专题01 比例线段（专项训练）数学新教材沪科版九年级上册

**基本信息** 以比例线段四大核心题型为框架，通过基础到综合的梯度设计，实现概念理解与实际应用的衔接，培养数学眼光与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型精准突破|成比例线段5题（含实际测量）、比例性质5题（含几何推理）、黄金分割5题（含文化情境）、平行线分线段成比例5题（含作图与证明）|基础概念辨析与简单应用，覆盖选择、填空、解答题|从成比例线段概念出发，通过比例性质推导，延伸至黄金分割实际应用，最终以平行线分线段成比例实现几何综合| |综合攻坚·知能拔高|单选8题、填空4题、解答6题（含探究性问题）|跨知识点综合应用，结合生活场景与逻辑推理|整合比例线段与几何图形性质，通过拓展探究（如白银矩形、角平分线分线段成比例）深化知识联系，提升数学思维与表达能力|

专题01 比例线段 常考题型·精准突破 题型1成比例线段（重） 题型2 比例性质 题型3 黄金分割（高频） 题型4 平行线分线段成比例（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1成比例线段 1．已知线段a、b、c的长度分别为3、6、9，再选取一条线段d，使得这四条线段成比例，这条线段的长度不能是（     ） A．2 B．4.5 C．18 D．8 【答案】D 【分析】根据比例基本性质，两内项之积等于两外项之积，分三种情况计算出线段d的所有可能值，即可判断出不可能的取值． 【详解】解：情况1：若，则，解得，对应选项C，可能； 情况2：若，则，解得，对应选项B，可能； 情况3：若，则，解得，对应选项A，可能； ∴d的可能取值为2，4.5，18，不可能为8，故D不可能． 2．如图，在中，是斜边上的高． (1)求证：； (2)是成比例线段吗？为什么？ 【答案】(1)证明：∵在中，是斜边上的高． ∴ ∴； (2)解：是成比例线段，理由如下： ∵ ∴ ∴是成比例线段． 【分析】（1）利用等面积法求解即可； （2）将乘积式化为比例式即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 3．已知、、、为成比例线段，其中，，，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据四条线段成比例的顺序列出比例式，代入已知线段长度计算即可得到结果． 【详解】解：∵、、、为成比例线段，根据定义可得， ∴将，，代入得， 解得． 4．嘉嘉周末到沧州博物馆观看沧州诗经文化展．他想了解一本古籍的长度，在古籍旁放了一支笔拍下照片如图所示．回家后量出照片上笔和古籍的长度分别为和，笔的实际长度为，则该古籍的实际长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例线段的应用（或相似图形的性质）．根据照片中的物体长度与实际物体长度成比例（即比例尺固定），列出比例式求解即可． 【详解】解：设该古籍的实际长度为 照片上物体的长度与实际物体的长度成正比 ∴ 解得 该古籍的实际长度为故选D． 5．已知线段，线段是线段的比例中项，那么______________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了线段的比例中项的定义，注意线段不能为负． 根据比例中项的定义，线段c是线段a和b的比例中项，则，代入已知数值计算即可． 【详解】∵c是a和b的比例中项， ∴， ∴（线段长度取正值）． 故答案为：6． ◆题型2 比例性质 6．若，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用设参数法，将，用含同一参数的式子表示，再代入各选项验证即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴设，（）． 对于，根据比例的基本性质，由可得，故错误； 对于，，仅满足比例关系，具体值不固定，因此不一定等于，故错误； 对于，，故错误； 对于，，故正确． 7．已知，则下列各式成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可根据已知条件得到a和b的关系，再通过代入或比例变形判断各选项是否成立． 【详解】解：∵，， ∴， 选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：代入得左边，仅当时等式成立，不是恒成立，C错误； 选项D：将等式交叉相乘得 ， 展开得， 化简得，与已知条件一致，等式恒成立，D正确． 8．若，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴设，， A．，故A正确； B．若，则无意义，故B错误； C．，，，故C错误； D．，故D错误． 9．如图，在中，点、分别在、的反向延长线上，已知，，下列结论正确的是（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例可得，再根据比例的性质进行变形即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，，故C正确，A、D错误； 对于B，由已知条件，无法判断与的关系，故B错误． 10．已知a，b，c使等式成立，则代数式的值是________． 【答案】 【分析】设已知连等式的比值为，根据等式性质得到的关系，求出的值，推出，代入所求代数式化简计算即可得到结果； 【详解】解：设， ∴，，， 将三式左右两边分别相乘，得， 移项得， 因为均为分式的分母，故，，，即， 因此， 解得：， ∴，且， 将代入所求代数式，得． ◆题型3 黄金分割（高频） 11．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清远的“远”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且．若，则的长为（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查黄金分割的定义，矩形的性质．首先根据矩形的性质得到，根据黄金分割的定义得到的长度，继而得到的长度． 【详解】解：四边形为正方形，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ， “远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点处，且， ， ． 12．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据黄金分割点的定义：将一条线段分成两部分，使较长部分与全长的比等于较短部分与较长部分的比，比值为 ,根据题意计算即可． 【详解】解：根据黄金分割点的定义，当点为的黄金分割点（）时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 13．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为________（结果保留根号）． 【答案】 【分析】先证明四边形是矩形，求出的长，再根据黄金分割的定义，可得，代入即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ， 又， ， ， 四边形是矩形， ． 又， ， 则的长为． 14．如图，线段的长是1，点是线段的黄金分割点（），那么线段的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查黄金分割，把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，即，叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点． 直接利用黄金分割的定义计算出即可． 【详解】解：∵线段的长是1，点是线段的黄金分割点（）， ∴． 故选A． 15．【问题背景】如图，以矩形的宽为边，在其内部作正方形，若，则称矩形为“黄金矩形”，其长与宽的比（）称为“黄金比率”． 【问题探究】求“黄金比率”： 设，，则， ∵，∴，即． ∴． ∴，（负数不合题意，舍去）． ∴黄金比率为：． (1)【问题提出】如图，以矩形的宽为边在其内部作两个正方形，，若，则称矩形为“白银矩形”，其长与宽的比（）称为“白银比率”，求“白银比率”． (2)【问题拓展】如图，从正方形上剪下宽的矩形后，剩余部分（矩形）是“白银矩形”，求正方形的边长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，则，再根据求解即可； （2）设正方形的边长为，则，根据矩形是“白银矩形”结合由（1）得白银比率为，推出，求解即可． 【详解】（1）设，，则， ∵， ∴，即， ∴， ∴，（负数不合题意，舍去）， ∴白银比率为：； （2）设正方形的边长为，则， ∵矩形是“白银矩形”，由（1）得白银比率为， ∴，则，解得， ∴正方形的边长为． ◆题型4 平行线分线段成比例（难） 16．已知：如图，在中，，点为上的一点，且． 求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 【分析】利用平行线分线段成比例可得，由已知条件变形可得，进而可得，即可证明，推出，即得结论. 【详解】解：略. 17．如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．由平行四边形的性质可得，，设，则，，代入比例式中求解即可得解． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，， ，， ，， ， 设，则，， ，， ，解得， 即． 故答案为：． 18．已知线段a、b、c，作线段x，使，则正确的作法是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列比例式是解决此题的关键． 根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：A、由平行线分线段成比例可得，故A选项错误； B、由平行线分线段成比例可得，故B选项正确； C、由平行线分线段成比例可得，故C选项错误； D、由平行线分线段成比例可得，故D选项错误； 故选：B． 19．如图，，直线分别交直线，，于点，，，直线分别交直线，，于点，，．若，，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 20．如图，在中，延长至点D，使，在上取一点F，连接交于点E，过F点作交于点H，已知， 2． (1)________； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平行线分线段成比例得到即可求解； （2）由（1）得，再根据平行线分线段成比例得到，进而可求解． 【详解】（1）解：因为 所以， 又因为， 所以， 所以； （2）解：因为， 所以 因为， 所以， 又因为 所以． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，设，，代入所求分式计算即可． 【详解】解：∵， ∴设，（）， ∴． 故选：C． 2．下列各组线段中，成比例的一组是（    ）． A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】本题考查比例线段的概念，若四条线段成比例，则最小线段与最大线段的乘积等于另外两条线段的乘积，据此依次判断即可． 【详解】解：对各选项依次判断： 选项A：∵，，， ∴该组线段不成比例，A错误； 选项B：∵，，，且， ∴该组线段成比例，B正确； 选项C：∵，，， ∴ 该组线段不成比例，C错误； 选项D：∵，，， ∴该组线段不成比例，D错误． 3．如图，，，，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得出，根据，求得的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 4．如图，在中，D在边上，，O是的中点，连接并延长交于点E，若，则的长为 （    ） A．5 B．5.5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】过点D作交于F，根据平行线分线段成比例定理可得，，，再根据O是的中点，可得，进而解答即可． 【详解】解：如图，作交于F， ∵，O是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 5．如图，在四边形中，，，，点H，F分别在边上移动（不与端点重合），连接，则下列为定值的是（    ） A．的大小 B．四边形的周长 C．线段的长 D．四边形的面积 【答案】D 【分析】如图所示，设梯形的高为h，连接，过点H作，过点F作，首先得到，然后利用四边形的面积求解即可. 【详解】解：如图所示，设梯形的高为h，连接，过点H作，过点F作， ∵， ∴， ∴四边形的面积． ∴四边形的面积为定值. 6．我们知道“若，则”，下列生活场景可以用这个知识解释最贴切的是（   ） A．小明买了2支钢笔花了16元，买5支同样的钢笔花了40元，计算每支钢笔的单价 B．配制一种盐水，盐和水的质量比是，现在往盐水中再加入1克盐和8克水，判断新盐水的浓度是否不变 C．一辆汽车3小时行驶180千米，照这样的速度，计算行驶300千米需要的时间 D．一个长方形的长和宽的比是，若长增加2厘米、宽增加3厘米，判断新长方形的长和宽的比是否不变 【答案】B 【分析】结合各选项的实际场景，判断哪一场景符合题中给出的性质即可． 【详解】解：题中给出性质：若，则，即两个比值相等时，前项和与后项和的比值仍等于原比值，据此分析各选项： ∵ 选项A是计算单价，通过总价除以数量得到结果，没有用到上述性质，不符合题意； 选项B中，设原盐水中盐质量为，水质量为，得，新加入盐，水，得，满足，根据性质得，盐和水的比不变，因此浓度不变，完全符合题中知识，符合题意； 选项C是根据速度不变列比例求时间，没有用到上述合比性质，不符合题意； 选项D中，原长宽比，增加的长和宽的比是，不满足的前提，不符合题意． 7．如图，数轴上的点，，分别对应直尺上的刻度，和，点为数轴上方一点，连接，，过点作，交于点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的知识，解题的关键是根据相似三角形的判定，得，得到，即可解答． 【详解】解：∵数轴上的点，，分别对应直尺上的刻度，和， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴． 8．如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的性质及平行线分线段成比例定理，逐项分析即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选项A正确； ∵， ∴， ∴，， 故选项B正确； ∵，， ∴， 故选项D正确； ∵，， ∴， ∴， 故选项C错误． 二、填空题 9．现有四条线段，长度按从长到短的顺序分别为4，3，2，a，若这四条线段是成比例线段，则a的值为_______ 【答案】 【分析】根据成比例线段的定义，按顺序对应成比例，据此列比例式求解即可． 【详解】解： 四条线段长度按从长到短的顺序分别为 ，且这四条线段是成比例线段， ， 根据比例的基本性质，得 ， 解得． 10．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，著名的“断臂维纳斯”便是如此．若某人满足上述黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为，则其身高约是_________厘米．（精确到） 【答案】162 【分析】根据黄金分割的比例关系，设未知数列等式求解头顶至肚脐的长度，再计算总身高即可． 【详解】解：设头顶至肚脐的长度为 ． 由题意得 ． 解得 ． 身高为 ． 11．如图，在中，，若，，，则的值为________． 【答案】 【分析】根据，可得，代入数值求出的长，再根据计算即可． 【详解】， ， ，，， ， ， ． 12．平行四边形的面积为，点E，H在边上，点F，G在边上，，连接对角线，分别交，于点N，Q，连结交于点M，连结，，若，则图中与的面积和为________． 【答案】30 【分析】利用线段比例关系确定点M和点Q在图形中的相对位置，进而利用“等高模型”将不规则三角形面积转化为已知平行四边形面积的一部分即可． 【详解】解：由题意知，设，则，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题 13．已知点是线段的黄金分割点，若线段，求线段的长． 【答案】线段的长为或 【分析】本题主要考查了黄金分割点，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分类讨论的思想． 根据黄金分割点的定义，分两种情况进行求解即可． 【详解】解：由于点为线段的黄金分割点， 若，则； 若，则， 此时； 综上所述，线段的长为或． 14．已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，设．则根据比例的性质，得，，，代入到求出即可． 【详解】解：设． 则根据比例的性质，得，，， ∵， ∴， 解得， ∴． 15．如图，已知直线分别截直线于点A、B、C，截直线于点D、E、F，且．    (1)如果，求的长； (2)如果，求的长． 【答案】(1)12 (2)6 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，掌握“两条直线被一组平行线所截的对应线段成比例”是解题的关键． （1）由可得，再代入数据即可得到结论； （2）由，可得，可得，结合，从而可得答案． 【详解】（1）解：， ， ，，， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 16．如图，在中，，是的中位线，是线段上一点，连接并延长交的延长线于点． (1)如果，求证：； (2)过点作交于点，连接并延长交的延长线于点，再连接，求证：． 【答案】(1) 证明：是的中位线， 且， ， ， ， ，即， ， ，即， ，即为的中点， ， ， ， ， ； (2) 证明：连接， ，， ， ， ， ， ， ，为的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理、相似三角形判定和性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是相关性质的灵活应用． （1）根据题意，得到，进而可得为的中点，再结合即可得证； （2）连接，由平行线段截线段成比例得到，再证，得到，进而得到，再利用“”证明即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 17．黄金分割起源于古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了黄金分割比例这一问题，并建立起比例理论，后来欧几里得进一步系统论述了黄金分割，使《几何原本》（如图1）成为最早的有关黄金分割的论著．20世纪70年代，这种方法经过我国著名数学家华罗庚的倡导在我国得到大规模推广，取得了很大的成就．下面的作法是由《几何原本》中给出的： 如图2，已知正方形，求作边的黄金分割点． ①取的中点，连接； ②在的延长线上取点，使； ③以线段为边作正方形． 则点就是线段的黄金分割点． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图2中作出线段的黄金分割点（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】如图，点就是线段的黄金分割点： 【分析】本题考查线段中点以及正方形的尺规作图方法． 【详解】设，则， ， ， ， 所以点就是线段的黄金分割点 18．阅读与思考 下面是小陈同学的数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务． 年月日  星期六 利用平行线探究角平分线分线段成比例 今天，我在书店一本书上看到一个重要的补充：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例． 我和小组的同学研究了一番，写出的题目如下：如图1，在中，平分交于点，求证： 【自主探究】通过查阅资料，我们找到了方法，下面是我们的证明过程（不完整）： 证明：过点作，交的延长线于点． （依据），，． 平分，． ．． ，即． 【拓展探究】我有如下思考：如图2，在中，外角的平分线与的延长线交于点，那么能不能参照上述方法求出线段，，，之间的比例关系呢？ …… 任务： (1)【自主探究】的证明过程中的“依据”是指__________． (2)如图3，在中，，请你作出边的一个三等分点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）． (3)求出【拓展探究】中，线段，，，之间的比例关系． 【答案】(1)平行线分线段成比例的推论（或平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例） (2)答案不唯一， 如答图1，点即为所求. (3) 【分析】（1）根据题中证明过程填写依据即可； （2）根据题意，作角平分线即可； （3）过点作，交于点，则，进而证明，即可得出． 【详解】（1）解：平行线分线段成比例的推论（或平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）； （2）略 （3）如答图2，过点作，交于点.     ，，.     平分， .             . .             . 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 比例线段 常考题型·精准突破 题型1成比例线段（重） 题型2 比例性质 题型3 黄金分割（高频） 题型4 平行线分线段成比例（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1成比例线段 1．已知线段a、b、c的长度分别为3、6、9，再选取一条线段d，使得这四条线段成比例，这条线段的长度不能是（     ） A．2 B．4.5 C．18 D．8 2．如图，在中，是斜边上的高． (1)求证：； (2)是成比例线段吗？为什么？ 3．已知、、、为成比例线段，其中，，，则为（     ） A． B． C． D． 4．嘉嘉周末到沧州博物馆观看沧州诗经文化展．他想了解一本古籍的长度，在古籍旁放了一支笔拍下照片如图所示．回家后量出照片上笔和古籍的长度分别为和，笔的实际长度为，则该古籍的实际长度为（   ） A． B． C． D． 5．已知线段，线段是线段的比例中项，那么______________． ◆题型2 比例性质 6．若，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 7．已知，则下列各式成立的是（     ） A． B． C． D． 8．若，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，点、分别在、的反向延长线上，已知，，下列结论正确的是（　　）． A． B． C． D． 10．已知a，b，c使等式成立，则代数式的值是________． ◆题型3 黄金分割（高频） 11．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清远的“远”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且．若，则的长为（     ） A．1 B．2 C． D． 12．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（     ） A． B． C． D． 13．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为________（结果保留根号）． 14．如图，线段的长是1，点是线段的黄金分割点（），那么线段的长是（    ） A． B． C． D． 15．【问题背景】如图，以矩形的宽为边，在其内部作正方形，若，则称矩形为“黄金矩形”，其长与宽的比（）称为“黄金比率”． 【问题探究】求“黄金比率”： 设，，则， ∵，∴，即． ∴． ∴，（负数不合题意，舍去）． ∴黄金比率为：． (1)【问题提出】如图，以矩形的宽为边在其内部作两个正方形，，若，则称矩形为“白银矩形”，其长与宽的比（）称为“白银比率”，求“白银比率”． (2)【问题拓展】如图，从正方形上剪下宽的矩形后，剩余部分（矩形）是“白银矩形”，求正方形的边长． ◆题型4 平行线分线段成比例（难） 16．已知：如图，在中，，点为上的一点，且． 求证：． 17．如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，，则的长为______． 18．已知线段a、b、c，作线段x，使，则正确的作法是（   ） A． B． C． D． 19．如图，，直线分别交直线，，于点，，，直线分别交直线，，于点，，．若，，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 20．如图，在中，延长至点D，使，在上取一点F，连接交于点E，过F点作交于点H，已知， 2． (1)________； (2)求的长． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．下列各组线段中，成比例的一组是（    ）． A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 3．如图，，，，则长为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，D在边上，，O是的中点，连接并延长交于点E，若，则的长为 （    ） A．5 B．5.5 C．6 D．8 5．如图，在四边形中，，，，点H，F分别在边上移动（不与端点重合），连接，则下列为定值的是（    ） A．的大小 B．四边形的周长 C．线段的长 D．四边形的面积 6．我们知道“若，则”，下列生活场景可以用这个知识解释最贴切的是（   ） A．小明买了2支钢笔花了16元，买5支同样的钢笔花了40元，计算每支钢笔的单价 B．配制一种盐水，盐和水的质量比是，现在往盐水中再加入1克盐和8克水，判断新盐水的浓度是否不变 C．一辆汽车3小时行驶180千米，照这样的速度，计算行驶300千米需要的时间 D．一个长方形的长和宽的比是，若长增加2厘米、宽增加3厘米，判断新长方形的长和宽的比是否不变 7．如图，数轴上的点，，分别对应直尺上的刻度，和，点为数轴上方一点，连接，，过点作，交于点，则的值为（     ） A． B． C． D． 8．如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 9．现有四条线段，长度按从长到短的顺序分别为4，3，2，a，若这四条线段是成比例线段，则a的值为_______ 10．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，著名的“断臂维纳斯”便是如此．若某人满足上述黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为，则其身高约是_________厘米．（精确到） 11．如图，在中，，若，，，则的值为________． 12．平行四边形的面积为，点E，H在边上，点F，G在边上，，连接对角线，分别交，于点N，Q，连结交于点M，连结，，若，则图中与的面积和为________． 三、解答题 13．已知点是线段的黄金分割点，若线段，求线段的长． 14．已知，，求的值． 15．如图，已知直线分别截直线于点A、B、C，截直线于点D、E、F，且．    (1)如果，求的长； (2)如果，求的长． 16．如图，在中，，是的中位线，是线段上一点，连接并延长交的延长线于点． (1)如果，求证：； (2)过点作交于点，连接并延长交的延长线于点，再连接，求证：． 17．黄金分割起源于古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了黄金分割比例这一问题，并建立起比例理论，后来欧几里得进一步系统论述了黄金分割，使《几何原本》（如图1）成为最早的有关黄金分割的论著．20世纪70年代，这种方法经过我国著名数学家华罗庚的倡导在我国得到大规模推广，取得了很大的成就．下面的作法是由《几何原本》中给出的： 如图2，已知正方形，求作边的黄金分割点． ①取的中点，连接； ②在的延长线上取点，使； ③以线段为边作正方形． 则点就是线段的黄金分割点． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图2中作出线段的黄金分割点（保留作图痕迹，不写作法）． 18．阅读与思考 下面是小陈同学的数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务． 年月日  星期六 利用平行线探究角平分线分线段成比例 今天，我在书店一本书上看到一个重要的补充：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例． 我和小组的同学研究了一番，写出的题目如下：如图1，在中，平分交于点，求证： 【自主探究】通过查阅资料，我们找到了方法，下面是我们的证明过程（不完整）： 证明：过点作，交的延长线于点． （依据），，． 平分，． ．． ，即． 【拓展探究】我有如下思考：如图2，在中，外角的平分线与的延长线交于点，那么能不能参照上述方法求出线段，，，之间的比例关系呢？ …… 任务： (1)【自主探究】的证明过程中的“依据”是指__________． (2)如图3，在中，，请你作出边的一个三等分点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）． (3)求出【拓展探究】中，线段，，，之间的比例关系． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01比例线段 内容概览 目常考题型·精准突破 题型1成比例线段（重） 题型2比例性质 题型3黄金分割（高频） 题型4平行线分线段成比例（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 1.D 2,【详解】(1)证明：：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高. SoAC- ACXBC= 二CDx AB .AC·BC=CD·AB: (2)解：AC、CD、AB、BC是成比例线段，理由如下： AC·BC=CDAB AC AB ·CDBC .AC、CD、AB、BC是成比例线段. 3.B 4.D 5.6 6.D 7.D 8.A 9.c 10.-3 1/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.C 12.A 13.V5-1 14.A 15【详解】(1)设AB=a,AD=b,则AE=a-2b, AB AD AD AE 层西即-2b-6的-0 a-26±y0,--_20±5_26±2-ht2. 2 2 2 a=1+V2)b,4,=1-V2)b(负数不合题意，舍去)， AB=0=1+2: .白银比率为：ADb (2)设正方形ABCD的边长为xcm,则AE=(x-3)cm, ,矩形ADFE是“白银矩形”，由(1)得白银比率为1+√2， 小侣15，则，名15，解得=3行6， AE 2 3W2+6」 ·正方形ABCD的边长为2 cm. 16.【详解】证明：：DE∥BC, AD AE ·ABAC .AD2=AB.AF, AD AF :.AB AD' AF AE AD AC' ∠A=∠A, △AFE∽△ADC, ∴∠AFE=∠ADC, ∴.EF∥CD 17.15 217 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.B 19.B 20. 【详解】(1)解：因为DE=3,EF=2, 所以DE:EF=3:2, 又因为FH∥AB, 所以DB:BH=DE:EF=3:2, 所以DRDH=35: (2)解：因为BD=BC,DB:BH=3:2 所以BCBH=32 因为FH∥AB, 所以ACAF=BCBH=32. 又因为AC=3 所以AF=2. 综合攻坚知能拔高 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 8 答案 C & D 二、填空题 10.162 4.9 12.30 三、解答题 13.【详解】解：由于点P为线段AB=2cm的黄金分割点， 3/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 车A阳则4P-25-5-小m: 车<阳则=25-（小5-m 此时AP=AB-BP=2-(V5-=(3-5)cm: 综上所述，线段AP的长为(5-小cm或3-5)cm. a_b-c-k 14.【详解】解：设234 则根据比例的性质，得a=2k,b=3k,c=4k, a-b+2c=7, .2k-3k+8k=7, 解得k=1, .a+2b-3c=2k+6k-12k=-4k=-4. 15.【详解】(1)解：川川， .AB DE BC EF AB=4,BC=8,DE=6, .46 8EF’ ∴EF=12: (2)解：川， .AB DE BC EF DE:EF=2:3, 4B2 BC 3' ∴.AC=AB+BC=15, 4B=2x15=6 5 16.【详解】(1)证明：~OD是△ABC的中位线， ∴OD∥Bc且OD=)BC, 2 ∴∠ADO=∠ACB=90°， 417 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CO=OD. OD 1 BO 3' ODI BC,即OD∥BO .△PODr△PBQ, PO OD 1 PB80即P0-号PB, :P0=0B=0A,即p为0A的肿点， 2 0P=20A, ∠AD0=90°， DP=01 2 ..OP=PD, ∠PDO=∠POD: (2)证明：连接OC, D B O.ODIBC PT∥BC OPDT OB DC' .AOPT∽aOBS,△DTP∽aDCQ, PT OP PT DT BS OB'CO DC' PTPT BS CO' :.BS=CO, :∠ACB=90°，O为AB的中点， :.0C=2 AB=OB, .∠OBC=∠OCB, 517 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠OBS=∠OC0, 在△OBS和△OCQ中， OB=OC ∠0BS=∠OCQ, BS=CO :.AOBS≌△OCQ(SAS), ∴.0S=0Q 17.如图，点H就是线段AB的黄金分割点： E B E 2-头 D 【分析】本题考查线段中点以及正方形的尺规作图方法. 【详解】设AD=AB=2a,则AE=a, BE=BF=a2+(2a)=5a, AF=AH=(5-1)a, AH (5-1a5-1 AB 2a 2 所以点H就是线段AB的黄金分割点 18.【详解】(1)解：平行线分线段成比例的推论（或平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得 的对应线段成比例)； (2)答案不唯一如答图1，点D即为所求： (3)如答图2，过点作 ,交于点· B D C 答图1 C CEIlAD BA E 617 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P A E B C D.BA BD 答图2 AE DC ∠AEC=∠PAD∠ACE=∠DAC AD平分∠PAC, .∠PAD=∠DAC ∴，∠AEC=∠ACE .AE=AC. .ABBD AC DC 717