2026-2027学年九年级上册数学沪科版第22章相似形单元检测卷

**基本信息** 聚焦相似形单元核心知识，通过选择、填空、解答题梯度设计，融合动态几何、跨学科方法（如杠杆原理）及函数图像分析，考查学生抽象能力、推理意识与空间观念，适配九年级单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|相似性质（面积周长比）、位似图形判断与坐标变换|第10题结合平移动态过程，构建面积函数关系，考查几何直观与数学建模| |填空题|8/24|比例性质、黄金分割应用、相似三角形性质|第12题以黄金分割设计图案，体现数学审美与应用意识| |解答题|5/56|相似面积计算、位似作图、动态几何综合|第21题引入杠杆平衡原理创新解题，第23题正方形旋转综合全等与相似，培养推理能力与创新思维|

2026-2027学年九上数学沪科版第22章相似形单元检测卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 满分：120分 ） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如果两个相似多边形的面积比为，那么它们的周长比为（   ）． A． B． C． D． 2．已知：∽，下列图形中，与不存在位似关系的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，若，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，和是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点B，的坐标分别为，，若点A的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（   ） A． B．， C．， D．， 6．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，在原点O的另一侧按的相似比将缩小得到，点E，F的对应点分别为，．若，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 7．如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，E是上一点，连接，交对角线于点F，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，，分别以点，为圆心大于长为半径画弧，两弧交于点，，交于点，交于点，连接，交于点，则的长度是（     ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，是直角三角形，，，，点B在y轴正半轴，等边的顶点，点C在第二象限，将沿x轴向右平移，得到，点O，C，D的对应点分别为，，．设，与重叠部分的面积为S，当点与点A重合时停止运动．则表示S与x的函数图象正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．已知，____． 12．在学习了《图形的相似》之后，同学们利用黄金分割原理设计图案．如图，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，点是线段AC的黄金分割点（），以点为直角顶点在内作等腰直角．按此方式继续构造等腰直角三角形，可以设计出如图所示的图案．若的长为，则D，C两点之间的距离为____________cm． 13．已知，它们的相似比为，那么它们的周长比是_____，面积比是_____． 14．如图，，，，，则的长度是_______． 15．如图，若，且，则_____． 16．如图，与是位似图形，点O是位似中心，，若，则______． 17．已知面积为40，点M为的三等分点，且，N为的中点，交对角线于点O，则阴影部分的面积为__________    18．如图，在平面直角坐标系中，点，是矩形的顶点，、点分别为边、上的点，将矩形沿直线折叠，使点的对应点在边的中点处，点的对应点在反比例函数的图象上，则________． 三、解答题 19．（8分）如图，在中，，，若的面积为9，求四边形的面积． 20．（10分）已知，ΔABC三个顶点的坐标分别为A(−2，−2)，B(−5，−4)，C(−1，−5)． （1）以点O为位似中心，将ΔABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格纸中画出△A2B2C2； （2）点C2的坐标是（ ）；若图中每个小方格的面积为1，△A2B2C2的面积= ． 21．（12分）如图，在中，是的中点，是的中点，的延长线交于，求． （1）解：过作，交于． 请继续完成解答过程： （2）创新求解：利用“杠杆平衡原理” 解答本题：（如图）设点为杠杆的支点，端所挂物体质量为；则端所挂物体质量为，点承受质量为；当点为杠杆的支点，则A端所挂物体质量为； 再以为杠杆的支点时，； 应用：如图，在中，是上一点，是上一点，的延长线交于，且，，求 解：设点为杠杆的支点，端所挂物体质量为，则端所挂物体质量为 ，点承受质量为 ；当点为杠杆的支点，则端所挂物体质量为 ；再以为杠杆的支点时， ． 22．（12分）如图，在矩形中，，，点在上的点，将沿折叠，当点的对应点为． (1)如图1，当点到、的距离相等时，求的长． (2)如图2，若，求的面积． 23．（14分）如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝，连接AF，BD （1）求证：△BDC≌△AFC （2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD＋AD的值； （3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BD＋AD的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年九上数学沪科版第22章相似形单元检测卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D A D C D A B B 1．B 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．根据相似多边形的性质进行解答即可． 【详解】解：∵两个相似多边形的面积比为， ∴它们的周长比为：， 故选：B． 2．D 【分析】本题考查位似变换，正确把握位似图形的定义是解题关键．根据位似图形的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，进而判断得出答案． 【详解】解：A、与是位似关系，故此选项不合题意； B、与是位似关系，故此选项不合题意； C、与是位似关系，故此选项不合题意； D、与对应边和不平行，故不存在位似关系，故此选项符合题意； 故选：D． 3．D 【分析】证明，可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 4．A 【分析】本题考查了求位似图形的坐标，正确求出位似比是解题关键．先根据点和点的坐标求出位似比，再根据位似图形的点坐标变换规律求解即可得． 【详解】解：∵和是以坐标原点为位似中心的位似图形，点的坐标为，点的坐标为， ∴与的位似比为， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为，即为． 故选：A 5．D 【分析】此题考查了相似三角形的判定，根据各选项提供的条件去判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， 即D选项符合题意， 选项A、B、C均不符合题意， 故选：D 6．C 【分析】根据位似图形的性质，结合已知点的坐标以及位似比，求出点的坐标即可． 【详解】解：∵以原点为位似中心，将按的相似比缩小得到， ∴点的坐标是，即． 7．D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法逐一判断即可，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 、∵， ∴，不符合题意； 、∵， ∴，不符合题意； 、∵， ∴，不符合题意； 、由，不能证明，符合题意； 故选：． 8．A 【分析】根据平行四边形的性质得到，，进而证明，利用相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴设，， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 9．B 【分析】根据尺规作图可知垂直平分，从而得出为中点且，结合可得，进而利用相似三角形性质求解即可． 【详解】解：在中，， ． 由作图可知，是线段的垂直平分线， ， ，， ， ， ． 在中，， 10．B 【分析】本题主要考查了平移变换的性质，等边三角形的性质，解直角三角形的应用，二次函数的性质，三角形面积等，熟练掌握次函数的性质，三角形的面积的知识点是解题的关键．根据已知条件求出和的相关边长和角度等信息．然后，分不同阶段分析沿x轴平移过程中与重叠部分的形状和面积计算方法，进而得到S与x的函数关系，最后根据函数关系判断函数图象． 【详解】解：①当时，与重叠部分为，如图1， 由平移得：， ， ， 图象为开口向上的抛物线，A选项不符合题意； ②当时，与重叠部分为四边形，如图2， 由平移得：，，， ， ， ， 在中，， ； 图象为开口向下的抛物线；C选项不符合题意； ③当时，与重叠部分为，如图3， 则，且， 是等边三角形，作于， ， ， ， 图象为开口向上的抛物线，B选项符合题意； 故选：B． 11． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 12． 【分析】本题考查黄金分割的性质，正确掌握黄金分割的性质是解题的关键． 根据等腰直角三角形，得出，再根据黄金分割点，得，计算即可求解． 【详解】解：是等腰直角三角形，， ， 点是线段AC的黄金分割点， ， ， 则D，C两点之间的距离为． 故答案为：． 13． 【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为， ∴它们的周长比为，面积比为． 14． 15 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由可得，求出的长，再根据即可求解.． 【详解】解： ，， ． 15． 【分析】先证明，得到，再根据比例的性质，从而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 16． 【分析】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 先证明，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：与是位似图形，点O是位似中心， ， ， ， ． 故答案为：． 17．/ 【分析】根据平行四边形的性质可得，，，从而可证，进而可得，再根据N为的中点，可得，然后证明8字模型相似三角形，求出，从而求出的面积，即可解答． 本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握8字模型相似三角形是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，，， ， ， ； 如图，连接， ∵N为的中点， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：（或）． 18． 【分析】过点作轴于点，设，利用勾股定理求出，，再证明，利用相似三角形对应边成比例，得出点的坐标，进而求出的值即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 点，是矩形的顶点， ，，， 由折叠的性质可知，，，， 点的对应点在边的中点处， ， 设，则， 在中，， ， ，即， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 点的对应点在反比例函数的图象上， ． 19． 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，可证明，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方得到，据此求出，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为9， ∴的面积为25， ∴． 20． （1）如图，△A2B2C2即为所求作． （2）2，10；22． 【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可； （2）利用分割法求出三角形的面积即可． 【详解】解：（1）略 （2）C2（2，10）． △A2B2C2的面积=6×8-×2×6-×2×8-×4×6=22． 故答案为：2，10；22． 【点睛】本题考查了作图-位似变换，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21．（1）；（2） 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键在于理解题意． （1）如图，过作，交于，得到，根据相似三角形的性质得，求得，根据，得到，即可得到结论； （2）根据题目中提供的解题思路和方法，结合（1）的结论即可得到答案． 【详解】解：（1）如图，过作，交于，则， ， ， 是的中点，则， ， ， ， ， ， 是的中点，， ， ； （2）设点为杠杆的支点，端所挂物体质量为， ， 端所挂物体质量端所挂物体质量， 端所挂物体质量，点承受质量端所挂物体质量端所挂物体质量； 当点为杠杆的支点， ， 端所挂物体质量：点承受质量， 端所挂物体质量； 以为杠杆的支点时，端所挂物体质量端所挂物体质量． 故答案为：． 22．(1) (2)的面积为 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关判定与性质是解题关键， （1）过点作于点F，延长交于点E，证明，得出，设，根据列方程求出即可； （2）过点作于点M，延长交于点N，证明，得出，设，则，列方程求出即可求出结论． 【详解】（1）解：过点作于点F，延长交于点E， 则， 在矩形中，， ， ∴四边形是矩形， ， 当点到、的距离相等时，即， 由折叠得：， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， 解得：（负值已舍）， ； （2）解：过点作于点M，延长交于点N， 同（1）四边形是矩形， ， 同（1）知：， ， 由折叠，， 设，则， ， ， ， 解得：，即， 的面积． 23．（1）见解析；（2）或 ；（3） 【分析】（1）利用SAS，即可证明△FCA≌△DCB； （2）分两种情况当点D，E在AB边上时和当点E，F在边AB上时，讨论即可求解； （3）取AC的中点M．连接DM，BM．则CM＝1，可证得△DCM∽△ACD，可得DM＝AD，从而得到当B，D，M共线时，BD+AD的值最小，即可求解． 【详解】（1）证明： ∵四边形CDEF是正方形， ∴CF＝CD，∠DCF＝∠ACB＝90°， ∴∠ACF＝∠DCB， ∵AC＝CB， ∴△FCA≌△DCB（SAS）； （2）解：①如图2中，当点D，E在AB边上时， ∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°， ∴， ∵CD⊥AB， ∴AD＝BD＝， ∴BD+AD＝； ②如图3中，当点E，F在边AB上时． BD＝CF＝， AD＝＝， ∴BD+AD＝， 综上所述，BD＋AD的值或； （3）如图4中．取AC的中点M．连接DM，BM．则CM＝1， ∵CD＝，CM＝1，CA＝2， ∴CD2＝CM•CA， ∴＝， ∵∠DCM＝∠ACD， ∴△DCM∽△ACD， ∴＝＝， ∴DM＝AD， ∴BD+AD＝BD+DM， ∴当B，D，M共线时，BD+AD的值最小， 最小值． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，锐角三角函数，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $