2.5.1 直线与圆的位置关系讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“直线与圆的位置关系”核心知识点，系统梳理相交、相切、相离三种位置关系的定义，几何法（圆心到直线距离与半径比较）和代数法（判别式）的判断方法，直线被圆截得的弦长计算，过不同点的切线方程及圆上点到直线的最大最小距离，构建从定义到应用的递进学习支架。 该资料通过四类题型（位置关系判断、相交问题、相切问题、最值问题）的例题与跟踪训练，融合几何直观与代数推理。以弦长计算中几何法（勾股定理）与代数法（根与系数关系）为例，培养学生用数学眼光观察空间形式，用数学思维进行逻辑推理，课中辅助教师系统授课，课后助力学生巩固练习、查漏补缺。

2.5.1 直线与圆的位置关系 知识点一、直线与圆的三种位置关系 1.直线与圆的位置关 （1）相交，有两个公共点；（2）相切，有一个公共点；（3）相离，没有公共点. 2.直线与圆位置关系的判断方法 设直线方程为：Ax＋By＋C＝0，圆的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. （1）几何法：圆心到直线的距离为d＝. ①直线与圆相离⇔d>r；②直线与圆相切⇔d＝r；③直线与圆相交⇔d<r. （2）代数法 由，消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ. ①Δ<0⇔直线与圆相离；②Δ=0⇔直线与圆相切；③Δ>0⇔直线与圆相交. 知识点二、直线被圆截得的弦长问题 1.几何法：直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，则弦长|AB|=. 2.代数法：联立直线l与圆C的方程，组成方程组，设直线l与圆C的两个交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2）. （1）直接利用两点间的距离公式求弦长：. （2）用弦长公式求弦长 ①设直线的斜率为k，联立直线l的方程和圆C的方程，消元后得到一个一元二次方程. 利用根与系数的关系可得弦长： . . ②当k=0时，可直接利用|AB|=|x1-x2|求弦长. ③当斜率不存在时，可直接利用|AB|=|y1-y2|求弦长. 知识点三、直线与圆相切 1.自一点引圆的切线 （1）过圆外一点，可以作圆的两条切线； （2）过圆上一点，可以作圆的一条切线； （3）过圆内一点，不能作圆的切线. 2.过一点的圆的切线方程 （1）点在圆上 ①若切点与圆心连线的斜率k存在且不为0，则先求k，再由垂直关系得切线的斜率为，由点斜式可求得切线方程. ②若切点与圆心连线的斜率为0或不存在，则可直接得切线方程为y=y0或x=x0. （2）点在圆外 过圆外一点P（x0，y0）引圆的切线必有两条切线，若切线的斜率存在，则： ①几何法：由圆心到直线的距离等于半径，求出k的值； ②代数法：设出切线方程，与圆的方程联立得到一元二次方程，由Δ=0求出k的值. 知识点四、圆上的点到直线的最大、最小距离 设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r. 1.相离：最大距离：d+r；最小距离：d-r. 2.相切：最大距离：2r；最小距离：0. 3.相交：最大距离：d+r；最小距离：0. 题型一：直线与圆的位置关系 例1.已知圆C: x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则(　　) A．l与C相交 B．l与C相切 C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能 例2.已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点． 跟踪训练： 1.直线与圆的位置关系是( ) A.相离 B.相交 C.相切 D.不确定 2.已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为( ) A. B. C. D. 3.若直线与圆有如下关系： ①相交；②相切；③相离.分别求实数的取值范围. 题型二：直线与圆的相交问题 例1.过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点．若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为________． 例2.已知圆内一点，则以为中点的弦所在直线的方程为 . 跟踪训练： 1.求直线l：3x＋y－6＝0被圆C: x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长． 2.已知直线和圆相交于两点，若，则实数（ ） A. B. C. D. 3.已知圆经过直线与圆的交点，且圆的圆心在直线上，则圆的方程为 . 题型三：直线与圆的相切问题 例1.过点A(－1,4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，则切线l的方程为 ． 例2.若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 跟踪训练： 1.过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3,3)的切线方程为(　　) A．2x－y＋9＝0 B．2x＋y－9＝0 C．2x＋y＋9＝0 D．2x－y－9＝0 2.从直线上一点向圆引切线，则切线长的最小值为 ． 3.与直线平行且与圆相切的直线方程为 ． 题型四：与圆有关的最值或范围问题 例1.已知圆经过三点，则圆截直线所得弦长的最小值为（ ） A. B. C. D. 跟踪训练： 1.在平面直角坐标系中，已知圆上有且仅有四个点到直线的距离为，则实数的取值范围是 . 2.已知实数满足方程， (1)求的最大值和最小值；(2)求的最大值与最小值；(3)求的最大值和最小值. 1.直线与圆的位置关系是( ) A.相离 B.相交 C.相切 D.不确定 2.过点作圆的切线，则的方程为（ ） A. B.或 C. D.或 3.由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为(　　) A．1 B．2 C. D．3 4.(多选)若直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是(　　) A．－2 B．－12 C．2 D．12 5.设m＞0，则直线l：(x＋y)＋1＋m＝0与圆O：x2＋y2＝m的位置关系为(　　) A．相切 B．相交 C．相切或相离 D．相交或相切 6.过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦长为 ． 7.过点P(2,3)且与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线方程为 ． 8.过点P(－1,6)且与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝4相切的直线方程是 ． 1.直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是(　　) A．过圆心 B．相切 C．相离 D．相交但不过圆心 2.若直线3x＋4y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0没有公共点，则实数m的取值范围是(　　) A．m<4或m>13 B．－5<m<15 C．m<－5或m>15 D．4<m<13 3.直线与圆相交于两点，若，则的值是（ ） A. B. C.或 D. 4.(多选)若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为(　　) A．0 B．4 C．－2 D. 5.已知直线与圆相切，且直线()始终平分圆的面积，则圆的方程为( ) A. B. C. D. 6.已知直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7.已知直线,圆,则直线被圆所截得的弦长为 . 8.若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是 . 9.一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为 . 10.经过点，且与圆相切的直线方程为 . 11.在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为 . 12.自圆外一点P作圆O：x2＋y2＝1的两条切线PM，PN(M，N为切点)，若∠MPN＝90°，则动点P的轨迹方程是 . 13.曲线y＝1＋与直线l：y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是________． 14.直线分别与轴、轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是 15.设圆上的点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x－y＋1＝0相交的弦长为2，求圆的方程． 16.已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C: x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点． (1)求四边形PACB面积的最小值； (2)直线上是否存在点P，使∠BPA＝60°，若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.1 直线与圆的位置关系 知识点一、直线与圆的三种位置关系 1.直线与圆的位置关 （1）相交，有两个公共点；（2）相切，有一个公共点；（3）相离，没有公共点. 2.直线与圆位置关系的判断方法 设直线方程为：Ax＋By＋C＝0，圆的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. （1）几何法：圆心到直线的距离为d＝. ①直线与圆相离⇔d>r；②直线与圆相切⇔d＝r；③直线与圆相交⇔d<r. （2）代数法 由，消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ. ①Δ<0⇔直线与圆相离；②Δ=0⇔直线与圆相切；③Δ>0⇔直线与圆相交. 知识点二、直线被圆截得的弦长问题 1.几何法：直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，则弦长|AB|=. 2.代数法：联立直线l与圆C的方程，组成方程组，设直线l与圆C的两个交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2）. （1）直接利用两点间的距离公式求弦长：. （2）用弦长公式求弦长 ①设直线的斜率为k，联立直线l的方程和圆C的方程，消元后得到一个一元二次方程. 利用根与系数的关系可得弦长： . . ②当k=0时，可直接利用|AB|=|x1-x2|求弦长. ③当斜率不存在时，可直接利用|AB|=|y1-y2|求弦长. 知识点三、直线与圆相切 1.自一点引圆的切线 （1）过圆外一点，可以作圆的两条切线； （2）过圆上一点，可以作圆的一条切线； （3）过圆内一点，不能作圆的切线. 2.过一点的圆的切线方程 （1）点在圆上 ①若切点与圆心连线的斜率k存在且不为0，则先求k，再由垂直关系得切线的斜率为，由点斜式可求得切线方程. ②若切点与圆心连线的斜率为0或不存在，则可直接得切线方程为y=y0或x=x0. （2）点在圆外 过圆外一点P（x0，y0）引圆的切线必有两条切线，若切线的斜率存在，则： ①几何法：由圆心到直线的距离等于半径，求出k的值； ②代数法：设出切线方程，与圆的方程联立得到一元二次方程，由Δ=0求出k的值. 知识点四、圆上的点到直线的最大、最小距离 设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r. 1.相离：最大距离：d+r；最小距离：d-r. 2.相切：最大距离：2r；最小距离：0. 3.相交：最大距离：d+r；最小距离：0. 题型一：直线与圆的位置关系 例1.已知圆C: x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则(　　) A．l与C相交 B．l与C相切 C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能 解：将点P(3,0)代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，∴点P(3,0)在圆内． ∴过点P的直线l必与圆C相交．故选：A. 例2.已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点． 解：方法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得， (1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.则Δ＝4m(3m＋4)． 当Δ>0，即m>0或m<时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； 当Δ＝0，即m＝0或m＝时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； 当Δ<0，即<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 方法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4， 即圆心为C(2,1)，半径r＝2. 圆心C(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝. 当d<2，即m>0或m<时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； 当d＝2，即m＝0或m＝时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； 当d>2，即<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 跟踪训练： 1.直线与圆的位置关系是( ) A.相离 B.相交 C.相切 D.不确定 解：方法1：立直线与圆的方程，得方程组， 消去，得.因为，所以直线与圆相离. 方法2：圆的方程可化为，所以圆心为，半径为. 所以圆心到直线的距离，所以直线与圆相离.故选：A. 2.已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为( ) A. B. C. D. 解：设圆心的坐标为，由圆与直线及都相切可得，解得，则，故所求圆的方程是.故选：B. 3.若直线与圆有如下关系： ①相交；②相切；③相离.分别求实数的取值范围. 解：方法1：由，消去，得， . ①当直线和圆相交时，，解得. ②当直线和圆相切时，，解得或. ③当直线和圆相离时，，解得或. 方法2：圆的圆心为，半径，则圆心到直线的距离. ①当直线和圆相交时，，即，解得. ②当直线和圆相切时，，即，解得或. ③当直线和圆相离时，，即，解得或. 题型二：直线与圆的相交问题 例1.过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点．若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为________． 解：由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0， 圆心O(0,0)到直线l的距离为d＝，则有|AB|＝. 故答案为：. 例2.已知圆内一点，则以为中点的弦所在直线的方程为 . 解：方法1：将圆的方程化为标准形式为，由圆的几何性质知，圆心与点的连线与弦所在直线垂直，如图. 设圆心为，则，又，所以，所以以为中点的弦所在直线的斜率，所以所求直线的方程是，即. 方法2：当直线的斜率存在时，设斜率为，则过点的直线方程为， 即.代入圆的方程得. 因为，，所以可设两个交点坐标为，则，解得，所以所求直线的方程是. 当直线的斜率不存在时，直线不符合题意.故所求直线的方程是. 方法3：当直线斜率不存在时，不合题意. 当直线的斜率存在时，设斜率为，直线与圆的两个交点分别为， 则，直线的斜率. 因为点在圆上，所以， ①-②并整理得， 即，解得.故所求直线的方程是. 故答案为：. 跟踪训练： 1.求直线l：3x＋y－6＝0被圆C: x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长． 解：方法一：由直线l与圆C的方程，得，消去y，得x2－3x＋2＝0. 设两交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系有x1＋x2＝3，x1·x2＝2， |AB|＝. ∴弦AB的长为. 方法二　圆C: x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5. 其圆心坐标为C(0,1)，半径r＝，点C(0,1)到直线l的距离为d＝. 所以半弦长＝.所以弦长|AB|＝. 2.已知直线和圆相交于两点，若，则实数（ ） A. B. C. D. 解：由可得， 所以圆心为，，圆心到直线的距离.由，得，解得.故选：B. 3.已知圆经过直线与圆的交点，且圆的圆心在直线上，则圆的方程为 . 解：方法1：由解得或即交点为. 弦的垂直平分线的方程为，即.由得 即圆心坐标为，半径， 故所求圆的方程为. 方法2：设圆的方程为，即，所以圆心为.又圆心在直线上，所以，解得，所以圆的方程为，即. 故答案为：. 题型三：直线与圆的相切问题 例1.过点A(－1,4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，则切线l的方程为 ． 解：∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10＞1，∴点A在圆外． 当直线l的斜率不存在时，l的方程是x＝－1，不满足题意． 设直线l的斜率为k，则切线l的方程为y－4＝k(x＋1)，即kx－y＋4＋k＝0. 圆心(2,3)到切线l的距离为，解得k＝0或k＝， 因此，所求直线l的方程为y＝4或3x＋4y－13＝0.故答案为：y＝4或3x＋4y－13＝0. 例2.若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 解：因为过圆外一点的圆的切线长l、半径长r和这点到圆心的距离d满足勾股定理，即l2＝d2－r2，所以切线长最短时该点到圆心的距离最小，转化成求该点与圆心的距离的最小值问题．由题意易知圆心C(－1,2)，半径长r＝，点(a，b)在直线y＝x－3上，所以点(a，b)与圆心的距离的最小值即圆心到直线y＝x－3的距离d，易求d＝＝3，所以切线长的最小值为.故选：C. 跟踪训练： 1.过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3,3)的切线方程为(　　) A．2x－y＋9＝0 B．2x＋y－9＝0 C．2x＋y＋9＝0 D．2x－y－9＝0 解：x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为C(1,2)，kPC＝，∴切线的斜率k＝－2， ∴切线方程为y－3＝－2(x－3)，即2x＋y－9＝0.故选：B. 2.从直线上一点向圆引切线，则切线长的最小值为 ． 解：方法1：圆的方程可化为，圆心为，半径. 设点，则. 设过点的直线与圆相切于点，则. 故. 所以当时，取得最小值，最小值为，此时切线长为. 方法2：圆的方程可化为，圆心为，半径.如图， 设过点的切线与圆相切于点，则.故. 故当取得最小值时，切线长最小.的最小值为圆心到直线的距离 所以切线长的最小值为. 3.与直线平行且与圆相切的直线方程为 ． 解：方法1：设直线的方程为，即. 圆的圆心坐标为，半径为. 由，解得或.符合题意. 故所求直线的方程为或，即或. 方法2：设直线的方程为， 由，得， 则，解得或，符合题意. 所以或，即或. 故答案为：或. 题型四：与圆有关的最值或范围问题 例1.已知圆经过三点，则圆截直线所得弦长的最小值为（ ） A. B. C. D. 解：因为圆心在弦的垂直平分线上，所以设圆心为. 由，即，解得， 所以，所以，圆的方程为. 又直线过定点，点在内. 当直线与直线垂直时，弦长最短， 则由垂径定理，得弦长， 所以直线被圆截得的弦长的最小值为.故选：B. 跟踪训练： 1.在平面直角坐标系中，已知圆上有且仅有四个点到直线的距离为，则实数的取值范围是 . 解：如图所示， 设是一条斜率为的直线，且圆心到直线的距离，由于圆的半径为，因此在直线截圆所得劣弧上仅有点到直线的距离，由此可知，当圆心到直线的距离时，直线两侧各有两个点到的距离为.令，即，可解得.故答案为：(-13,13). 2.已知实数满足方程， (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值； (3)求的最大值和最小值. 解：方程可化为，表示以为圆心，为半径的圆. （1）设，即.当直线与圆相切时，斜率取最大值或最小值，如图所示， 此时，解得.所以的最大值为，最小值为. （2）(转化为截距的最值问题求解)设，则表示动直线在轴上的截距，显然当动直线与圆相切时，取得最大值或最小值，如图所示. 由圆心到切线的距离等于圆的半径，可得，即，解得，所以的最大值为，最小值为. （3）如图所示， 表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为，所以的最大值为，的最小值为. 1.直线与圆的位置关系是( ) A.相离 B.相交 C.相切 D.不确定 解：直线，即.由得， 所以直线恒过定点，因为，所以定点在圆内，所以直线与圆相交. 故选：B. 2.过点作圆的切线，则的方程为（ ） A. B.或 C. D.或 解：方法1：因为，所以点在圆上. 圆的方程可化为，则圆心，，故切线的斜率，切线方程为，即. 方法2：因为，所以点在圆上，过点的切线方程为，即.故选：C 3.由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为(　　) A．1 B．2 C. D．3 解：圆心C(3,0)到y＝x＋1的距离d＝. 所以切线长的最小值为l＝.故选：C. 4.(多选)若直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是(　　) A．－2 B．－12 C．2 D．12 解：圆的方程为x2＋y2－2x－2y＋1＝0，可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1， 由圆心(1,1)到直线3x＋4y－b＝0的距离为，得b＝2或12.故选：CD. 5.设m＞0，则直线l：(x＋y)＋1＋m＝0与圆O：x2＋y2＝m的位置关系为(　　) A．相切 B．相交 C．相切或相离 D．相交或相切 解：圆心到直线l的距离为d＝，圆的半径为r＝， ∵d－r＝－＝(m－2＋1)＝(－1)2≥0，∴d≥r，故直线l和圆O相切或相离． 故选：C. 6.过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦长为 ． 解：设点A(3,1)，易知圆心C(2,2)，半径r＝2.当弦过点A(3,1)且与CA垂直时为最短弦， |CA|＝.∴半弦长＝.∴最短弦长为2. 故答案为：2. 7.过点P(2,3)且与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线方程为 ． 解：∵P(2,3)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1外，∴过点P(2,3)与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线有两条．当斜率存在时，设切线的斜率为k， 则切线方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0， ∴ ＝1，解得：k＝0，∴切线方程为y＝3. 当斜率不存在时，切线方程为x＝2.故答案为：y＝3或x＝2. 8.过点P(－1,6)且与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝4相切的直线方程是 ． 解：当所求直线的斜率存在时，设所求直线的方程为y－6＝k(x＋1)， 则d＝＝2，解得k＝，此时，直线方程为3x－4y＋27＝0； 当所求直线的斜率不存在时，所求直线的方程为x＝－1，验证可知，符合题意． 故答案为：3x－4y＋27＝0或x＝－1. 1.直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是(　　) A．过圆心 B．相切 C．相离 D．相交但不过圆心 解：圆心(1，－1)到直线3x＋4y＋12＝0的距离d＝，0<d<r， 所以相交但不过圆心．故选：D. 2.若直线3x＋4y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0没有公共点，则实数m的取值范围是(　　) A．m<4或m>13 B．－5<m<15 C．m<－5或m>15 D．4<m<13 解：圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0的圆心为(1，－2)，半径为2， 由题意，圆心到直线3x＋4y＋m＝0的距离>2，∴m<－5或m>15.故选：C. 3.直线与圆相交于两点，若，则的值是（ ） A. B. C.或 D. 解：因为，圆心为，， 所以圆心到直线的距离. 由点到直线的距离公式，得，解得或.故选：C. 4.(多选)若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为(　　) A．0 B．4 C．－2 D. 解：由圆的方程，可知圆心坐标为(a，0)，半径r＝2.又直线被圆截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离d＝.又d＝，所以|a－2|＝2，解得a＝4或a＝0. 故选：AB. 5.已知直线与圆相切，且直线()始终平分圆的面积，则圆的方程为( ) A. B. C. D. 解：因为直线()始终平分圆的面积，所以直线()一定过圆的圆心.又因为直线()过定点，所以圆的圆心坐标为.因为圆与直线相切，所以，所以圆的方程为.故选：D. 6.已知直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 解：可化为，表示以为圆心，半径为2的圆的下半圆.作出直线与该半圆的图形，如图. 由图可知当直线()从点处与圆相切运动到过点处时，直线与圆有两个公共点（不包括相切的情况），将代入，解得.由直线与圆相切，得，解得(舍)或.所以的取值范围是. 故选：D. 7.已知直线,圆,则直线被圆所截得的弦长为 . 解：方法1：圆的方程可化为，其圆心的坐标为，半径.点到直线的距离.所以截得的弦长为. 方法2：设直线与圆交于两点，由解得交点为， 所以弦长. 方法3：设直线与圆交于两点，由消去， 得，所以. 所以. 故答案为：. 8.若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是 . 解：圆(x－a)2＋y2＝2的圆心C(a，0)到直线x－y＋1＝0的距离为d， 则d≤r＝ |a＋1|≤2⇔－3≤a≤1.故答案为：[-3,1]. 9.一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为 . 解：由已知得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性知，反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切， 则有d＝，解得k＝或k＝.故答案为：k＝或k＝. 10.经过点，且与圆相切的直线方程为 . 解：因为，所以点在圆外. 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即. 则圆心到切线的距离等于半径，即，解得， 所以直线的方程为. 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，显然满足题意. 验证：过圆外一点的圆的切线有两条，若求得的值只有一个，则表示其中一条切线的斜率不存在.综上可知，与圆相切的直线方程为和. 故答案为：和. 11.在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为 . 解：圆的方程化为标准形式为(x－1)2＋(y－3)2＝10，易知点E在圆内， 由圆的性质可知最长弦|AC|＝2，最短弦BD恰以E(0,1)为中点，且与AC垂直， 设点F为其圆心，坐标为(1,3)．故|EF|＝，∴|BD|＝， ∴S四边形ABCD＝|AC|·|BD|＝10.故答案为：10. 12.自圆外一点P作圆O：x2＋y2＝1的两条切线PM，PN(M，N为切点)，若∠MPN＝90°，则动点P的轨迹方程是 . 解：设点P的坐标为(x，y)，则|PO|＝. ∵∠MPN＝90°，∴四边形OMPN为正方形， ∴|PO|＝|OM|＝，∴＝，即x2＋y2＝2.故答案为：x2＋y2＝2. 13.曲线y＝1＋与直线l：y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是________． 解：直线l过点A(2,4)，又曲线y＝1＋的图象为以(0,1)为圆心，2为半径的半圆， 当直线l与半圆相切，C为切点时，圆心到直线l的距离d＝r， 即＝2，解得k＝.当直线l过点B(－2,1)时，直线l的斜率为， 则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为. 故答案为：. 14.直线分别与轴、轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是 解：方法1：直线与轴、轴的交点为，所以. 由圆的方程，得圆心坐标为，半径， 所以圆心到直线的距离，则直线与圆相离， 所以点到直线的最小距离为，最大距离为， 所以面积的最小值为，最大值为. 所以面积的取值范围为. 15.设圆上的点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x－y＋1＝0相交的弦长为2，求圆的方程． 解：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心为(a，b)，半径长为r. ∵点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点A′仍在这个圆上， ∴圆心(a，b)在直线x＋2y＝0上．∴a＋2b＝0①，且(2－a)2＋(3－b)2＝r2.② 又∵直线x－y＋1＝0与圆相交的弦长为2， ∴r2－d2＝r2－③， 解由方程①②③组成的方程组，得或. ∴所求圆的方程为(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244. 16.已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C: x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点． (1)求四边形PACB面积的最小值； (2)直线上是否存在点P，使∠BPA＝60°，若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由． 解：(1)如图，连接PC，由P点在直线3x＋4y＋8＝0上，可设P点坐标为. 所以S四边形PACB＝2S△PAC＝2××|AP|×|AC|＝|AP|. 因为|AP|2＝|PC|2－|CA|2＝|PC|2－1，所以当|PC|2最小时，|AP|最小． 因为|PC|2＝(1－x)2＋. 所以当x＝时，|PC|2min＝9.所以|AP|min＝＝2. 即四边形PACB面积的最小值为2. (2)由(1)知圆心C到P点距离3为C到直线上点的最小值，若∠APB＝60°易得需PC＝2，这是不可能的，所以这样的点P是不存在的． 1 学科网（北京）股份有限公司 $