安徽省蚌埠市2026-2027学年高三上学期数学开学自测题（二）

**基本信息** 结合2025春晚机器人节目情境的高三开学数学自测卷，覆盖集合、数列、概率等核心知识，通过基础题与综合题梯度设计，检测数学抽象、逻辑推理与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合运算、等比数列、随机变量|基础概念与基本运算结合| |多选|3/18|等差数列性质、曲线综合|多选项辨析考查逻辑严谨性| |填空|3/15|函数最值、直线与圆、圆台体积|空间想象与运算能力并重| |解答|5/77|概率统计（机器人成功概率）、解三角形、立体几何、抛物线切线、函数与数列综合|情境化（机器人节目）与综合性（函数数列证明）突出，贴合高考命题趋势|

参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D C D B BCD ACD ABC 1.C 【详解】由r-x-6≤0，解得-2≤x≤3，即A=-2≤x≤3} 又B={x∈Nx≥)，因此AnB=L2,3} 2.A 【详解】由题意得，ac=-1×(-4)=4,b2=-1×(-4)=4 又奇数项的符号相同，所以b<0,则b=-2,故abc=-8. 3.B 【详解】由您意得，E(X)=H=E)=n 因头P(X≥1)=。所以u=1,则n=2,则D)=n.. 222 4.D 【详解】当x<0时，f()=f(x+2), 则引3+（引+2小 当0≤s2时，f=-.则f0-引/() 当21，付=+1，以)+1即) 5.C 【详解】log:5-log,6=血5lh6_(m5-n4n6 In4 In5 In 4In 5 注意到lh4h6< h6-o29os听-- g45-log6=h5)y-lh4n6(h25-（n24>0,从而1og45>0 In 4In 5 4ln 4In 5 又注意到 >)-e,4-8g5,从[) l0g4 5>logs 6. 2 6.D 【详解】由sin(a+B)=3sin(a-F)得 sinscss3sin3cssin siss 由于a,P为锐角，敢ana=21anB,设anB=,1>0 ,则 tan a 2t,sin a = 2t 1 ,coSa=- V4t2+1 sinB=t 4t2+1 ,cosB=-1 Vt2+1 V2+1 sin(a-B)=sina cos B-cosa sin B=cosasin B=- 1 4t2+1V2+1’ t2 f()= 1 42+1P+1V4+5+1 4++524r+53,当 .1 令 2时取到等号.故sin(&-B)的最大值为3 7.D 【详解】在△MPE中，∠FPE=90,∠P,E=60° 设PF,卡m,则2cF5卡2m,P听FV3m,又由椭圆定义可知2aP+PFF(5+m 2m-=√3-1 则离心率e=。==5一 8.B 【详解】设 P同同，则p在∠BAC的角平分线上， (a-B)=AP.CB=0 ，又为角平分线，所以 .AP⊥BCAP AB=AC :d==ā-=2，即。4BC是边长为2的等边三角形， 设D为BC中点， M P 是 外接圆的圆心， B C,O△ABC ∴.O∠BAC 在 的角平分线上， 且0-号0-号F-29.-0-,0M=81C=30, 3 3 0-网网ww-子25号子 9.BCD 【详解】已知等差数列a,}的前n项和为S。,4<0,S,=S, 所以7a+ 7x6d=13a,+ 。131d,所以=-2<0 所以d>0,即a,}是递增数列，故A错误 3d>0,故B正确： 5191n-d-4r-0m若8>0，则m>20nEN -dn + 2 2 2 所以使心，>0 时n的最小值是21，故C正确： 3,-号-10n号a-10旷-50，又4>0：所以5最水时n=10,放D正的 10.ACD x 【详解】因为曲线T由半圆r+y2=1(x≤0)和半椭园)+广=1(x>0)组成， 所以曲线「关于横轴对称，不妨研究当0≤t<1时的情况 X A:由椭圆2+少=1的标准方程可知a=V2,b=1三c=VQ-b=V2-=1, 所以C(1,0),D(-1,0)是椭图2+少=1的焦点， 于是有BC+BD=2a=2×V2=2√2，所以本选项结论正确： B:显然OC=OD=OA=L,所以△ADC是直角三角形，且AD1AC, gc)c-5m-4i.1gDhcg 等号，即4AC+AD≤22，此时A(0,),显然4，B重合，不符合题意， 即4C+AD<2W2,所以本选项说法不正确： C:当1≤x≤0，y≥0时，由 2+y2=1→y=-e=t今x=-7→A1-r,) 0<x≤V2,y≥0 时，由 5y1y--号=-20f可→20-利 假设四边形ABCD是平行四边形，因为AB/ICD, 所以AB=CD=2, m0-f-(1-F)-(5+小-F=2=1=82-,=82-1i<0去 所以存在t∈R,使得四边形ABCD是平行四边形，所以本选项说法正确； c3gF.20p 当安1-时x等5.好迈+小-F15 √2 √2+1 所以当1=2时，△4BC面积的最大值为4，所以本选项说法正确 11.AC 【详解】选项A:显然x=1不是函数f(x)=x-a(nx}的零点，得a血有三个不同 令g可=.则e= mx)2-2nx·xlnx-2 (Inx) nx)3' 当0<x<1时，g田>0，则3(0单调选增， 当l<r<e时，g)<0,则8)单调逆减， 当r>心时，g()>0,则g)单调送道.且8e)= 4 当x→I广时，8)→+0，当x→+0时，8)→+0，x→0时，g()→0， 英使y=a与=8)有三个交点，则0>年 4 y-g(x) 即f()=x-a(nx}有三个零点，则a>4,故A正确： 选项B:若x=1,则l血为=-ln, 因为，为零点，所以=al血x尸，龙=a(血x}=anx)广=x, 这与<矛盾，故B正确： 选项C:若=x,则2h=n+ln, 山x=a0=123》:8n=怎。 结合已有分析可设血，<Q,nx>0,ln5>0,则血xP= a 周培-会 所以血光)P=-Inx Inx,故C正确； 选项D4f3)=4[3-an3)]=12-4an3). f16)=16-aln16)2=16-a(41n2)2=16-16an2)2 则4f3)-f16)=12-4a0n3)}2-[16-16a血2)']=4a0m4-1n30n4+1n3)-4, -alncin2inxtt2-1. 256≈3.16>e, 81 所以n .4、1 "房>4，又n12≈2.48a> >lhe=l,则ng> ≈1.84 4 所以i血3×1n12-1>0,则4f3)>f06,枚D错误 12.25 【详解)f()-2-2血￥-0 x>0,得x=e, 当x∈(0，e),∫'()>0，f()单调递增，x∈(e,+o）,f"()<0,f(x单调递减， 2 所以当x=e时，(x)取得最大值e, 如图，当与直线2x-y+8=0平行的直线与f()的图象相切时，此时切点P到直线 2x-y+8=0 的距离最小， 2x-y+8=0 r-2-2n=2,得=，助点P0). x2 y=f(x) 2-0+8=2N5. 点P(1,0)到直线2x-y+8=0的距离为V5 13.V2 【详解1夜0到线的面所%成期8m}21-正d上5。 解得2 因ea6e可停e可-o, 所以1sm 5+1, 感为行在0足经作所)6+1、a+化简得2 6_3g≤1，且0≤a<b: d3d<L4b53a+2,所以b-2aS3a+2-2a=f@ 由22 为≥0样不等武"@322>0无解，所戒O图0女上调配 所以f(asf(0)=V2.故b-2a的最大值为V2. 14.168π M,N 【详解】作几何体的轴截面图如图， 分别是大球和小球的球心， P是圆合的轴藏面等腰梯形MBCD两腰4D和BC的延长线的交点， M G,H分别是球M和球N与圆台侧面的切点，E,F 分别是与圆台上 下底面的切点， 则GMLA0.NHLA0,0E⊥AB,OF⊥CD,且GM=EM=4,NH=NF=2, EF=12 过V点作K/H40交GM于K,显然NK⊥GM,所以四边形NHGK为矩形， MN=6.MK-MG-KG-MG-NH-2 所以在直角三角形MNK中，sin∠MWK=灰={ MN 3, 由同角三角函数关系式得os∠MNK=V-sin'∠MK_2N2 ,ian∠wK=2 4 又由从0：所以∠AK=∠E0A,所以n∠B01=写m∠E01= 4 NH 在直角三角形NH0中，NH=2,得0=sin∠EQ46,所以 FO=NO-NF=6-2=4 又在直角三角形DFO中，DF=FO.tan∠EQA=√2 同理在直角三角形EQA中，E0=EF+F0=12+4=16,AE=EQan∠E0A=4V2 所以圆台的上底面半径AE=45,下底面半径DF=V2,高EF=12. 所以质台的殊有”-写ER4E+4E,DP+DFP内=168 故答案为：168π 15.【详解】(1)由题意得，X~B(3,0.8),其分布列为：P(X=k)=C(0.8(0.2), 0,1,2,3 k= P(X=0)=C9(0.8)°(0.2)'=0.008 P(X=1)=C(0.8)(0.22=0.096 P(X=2)=C(0.8)2(0.2}=0.384 P(X=3)=C(0.83(0.2)°=0.512 X的分布列为： X 0 1 2 3 0.00 0.09 0.38 0.51 8 6 4 2 数学期望为E(X)=3×0.8=2.4 (2)设事件A为“一个机器人转手绢成功”，事件B为“一个机器人队形变换成功”· 根据题意P(4)=0.8,P(B4=0.9,P(BA=0.6 P(B)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(BA)+P(AP(BA=0.8×0.9+0.2×0.6=0.84 P(AB)=PC4B_0.8x0.90.726 P(B)0.840.847· 16.【详解】(1)由正弦定理得：(a-b)(a+b)=c(b+c), 所以b2+c2-a2=-bc 又由余孩定理得osA=。2bC2,又0<A<π，防以A-7 3: BD (2)在AABD中，由正弦定理得sin∠ADB sin∠BAD①， b DC 在△ADC中，由正弦定理得sin∠ADC sin∠DAC②， 又∠ADB=π-∠ADC,所以sin∠ADB=sin(π-∠ADC)=sin∠ADC c BD sin∠DAC 由①②得：b DC sin∠BAD, c BD 又b·BD=CCD,所以bCD, sin∠D1C=l→sin∠DAC=sin∠BAD, 所以Sin∠BAD 又∠D1C,∠B4D=Q）,以∠BD=∠DMC:回D为∠BC的角￥分发， 所以∠BAD=∠DAC= 3, 所以5c 1 -bcsin A= bc 2 24 又SAac=SAB+SAC, 32 “32 221 24 所以bc=b+c,又bc=b+c22bc,即Vbc≥2→bc24, 当且仅当b=C=2时，等号成立， 所以S4Bc= 3bc≥5 所以当△ABC的面积取最小值VS时，△ABC为等腰三角形 17.【详解】(1)取BC的中点F,连接DF. 易证四边形ADFB为矩形，所以AD⊥DF. 以D为坐标原点，DA,DF,DP所在的直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， 则D(0,0,0),A1,0,0),BV5,0),C(-1,3,0,P(0,0,5 DC=（-1,5,0）,DP=(0,03),AP=(10,3),PB=15,-V3), AE=AP+PE=AP+PB=(-1+元，3，V3-V3】 设平面PCD的法向量为万=(x,少，2)， [元.DC=-x+V3y=0, 则i.Dp=3z=0, 取x=3,得i=(V51,0） 若元=，则正- 1√35 22’2 因为AE:n=0,所以AE1n 因为AE4平面PCD,所以AEI平面PCD D 方法二：如图，取BC的中点F,连接AF、EF 在△PBC中，E,F分别为PB,BC的中点，所以EF∥PC 因为EF4平面PCD,PCC平面PCD,所以EF∥平面PCD D川BC,AD=CF=L,所以四边形FCD是平行四边形，AF/CD 因为AF￠平面PCD,CDC平面PCD,所以AF∥平面PCD. 因为EF∩AF=F,EFC平面AEF,，AFC平面AEF,所以平面AEF∥平面PCD 因为AEC平面AEF,所以AE∥平面PCD 方法三：如图，取PC的中点G,连接EG,DG 在△PBC中，E,G分别为PB,PC的中点，所以EGIBC D EG--BC-1-AD 因为D川BC,所以D川BG,所以四边形DGE为平行四边形，E∥DG 因为AEC平面PCD,DGC平面PCD,所以AE∥平面PCD (2)记直线AE与平面PCD所成的角为8， 元·AE -3+V3+V5 sin6=cos(元，AE以 √13 AE 2V-1+}'+(3+(5-5j 13 123 123 化简得12822-1242+23=0，解得入=4或32，所以2的值为4或32 18.【详解】(1)由题， 2 5p 2 52 由正弦定理得 的外接圆半径R=2×sin∠MOF V22, 2× △OFM 2 解得P=2,所以C的方程为广=4x (2)由()知M(4,4),N(4,4),设直线4：y-4=k(x-4), [y-4=k(x-4), 与抛物线方程联立1y2=4x ，得k2-4y+161-k)=0, 则A=16-64k0-6)=0,海5=. S 所以4：x-2y+4=0,同理可得：x+2y+4=0, G 联立4与的方程，得G(4,0), 设S(2,t+2(-2<1<2),直线4：x=n(0y-t-2)+2r, x=n(y-t-2)+2t, 由y=4x，得y2-4n+4i+8n-8=0' 由△=16m2-4(4nt+8n-8)=16(n-tn-2)=0得n=t或m=2, 当n=2时，直线5：x=2y-4,与直线重合， 此时，点R与点M重合，不合题意，舍去， 当”=t时，直线5：X=-1,即-少+1=0， 与直线5：x+2y+4=0联立可得T(-24,t-2), 点G到直线，的距腐d= 2-44-2 1+?+2, 又ST=V2t+2}+t+2-t+2y=4+ 所以5w-小57kdx4+7x =8-2t2 V1+2 因为1∈(-2,2)，所以当t=0时，S%sGr取得最大值8， 所以△SGT面积的最大值为8. 19.【详解】(I)因为f'(x=e-(x+1)e=-e,x∈R, 当x(-o,0)时，f()>0,即f()单调递增。 当r∈(0，+∞)时，f'()<0,即f(x)单调递减， 且f(0)=0,当x-0时，f()→-1，当x→+0时，f()→-0， 所以f(x)在x=0处取得最大值，最大值为0，无最小值：f()仅有一个零点0 (2)数列a}为递减数列，理由如下： 由题意，e-e=e-1e-e-1-ae an 由(1)知f(x)在(0，+o)上单调递减，则f()<f(O)=0,即e-1-xe<0, 令r=a.>0,则e-l-a,e<0,所以e-e<0,即eu<e2, 又函数y=e在R上是单调递增函数，所以a<a,所以数列a,为递减数列 令-心1-心0r期se-e-传+je2-ee- 令h()=e-x-l则'()=e-1, 当x<0时，h(<0,当x>0时，h()>0, 所以h()在-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增， 所以h(x)≥h(0)=0,即e-x-1≥0，所以e≥x+1, 2-1>0 e-ee-小0a阳产a树n里280-0 即e-1>e 令x=a,>0,则e-1-a,e>0?即a ，又e=e-l a 、1 a1>1 所以e>e,所以a1>2a,即a,>2, -1 1 n≥21 1 所以a,> 2”, 2分 2力 安徽省蚌埠市高三第一学期开学自测题（二） 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上， 2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知实数，a，b，c，成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D． 3．若随机变量，随机变量且，则（   ） A． B． C．2 D．4 4．已知函数满足：当时，；当时，；且当时，，则（   ） A． B． C． D． 5．设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．已知锐角，满足，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 7．已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为 A． B． C． D． 8．在中，，且满足，其中是外接圆的圆心，则（   ） A．1 B． C． D． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，至少有两个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 9．已知等差数列的前项和为，，，则下列结论正确的有（    ） A．是递减数列 B． C．使时的最小值是21 D．最小时， 10．若曲线由半圆和半椭圆组成，若直线与交于两点（在的左侧），，则（    ） A． B．的最大值为 C．存在，使得四边形是平行四边形 D．面积的最大值为 11．已知函数有三个零点 则（    ） A． B．不存在实数a使得 C．若，则 D． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．已知点 P 在函数 的图象上，则P 点到直线的距离的最小值为______. 13．设a，b是两个实数，，直线和圆交于两点A，B，若对于任意的，均存在正数m，使得的面积均不小于，则的最大值为__________． 14．如图，圆台形容器内放进半径分别为2和4的两个球，小球与容器下底面、容器壁均相切，大球与小球、容器壁、容器上底面均相切，则该容器的体积为_____. 四、解答题：本大题共5小题，共计77分.请在答卷上写出必要的解题步骤。 15．(13分）在2025年春晚《秧BOT》机器人节目中，有16个机器人参与表演.该人工智能机器人团队将传统艺术与现代科技完美融合，表演非物质文化遗产“转手绢”并完成复杂队形变换.这一创新表演不仅展示了我国人工智能技术的飞速发展，也体现了科技赋能传统文化的实践创新.某项研究表明，每个机器人独立完成转手绢动作成功的概率为0.8.在队形变换环节，机器人的表现存在差异：每个机器人若转手绢成功，则其队形变换成功的概率为0.9；若转手绢失败，则队形变换成功的概率为0.6. (1)若从该团队中随机抽取3个机器人调查研究，记X为成功完成转手绢动作的机器人个数，求X的分布列及数学期望； (2)若随机抽取一个机器人，已知其队形变换成功，求它转手绢成功的概率. 16．(15分）已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 (1)求A. (2)已知点D在边 BC上，且 当 的面积最小时，判断 是否为等腰三角形?  若是，给出证明；若不是，请说明理由. 17．(15分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在棱上，且. (1)若，证明：平面. (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 18．(17分）已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，点，且的外接圆半径为. (1)求的方程； (2)已知点，为上异于，的点，分别以，，为切点作的切线，，，且直线与交于点，直线与线段，分别交于点，，求面积的最大值. 19．(17分）已知函数，正项数列满足． (1)求函数的最值与零点； (2)判断数列的单调性并说明理由； (3)设数列的前n项和为，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $