专题02 二次函数中的新定义问题（专项训练）数学新教材沪教版五四制九年级上册

专题02二次函数中的新定义问题 常考题型·精准突破 考点一 二次函数中的新定义问题 题型1 二次函数与一次函数的的新定义问题 题型2 二次函数与反比例函数的新定义问题 题型3 二次函数与一元二次方程的新定义问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 二次函数中的新定义问题 ◆题型1二次函数与一次函数的的新定义问题 1．在平面直角坐标系中，对于给定的两个关于x的函数，任取自变量x的一个值，当时，它们对应的函数值互为相反数；当时，它们对应的函数值相等，则称这样的两个函数互为“相关函数”． (1)①在点，，，中， 在正比例函数的“相关函数”图象上的点是________； ②若一次函数的“相关函数”的图象是轴对称图形，则b的值为________； (2)已知，，，． ①若二次函数的“相关函数”图象与四边形始终有2个公共点，求h的取值范围； ②若二次函数的“相关函数”的图象与线段有2个公共点，直接写出n的取值范围． 2．“厚德楼”、“博学楼”分别是我校两栋教学楼的名字，“厚德”出自《周易大传》：天行健，君子以自强不息；地势坤，君子以厚德载物．“博学”源自《论语·雍也》：君子博学于文，约之以礼，博学乃华夏古今治学之基础，我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点称为“厚德点”，横、纵坐标互为相反数的点称为“博学点”．把函数图象至少经过一个“厚德点”和一个“博学点”的函数称为“厚德博学函数”。 (1)一次函数是一个“厚德博学函数”，分别求出该函数图象上的“厚德点”和“博学点”； (2)已知二次函数图象可以由二次函数平移得到，二次函数的顶点就是一个“厚德点”，并且该函数图象还经过一个“博学点”，求该二次函数的解析式； (3)已知二次函数(为常数，)图象的顶点为，与轴交于点，经过点的直线上存在无数个“厚德点”，当，函数有最小值，求的值． ◆题型2二次函数与反比例函数的新定义问题 1．定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于a，到另一条坐标轴的距离不大于a的点叫做该函数图象的“a级方点”． 例如，点为双曲线的“3级方点”，点为直线的“级方点”． (1)下列函数中，其图象的“1级方点”恰有两个的是 　 　（只填序号）； ①y＝x；②；③． (2)判断直线的“2级方点”的个数，并说明理由； (3)已知y关于x的二次函数，当该函数图象的“a级方点”恰有三个时，求a的值． ◆题型3二次函数与一元二次方程的新定义问题 1．已知是自变量的函数，当时，称函数为函数的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上．例如：函数，当时，则函数是函数的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上． (1)求函数的“升幂函数”的函数表达式； (2)如图1，点在函数的图象上，点“关于的升幂点”在点上方，当时，求点的坐标； (3)点在函数的图象上，点“关于的升幂点”为点，设点的横坐标为． ①若点与点重合，求的值； ②若点在点的上方，过点作轴的平行线，与函数的“升幂函数”的图象相交于点，以，为邻边构造矩形，设矩形的周长为，求关于的函数表达式； ③在②的条件下，当直线与函数的图象的交点有3个时，从左到右依次记为，，，当直线与函数的图象的交点有2个时，从左到右依次记为，，若，请直接写出的值． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．新定义：对于二次函数A和B，若A的顶点坐标在B的顶点坐标上方，则A是B的“仰顶函数”，例如：函数是函数的“仰顶函数”．若无论m取任何实数，函数都是函数的“仰顶函数”，则n的取值范围（   ） A． B． C． D． 2．新定义：为二次函数（为实数）的“图象数”，如：的“图象数”为，若点在“图象数”为的二次函数的图象上，且，当时，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．新定义：我们把二次函数 (其中)与称为“相关函数”．例如：二次函数的“相关函数”为．已知二次函数的“相关函数”为． （1）二次函数的对称轴为直线____； （2）已知二次函数的图象与x轴交于点M，N，二次函数的图象与x轴交于点P，Q，若，则二次函数与对称轴之间的距离为____． 4．新定义：为二次函数（，，，为实数）的“图象数”，如：的“图象数”为，若“图象数”是的二次函数的图象与轴只有一个交点，则的值为___________________． 三、解答题 5．我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“D函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“D点”．根据该约定，完成下列各题： (1)在下列关于x的函数中，是“D函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“D函数”的打“×”． ①（__________）；②（__________）；③（__________）； (2)若点与点是关于x的“D函数”的一对“D点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，求a，b，c的值或取值范围； (3)若关于x的“D函数”（a，b，c是常数）同时满足下列两个条件：①；②．求该“D函数”截x轴得到的线段长度的取值范围． 6．已知点是抛物线上一点，若，则我们把点P称为该抛物线的“二倍点”． (1)【定义理解】 ①若点P是抛物线上的“二倍点”，则点P的坐标为________； ②下列抛物线，没有“二倍点”的是________． A．    B．    C． (2)【深入探究】 已知抛物线与x轴只有1个公共点，且与y轴相交于点． ①求该抛物线的解析式； ②将该抛物线向下平移k个单位得到新的抛物线，若新抛物线恰好只存在1个“二倍点”，求k的值及该“二倍点”的坐标． 7．【定义】若二次函数的顶点在直线上，则称二次函数叫做直线的开心函数．例如：二次函数的顶点为在直线上，所以二次函数是直线的开心函数． 【应用】 (1)若二次函数是直线的开心函数，求k的值； (2)若二次函数是直线的开心函数． ①求证：； ②若时，y的最小值为，求m的值． 8．定义：平面直角坐标系中，点，点，若，，其中为常数，且，则称点是点的“级变换点”．例如，点是点的“级变换点”． (1)函数的图象上是否存在点的“级变换点”?若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (2)点与其“级变换点” 分别在直线，上，在，上分别取点，．若，求证：； (3)关于x的二次函数的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线上，求n的取值范围． 9．定义：已知二次函数，则称二次函数是二次函数的伴随二次函数，t是伴随值． 定义理解 （1）下列二次函数中，是二次函数的伴随二次函数的是（    ） A．      B． C．             D． 深入探究 （2）已知二次函数的图象如图所示，其伴随二次函数是． ①伴随值为 ； ②在同一平面直角坐标系中直接画出伴随二次函数的图象； ③当时，记二次函数与的图象为W，若W的最高点的纵坐标为12，求W的最低点的坐标． 0 2 3 4 6 5 5 10．定义：在平面直角坐标系中，对于两个函数和的图象有两个交点和，且满足（为常数），则称这两个函数为关于的“乘积函数对”，称为乘积常数． 例如：一次函数与反比例函数的交点为， 因为，所以它们是关于的“乘积函数对”，乘积常数为． (1)求一次函数与二次函数的乘积常数； (2)若一次函数与二次函数为关于的“乘积函数对”，且二次函数的顶点在直线上，当二次函数的对称轴为直线时，求二次函数的解析式； (3)在（2）的条件下，二次函数图象上有一点，其横坐标为，过点作轴于点，点的坐标为，以为顶点构造矩形，若该矩形的边（含端点）与二次函数的图象只有两个交点，求的取值范围． 11．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的倍，我们称这个点为“友好点”，例如就是“友好点”；若二次函数图象的顶点为“友好点”，则我们称这个二次函数为“友好二次函数”，例如二次函数就是“友好二次函数”． (1)直线上的“友好点”坐标为____________； (2)若“友好二次函数”的图像与轴的交点是“友好点”，求这个“友好二次函数”的表达式； (3)若“友好二次函数”的图像过点，且顶点在第一象限 ①当时，这个“友好二次函数”的最小值为，求的值； ②已知点，，当线段与这个“友好二次函数”的图像有且只有一个公共点时，直接写出的取值范围． 12．我们约定：如图1，与轴相交于、两点，（），顶点为，而抛物线的顶点恰好为上的点，且经过的顶点，那么我们将抛物线称为抛物线的“兄弟函数”． (1)填空：抛物线的“兄弟函数”为 ； (2)若抛物线存在“兄弟函数”，求的取值范围； (3)已知点是正比例函数：上一点，抛物线从点出发，在射线上移动，运动秒后，移动距离为，得到抛物线，抛物线的“兄弟函数”为． ①当时，抛物线的解析式为 ； ②当时，求抛物线的解析式； ③设抛物线与的另一交点为，当时，求的值． 13．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，那么我们称这个点为“倍值点”．例如就是“倍值点”．如果为函数图象上一点，点的纵坐标是点横坐标的2倍，我们称点为函数的“倍值点”．例如：为函数的“倍值点”．若二次函数图象的顶点为“倍值点”，则我们称这个二次函数为“倍值二次函数”．例如二次函数就是“倍值二次函数”． (1)若点为函数的“倍值点”．求点的坐标． (2)若函数的图象经过函数在第一象限内的“倍值点”．求的值． (3)若“倍值二次函数”的图象与直线的交点是“倍值点”，求这个“倍值二次函数”的表达式． (4)若“倍值二次函数”的图象经过点，且顶点在第一象限． ①当时，这个“倍值二次函数”的最小值为14．求的值； ②作直线交抛物线于点，作直线交抛物线于点，连接，当直线的“倍值点”恰好为线段的中点时，请直接写出的值． 14．新定义：如果二次函数的图像经过点（-1，0），那么称此二次函数的图像为“定点抛物线” （1）试判断二次函数的图像是否为“定点抛物线” （2）若定点抛物线与x轴只有一个公共点，求的值． 15．新定义：如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点(﹣1，0)，那么称此二次函数图象为“定点抛物线”． （1）试判断二次函数y＝x2﹣4x﹣5的图象是否为“定点抛物线”； （2）若“定点抛物线”y＝x2﹣mx+2﹣k与x轴只有一个公共点，求k的值． 16．新定义：我们把二次函数与二次函数（其中，且a，b，c均为常数）称之为“相关二次函数”．已知二次函数的图像与轴交于点．二次函数的“相关二次函数”为． (1)的值为___________，的解析式为___________； (2)当时，二次函数上的点与二次函数上的点之间的距离为5，求的值． 17．新定义：如果二次函数的图象经过点，那么称此二次函数的图象为“定点抛物线”． (1)试判断二次函数的图象是否为“定点抛物线”； (2)若定点抛物线与直线只有一个公共点，求的值； (3)若一次函数的图象与定点抛物线的交点的横坐标分别为和，且，求的取值范围． 18．新定义：若二次函数为（是常数），则称为的“关联”二次函数，称这两个函数互为“关联”二次函数． (1)写出的“关联”二次函数的表达式：___________． (2)若（）中的互为“关联”二次函数的两个图像与正比例函数的图像有且只有两个交点，求的值； (3)如图，二次函数与互为“关联”二次函数，，分别是互为“关联”的两个二次函数与的图像的顶点，点是的图像与轴正半轴的交点，连接，若点为，且为直角三角形，求点的坐标． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02二次函数中的新定义问题 常考题型·精准突破 考点一 二次函数中的新定义问题 题型1 二次函数与一次函数的的新定义问题 题型2 二次函数与反比例函数的新定义问题 题型3 二次函数与一元二次方程的新定义问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 二次函数中的新定义问题 ◆题型1二次函数与一次函数的的新定义问题 1．在平面直角坐标系中，对于给定的两个关于x的函数，任取自变量x的一个值，当时，它们对应的函数值互为相反数；当时，它们对应的函数值相等，则称这样的两个函数互为“相关函数”． (1)①在点，，，中， 在正比例函数的“相关函数”图象上的点是________； ②若一次函数的“相关函数”的图象是轴对称图形，则b的值为________； (2)已知，，，． ①若二次函数的“相关函数”图象与四边形始终有2个公共点，求h的取值范围； ②若二次函数的“相关函数”的图象与线段有2个公共点，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2)①；②或． 【分析】（1）①根据“相关函数”的定义，将分段函数表示出来，再将分别代入对应的函数中求出解，找出正确的答案即可； ②“相关函数”的图象是轴对称图形，得到当时，两个函数的值相等，从而求出答案； （2）①根据“相关函数”的定义，将分段函数表示出来，根据当时，，与原函数图像关于轴对称，当时，，与原函数一致，所以要使二次函数的“相关函数”图象要与四边形始终有2个公共点，需的图像与四边形始终有2个公共点，根据图像找出特殊情况的值求解； ②转化为，然后根据“相关函数”的定义将分段函数表示出来，根据图像找出端点位置，根据图像判断的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意，当时，，当时，， 在点，中， ∵， ∴当时，， ∴点符合题意； 在点，中， ∵， ∴当时，， ∴点符合题意； 故答案为：，； ②一次函数是关于“相关函数”， ∴当时，，当时，， ∴时，，， ∵“相关函数”的图象是轴对称图形， ∴当时，两个函数的值相等，即， 解得； （2）解：①已知，，，，如图所示， 二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，，与原函数图像关于轴对称， 当时，，与原函数一致， ∴二次函数的“相关函数”图象要与四边形始终有2个公共点， 需的图像与四边形始终有2个公共点， 结合图形得到，， 令，， 解得，， ∴如图所示，与四边形只有一个交点， 二次函数与四边形始终有2个交点， 则，解得， ∴的取值范围为； ②， 由题意得，当时，， 当时，， 作二次函数与的图像如下图， 情况一：当时的图象与线段有两个交点，时的图象与线段没有交点，如图， ∴， 解得， 情况二：当时的图象与线段有一个交点，时的图象与线段有一个交点，如图， ∴， 解得， 综上所述，的取值范围为或． 2．“厚德楼”、“博学楼”分别是我校两栋教学楼的名字，“厚德”出自《周易大传》：天行健，君子以自强不息；地势坤，君子以厚德载物．“博学”源自《论语·雍也》：君子博学于文，约之以礼，博学乃华夏古今治学之基础，我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点称为“厚德点”，横、纵坐标互为相反数的点称为“博学点”．把函数图象至少经过一个“厚德点”和一个“博学点”的函数称为“厚德博学函数”。 (1)一次函数是一个“厚德博学函数”，分别求出该函数图象上的“厚德点”和“博学点”； (2)已知二次函数图象可以由二次函数平移得到，二次函数的顶点就是一个“厚德点”，并且该函数图象还经过一个“博学点”，求该二次函数的解析式； (3)已知二次函数(为常数，)图象的顶点为，与轴交于点，经过点的直线上存在无数个“厚德点”，当，函数有最小值，求的值． 【答案】(1)“厚德点”为，“博学点”为 (2)或 (3)或 【分析】（）根据“厚德点”和“博学点”的定义解答即可； （）先由平移确定出二次函数的值，再由二次函数的顶点就是一个“厚德点”，得出，又由“博学点”的定义得，代入求出的值即可求解； （）由“厚德点”的定义得直线上的点横纵坐标相等，得出，点坐标为原点，把代入函数解析式可得，即得， 对称轴为直线，顶点，再分和两种情况，根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了函数的新定义，二次函数图象和性质，二次函数图形的平移等，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴一次函数图象上的“厚德点”为； 当时，， ∴，， ∴一次函数图象上的“博学点”为； （2）解：∵二次函数图象可以由二次函数平移得到， ∴， ∵二次函数的顶点就是一个“厚德点”， ∴， ∴二次函数解析可变为， ∵点是二次函数图象的一个“博学点”， ∴， ∴， 把代入，得， 整理得，， 解得或， ∴二次函数的解析式为或； （3）解：∵经过点的直线上存在无数个“厚德点” ， ∴直线上的点横纵坐标相等， ∵二次函数的顶点为，与轴的交点为， ∴，点坐标为原点，为“厚德点”， ∴二次函数解析式可变为， ∵二次函数的图象经过“厚德点”， ∴， 解得或（不合，舍去）， ∴二次函数解析式为，对称轴为直线，顶点， 当时，可知时，取最小值， ∴， 解得或（不合，舍去）， ∴； 当时，可知时，取最小值， ∴， 解得（不合，舍去）或， ∴； 综上，的值为或． ◆题型2二次函数与反比例函数的新定义问题 1．定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于a，到另一条坐标轴的距离不大于a的点叫做该函数图象的“a级方点”． 例如，点为双曲线的“3级方点”，点为直线的“级方点”． (1)下列函数中，其图象的“1级方点”恰有两个的是 　 　（只填序号）； ①y＝x；②；③． (2)判断直线的“2级方点”的个数，并说明理由； (3)已知y关于x的二次函数，当该函数图象的“a级方点”恰有三个时，求a的值． 【答案】(1)①③ (2) 的“2级方点”有两个， 理由：∵， ∴函数过定点， 由“a级方点”的定义可知，函数图象的“2级方点”是指函数图象上落在以原点为中心，边长为4且一边平行于x轴的正方形上的点， ∵点恰好落在该正方形的内部，直线与该正方形必有两个交点， ∴的“2级方点”有两个； (3)2，， 【分析】（1）函数图象的“1级方点”是指函数图象上落在以原点为中心，边长为2且一边平行于x轴的正方形上的点，根据定义分别进行求解即可； （2）由可知函数过定点，由“a级方点”的定义可知，函数图象的“2级方点”是指函数图象上落在以原点为中心，边长为4且一边平行于x轴的正方形上的点，由点恰好落在该正方形的内部，直线与该正方形必有两个交点； （3）二次函数，则抛物线的开口向下，顶点为，分抛物线顶点在和抛物线经过点两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：函数图象的“1级方点”是指函数图象上落在以原点为中心，边长为2且一边平行于x轴的正方形上的点， ①直线与正方形有两个交点和； ②反比例函数与正方形有两个交点； ③抛物线与正方形有两个交点和． 故答案为：①③； （2）略 （3）∵二次函数， ∴抛物线的开口向下，顶点为， ①当抛物线顶点在时，抛物线恰有三个“a级方点”，如图，    则，解得； ②当抛物线经过点时，抛物线恰有三个“a级方点”，如图， 则，解得（不合题意，舍去）， ∴a的值为2，，． 【点睛】此题主要考查了二次函数、一次函数、反比例函数的图象和性质等知识，熟练掌握函数图象的“a级方点”的定义是解题的关键． ◆题型3二次函数与一元二次方程的新定义问题 1．已知是自变量的函数，当时，称函数为函数的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上．例如：函数，当时，则函数是函数的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上． (1)求函数的“升幂函数”的函数表达式； (2)如图1，点在函数的图象上，点“关于的升幂点”在点上方，当时，求点的坐标； (3)点在函数的图象上，点“关于的升幂点”为点，设点的横坐标为． ①若点与点重合，求的值； ②若点在点的上方，过点作轴的平行线，与函数的“升幂函数”的图象相交于点，以，为邻边构造矩形，设矩形的周长为，求关于的函数表达式； ③在②的条件下，当直线与函数的图象的交点有3个时，从左到右依次记为，，，当直线与函数的图象的交点有2个时，从左到右依次记为，，若，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)①或；②；③或 【分析】（1）根据“升幂函数”的定义，可得，即可求解， （2）设，根据“升幂点”的定义得到，由，在点上方，得到，即可求解， （3）①由，，点与点重合，得到，即可求解，②由，得到对称轴为，、关于对称轴对称，结合，则，得到，进而得到，，由点在点的上方，得到点在点的上方，，解得：， ，当，，，当， ，，即可求解，③根据②中结论得到，，，将，，代入，得到，，，结合图像可得，当时，直线与函数的图象有3个交点，当时，直线与函数的图象有2个交点，将直线与函数联立，由根与系数关系得到，，，将直线与函数联立，由根与系数关系得到，，，结合，可得，当时，，解得：，由，得到，解得：，即可求解， 【点睛】本题考查了，求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数综合，根据系数关系，解题的关键是：熟练掌握二次函数的性质，将题目所给条件进行转化． 【详解】（1）解：根据题意得：， 故答案为：， （2）解：设点，则， ∵，在点上方， ∴， 解得：， ∴； （3）解：①根据题意得：，则， ∵点与点重合， ∴，解得：或， ②根据题意得：， ∴对称轴为，、关于对称轴对称， ∵，则， ∴，解得：， ∴，， ∵点在点的上方， ∴，解得：， ∴， 当，点在点右侧时，，， 当，点在点左侧时，，， ∴， ③∵， ∴，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴，，， 当时，直线与函数的图象有3个交点， 当时，直线与函数的图象有2个交点， 直线与函数交于、两点，，即：， ∴，，， 直线与函数交于、两点，，即：， ∴，，， ∵， ∴，整理得：， 当时， ，解得：或（舍）， ∴， ∴，解得：， ∴， 或． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．新定义：对于二次函数A和B，若A的顶点坐标在B的顶点坐标上方，则A是B的“仰顶函数”，例如：函数是函数的“仰顶函数”．若无论m取任何实数，函数都是函数的“仰顶函数”，则n的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出两个二次函数的顶点坐标，再利用新定义列出不等式，根据题意求出n的取值范围． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为； ∵， ∴顶点坐标为， 根据新定义可知， ∴， ∵无论m取任何实数，不等式恒成立， ∴． 2．新定义：为二次函数（为实数）的“图象数”，如：的“图象数”为，若点在“图象数”为的二次函数的图象上，且，当时，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质，理解“图象数”的定义是解题关键．由“图象数”可知二次函数为，则对称轴为直线，再求出点的坐标，根据二次函数图象的开口方程和增减性求解即可． 【详解】解：由题意可知，“图象数”为的二次函数为， 对称轴为直线， ， ， 解得：或， 或， ， 二次函数图象开口向上， 当时，的取值范围为， 故选：A 二、填空题 3．新定义：我们把二次函数 (其中)与称为“相关函数”．例如：二次函数的“相关函数”为．已知二次函数的“相关函数”为． （1）二次函数的对称轴为直线____； （2）已知二次函数的图象与x轴交于点M，N，二次函数的图象与x轴交于点P，Q，若，则二次函数与对称轴之间的距离为____． 【答案】 6 【分析】（1）根据“相关函数”定义写出的解析式，利用二次函数对称轴公式求解； （2）利用二次函数与x轴交点距离公式，结合列方程求出a的值，再计算两个对称轴的距离． 【详解】解：（1）由“相关函数”的定义，得的解析式为， ∴二次函数的对称轴为直线； （2）对于二次函数，设其与x轴两交点横坐标为，，由根与系数的关系得：，， ∴， ∴两交点距离， 对于，判别式，则，由得且， 对于，判别式，则，由且得， 综上，a的取值范围为， 由，得， 因为，两边同乘得， 两边平方得：， 解得，符合取值范围， 的对称轴为直线， 的对称轴为直线，则两对称轴之间的距离为． 4．新定义：为二次函数（，，，为实数）的“图象数”，如：的“图象数”为，若“图象数”是的二次函数的图象与轴只有一个交点，则的值为___________________． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，根据新定义得出二次函数的解析式为，然后根据判别式的意义得出，计算即可得解． 【详解】解：由题意得：二次函数的解析式为， ∵二次函数的图象与轴只有一个交点， ∴， 整理得：， 解得：，， 故答案为：或． 三、解答题 5．我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“D函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“D点”．根据该约定，完成下列各题： (1)在下列关于x的函数中，是“D函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“D函数”的打“×”． ①（__________）；②（__________）；③（__________）； (2)若点与点是关于x的“D函数”的一对“D点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，求a，b，c的值或取值范围； (3)若关于x的“D函数”（a，b，c是常数）同时满足下列两个条件：①；②．求该“D函数”截x轴得到的线段长度的取值范围． 【答案】(1)√，×，√ (2) (3)该“D函数”截x轴得到的线段长度的取值范围为． 【分析】（1）根据定义及各函数的对称性即可判断； （2）根据题意得，，代入，求出，由对称轴始终位于直线的右侧知，解得a，c的取值范围； （3）由题意知，否则，设该“D函数”的一对“D点”是：，，，代入，求出，可得，而，即有，可得，设该“D函数”与x轴的两个交点分别是，根据从而得． 【详解】（1）解：根据“D函数”定义，是“D函数”， 不是“D函数”， 是“D函数”， 故答案为：√，×，√； （2）由题意得：，则，， ∴， 解得， 由， 解得， ∴， ∴， ∴； （3）由题意知，否则， 设该“D函数”的一对“D点”是：，，， 依题意可得， ∴，可得， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， 设该“D函数”与x轴的两个交点分别是， 可得， ∵ ∵， ∴， ∴， ∴该“D函数”截x轴得到的线段长度的取值范围为． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及新定义，二次函数图象上点坐标特征，二次函数与一元二次方程的关系、不等式等知识，解题的关键是读懂新定义，能将已知式子适当变形． 6．已知点是抛物线上一点，若，则我们把点P称为该抛物线的“二倍点”． (1)【定义理解】 ①若点P是抛物线上的“二倍点”，则点P的坐标为________； ②下列抛物线，没有“二倍点”的是________． A．    B．    C． (2)【深入探究】 已知抛物线与x轴只有1个公共点，且与y轴相交于点． ①求该抛物线的解析式； ②将该抛物线向下平移k个单位得到新的抛物线，若新抛物线恰好只存在1个“二倍点”，求k的值及该“二倍点”的坐标． 【答案】(1)①或，②C (2)①；②，“二倍点”的坐标为 【分析】（1）①根据“二倍点”的定义可得，且，据此解方程即可得到答案；②根据题意可得当抛物线上有“二倍点”时，该抛物线与直线一定有交点，故联立对应的抛物线的解析式和直线的解析式，看方程是否有解即可得到答案； （2）①抛物线与x轴只有1个公共点可得判别式的值为0，再结合点B和点C的坐标列式求解即可；②求出平移后的抛物线解析式，根据新抛物线恰好只存在1个“二倍点”可得新抛物线与直线只有一个交点，据此求解即可． 【详解】（1）解：①由题意得，抛物线上的一点满足其纵坐标是横坐标的两倍时，则该点为该抛物线的“二倍点”， ∵点P是抛物线上的“二倍点”， ∴，且， ∴， 解得或， 当时，；当时，； 综上所述，点P的坐标为或； ②由题意得，抛物线上的一点满足其纵坐标是横坐标的两倍时，则该点为该抛物线的“二倍点”， ∴所有的抛物线的“二倍点”都在直线上， ∴当抛物线上有“二倍点”时，该抛物线与直线一定有交点； 联立得，即， ∴， ∴二次函数与直线有两个不同的交点， ∴二次函数上有“二倍点”； 联立得，即， 解得， ∴二次函数与直线只有一个交点， ∴二次函数上有“二倍点”； 联立得，即， ∴， ∴二次函数与直线没有交点， ∴二次函数上没有“二倍点”； （2）解：①∵抛物线与x轴只有1个公共点，且与y轴相交于点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； ②由题意得，平移后的抛物线的解析式为， 联立得，即 ∵平移后的抛物线上恰好只存在1个“二倍点”， ∴， ， ∴， 解得． ∴“二倍点”的坐标为． 7．【定义】若二次函数的顶点在直线上，则称二次函数叫做直线的开心函数．例如：二次函数的顶点为在直线上，所以二次函数是直线的开心函数． 【应用】 (1)若二次函数是直线的开心函数，求k的值； (2)若二次函数是直线的开心函数． ①求证：； ②若时，y的最小值为，求m的值． 【答案】(1) (2)①证明：， ∴顶点为， ∵二次函数是直线的开心函数， ∴， ∴； m的值为1或5 【分析】（1）由函数的表达式知，顶点坐标为：，将代入，即可求解； （2）①由函数的表达式知，顶点坐标为：，将代入即可求解； ②当时，则抛物线在时，取得最小值，即，则；当时，求解即可． 【详解】（1） 解：， ∴顶点为， ∵二次函数是直线的开心函数， ∴， 解得； （2） ①略； ②的对称轴为直线， 当时，，y有最小值， 解得（舍）或； 当时，，y有最小值， 解得； 综上所述：m的值为1或5． 8．定义：平面直角坐标系中，点，点，若，，其中为常数，且，则称点是点的“级变换点”．例如，点是点的“级变换点”． (1)函数的图象上是否存在点的“级变换点”?若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (2)点与其“级变换点” 分别在直线，上，在，上分别取点，．若，求证：； (3)关于x的二次函数的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线上，求n的取值范围． 【答案】(1)存在， (2) 证明：点为点的“级变换点”， 点的坐标为． 直线，的解析式分别为和． 当时，． ， ． ， ． ． (3)n的取值范围为且 【分析】（1）根据“级变换点”定义求解即可； （2）求出点的坐标为，得到直线，的解析式分别为和，根据进行证明． （3）由题意得，二次函数的图象上的点的“1级变换点”都在函数的图象上，得到函数的图象与直线必有公共点．分当时和当，时分类讨论即可． 【详解】（1）解：函数的图象上存在点的“级变换点” 根据“级变换点”定义，点的“级变换点”为， 把点代入中， 得，解得． （2）略 （3）解：由题意得，二次函数的图象上的点的 “1级变换点”都在函数的图象上． 由，整理得． ， 函数的图象与直线必有公共点． 由得该公共点为． ①当时，由得． 又得， 且． ②当，时，两图象仅有一个公共点，不合题意，舍去． 综上，n的取值范围为且． 【点睛】本题考查解一元一次不等式，根据题意理解新定义是解题的关键． 9．定义：已知二次函数，则称二次函数是二次函数的伴随二次函数，t是伴随值． 定义理解 （1）下列二次函数中，是二次函数的伴随二次函数的是（    ） A．      B． C．             D． 深入探究 （2）已知二次函数的图象如图所示，其伴随二次函数是． ①伴随值为 ； ②在同一平面直角坐标系中直接画出伴随二次函数的图象； ③当时，记二次函数与的图象为W，若W的最高点的纵坐标为12，求W的最低点的坐标． 【答案】（1）C； （2）①2； ②画图如图所示： ③或 【分析】本题主要考查了新定义下二次函数的图像与性质，理解新定义，准确计算是正确解答此题的关键． （1）根据伴随二次函数的定义逐一判断即可； （2）①将变形即可求解；②根据画函数图像的步骤即可画出伴随二次函数的图像；③结合取值范围及二次函数的性质分情况求解即可． 【详解】解：（1）对于二次函数 当伴随值为1时，其伴随二次函数是 ； 当伴随值为时，其伴随二次函数是 ； 当伴随值为2时，其伴随二次函数是 ； 当伴随值为时，其伴随二次函数是 ； 故选：C． （2）①设伴随值为t， 则 ， ， ． 故答案为：2； ②列表： 0 2 3 4 6 5 5 依次描出点， ③令 得或； 令 得或． 结合函数图象可知，只能是或， 或3．     当时，，此时且随x的增大而减小， ∴当时，有最小值，为 ∴此时W的最低点的坐标为． 当时，，此时且随x的增大而增大， ∴当时，有最小值，为 ∴此时W的最低点的坐标为． 综上，W的最低点的坐标为或． 10．定义：在平面直角坐标系中，对于两个函数和的图象有两个交点和，且满足（为常数），则称这两个函数为关于的“乘积函数对”，称为乘积常数． 例如：一次函数与反比例函数的交点为， 因为，所以它们是关于的“乘积函数对”，乘积常数为． (1)求一次函数与二次函数的乘积常数； (2)若一次函数与二次函数为关于的“乘积函数对”，且二次函数的顶点在直线上，当二次函数的对称轴为直线时，求二次函数的解析式； (3)在（2）的条件下，二次函数图象上有一点，其横坐标为，过点作轴于点，点的坐标为，以为顶点构造矩形，若该矩形的边（含端点）与二次函数的图象只有两个交点，求的取值范围． 【答案】(1)－6 (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是理解题意，乘积常数实质上是函数解析式联立得到的一元二次方程的两根积，解（3）关键是根据点D和点F的位置不同画图讨论． （1）联立直线与抛物线解析式，可得一元二次方程，根据一元二次方程的根与系数的关系和乘积常数的定义可得； （2）联立直线与抛物线解析式，乘积常数的定义可得 ，由此得出，再根据二次函数的顶点在直线上，对称轴为直线，可得顶点坐标为，故设二次函数的顶点式为，根据二次函数的图象经过，可得，由此可得，进而解得，即可得二次函数的解析式． （3）根据点D和点F的位置不同画图讨论，即可求出取值范围． 【详解】（1）解：当时，得， 整理，得， 一次函数与二次函数的乘积常数是－6． （2）当时，得， 整理，得， ， 二次函数的顶点在直线上，对称轴为直线， 顶点坐标为（1，3）二次函数的解析式为， 二次函数的图象经过， ，解得，， 二次函数的解析式为． （3）当时，， 解得，，， 抛物线与轴的交点坐标为， ①如答图1，当时，点在第二象限时，点在的左侧，点在的左侧时， 抛物线与边有一个交点和点共两个交点，符合题意， ，得， ②如答图2，当，点在轴上方，且满足点在点的右侧，在对称轴上或对称轴左侧时， 抛物线与边有一个交点和点共两个交点，符合题意， ，解得， 当时，则， 此时在右侧，在左侧，抛物线与正方形只有一个公共点，如答图3， 时，， 此时在左侧，抛物线与、有公共点，故正方形与抛物线的公共点个数不少于3个，如答图4， 综上所述，的取值范围是或． 11．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的倍，我们称这个点为“友好点”，例如就是“友好点”；若二次函数图象的顶点为“友好点”，则我们称这个二次函数为“友好二次函数”，例如二次函数就是“友好二次函数”． (1)直线上的“友好点”坐标为____________； (2)若“友好二次函数”的图像与轴的交点是“友好点”，求这个“友好二次函数”的表达式； (3)若“友好二次函数”的图像过点，且顶点在第一象限 ①当时，这个“友好二次函数”的最小值为，求的值； ②已知点，，当线段与这个“友好二次函数”的图像有且只有一个公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)①的值为或；②或 【分析】（1）根据“友好点”的定义设该坐标为，再代入，求解即可； （2）根据“友好二次函数”的定义，设顶点为，继而得出该函数的解析式为，再推出与轴交点为，再代入求解即可； （3）设“友好二次函数”的解析式为，且图像过点，确定“友好该二次函数”的解析式为， ①知：图像开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，在对称轴左侧，随的增大而减小，当时，函数有最小值，得，求解即可；当，即时，函数的最小值为，不符合题意；当，即时，在对称轴右侧，随的增大而增大，则当时，函数有最小值，得，求解即可； ②如图所示，确定，，当点在点上方时，线段与抛物线有且只有一个交点；当点在点时，线段与抛物线有且只有一个交点， 【详解】（1）解：设直线上的“友好点”的坐标为， ∴， 解得：， ∴， ∴直线上的“友好点”坐标为， 故答案为：； （2）∵函数是“友好二次函数”，设它的顶点为， ∴， ∵“友好二次函数”的图像与轴的交点是“友好点”， ∴与轴交点为， 将代入中，得：， 解得：，， 当时，； 当时，， ∴这个“友好二次函数”的表达式为或； （3）设“友好二次函数”的解析式为，且图像过点， ∴， 解得，， ∵这个“友好二次函数”的图像顶点在第一象限， ∴， ∴， ∴， ①∵“友好二次函数”，，图像开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，在对称轴左侧，随的增大而减小， ∴当时，函数有最小值， ∴， 解得：，， ∵， ∴， 当，即时，函数的最小值为， ∴不存在最小值为； 当，即时，在对称轴右侧，随的增大而增大， ∴当时，函数有最小值， ∴， 解得：，， ∵， ∴， 综上所述，的值为或； ②如图所示， ∵， ∴点在直线上运动， 设直线与“友好二次函数”交于点， 当时，， ∴， 设二次函数的顶点为， ∴， ∵， ∴当点的坐标为时，此时点、、共线且与二次函数的图像只有一个交点， 当点在点上方时，线段与抛物线有且只有一个交点； 当点在点时，线段与抛物线有且只有一个交点， ∴当线段与这个“友好二次函数”的图像有且只有一个公共点时，的取值范围为或． 【点睛】本题考查“友好点”的新定义，函数图像上点的坐标特征，待定系数法确定函数解析式，二次函数的图像与性质，二次函数与直线的交点等知识点．掌握新定义是解题的关键． 12．我们约定：如图1，与轴相交于、两点，（），顶点为，而抛物线的顶点恰好为上的点，且经过的顶点，那么我们将抛物线称为抛物线的“兄弟函数”． (1)填空：抛物线的“兄弟函数”为 ； (2)若抛物线存在“兄弟函数”，求的取值范围； (3)已知点是正比例函数：上一点，抛物线从点出发，在射线上移动，运动秒后，移动距离为，得到抛物线，抛物线的“兄弟函数”为． ①当时，抛物线的解析式为 ； ②当时，求抛物线的解析式； ③设抛物线与的另一交点为，当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)①，②，③ 【分析】(1)求出点、的坐标，用待定系数法求出的“兄弟函数”的解析式； (2)根据“兄弟函数”的定义可知，若有“兄弟函数”，需要与轴有两个交点，根据一元二次方程根的判别式即可求出的取值范围； (3)根据运动秒后，移动距离为，可知抛物线沿射线的方向运动，秒钟向右移动了个单位，向上移动了个单位，根据平移的方向可以得到当和时抛物线的解析式；联立、 ，可得：，可得：，根据点在上，可知点的坐标为，因为点为中点，可得，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：当时，可得：， 解得：， 点的坐标为，顶点坐标为， 设的“兄弟函数”的表达式为：， 把点坐标代入上式得：， 解得：， 的“兄弟函数”的解析式为， 答案为：； （2）解：存在“兄弟函数”，理由如下： 令， 当时， 抛物线与轴有个交点， 解得：； （3）解：由题可得，移动速度为每秒个单位长度，射线是角平分线， 抛物线沿射线的方向运动，秒钟向右移动了个单位，向上移动了个单位， 此时，：，顶点为， 令，则，点的坐标为， 同理可得：：， ①当时，：， ②当时，：， ③由题可得：，顶点为， ：，直线的函数表达式为：， 联立、 ，可得：， 整理得：， 两个函数的交点为点和点， 由韦达定理得：， 即：， 解得：， 则点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， 点为中点，则， 解得：， 答：的值为． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象平移、二次函数图象与轴交点问题、二次函数的图像与性质． 13．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，那么我们称这个点为“倍值点”．例如就是“倍值点”．如果为函数图象上一点，点的纵坐标是点横坐标的2倍，我们称点为函数的“倍值点”．例如：为函数的“倍值点”．若二次函数图象的顶点为“倍值点”，则我们称这个二次函数为“倍值二次函数”．例如二次函数就是“倍值二次函数”． (1)若点为函数的“倍值点”．求点的坐标． (2)若函数的图象经过函数在第一象限内的“倍值点”．求的值． (3)若“倍值二次函数”的图象与直线的交点是“倍值点”，求这个“倍值二次函数”的表达式． (4)若“倍值二次函数”的图象经过点，且顶点在第一象限． ①当时，这个“倍值二次函数”的最小值为14．求的值； ②作直线交抛物线于点，作直线交抛物线于点，连接，当直线的“倍值点”恰好为线段的中点时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)3 (3)或 (4)①或8；②或 【分析】（1）根据题意，设点的坐标为，代入即可求解； （2）设“倍值点”坐标为，代入解出的值，得到“倍值点”坐标，再代入即可求解； （3）根据题意可得经过点，代入得到，再根据是“倍值二次函数”，得到，联立方程解出的值，即可求解； （4）①仿照（3）的方法求出“倍值二次函数”的表达式为，再利用二次函数的性质，分情况讨论取得最小值时的值，即可求出的值；②利用二次函数的性质求出的坐标，设线段的中点为，利用中点坐标公式表示出的坐标，再结合“倍值点”的定义列出方程，解出的值即可． 【详解】（1）解：设点的坐标为， 代入，得， 解得：， 点的坐标为． （2）解：设函数在第一象限内的“倍值点”坐标为， 代入，得， 解得：，（舍去）， “倍值点”坐标为， 代入到，得， 解得：， 的值为3． （3）解： 的图象与直线的交点是“倍值点”， 经过点， 代入得，， 整理得：， ， 的顶点坐标为， 是“倍值二次函数”， ，即， 解得：，， 当时，，此时二次函数的表达式为， 当时，，此时二次函数的表达式为， 综上所述，这个“倍值二次函数”的表达式为或． （4）解：①代入，得， 整理得：， ， 的顶点坐标为， 是“倍值二次函数”， ，即， 解得：，， 顶点在第一象限， ， ， ， 二次函数的对称轴为直线， 当时，即，此时函数在取得最小值14， ， 解得：（舍去），； 当，即，此时函数在取得最小值14， ， 解得：，（舍去）； 当，即，此时函数在取得最小值2，不符合题意，舍去； 综上所述，的值为或8． ②令，则， 令，则， ，， 设线段的中点为， 则点的坐标为， 线段的中点是直线的“倍值点”， ， 解得：，， 的值为或． 【点睛】本题考查了新定义、一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、解一元二次方程、中点坐标公式，理解“倍值点”和“倍值二次函数”的定义是解题的关键． 14．新定义：如果二次函数的图像经过点（-1，0），那么称此二次函数的图像为“定点抛物线” （1）试判断二次函数的图像是否为“定点抛物线” （2）若定点抛物线与x轴只有一个公共点，求的值． 【答案】（1）是；（2）k＝1 【分析】（1）把x=-1代入抛物线解析式，判断y的值是否为0，即可解决问题． （2）因为y=x2-mx+2-k与x轴只有一个公共点，所以（-1，0）是抛物线顶点，所以抛物线解析式为y=（x+1）2，由此即可解决问题． 【详解】（1）当x＝−1时，y＝2＋5−7＝0， ∴抛物线y＝2x2−5x−7经过点（1，0）， ∴二次函数图象为“定点抛物线”． （2）∵y＝x2−mx＋2−k与x轴只有一个公共点， ∴（−1，0）是抛物线顶点， ∴抛物线解析式为y＝（x＋1）2＝x2＋2x＋1， ∴2−k＝1， ∴k＝1． 【点睛】此题考查抛物线与x轴的交点，理解题意是解题的关键，学会灵活运用顶点式确定二次函数的解析式． 15．新定义：如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点(﹣1，0)，那么称此二次函数图象为“定点抛物线”． （1）试判断二次函数y＝x2﹣4x﹣5的图象是否为“定点抛物线”； （2）若“定点抛物线”y＝x2﹣mx+2﹣k与x轴只有一个公共点，求k的值． 【答案】（1）二次函数y＝x2﹣4x﹣5的图象是“定点抛物线”；（2）1 【分析】（1）把代入y＝x2﹣4x﹣5求解即可判断； （2）把代入可得与的关系，根据抛物线与轴只有一个交点可得顶点落在轴上，从而可得抛物线对称轴为直线，进而求解． 【详解】解：（1）把代入y＝x2﹣4x﹣5得：， 二次函数y＝x2﹣4x﹣5的图象经过点，是“定点抛物线”． （2）把代入得：， 整理得：， ， ∵抛物线与轴只有一个交点时， ∴为抛物线顶点， 抛物线对称轴为直线， 解得：， ∴k的值为1． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解决本题的关键，属于中考常考题型． 16．新定义：我们把二次函数与二次函数（其中，且a，b，c均为常数）称之为“相关二次函数”．已知二次函数的图像与轴交于点．二次函数的“相关二次函数”为． (1)的值为___________，的解析式为___________； (2)当时，二次函数上的点与二次函数上的点之间的距离为5，求的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）将代入得到关于m的方程求解即可；根据“相关二次函数”的定义写出的解析式即可； （2）先分别用t表示点P、点Q的坐标，再根据两点间距离为5列绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与轴交于点， ∴，即，解得：； ∴二次函数， ∴二次函数的“相关二次函数”为． （2）解：由（1）可得，， ∴当时，，， ∵点与点之间的距离为5， ∴，即，解得：或． 17．新定义：如果二次函数的图象经过点，那么称此二次函数的图象为“定点抛物线”． (1)试判断二次函数的图象是否为“定点抛物线”； (2)若定点抛物线与直线只有一个公共点，求的值； (3)若一次函数的图象与定点抛物线的交点的横坐标分别为和，且，求的取值范围． 【答案】(1)是“定点抛物线” (2) (3) 【分析】（1）把点代入计算，再根据“定点抛物线”的定义判定即可求解； （2）根据“定点抛物线”的定义可得当时，，再根据抛物线与直线交点的计算，联立方程，由根与系数的关系得到，得到，由此即可求解； （3）一次函数的图象与定点抛物线有交点，联立方程可得，即，根据横坐标的特点得到或，根据，得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴二次函数的图象经过点， ∴是“定点抛物线”； （2）解：∵抛物线是定点抛物线， ∴当时，， ∴， ∵定点抛物线与直线只有一个公共点， ∴， ∴， ∴， 把代入得，， ∴， 解得，； （3）解：根据题意，， 整理得，， ∴，即， ∴或， ∴交点的横坐标为或， ∵， ∴， 解得，， ∴的取值范围为：． 【点睛】本题主要考查一次函数，一次函数图形的性质，交点坐标的计算，求不等式的解集，掌握一次函数与二次函数交点联立方程求解，一次函数与二次函数图象的性质是解题的关键． 18．新定义：若二次函数为（是常数），则称为的“关联”二次函数，称这两个函数互为“关联”二次函数． (1)写出的“关联”二次函数的表达式：___________． (2)若（）中的互为“关联”二次函数的两个图像与正比例函数的图像有且只有两个交点，求的值； (3)如图，二次函数与互为“关联”二次函数，，分别是互为“关联”的两个二次函数与的图像的顶点，点是的图像与轴正半轴的交点，连接，若点为，且为直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（）根据“关联”二次函数的定义即可求解； （）由“关联”二次函数的图像与正比例函数的图像都关于原点成中心对称，且题（）中的互为“关联”二次函数的图像与正比例函数的图像只有两个交点，可得的图像与的图像只有一个交点，即得关于的方程有两个相等的实数根，据此解答即可求解； （）根据“关联”二次函数的对称性求得点坐标，再分和 本题考查了二次函数的几何应用，二次函数与一元二次方程，直角三角形的定义及性质等，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，的“关联”二次函数的表达式为， 故答案为：； （2）解：由“关联”二次函数的定义可知，互为“关联”二次函数的图像关于原点成中心对称， ∵正比例函数的图像也关于原点成中心对称，且题（）中的互为“关联”二次函数的图像与正比例函数的图像只有两个交点， ∴的图象与的图像只有一个交点， ∴关于的方程有两个相等的实数根， 方程整理得，， ∴， 解得或， ∴的值为或； （3）解：∵二次函数与互为“关联”二次函数， ∴二次函数与的图像关于原点成中心对称， ∵分别是互为“关联”的两个二次函数与的图像的顶点，点， ∴点，点为的中点， 设则， 当时，， ∴点， ∵是的图像与轴正半轴的交点， ∴若为直角三角形，则或， 当时， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴点的坐标为； 当时，， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数中的新定义问题 常考题型·精准突破 考点一 二次函数中的新定义问题 ◆题型1二次函数与一次函数的的新定义问题 1．(1)①，；② (2)①；②或． 【分析】（1）①根据“相关函数”的定义，将分段函数表示出来，再将分别代入对应的函数中求出解，找出正确的答案即可； ②“相关函数”的图象是轴对称图形，得到当时，两个函数的值相等，从而求出答案； （2）①根据“相关函数”的定义，将分段函数表示出来，根据当时，，与原函数图像关于轴对称，当时，，与原函数一致，所以要使二次函数的“相关函数”图象要与四边形始终有2个公共点，需的图像与四边形始终有2个公共点，根据图像找出特殊情况的值求解； ②转化为，然后根据“相关函数”的定义将分段函数表示出来，根据图像找出端点位置，根据图像判断的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意，当时，，当时，， 在点，中， ∵， ∴当时，， ∴点符合题意； 在点，中， ∵， ∴当时，， ∴点符合题意； 故答案为：，； ②一次函数是关于“相关函数”， ∴当时，，当时，， ∴时，，， ∵“相关函数”的图象是轴对称图形， ∴当时，两个函数的值相等，即， 解得； （2）解：①已知，，，，如图所示， 二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，，与原函数图像关于轴对称， 当时，，与原函数一致， ∴二次函数的“相关函数”图象要与四边形始终有2个公共点， 需的图像与四边形始终有2个公共点， 结合图形得到，， 令，， 解得，， ∴如图所示，与四边形只有一个交点， 二次函数与四边形始终有2个交点， 则，解得， ∴的取值范围为； ②， 由题意得，当时，， 当时，， 作二次函数与的图像如下图， 情况一：当时的图象与线段有两个交点，时的图象与线段没有交点，如图， ∴， 解得， 情况二：当时的图象与线段有一个交点，时的图象与线段有一个交点，如图， ∴， 解得， 综上所述，的取值范围为或． 2．(1)“厚德点”为，“博学点”为 (2)或 (3)或 【分析】（）根据“厚德点”和“博学点”的定义解答即可； （）先由平移确定出二次函数的值，再由二次函数的顶点就是一个“厚德点”，得出，又由“博学点”的定义得，代入求出的值即可求解； （）由“厚德点”的定义得直线上的点横纵坐标相等，得出，点坐标为原点，把代入函数解析式可得，即得， 对称轴为直线，顶点，再分和两种情况，根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了函数的新定义，二次函数图象和性质，二次函数图形的平移等，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴一次函数图象上的“厚德点”为； 当时，， ∴，， ∴一次函数图象上的“博学点”为； （2）解：∵二次函数图象可以由二次函数平移得到， ∴， ∵二次函数的顶点就是一个“厚德点”， ∴， ∴二次函数解析可变为， ∵点是二次函数图象的一个“博学点”， ∴， ∴， 把代入，得， 整理得，， 解得或， ∴二次函数的解析式为或； （3）解：∵经过点的直线上存在无数个“厚德点” ， ∴直线上的点横纵坐标相等， ∵二次函数的顶点为，与轴的交点为， ∴，点坐标为原点，为“厚德点”， ∴二次函数解析式可变为， ∵二次函数的图象经过“厚德点”， ∴， 解得或（不合，舍去）， ∴二次函数解析式为，对称轴为直线，顶点， 当时，可知时，取最小值， ∴， 解得或（不合，舍去）， ∴； 当时，可知时，取最小值， ∴， 解得（不合，舍去）或， ∴； 综上，的值为或． ◆题型2二次函数与反比例函数的新定义问题 2.【答案】(1)①③ (2) 的“2级方点”有两个， 理由：∵， ∴函数过定点， 由“a级方点”的定义可知，函数图象的“2级方点”是指函数图象上落在以原点为中心，边长为4且一边平行于x轴的正方形上的点， ∵点恰好落在该正方形的内部，直线与该正方形必有两个交点， ∴的“2级方点”有两个； (3)2，， 【分析】（1）函数图象的“1级方点”是指函数图象上落在以原点为中心，边长为2且一边平行于x轴的正方形上的点，根据定义分别进行求解即可； （2）由可知函数过定点，由“a级方点”的定义可知，函数图象的“2级方点”是指函数图象上落在以原点为中心，边长为4且一边平行于x轴的正方形上的点，由点恰好落在该正方形的内部，直线与该正方形必有两个交点； （3）二次函数，则抛物线的开口向下，顶点为，分抛物线顶点在和抛物线经过点两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：函数图象的“1级方点”是指函数图象上落在以原点为中心，边长为2且一边平行于x轴的正方形上的点， ①直线与正方形有两个交点和； ②反比例函数与正方形有两个交点； ③抛物线与正方形有两个交点和． 故答案为：①③； （2）略 （3）∵二次函数， ∴抛物线的开口向下，顶点为， ①当抛物线顶点在时，抛物线恰有三个“a级方点”，如图，    则，解得； ②当抛物线经过点时，抛物线恰有三个“a级方点”，如图， 则，解得（不合题意，舍去）， ∴a的值为2，，． 【点睛】此题主要考查了二次函数、一次函数、反比例函数的图象和性质等知识，熟练掌握函数图象的“a级方点”的定义是解题的关键． ◆题型3二次函数与一元二次方程的新定义问题 【答案】(1) (2) (3)①或；②；③或 【分析】（1）根据“升幂函数”的定义，可得，即可求解， （2）设，根据“升幂点”的定义得到，由，在点上方，得到，即可求解， （3）①由，，点与点重合，得到，即可求解，②由，得到对称轴为，、关于对称轴对称，结合，则，得到，进而得到，，由点在点的上方，得到点在点的上方，，解得：， ，当，，，当， ，，即可求解，③根据②中结论得到，，，将，，代入，得到，，，结合图像可得，当时，直线与函数的图象有3个交点，当时，直线与函数的图象有2个交点，将直线与函数联立，由根与系数关系得到，，，将直线与函数联立，由根与系数关系得到，，，结合，可得，当时，，解得：，由，得到，解得：，即可求解， 【点睛】本题考查了，求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数综合，根据系数关系，解题的关键是：熟练掌握二次函数的性质，将题目所给条件进行转化． 【详解】（1）解：根据题意得：， 故答案为：， （2）解：设点，则， ∵，在点上方， ∴， 解得：， ∴； （3）解：①根据题意得：，则， ∵点与点重合， ∴，解得：或， ②根据题意得：， ∴对称轴为，、关于对称轴对称， ∵，则， ∴，解得：， ∴，， ∵点在点的上方， ∴，解得：， ∴， 当，点在点右侧时，，， 当，点在点左侧时，，， ∴， ③∵， ∴，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴，，， 当时，直线与函数的图象有3个交点， 当时，直线与函数的图象有2个交点， 直线与函数交于、两点，，即：， ∴，，， 直线与函数交于、两点，，即：， ∴，，， ∵， ∴，整理得：， 当时， ，解得：或（舍）， ∴， ∴，解得：， ∴， 或． 综合攻坚·知能拔高 1．A 2．A 3． 6 4．或 5．(1)√，×，√ (2) (3)该“D函数”截x轴得到的线段长度的取值范围为． 【详解】（1）解：根据“D函数”定义，是“D函数”， 不是“D函数”， 是“D函数”， 故答案为：√，×，√； （2）由题意得：，则，， ∴， 解得， 由， 解得， ∴， ∴， ∴； （3）由题意知，否则， 设该“D函数”的一对“D点”是：，，， 依题意可得， ∴，可得， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， 设该“D函数”与x轴的两个交点分别是， 可得， ∵ ∵， ∴， ∴， ∴该“D函数”截x轴得到的线段长度的取值范围为． 6．(1)①或，②C (2)①；②，“二倍点”的坐标为 【详解】（1）解：①由题意得，抛物线上的一点满足其纵坐标是横坐标的两倍时，则该点为该抛物线的“二倍点”， ∵点P是抛物线上的“二倍点”， ∴，且， ∴， 解得或， 当时，；当时，； 综上所述，点P的坐标为或； ②由题意得，抛物线上的一点满足其纵坐标是横坐标的两倍时，则该点为该抛物线的“二倍点”， ∴所有的抛物线的“二倍点”都在直线上， ∴当抛物线上有“二倍点”时，该抛物线与直线一定有交点； 联立得，即， ∴， ∴二次函数与直线有两个不同的交点， ∴二次函数上有“二倍点”； 联立得，即， 解得， ∴二次函数与直线只有一个交点， ∴二次函数上有“二倍点”； 联立得，即， ∴， ∴二次函数与直线没有交点， ∴二次函数上没有“二倍点”； （2）解：①∵抛物线与x轴只有1个公共点，且与y轴相交于点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； ②由题意得，平移后的抛物线的解析式为， 联立得，即 ∵平移后的抛物线上恰好只存在1个“二倍点”， ∴， ， ∴， 解得． ∴“二倍点”的坐标为． 7．(1) (2)①证明：， ∴顶点为， ∵二次函数是直线的开心函数， ∴， ∴； m的值为1或5 【分析】（1）由函数的表达式知，顶点坐标为：，将代入，即可求解； （2）①由函数的表达式知，顶点坐标为：，将代入即可求解； ②当时，则抛物线在时，取得最小值，即，则；当时，求解即可． 【详解】（1） 解：， ∴顶点为， ∵二次函数是直线的开心函数， ∴， 解得； （2） ①略； ②的对称轴为直线， 当时，，y有最小值， 解得（舍）或； 当时，，y有最小值， 解得； 综上所述：m的值为1或5． 8．(1)存在， (2) 证明：点为点的“级变换点”， 点的坐标为． 直线，的解析式分别为和． 当时，． ， ． ， ． ． (3)n的取值范围为且 【分析】（1）根据“级变换点”定义求解即可； （2）求出点的坐标为，得到直线，的解析式分别为和，根据进行证明． （3）由题意得，二次函数的图象上的点的“1级变换点”都在函数的图象上，得到函数的图象与直线必有公共点．分当时和当，时分类讨论即可． 【详解】（1）解：函数的图象上存在点的“级变换点” 根据“级变换点”定义，点的“级变换点”为， 把点代入中， 得，解得． （2）略 （3）解：由题意得，二次函数的图象上的点的 “1级变换点”都在函数的图象上． 由，整理得． ， 函数的图象与直线必有公共点． 由得该公共点为． ①当时，由得． 又得， 且． ②当，时，两图象仅有一个公共点，不合题意，舍去． 综上，n的取值范围为且． 【点睛】本题考查解一元一次不等式，根据题意理解新定义是解题的关键． 9．（1）C； （2）①2； ②画图如图所示： ③或 【分析】本题主要考查了新定义下二次函数的图像与性质，理解新定义，准确计算是正确解答此题的关键． （1）根据伴随二次函数的定义逐一判断即可； （2）①将变形即可求解；②根据画函数图像的步骤即可画出伴随二次函数的图像；③结合取值范围及二次函数的性质分情况求解即可． 【详解】解：（1）对于二次函数 当伴随值为1时，其伴随二次函数是 ； 当伴随值为时，其伴随二次函数是 ； 当伴随值为2时，其伴随二次函数是 ； 当伴随值为时，其伴随二次函数是 ； 故选：C． （2）①设伴随值为t， 则 ， ， ． 故答案为：2； ②列表： 0 2 3 4 6 5 5 依次描出点， ③令 得或； 令 得或． 结合函数图象可知，只能是或， 或3．     当时，，此时且随x的增大而减小， ∴当时，有最小值，为 ∴此时W的最低点的坐标为． 当时，，此时且随x的增大而增大， ∴当时，有最小值，为 ∴此时W的最低点的坐标为． 综上，W的最低点的坐标为或． 10．(1)－6 (2) (3)或 【详解】（1）解：当时，得， 整理，得， 一次函数与二次函数的乘积常数是－6． （2）当时，得， 整理，得， ， 二次函数的顶点在直线上，对称轴为直线， 顶点坐标为（1，3）二次函数的解析式为， 二次函数的图象经过， ，解得，， 二次函数的解析式为． （3）当时，， 解得，，， 抛物线与轴的交点坐标为， ①如答图1，当时，点在第二象限时，点在的左侧，点在的左侧时， 抛物线与边有一个交点和点共两个交点，符合题意， ，得， ②如答图2，当，点在轴上方，且满足点在点的右侧，在对称轴上或对称轴左侧时， 抛物线与边有一个交点和点共两个交点，符合题意， ，解得， 当时，则， 此时在右侧，在左侧，抛物线与正方形只有一个公共点，如答图3， 时，， 此时在左侧，抛物线与、有公共点，故正方形与抛物线的公共点个数不少于3个，如答图4， 综上所述，的取值范围是或． 11．(1) (2)或 【详解】（1）解：设直线上的“友好点”的坐标为， ∴， 解得：， ∴， ∴直线上的“友好点”坐标为， 故答案为：； （2）∵函数是“友好二次函数”，设它的顶点为， ∴， ∵“友好二次函数”的图像与轴的交点是“友好点”， ∴与轴交点为， 将代入中，得：， 解得：，， 当时，； 当时，， ∴这个“友好二次函数”的表达式为或； （3）设“友好二次函数”的解析式为，且图像过点， ∴， 解得，， ∵这个“友好二次函数”的图像顶点在第一象限， ∴， ∴， ∴， ①∵“友好二次函数”，，图像开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，在对称轴左侧，随的增大而减小， ∴当时，函数有最小值， ∴， 解得：，， ∵， ∴， 当，即时，函数的最小值为， ∴不存在最小值为； 当，即时，在对称轴右侧，随的增大而增大， ∴当时，函数有最小值， ∴， 解得：，， ∵， ∴， 综上所述，的值为或； ②如图所示， ∵， ∴点在直线上运动， 设直线与“友好二次函数”交于点， 当时，， ∴， 设二次函数的顶点为， ∴， ∵， ∴当点的坐标为时，此时点、、共线且与二次函数的图像只有一个交点， 当点在点上方时，线段与抛物线有且只有一个交点； 当点在点时，线段与抛物线有且只有一个交点， ∴当线段与这个“友好二次函数”的图像有且只有一个公共点时，的取值范围为或． 12．(1) (2) (3)①，②，③ 【详解】（1）解：当时，可得：， 解得：， 点的坐标为，顶点坐标为， 设的“兄弟函数”的表达式为：， 把点坐标代入上式得：， 解得：， 的“兄弟函数”的解析式为， 答案为：； （2）解：存在“兄弟函数”，理由如下： 令， 当时， 抛物线与轴有个交点， 解得：； （3）解：由题可得，移动速度为每秒个单位长度，射线是角平分线， 抛物线沿射线的方向运动，秒钟向右移动了个单位，向上移动了个单位， 此时，：，顶点为， 令，则，点的坐标为， 同理可得：：， ①当时，：， ②当时，：， ③由题可得：，顶点为， ：，直线的函数表达式为：， 联立、 ，可得：， 整理得：， 两个函数的交点为点和点， 由韦达定理得：， 即：， 解得：， 则点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， 点为中点，则， 解得：， 答：的值为． 13．(1) (2)3 (3)或 (4)①或8；②或 【详解】（1）解：设点的坐标为， 代入，得， 解得：， 点的坐标为． （2）解：设函数在第一象限内的“倍值点”坐标为， 代入，得， 解得：，（舍去）， “倍值点”坐标为， 代入到，得， 解得：， 的值为3． （3）解： 的图象与直线的交点是“倍值点”， 经过点， 代入得，， 整理得：， ， 的顶点坐标为， 是“倍值二次函数”， ，即， 解得：，， 当时，，此时二次函数的表达式为， 当时，，此时二次函数的表达式为， 综上所述，这个“倍值二次函数”的表达式为或． （4）解：①代入，得， 整理得：， ， 的顶点坐标为， 是“倍值二次函数”， ，即， 解得：，， 顶点在第一象限， ， ， ， 二次函数的对称轴为直线， 当时，即，此时函数在取得最小值14， ， 解得：（舍去），； 当，即，此时函数在取得最小值14， ， 解得：，（舍去）； 当，即，此时函数在取得最小值2，不符合题意，舍去； 综上所述，的值为或8． ②令，则， 令，则， ，， 设线段的中点为， 则点的坐标为， 线段的中点是直线的“倍值点”， ， 解得：，， 的值为或． 【点睛】本题考查了新定义、一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、解一元二次方程、中点坐标公式，理解“倍值点”和“倍值二次函数”的定义是解题的关键． 14．（1）是；（2）k＝1 【详解】（1）当x＝−1时，y＝2＋5−7＝0， ∴抛物线y＝2x2−5x−7经过点（1，0）， ∴二次函数图象为“定点抛物线”． （2）∵y＝x2−mx＋2−k与x轴只有一个公共点， ∴（−1，0）是抛物线顶点， ∴抛物线解析式为y＝（x＋1）2＝x2＋2x＋1， ∴2−k＝1， ∴k＝1． 15．（1）二次函数y＝x2﹣4x﹣5的图象是“定点抛物线”；（2）1 【详解】解：（1）把代入y＝x2﹣4x﹣5得：， 二次函数y＝x2﹣4x﹣5的图象经过点，是“定点抛物线”． （2）把代入得：， 整理得：， ， ∵抛物线与轴只有一个交点时， ∴为抛物线顶点， 抛物线对称轴为直线， 解得：， ∴k的值为1． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解决本题的关键，属于中考常考题型． 16．(1)， (2)或 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与轴交于点， ∴，即，解得：； ∴二次函数， ∴二次函数的“相关二次函数”为． （2）解：由（1）可得，， ∴当时，，， ∵点与点之间的距离为5， ∴，即，解得：或． 17．(1)是“定点抛物线” (2) (3) 【详解】（1）解：当时，， ∴二次函数的图象经过点， ∴是“定点抛物线”； （2）解：∵抛物线是定点抛物线， ∴当时，， ∴， ∵定点抛物线与直线只有一个公共点， ∴， ∴， ∴， 把代入得，， ∴， 解得，； （3）解：根据题意，， 整理得，， ∴，即， ∴或， ∴交点的横坐标为或， ∵， ∴， 解得，， ∴的取值范围为：． 18．(1) (2)或 (3)或 【详解】（1）解：由题意得，的“关联”二次函数的表达式为， 故答案为：； （2）解：由“关联”二次函数的定义可知，互为“关联”二次函数的图像关于原点成中心对称， ∵正比例函数的图像也关于原点成中心对称，且题（）中的互为“关联”二次函数的图像与正比例函数的图像只有两个交点， ∴的图象与的图像只有一个交点， ∴关于的方程有两个相等的实数根， 方程整理得，， ∴， 解得或， ∴的值为或； （3）解：∵二次函数与互为“关联”二次函数， ∴二次函数与的图像关于原点成中心对称， ∵分别是互为“关联”的两个二次函数与的图像的顶点，点， ∴点，点为的中点， 设则， 当时，， ∴点， ∵是的图像与轴正半轴的交点， ∴若为直角三角形，则或， 当时， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴点的坐标为； 当时，， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $