2.4 一元二次方程的应用 第1课时 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程解决几何图形问题，通过复习梯子下滑旧知导入，以“顶端下滑与底端滑动距离相等”等问题链引导探究，构建“审设列解验答”的解题步骤支架。 其亮点在于融入《九章算术》门宽等数学文化题及动点分类讨论实例，以数学眼光观察几何关系，用数学思维推理等量关系，通过模型意识建立方程。小结步骤清晰，例题变式丰富，帮助学生提升几何直观与应用意识，教师可直接用于课堂教学提升效率。

2.4 一元二次方程的应用 北师版九年级上册 第二章 一元二次方程 第1课时 几何图形问题 1 复习导入 你还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？ 如图，一架长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子顶端到地面的垂直距离为 8 m。如果梯子顶端下滑 1 m，那么梯子底端滑动多少米？ 解：设梯子底端滑动 x m，滑动后梯子底端距墙_______m。 （x＋6） 根据题意，可得方程： 72＋(x＋6)2 ＝ 102 (x＋6)2 ＝ 102－72 (x＋6)2 ＝ 51 （1）在这个问题中，梯子顶端下滑 1 m 时，梯子底端滑动的距离大于 1 m，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动相等的距离呢？ 探究新知 思考 (1)梯子底端与墙面的水平距离是多少？怎么求？ (2)已知量、未知量是什么？相等关系是什么?如何建立方程？ (3)方程的解是否都符合题意？ （1）在这个问题中，梯子顶端下滑 1 m 时，梯子底端滑动的距离大于 1 m，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动相等的距离呢？ x x 设梯子顶端下滑x米，底端滑动x米 (8－x)2 + (6 + x)2 = 102 x2－2x = 0 x1= 0（舍），x2 = 2。 （2）如果梯子的长度是 13 m，梯子顶端到地面的垂直距离为 12 m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？ 设梯子顶端下滑x米，底端滑动x米 (12－x)2 + (5 + x)2 = 132 x2－7x = 0 x1= 0（舍），x2 = 7。 列一元二次方程解应用题的一般步骤： 结 小 纳 归 （1）审：审题要弄清已知量、未知量和问题中的等量关系； （2）设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异； （3）列：列方程，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，列代数式表示相等关系中的各个量，即方程； （4）解：求出所列方程的解； （5）验：检验方程的解是否正确，能否保证实际问题有意义； （6）答：根据题意，选择合理的答案作答。 例1 如图，某海军基地位于 A 处，在其正南方向 200 n mile 处有一重要目标 B，在 B 的正东方向200 n mile 处有一重要目标C。小岛 D 位于 AC 的中点，岛上有一补给码头；小岛 F 位于 BC 的中点。一艘军舰从 A 出发，经 B 到 C 匀速巡航，一艘补给船同时从 D 出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。 已知军舰的速度是补给船的 2 倍，军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇与 E 处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1 n mile） （1）要求 DE 的长，需要如何设未知数？ （2）怎样建立含 DE 未知数的等量关系？从已知条件中能找到吗？ （3）利用勾股定理建立等量关系，如何构造直角三角形？ （4）选定Rt△DEF 后，三条边长都是已知的吗？DE，DF，EF 分别是多少？ 解： 连接 DF。 ∵AD = CD，BF = CF， ∴DF 是 △ABC 的中位线。 ∴DF∥AB，且 DF = AB。 ∵AB⊥BC，AB = BC = 200 n mile， ∴DF⊥BC，DF = 100 n mile，BF = 100 n mile。 设相遇时补给船航行了 x n mile，那么 DE = x n mile，AB + BE = 2x n mile， EF = AB + BF－（AB + BE）=（300－2x）n mile. 在 Rt△DEF 中，根据勾股定理可得方程 x2 = 1002 + (300－2x)2， 整理，得 3x2－1200x + 100 000 = 0。 解这个方程，得 所以，相遇时补给船大约航行了 118.4 n mile。 课堂小结 列一元二次方程解应用题的一般步骤： 审 设 列 解 验 答 1.［新课标—数学文化题］《九章算术》记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少(1丈＝10尺，1尺＝10寸)？设矩形门宽为x尺，则依题意所列方程为　 　.  　x2＋(x＋6.8)2＝102　 —— 课堂练习 —— 2.如图所示，甲、乙两人分别从正方形花坛ABCD的顶点B，C同时出发，甲由点B向点C运动，乙由点C向点D运动，甲的速度为2米/分钟，乙的速度为1米/分钟.若正方形花坛的周长为40米，问几分钟后，两人相距2米. 解：设x分钟后，两人相距2米，此时甲运动到点E，乙运动到点F，则FC＝x米，EC＝(10－2x)米. 在Rt△EFC中，得x2＋(10－2x)2＝(2)2， 解得x1＝2，x2＝6(不符合题意，舍去). 答：2分钟后，两人相距2米. 3.如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2 m，另一边减少了3 m，剩余一块面积为20 m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是( ) A.10 m B.9 m C.8 m D.7 m D 4.为改善村容村貌，建设美丽乡村，某村计划将一块长18米、宽10米的矩形场地建成绿化广场.如图，广场内部修建同样宽的三条小路，其中一条路与广场的长边平行，另外两条路与广场的短边平行，其余区域进行绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的80%，则小路的宽为 　 　米.  　1　 笔直小路→弯折小路 如图是一个长为30 m、宽为20 m的长方形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草，如图所示.要使种植花草的面积为532 m2，则小道的宽度应为 　 　m.  　1　 5.某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角(阴影部分，两边足够长)和50米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，AD两边). (1)若花园的面积为400米2，求AB的长. 解：(1)设AB的长为x米，则AD的长为(50－x)米. 由题意得x(50－x)＝400， 解得x1＝10，x2＝40， ∴AB的长为10米或40米. (2)若在直角墙角内点P处有一棵桂花树，且与墙BC，CD的距离分别是10米、30米，要将这棵树围在矩形花园内(含边界，忽略树的粗细)，则花园的面积能否为625米2？若能，求出AB的值；若不能，请说明理由. (2)花园的面积不能为625米2.理由如下： 设AB的长为y米，则AD的长为(50－y)米. 由题意得y(50－y)＝625， 解得y1＝y2＝25， ∴当AB＝y＝25时，AD＝50－y＝25<30， ∴花园的面积不能为625米2. 6.如图，某景区准备在一块边长为20米的正方形花园中间修建一个正方形的休闲场所，要求修建4条等宽的矩形小道连接两个正方形的四边.若小道的长是宽的3倍，且花草种植区域(阴影部分)的面积为192米2.设小道宽度为x米，根据题意，下列所列方程正确的是( ) A.(20－x)2＝192 B.4×3x(20－4x)＝192 C.(20－4x)2＝192 D.202－4×3x2－(20－3x)2＝192 B 7.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝12 cm，点D从点A开始沿AB边以2 cm/s的速度向点B移动，移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC，则点D出发 　 　s时，四边形DFCE的面积为20 cm2.  　1或5　 8.某农场要建一个饲养场(矩形ABCD)，两面靠墙(AD位置的墙最大可用长度为25 m，AB位置的墙最大可用长度为21 m)，另外两边用木栏围成，中间用木栏隔成两个小矩形并在如图所示的两处各留1 m宽的门(不用木栏)，建成后木栏总长50 m. (1)若饲养场(矩形ABCD)的面积为240 m2， 求边CD的长. 解：(1)设边CD＝x m，则AD＝(50－2x＋2) m， 由题意，得x(50－2x＋2)＝240， 解得x1＝6，x2＝20， 当x＝6时，50－2×6＋2＝40>25，不符合题意，舍去； 当x＝20时，50－2×20＋2＝12<25，20<21，符合题意， ∴边CD的长为20 m. (2)小芳说：“饲养场的面积最多能达到338 m2.”若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请说明理由. (2)不能，理由如下： 由题意，得x(50－2x＋2)＝338， 整理得x2－26x＋169＝0， 解得x1＝x2＝13， 当x＝13时，50－2×13＋2＝26>25，不符合题意， ∴饲养场的面积不能达到338 m2. 9.［教材P54习题2.4第4题改编］如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝12 cm，AC＝8 cm，现有动点P从点B出发，沿射线BA运动，动点Q从点C出发，沿射线CA运动.已知点P的速度是2 cm/s，点Q的速度是1 cm/s，它们同时出发，设运动时间是t s(t>0). (1)当t＝4时，求△APQ的面积； 解：(1)S△APQ＝8 cm2. (2)［分类讨论思想］当t为何值时，△APQ的面积是△ABC面积的一半？ (2)根据题意，得S△APQ＝×12×8＝24(cm2). 当0<t<6时，S△APQ＝(12－2t)(8－t)＝24，解得t＝12(舍去)或t＝2. 当6<t<8时，S△APQ＝(2t－12)(8－t)＝24， 整理，得t2－14t＋72＝0. ∵Δ<0，∴方程无实数根. 当t>8时，S△APQ＝(2t－12)(t－8)＝24，解得t＝12或t＝2(舍去). 综上所述，当t的值为2或12时，△APQ的面积是△ABC面积的一半. $