ∴设直线的解析式为， 把点代入，得：， ∴直线的函数表达式为， 抛物线对称轴交直线于点，对称轴为直线， 当时，， ， 如图，设点， ， 设直线的函数表达式为， 将点的坐标代入，得，则， 直线的函数表达式为， 当时，， ， ． 同理可得，直线的函数表达式为，                      当时，， ， ， ． 为定值． 14．反比例函数过，点与点关于直线对称，抛物线经过A、B两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若抛物线的对称轴为，求抛物线的表达式； (3)若抛物线在的部分与反比例函数无公共点，求a的取值范围（）． 【详解】（1）解：∵反比例函数过， ∴， ∴； （2）∵点与点关于直线对称， ∴． ∵抛物线过点和，抛物线的对称轴为， ∴ ∴ ∴ （3）解：∵抛物线过点 ∴ 解得： ∴ 反比例函数的解析式： 令时，，即 令时，，即 当过点时，， 当过点时，， ∴抛物线在的部分与反比例函数无公共点，此时的范围：且． 15．阅读与思考 巧用方程思想解决函数交点问题 我们知道，求两个一次函数图像的交点坐标时，可将问题转化为求方程组的解，即联立两个一次函数表达式组成方程组，方程组的解就是其交点的坐标，同样，我们解决二次函数与直线的交点问题时，也可以类比这一思路求解． 下面是小林同学通过类比上述思路解决二次函数图像与一次函数图像的交点情况的部分探究过程：联立得． 整理，得． ∵， ∴方程是关于x的一元二次方程． ∴． 当时，方程有两个不相等的实数根， ∴二次函数的图像与一次函数的图像有两个交点． 任务： (1)请参照阅读材料中的分析过程，分别写出和时的分析结果； (2)若二次函数的图像与一次函数的图像有一个交点，求t的值； (3)实际上，除了上述两种函数图像的交点外，初中数学还会遇到反比例函数图像与一次函数图像的交点情况，例如：反比例函数的图像与一次函数的图像有两个交点，则这个一次函数的表达式可以是_____．（写出一个即可） 【详解】（1）解：根据一元二次方程根的判别式可得： 当时，方程有两个相等的实数根， 二次函数的图像与一次函数的图像有一个交点； 当时，方程没有实数根， 二次函数的图像与一次函数的图像没有交点； （2）联立函数表达式：， 可得：， 化简得： ， 函数图像有一个交点， ， 解得：； 故答案为：； （3）反比例函数图像与一次函数图像有两个交点 ∴联立反比例函数与一次函数解析式，满足， 如：，答案不唯一，合理即可． 16．以x为自变量的两个函数y与g，令，我们把函数h称为y与g的“相关函数”例如：以x为自变量的函数与它们的“相关函数”为．恒成立，所以借助该“相关函数”可以证明：不论自变量x取何值，恒成立． (1)已知函数与函数相交于点、，求函数y与g的“相关函数”h； (2)已知以x为自变量的函数与，当时，对于x的每一个值，函数y与g的“相关函数”恒成立，求t的取值范围； (3)已知以x为自变量的函数与（a、b、c为常数且，），点，点、是它们的“相关函数”h的图象上的三个点，且满足，求函数h的图象截x轴得到的线段长度的取值范围． 【详解】（1）解：∵已知函数与函数相交于点、， ∴， 解得， ∴函数， ∴； （2）∵函数与， ∴相关函数， ∵当时，对于的每一个值，函数y与g的“相关函数”恒成立， ∴恒成立， 当时，， 当时，恒成立， ∴； （3）∵函数与， ∴， 将点、、代入解析式得： ，，， ∴， ∵， ∴， 解不等式得：且， 不妨令，则且， 设函数与x轴交于，， ∴，是方程的两根， ∴，， ∴函数的图象截x轴得到的线段长度为： ， ∵且， ∴， 即且． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点04 二次函数与一元二次方程 考点一：二次函数与一元二次方程的本质关系 设二次函数解析式为：，令函数值 ，即可得到一元二次方程：。 几何核心意义：抛物线与 x 轴交点的横坐标，就是对应一元二次方程 的实数根。 拓展结论：抛物线 与水平直线 的交点横坐标，是方程 的实数根。 考点二：判别式Δ与方程根、抛物线交点的对应关系 判别式公式：（使用前提：函数为二次函数，即 ） 取值范围 一元二次方程根的情况 抛物线与 x 轴交点情况 图像特征 两个不相等的实数根 2个不同交点 抛物线穿过 x 轴 两个相等的实数根 1个交点（顶点在x 轴上） 抛物线与 x 轴相切，仅有一个零点 无实数根 无交点 抛物线全程在 x 轴上方或下方 考点三：韦达定理与交点距离公式 当 时，方程 存在两个不相等实数根 ，满足以下结论： 1. 韦达定理（根与系数关系） 2. 两交点线段长度公式 抛物线与 x 轴两交点 A(x₁,0)、B(x₂,0)，线段长度： 3. 对称性结论 两交点的中点横坐标即为抛物线对称轴：，已知一个交点坐标，可快速求出另一交点。 考点四：图像法求一元二次方程近似根 核心原理：利用函数零点两侧函数值正负交替的特征锁定根的范围 解题步骤： 1. 绘制二次函数 的简易图像； 2. 观察图像与 x 轴交点所在的两个整数区间； 3. 区间内取值计算函数值，根据 y 值正负交替不断缩小区间，得到方程近似根。 考点五：二次函数与一元二次不等式（数形结合核心） 以抛物线与 x 轴交点 为分界点，结合开口方向判断解集： 1. 当 （开口向上）： ，解集： 或 （取 x 轴上方图像对应 x） ，解集：（取 x 轴下方图像对应 x） 2. 当 （开口向下）：解集方向与开口向上完全相反 口诀：上大于，下小于，开口定区间。 题型一：判断抛物线与x轴交点个数（基础题型） 1. 优先判断 a 是否为0，区分一次函数与二次函数； 2. 二次函数直接计算判别式 ； 3. 根据 三种情况判定交点个数； 4. 含参题型根据交点个数要求，列不等式求解参数范围。 1．若二次函数的图象与轴没有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．若关于x的二次函数的图象与x轴的交点坐标是和，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A． B．， C．， D．， 3．已知二次函数的图象与轴只有一个交点，且图象过和两点，设，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 4．已知二次函数（是常数）的图象与轴有两个不同的交点，则的值可以是______．（写出一个即可） 5．若抛物线与轴无交点，则的值是________．（写出一个即可） 6．抛物线与x轴交于A，B两点，且，则m的值为_______． 7．若函数与轴有且仅有1个交点，则的值为_________． 题型二：求抛物线与x轴交点坐标 1. 代数法：令 ，解一元二次方程，方程的根即为交点横坐标； 2. 对称法：已知一个交点和对称轴，利用中点公式快速求另一交点； 3. 交点式法：直接从解析式 读出交点坐标。 8．二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标为，则与轴的另一个交点的横坐标是（   ） A． B．1 C．2 D．0 9．抛物线的一部分如图所示，那么该抛物线在轴右侧与轴交点的坐标是（   ） A． B． C． D． 10．如图，抛物线与x轴的一个交点为，则一元二次方程的实数根是 _______________ ． 11．如图，二次函数的部分图像与轴交于，该函数图象的顶点为，则该函数图象与轴的另一个交点坐标是_____． 12．二次函数的图像与轴的交点坐标是____________． 13．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，抛物线经过C，D两点，点A在x轴上，连接．E，F分别是上的一点，且，若，，则点E的坐标是________． 题型三：抛物线两交点线段长度计算（中档必考） 1. 验证 ，确认存在两个不同交点； 2. 代入交点距离公式 直接计算； 3. 含参题型结合线段长度已知条件，列方程求解参数。 14．二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 15．如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（    ）    A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 C．，两点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 16．定义为函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些结论：（1）当时，函数图像的顶点坐标是；（2）当时，函数图像截轴所得的线段长度大于；（3）当时，函数在时，随的增大而减小；（4）当时，无论取何值函数图像经过定点．其中正确的结论有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 17．抛物线与x轴交于A、B两点，则线段的长为______； 18．若抛物线与直线交于A，B两点，则点A与点B之间的距离__________ 19．已知抛物线，与轴的交点，（点在点的左侧）． (1)若时，求点，的坐标及线段长． (2)若，求的值及抛物线的对称轴． 20．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)将抛物线向上平移个单位长度后与轴交于M，N两点，若，求的取值范围； (3)当时，抛物线的最大值和最小值的差为，求的值． 题型四： 图像法求一元二次方程近似根 1. 函数零点两侧的函数值必然一正一负； 2. 采用二分法不断缩小根的取值区间，精确到指定小数位； 3. 拓展：方程 的根，对应抛物线与直线 的交点横坐标。 21．二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，一元二次方程的根中较大的根的范围是（    ） 0 0.5 1 1.5 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 A． B． C． D． 22．二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为______． 23．已知抛物线（为常数，且）经过点，有如下结论：①抛物线对称轴为；②；③若两点在抛物线上，且，则方程有一根满足；④过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有两条．其中正确的结论有______________（填正确结论的序号）． 24．在平面直角坐标系中画出函数的图象；并在图象上描出以方程的两根为横坐标的点，标记为A，B． 25．对于一些比较复杂的方程，可以利用函数图象来研究方程的根．问题∶ 探究方程的实数根的情况． 下面是小董同学的探究过程，请帮她补全： (1)设函数， 这个函数的图象与直线_______的交点的横坐标就是方程的实数根． (2)注意到函数解析式中含有绝对值，所以可得：当时， ；当时，_______； (3)在如图的坐标系中，已经画出了当 时的函数图象，请根据（2） 中的解析式，通过描点，连线，画出当 时的函数图象． (4)画直线 ，由此可知的实数根有_______个． (5)深入探究：若关于x的方程 有三个不相等的实数根，且这三个实数根的和为负数，则m的取值范围是___________． 题型五：数形结合解一元二次不等式 1. 由二次项系数 a 判断抛物线开口方向； 2. 求解方程 的两个实数根，确定分界点； 3. 绘制简易抛物线，根据图像在 x 轴上下的位置，对应写出 x 的取值范围。 26．如图，已知抛物线与直线交于两点．则关于的不等式的解集是（   ）    A．或 B．或 C． D． 27．已知二次函数，当时，的取值范围是或．若二次函数的图象经过点，，则的值不可能是（    ） A． B．0 C． D．5 28．已知二次函数，经过点．当时，的取值范围为或，则如下四个值中有可能为c的是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 29．二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是________． 30．已知函数，其中为常数．若该函数的图像显示随着的增大而增大，则的取值范围为______． 31．已知二次函数（）． (1)求该函数图象的顶点坐标； (2)①若函数的图象与x轴有公共点，直接写出a的取值范围； ②若该函数的图象与x轴有两个公共点，，点A在点B的左侧且，求a的取值范围． 题型六：二次函数与一次函数交点压轴题 核心转化思路：联立两个函数解析式 联立 ，消去 y 得： 1. ：两个函数有2个交点； 2. ：两个函数图像相切，仅有1个交点； 3. ：两个函数无交点； 常结合考点：交点距离、图形面积、动点坐标、函数最值综合求解。 32．小明在学习二次函数知识的时候，发现二次函数图象和一次函数图像的交点个数有3种情况：有2个交点，有1个交点和没有交点，带着这样的结果，小明提问：若过定点的一次函数与二次函数的图象有2个交点，则的取值范围是（） A．，且 B． C． D．或 33．定义：若一次函数的图像与二次函数的图像有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数. 函数（c为常数，）的图像与x轴交于点M，其轴点函数与x轴的另一交点为N. 若，求b的值（    ） A． B．或1 C．3或 D．3 34．如图，二次函数与一次函数的交点A，B的坐标分别为，，则不等式的解集为______． 35．已知一次函数的图象经过点．    (1)求的值； (2)求一次函数与二次函数的图象的交点坐标． 36．我们知道，求两个一次函数图象的交点坐标时，可联立两个一次函数表达式组成方程组，方程组的解就是两个一次函数图象交点的坐标．类似的，我们解决二次函数图象与直线的交点问题时，也可以用同样的方法求解． 下面是通过方程思想解决二次函数（）图象与一次函数（）图象的交点情况的部分探究过程：联立方程组得， 整理得：， ∵， ∴方程是关于x的一元二次方程，则， 当时，方程有两个不相等的实数根， ∴二次函数的图象与一次函数的图象有两个交点． 任务： (1)请参照文中时的分析过程，直接写出当和时的二次函数（）图象与一次函数（）图象的交点情况； (2)若二次函数的图象与一次函数的图象有两个交点，求c的取值范围； (3)当（2）中的c取最小正整数时，直接写出不等式的解集． 一、单选题 1．根据下列表格对应值： x                                    判断关于x的方程的一个解x的范围是（  ） A． B． C． D． 2．如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 3．如图，将抛物线在x轴下方部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到图形，当直线（b为常数）与图形恰有三个公共点时，则b的值是（　　） A．-1或-3 B．1或 C．1或3 D．3或 4．已知抛物线（m、n是常数，）的对称轴为直线，将抛物线L向上平移，使得平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点，则下列平移方式正确的是（    ） A．向上平移1个单位长度 B．向上平移2个单位长度 C．向上平移3个单位长度 D．向上平移4个单位长度 5．如图，抛物线的对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④，正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．函数（c为常数，）的图象与x轴交于点M，其轴点函数与x轴的另一交点为．若，则的值为（ ） A． B．5或 C． D．或3 二、填空题 7．已知二次函数的图象与轴有且只有一个交点，则___ 8．由表的对应值知，一元二次方程（a，b，c为常数，）的一个根的百分位上的数字是__________． x 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 9．已知二次函数，当对应的函数值y随x的增大而增大，且对应的图象与直线有公共点时，a的取值范围为______． 10．在函数的学习过程中，图像始终是不可或缺的一部分，它是我们认识一个未知函数的窗口．有些时候，当遇到一些棘手的函数问题时，我们同样可以通过图像法来解决，数形结合是十分重要的一个点，不光是对于考试中应试的重要，更是对于数学学习及未来生活的重要． 例：解不等式． 解：如图所示，作出函数与的图像． 可以发现，直线与抛物线的两个交点的中间部分，抛物线的函数值大于直线的函数值，故而求出两个交点，即可解出此不等式，其解集为_____． 11．如图，函数经过点，对称轴为直线，则： ①； ②； ③； ④若点、在抛物线上，则； ⑤（m为任意实数）． 其中结论正确的结论有________．    三、解答题 12．如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点． (1)求二次函数的解析式； (2)若在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线交抛物线对称轴于点，为轴下方抛物线上一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)直线，分别交对称轴于点，，当点，均在点的下方时，求证：为定值． 14．反比例函数过，点与点关于直线对称，抛物线经过A、B两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若抛物线的对称轴为，求抛物线的表达式； (3)若抛物线在的部分与反比例函数无公共点，求a的取值范围（）． 15．阅读与思考 巧用方程思想解决函数交点问题 我们知道，求两个一次函数图像的交点坐标时，可将问题转化为求方程组的解，即联立两个一次函数表达式组成方程组，方程组的解就是其交点的坐标，同样，我们解决二次函数与直线的交点问题时，也可以类比这一思路求解． 下面是小林同学通过类比上述思路解决二次函数图像与一次函数图像的交点情况的部分探究过程：联立得． 整理，得． ∵， ∴方程是关于x的一元二次方程． ∴． 当时，方程有两个不相等的实数根， ∴二次函数的图像与一次函数的图像有两个交点． 任务： (1)请参照阅读材料中的分析过程，分别写出和时的分析结果； (2)若二次函数的图像与一次函数的图像有一个交点，求t的值； (3)实际上，除了上述两种函数图像的交点外，初中数学还会遇到反比例函数图像与一次函数图像的交点情况，例如：反比例函数的图像与一次函数的图像有两个交点，则这个一次函数的表达式可以是_____．（写出一个即可） 16．以x为自变量的两个函数y与g，令，我们把函数h称为y与g的“相关函数”例如：以x为自变量的函数与它们的“相关函数”为．恒成立，所以借助该“相关函数”可以证明：不论自变量x取何值，恒成立． (1)已知函数与函数相交于点、，求函数y与g的“相关函数”h； (2)已知以x为自变量的函数与，当时，对于x的每一个值，函数y与g的“相关函数”恒成立，求t的取值范围； (3)已知以x为自变量的函数与（a、b、c为常数且，），点，点、是它们的“相关函数”h的图象上的三个点，且满足，求函数h的图象截x轴得到的线段长度的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $