2.4 二次函数的应用(第1课时)-【新课程能力培养】2025-2026学年九年级下册数学同步练习（北师大版）

参考答案与提示 -x2+3x-2. ②证明：：点M(,m)在函数y=-x2+3x-2的图 9+2400.当x=l0,即MG=10时，S元amr最大. 象上，∴m=-+3x-2. 此时FM=号×109FG=VWG4HF-号VE.当 由①知，点M,m).N,m)关于直线x号 点G在EF上距点F0V3m时，公园面积最大. 3 对称，不妨设<，则2 33 -1,即xt2=3. 8.解：(1)如图，过 (x-1)2-2_(x-1)2(x-2)-m(x2-2) 点A作AE⊥BC于点E. mx1-2 m(x1-2) :AC=2V3,∠ACB=60°， =x-1)(x-1)(x-2)-m(-2)】 则AE=3.又PD∥AB,易 m(x1-2) B =（G-3x+2)(-1)-m(-2)--m(x-1)-m(2-2) 证△ABC∽△DPC.:CD= AC m(x1-2) m(x1-2)） .CD=Y3(4-).过 第8题答图 =-mx+3-0.÷rl2=-2 BC 2 m(x1-2) m-2 4二次函数的应用（第1课时）】 点D作DF1C于点R、E-2瓷D子4 1.625m225m,25m )AE-化-号DF-PC-=PCAE 2 2)=-7*w0k21习 3.2提示：设EF=xm,EG=ym,由三角形相似 -0号43-子4小g422)南四 的性质，得y-4号5m-6B=4号刘 得，Seuw意x-2P4号，当x=2时，S6m最大，最 -子4，当x3时，Sm最大，此时)2. 大值为2.(3)0<4 4.B 9.解：(1)x=5时，EF=20-2x=10,EH=30-2x= 5解：（①=43子月￥子 20.y-2x(BH+AD)-x20+2·分GH+D)x60+BF EH·40=(20+30)×5×20+(10+20)x5×60+20x10×40=22000 0,当x号时，函数的最大值是？，即演员弹跳 A (元). (2)EF-20-2,EH=30-2,-2号(BH+ 的最大商度是475m(2)当x=4时，)=-子×4+3x AD)x20+2:号(GH+CD)x:60+EF-EH:40,得=(30 4+1=3.4,.这次表演成功. +30-2x)·x·20+(20+20-2x)·x·60+(30-2x)(20-2x)· 6.解：(1)如图，过点D作DE⊥AB于点E,则 40=-400x+24000(0<x<10).(3)由题意，得S甲=2· △ADE△ABD.,AD产=AEAB.AE=.DC=AB- (EH+AD)x=(30+30-2x)x=-22+60x,同理S乙=-2 24E=2-x2.y=-x2+2x+4.(2)y=-x2+2x+4=-(x-1)2+ +40x..·甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120m, 5,.当=1时，y最大=5 .-2x2+60x-(-2x2+40x)≤120.解得x≤6.故0<x≤6. y=-400x+24000,k=-400<0,y随x的增大而减小， .当x=6时，y的最小值为21600.∴.三种花卉的最低 种植总成本为21600元. 10.解：(1)由题意，A0=17m,A(0,17). 又OC=100m,缆索L的最低点P到FF的距离PD= 2m,∴.抛物线的顶点P的坐标为(50,2)..设抛物 第6题答图 第7题答图 线的表达式为y=a(x-50)2+2.将A(0,17)的坐标代入 3 7.解：如图，延长HG,KG分别交AD,AB于点 抛物线的表达式中，得2500a+2=17.a=500缆索 M,N.(1)G是EF的中点，MG=AE=30m, 4所在揽物线的表达式为y0-50+2。(②)：缆 GN=7FM=20m..SE形ac=HG·KG=(200-30)×(160- 索L,所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称， 20)=23800(m2).(2)设MG=xm,则GH=(200- 且缆索L所在抛物线为y广300(x-50)+2,缆素L4 )m由△1E△MG得FM号m,M=40子m 所在抛物线为y=写0x+50+2.又令y-26,2.6 (0≤≤605em=(20-)l60-(40-号到]-子+ 0+50+2解得=-40，=-60.又：0<0D-50m, 209 数学 九年级下册（北师大版） ∴x=-40.F0的长为40m. 5k-1.4>2.1.解得>0.7..球的落地点与球网的水平距 1 "11解：(1)由题意可知抛物线C:y=-8+ 离小于6，∴.当x=11时，y=-0.1×11+11k+1.1=11k-11. 由题意，得11k-11<0.解得k<1..k的取值范围为 1c=4, 0.7<k<1 bx+e过点(0,4)和(4,8，则-x4+4he=8解 4二次函数的应用（第2课时）】 1.15502.253.C4.D b=子：损特我G的数表达式为一古4会+ 得 5.解：(1)由题意，得y=(x-30)(162-3x)=-3x2+ c=4. 252x-4860.(2)将y=-3x2+252x-4860配方，得 4.(2)设运动员运动的水平距离为nm时，运动员 y=-3(x-42)2+432,故每件商品的销售价定为42元时， 与小山坡的竖直距高为1m,依题意，得-名+子n+ 每天获得的利润最大，最大利润为432元. 44名l-1.整理，得广-8480，解得m 6.解：（①y5-号-(025x+05)=-05r+475x 0.5(0≤x≤5).(2)当x=4.75,即年产量是475台 12,2=-4(舍去).故运动员运动的水平距离为12m： 时，工厂所得的利润最大. 时，运动员与小山坡的竖直距离为1m.(3)将抛物 7.解：设涨价x元，则每天所赚利润y=(100- 线G的表达式配方，得=立x-7户+8由题意。 10x)(2+x)=-10x2+80x+200=-10(x-4)2+360,当x=4时， y最大=360元..12+4=16（元），即折叠伞的售价为16 当x=7时，运动员到达坡顶正上方，运动员与坡顶的 元时，利润最大，为360元. 距离超过3m,即-日747+63g解得6>器 8.解：(1)将y=-0.1x2+2.6+43配方，得y=0.1(x- 13)2+59.9.当0≤x≤13时，学生的接受能力逐渐增强： 12.解：(1)M(12,0),P(6,6).(2)设函数 当13<x≤30时，学生的接受能力逐渐下降.(2)当 表达式为y=a(x-6)+6,:抛物线y=a(x-6)2+6经过点 x=10时，y=59.(3)当x=13时，y最大=59.9，即第 (0,3).3=a(0-646,即a=7=bx-646 13分钟时，学生的接受能力最强. 即)=4+3.（3)设A.0,则B12-,0, 9.解：(1)通过描点、连线，发现y与x之间是 次函数的关系，.设一次函数表达式为y=kx+b,根 C2-,b+3),D6,b*43.4D+DC+CB 器短查积0分解得化二00，将衣 *3+12-2++3)右418此=次 中另外两对数值代入=-x+40中，均满足，y=-x+40 能反映表中y随自变量x的变化规律，即为所求的函 函数的图象开口向下，∴.当t=O时，AD+DC+CB有最 数表达式，自变量的取值范围为0≤x≤40.(2)设 大值为18. 销售利润为P,则根据题意，得P=(x-10)y=(40-x)(x- 13.解：(1)设与墙垂直的边的长度为xm,则 10)=-x2+50x-400=-(x-25)2+225,当x=25时，P最大= 与墙平行的边的长度为(60-2x)m.根据题意，得 225元. x(60-2x)=450.解得x1=2=15.答：与墙垂直的边的长 10.解：(1)根据题意，得R=P(Q-20)=(-2x+ 度为15m. (2)设与墙平行的边的长度为tm,花圃的面积 80)[2+30)-20]=-+20x+800(1≤x≤20，且x为整 为Sm,根据题意得S=号(60+3+3-4)=-号+22. 数)，R2=P(Q2-20)=(-2x+80)(45-20)=-50x+2000 3 (21≤x≤30，且x为整数).(2)在1≤x≤20，且x S-号-33P4363了0.当133时，s有最大 为整数时，R=-(x-10)2+900,.当x=10时，R的 最大值为900.在21≤x≤30，且x为整数时，.在 值363.答：当与墙平行的边的长度为33m时，花圃 R2=-50x+2000中，R2的值随x值的增大而减小，.当 的面积最大 14.解：【建立模型】将点(2,2.3)，(3,2.6) x=21时，R2的最大值是950..950>900，.当x=21, 即在第21天时，日销售利润最大，最大值为950元. 代人)y=a+6r+1l,得2+l123.解得01. 9a+3b+1.1=2.6. b=0.8. 11.解：(1)(30-0.2m)(26-0.2n）(2)y y与x的函数关系式为y=-0.1x2+0.8x+1.1.(1)将函 (50+m)(30-0.2m),即ya=-0.2m2+20m+1500,y=(60+ 数表达式配方，得y=0.1x2+0.8x+1.1=-0.1(x-4)2+2.7. n)(26-0.2n),即y=-0.2n2+14n+1560.(3)由(2) -0.1<0,∴.当=4时，y有最大值为2.7.2.8>2.7，. 得y=-0.2m2+20m+1500=-0.2(m-50)2+2000.-0.2<0, 羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度不能达到2.8m. .当m=50时，ya有最大值，但m≤50x80%,即m≤ (2):保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变， 40,.当m=40时，ya的最大值为1980.yg=-0.2m2+ 14n+1560=-0.2(n-35)2+1805.-0.2<0,.当n=35 .a=-0.1.∴.抛物线对应的函数表达式为y=-0.1x+kx+ 1.1.当x=5时，y=0.1x52+5k+1.1=5k-1.4.由题意，得 时，yg有最大值，并且n≤60×80%，即n≤48，.当口数学 九年级下册（北师大版） 二次函数的应用（第1课时） 自主导学Q典例精析 例题如图，用一块长为50cm、宽为30cm的长方形铁片制 作一个无盖的盒子，若在铁片的四个角截去四个相同的小正方形， 设小正方形的边长为xcm. (1)底面的长AB= cm,宽BC= cm.(用含x的 例题图 代数式表示) (2)当做成盒子的底面积为300cm时，求该盒子的容积 (3)该盒子的侧面积S是否存在最大的情况？若存在，求出x的值及最大值是多少：若 不存在，请说明理由 【分析】(1)利用长方形的长与宽以及在铁片的四个角截去的小正方形的边长都是x, 即可得出表示AB与BC长度的代数式，即底面的长AB=(50-2x)cm,宽BC=(30-2x)cm, (2)根据矩形ABCD的面积AB·BC=300,建立一元二次方程得出x的值，进而求出盒子的 容积.(3)利用盒子侧面积为S=2x(50-2x)+2x(30-2x),列出盒子的侧面积S与x之间的函 数表达式，再利用配方法求出函数的最大值 【解答】(1)(50-2x)(30-2x)(2)依题意，得(50-2x)(30-2x)=300,整理，得 x>0, x2-40x+300=0.解得x1=10,2=30.由题意知 .0<x<15,x=30舍去.当x=10时， 30-2x>0, 盒子的容积=(50-20)×(30-20)×10=3000(cm).(3)存在.盒子的侧面积为S=2x(50- 2x)+2x(30-2x)=100x-4x2+60x-4x2=-8x2+160x=-8(x2-20x)=-8[(x-10)2-100]=-8(x-10)2+800. .-8<0,且0<x<15,.当x=10时，S有最大值，最大值为800. 【点拨】此题主要考查了二次函数在几何图形中的应用.解答这类应用题的关键是恰当地 选择几何图形中某个基本元素作为未知数或自变量x,然后用含有x的代数式表示图形中的其 他未知量，最后利用公式或题中给出的等量关系建立方程或函数模型.特别需要注意，利用二 次函数的性质求最大值时，要考虑使函数取得最大值的自变量x是否在自变量的取值范围内. 基础巩固L达标闯 1.用一根长100m的绳子围成一个长方形的运动场，那么所围的运动 场的最大面积是 ,此时长方形场地的边长分别是 2.如图，正方形ABCD的边长为2cm,P是AB上任意一点（除去端点 A,B),作PQ⊥DP交BC于点Q,设AP=xcm,BQ=ycm,则y与x的函数 A P 关系式是 ， 自变量x的取值范围是 当x= 第2题图 30 二次函数 第二章 时，y有最大值 3.如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC=6cm,高AD=4cm,要把它加工成一 个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB,AC上，要使矩形EGHF的 面积最大，EG的长应为 cm. 第3题图 第4题图 4.如图，△ABC是直角三角形，∠A=90°，AB=8cm,AC=6cm,点P从点A出发，沿 AB方向以2cms的速度向点B运动；同时点Q也从点A出发，沿AC方向以1cms的速度 向点C运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也随之停止运动，则△APQ的最大面 积是（) A.8 cm2 B.16 cm2 C.24 cm2 D.32 cm2 5.如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其 身体（看成一点）的运动路线是抛物线y-了P+3x+1的一部分。 (1)求演员弹跳离地面的最大高度. (2)已知人梯高BC=3.4m,在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离为4m,则这 次表演是否成功？ Ay/m 0 C x/m 第5题图 6.如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC,AB=2,∠ADB=90° (I)试求等腰梯形ABCD的周长y与腰长x之间的函数关系式. (2)当腰长等于多少时，梯形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？ 第6题图 0 口数学 九年级下册（北师大版） 7.某房地产公司要在一块地（图中矩形ABCD)上规划建造一个小区公园（矩形 GHCK),为了使文物保护区△AEF不被破坏，矩形公园的顶点G不能在文物保护区内.已知 AB=200m,AD=160m,AE=60m,AF=40m. (1)当矩形公园的顶点G恰是EF的中点时，求公园的面积. (2)当G在EF上什么位置时，公园面积最大？ 第7题图 能力提升睡综合拓展 8.如图，在△ABC中，已知BC=4,AC=2V3,∠ACB=60°，在BC边上有一动点P, 过点P作PD∥AB与AC交于点D,连接AP,设BP=x. (1)求△APD的面积与x的函数关系式. (2)当x为何值时，△APD的面积有最大值？求出其最大值. (3)求x的取值范围. p 第8题图 ② 二次函数 第二章 9.如图，有一块矩形地块ABCD,AB=20m,BC=30m,为了美观拟种植不同的花卉. 将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为xm.现决定在等 腰梯形AEHD和BCGF中种植甲种花卉，在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉，在 矩形EFGH中种植丙种花卉.甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元m2、60元/m、 40元/m,设三种花卉的种植总成本为y元. (1)当x=5时，求种植总成本y. (2)求种植总成本y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围， (3)若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120m,求三种花卉的最低种植总成本 H 第9题图 10.一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥.桥梁的缆索L,与缆索L2均呈抛物线型，桥 塔AO与桥塔BC均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线FF为x轴，以桥塔AO所 在直线为y轴，建立平面直角坐标系 已知：缆索L,所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于Y轴对称，桥塔AO与桥塔BC之间 的距离OC=100m,AO=BC=17m,缆索L1的最低点P到FF的距离PD=2m.(桥塔的粗细忽 略不计) (1)求缆索L1所在抛物线的函数表达式 (2)若点E在缆索L2上，EF⊥FF,且EF=2.6m,FO<OD,求FO的长. ◆y/m D Fx/m 第10题图 33 口数学 九年级下册（北师大版） *11.2022年北京冬奥会的召开，激发了人们对冰雪运动的极大热情.如图是某跳台滑 雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为 y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C:y=2产+(+1近似表示滑雪场地上的一 座小山坡，某运动员从点O正上方4m处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2:y= g4bxe运动， (1)当运动员运动到离A处的水平距离为4m时，离水平线的高度为8m,求抛物线 C2的函数表达式.（不要求写出自变量x的取值范围） (2)在(1)的条件下，当运动员运动的水平距离为多少时，运动员与小山坡的竖直距 离为1米？ (3)当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3时，求b的取值范围. y/m 、C2 C 水平线0 x/m 第11题图 *12.如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构 成，最大高度为6m,底部宽度为12m.现以0点为原点，OM所在直线为x轴、与OM垂 直的直线为y轴建立平面直角坐标系. (1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标. (2)求出这条抛物线的函数表达式. (3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD一DC一CB,使C,D两点在抛物线上，A,B两点在 地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？ y/m B M x/m 第12题图 二次函数 第二章 中考链接©真题演练 多 13.(2025·南通)综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题 学习活动.已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为60的栅栏围成.兴趣 小组设计了以下两种方案： 方案一：如图1，围成一个面积为450m的矩形花圃： 方案二：如图2，围成矩形花圃时，用栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个 小矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为3m的进出口（此处不用 栅栏)· 墙 (1)求方案一中与墙垂直的边的长度 花圃 (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度 为多少米？ 图1 必 花圃 3m 区域1 区域2 图2 第13题图 14.(2025·武汉)某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动. 【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直 【收集数据】某次羽毛球飞行的高度y(单位：m)与距发球点的水平距离x(单位： m)的对应值如下表（不考虑空气阻力） 水平距离xm 0 2 6 高度ylm 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如 图)，发现羽毛球飞行路线是抛物线y=ax+bx+1.1的一部分 【建立模型】求y与x的函数关系式（不要求写自变量取值范围）· (1)羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到2.8m?请说明理由. (2)保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，改变发球方式，使其表达式变为 y=ax+hx+1.1,发球点与球网的水平距离是5m.若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超 过2.1m,且球的落地点与球网的水平距离小于6m,求k的取值范围， y/m 发球点 x/m 第14题图 35