2.3.1 有理数的乘方 第1课时 课时同步练习 2026—2027学年 人教版数学七年级上册

**基本信息** 初中数学有理数的乘方新授课同步练，通过基础-能力-拓展三层递进设计，实现从概念理解到综合应用再到思维迁移的知识巩固路径，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关|乘方定义、符号性质等核心概念|选择/填空/基础计算，聚焦易错点（如底数识别、符号判断）| |能力提升|乘方与绝对值综合、非负性应用等|细胞分裂情境问题、符号规律探究，培养推理意识| |拓展应用|错位相减法、指数增长规律|对折厚度探究等开放性问题，发展创新意识与应用能力|

2.3.1 有理数的乘方 第1课时 课时同步练习 （总分：100 分 时间：45 分钟） 一、基础过关（共 40 分） 本部分聚焦乘方核心概念与基础运算，夯实入门基础。 1．【考点：乘方的定义】 可表示为（ ）（4 分） A． B． C． D． 2．【考点：乘方的基本概念辨析】下列说法正确的是（ ）（4分） A． 的底数是 B． 读作 “负 1 的 12 次幂” C． 与 的意义完全相同 D． 3．【考点：负数的乘方运算】 的值为（ ）（4 分） A．12 B．−12 C．81 D．−81 4．【考点：乘方符号的易错辨析】下列计算正确的是（ ）（4 分） A． B． C． D． 5．【考点：乘方的符号性质】若一个有理数的平方是正数，则这个有理数的立方（ ）（4 分） A．一定是正数 B．一定是负数 C．正数或负数 D．一定是奇数 6．【考点：分数乘方的书写形式】把写成幂的形式是 ，其中底数是 ，指数是 。（4 分） 7．【考点：乘方的基础计算】计算下列各式（每小题 3 分，共 12 分） （1）； （2）； （3）； （4）。 8．【考点：计算器计算有理数的乘方】用计算器计算下列各式的结果（每小题 2 分，共 4 分） （1） ；（2） 。 二、能力提升（共 40 分） 本部分侧重知识综合运用，提升运算与分析能力。 9．【考点：乘方运算结果的数值比较】下列各组数中，数值相等的是（ ）（5 分） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 10．【考点：含乘方的混合运算与大小比较】若 ，，，则下列大小关系正确的是（ ）（5 分） A． B． C． D． 11．【考点：乘方与绝对值的综合计算】已知有理数 满足 ，，且 ，则 的值为 。（6 分） 12．【考点：乘方的非负性应用】若 ，则 的值为 。（6 分） 13．【考点：乘方的实际情境应用】某种细胞每过 30 分钟便由 1 个分裂成 2 个，经过 3 小时，1 个这种细胞可以分裂成多少个？请写出计算过程。（8 分） 14．【考点：乘方的符号规律探究】根据乘方的符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 请直接写出下列各式结果的符号（填 “正” 或 “负”，每空 2.5 分，共 10 分） （1）： ；（2）： ； （3）： ；（4）： 。 三、拓展应用（共 20 分） 本部分侧重方法迁移与实际探究，拓展数学思维。 15．【考点：错位相减法计算等比数列和】 观察下列解题过程： 计算： 解：设 ① 则 ② ② −①，得 请你用上述方法计算：（10 分） 16．【考点：乘方的实际拓展探究】 一张厚度为 0.1 毫米的长方形纸，将它沿长边对折 1 次后，厚度变为 毫米。 （1）对折 4 次后，厚度是多少毫米？ （2）按照这样的方式对折，对折多少次后厚度能超过 10 毫米？（直接写出结果即可）（10 分） 参考答案与逐题解析 一、基础过关 1．答案：A 【解析】根据乘方的定义，求 n 个相同因数的积的运算叫做乘方，表示 5 个 3 相乘，即。 B 选项是乘法运算，C 选项对应（3 个 5 相乘），D 选项是加法运算，均不符合乘方的意义。 核心知识点：乘方的定义，乘方的本质是相同因数的乘法运算。 2．答案：D 【解析】 A 选项：表示的相反数，底数是 4，不是 −4，错误； B 选项：读作 “负的 1 的 12 次幂”，“负 1 的 12 次幂” 对应，错误； C 选项：表示 3 个 −5 相乘，表示的相反数，二者意义不同，错误； D 选项：，，数值相等，正确。 易错点：区分带括号与不带括号的负数乘方的底数、读法与运算意义。 核心知识点：乘方的相关概念（底数、指数、意义）。 3．答案：C 【解析】表示 4 个 −3 相乘，即。 根据 “负数的偶次幂结果为正” 可直接判断符号为正，排除 B、D，计算数值得 81。 核心知识点：负数的偶次幂运算规则。 4．答案：B 【解析】 A 选项：，错误； B 选项：，正确； C 选项：，错误； D 选项：，错误。 易错点：与的运算区别：前者先算乘方再取相反数，后者底数为负数整体参与乘方。 核心知识点：乘方的符号法则与易错运算辨析。 5．答案：C 【解析】正数的平方是正数，负数的平方也是正数，因此平方为正数的有理数可能是正数也可能是负数。 正数的立方是正数，负数的立方是负数，因此这个数的立方可能是正数或负数。 核心知识点：有理数乘方的符号性质。 6．答案：；； 【解析】5 个相乘，写成幂的形式为，其中相同的因数是底数，相同因数的个数 5 是指数。 易错点：分数作为底数时必须加括号，否则仅分子参与乘方运算。 核心知识点：乘方的书写形式，底数与指数的识别。 7．答案：（1）；（2）；（3）；（4） 。 【解析】 （1），负数的奇次幂为负； （2），先算乘方再取相反数； （3），分数乘方需分子、分母分别乘方； （4），仅分子部分进行乘方运算。 核心知识点：不同形式有理数的乘方运算规则。 8．答案： （1）；（2） 【解析】使用计算器乘方功能计算： （1）； （2）负数的偶次幂为正，因此。 核心知识点：计算器计算乘方的操作与结果验证。 二、能力提升 9．答案：D 【解析】分别计算各组数值： A 选项：，，不相等； B 选项：，，不相等； C 选项：，，不相等； D 选项：，，数值相等。 解题思路：先根据乘方运算法则分别计算每组两个式子的结果，再进行数值比较。 核心知识点：含负号的乘方运算与数值比较。 10．答案：C 【解析】根据运算顺序分别计算 a、b、c 的值： ； ； ； 比较大小：，即。 解题思路：注意括号对运算顺序的影响，有括号先算括号内的运算，再计算乘方。 核心知识点：含乘方的混合运算与有理数大小比较。 11．答案：或 【解析】 由得或； 由得或； 由可知 x、y 异号，分两种情况讨论： ① 当时，，则； ② 当时，，则。 综上，的值为 9 或 −9。 易错点：平方为正数的数有两个，互为相反数，易漏解；需结合符号条件分类讨论。 核心知识点：乘方的结果特性、绝对值的性质、有理数减法运算。 12．答案： 【解析】 根据非负数的性质：平方数和绝对值都具有非负性，两个非负数相加和为 0，则每个非负数都为 0。 因此，， 解得，， 则， 所以。 核心知识点：乘方的非负性、绝对值的非负性、−1 的奇次幂运算。 13．答案：64 个 【解析】 3 小时 = 180 分钟，，即 3 小时内细胞共分裂 6 次。 每分裂 1 次细胞数量变为原来的 2 倍，因此分裂 6 次后数量为个。 （个） 答：经过 3 小时，1 个这种细胞可以分裂成 64 个。 解题思路：先计算分裂总次数，再根据乘方的意义列出算式计算结果。 核心知识点：乘方在实际增长问题中的应用。 14．答案：（1）负；（2）正；（3）正；（4）负 【解析】 （1）底数 −7 是负数，指数 11 是奇数，负数的奇次幂为负； （2）底数 −12 是负数，指数 40 是偶数，负数的偶次幂为正； （3）先判断内层：底数为负、指数为奇，结果为负；再取相反数，负的相反数为正； （4）先判断内层：底数为负、指数为偶，结果为正；再取相反数，正的相反数为负。 解题思路：先判断内层乘方的符号，再结合外层的符号确定最终结果符号。 核心知识点：乘方符号法则的综合应用。 三、拓展应用 15．答案： 【解析】 解：设 ① 则 ② ② −①，得： 所以 解题思路：模仿示例的错位相减法，给原式两边同乘底数，两式相减消去中间项，进而求出和。 核心知识点：错位相减法求等比数列的和，乘方的运算性质。 16．答案：（1）1.6 毫米；(2) 7 次 【解析】 （1）对折 1 次厚度为毫米，对折 2 次厚度为毫米，以此类推，对折 n 次厚度为毫米。 对折 4 次时，厚度为： （毫米） 答：对折 4 次后厚度是 1.6 毫米。 （2）依次计算验证： 对折 5 次：毫米（小于 10 毫米） 对折 6 次：毫米（小于 10 毫米） 对折 7 次：毫米（大于 10 毫米） 因此对折 7 次后厚度能超过 10 毫米。 核心知识点：乘方在实际生活中的应用，乘方指数增长的规律探究。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $