第二十六章 二次函数（单元自测卷·福建专用）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦九年级二次函数单元，覆盖概念、图像性质及实际应用，通过基础题与综合探究题梯度设计，体现数学眼光、思维与语言的核心素养，适配单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|二次函数定义、图像对称轴、参数取值|结合图像辨析（如第8题），考查推理意识| |填空题|6/24|配方、平移、最值范围|第16题矩形面积优化，体现模型意识| |解答题|9/86|函数关系式确定、几何综合、实际应用|24题体育实心球投掷情境，25题动态几何探究，突出应用意识与创新思维|

2026-2027学年九年级上册数学单元自测（福建专用） 第二十六章 二次函数（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C C A A A B D B 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11． 12． 13. 或 14. 的值为8或 15. 4 16. 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17．（8分） 【详解】（1）解：∵与成正比例，与成正比例， ∴设，，................2分 ∵， ∴，................3分 将和分别代入上式， 得， 解得，................5分 ∴与的函数关系式为；................6分 （2） 将代入，得．................8分 18． （8分） 【详解】（1）解：把，代入，得： ， 解得；................2分 （2）解：， ∴此抛物线的对称轴是直线， 当时，， ， 设直线的表达式为，直线交直线于点M， 把，代入，得： ， 解得：， ∴直线的表达式为， 当时，， ， ，，， ， ， ∵的面积等于的面积， ， ， ， 或；................8分 19． （8分） 【详解】（1）解：当时，， ． ， ，， ，， 代入到抛物线的表达式得， 解得， 抛物线的函数表达式为， 对称轴为直线．................4分 （2）解：由（1）得，点， 由平移的性质得，点，， 将点代入函数表达式可知： 解得或（舍去）．................8分 20． （8分） 【详解】（1）解：将，，代入， 可得：， 解得：， ；................4分 （2）解：， 抛物线顶点坐标为，抛物线开口向下， 当时，函数最大值为， 当时，有最小值，最小值为， ................8分 21． （8分） 【详解】（1）解：把代入得，解得， ∴抛物线解析式为； 当时，，解得，则， ∵， ∴点坐标为．................4分 （2）解：存在．理由如下： 设， ∵， ∴， 得， 当，解得， 此时P点坐标为或， 当时，方程没有实数解． 综上所述，P点坐标为或．................8分 22． （10分） 【详解】（1）解：抛物线为， 对称轴为直线． 即抛物线的对称轴为直线．................2分 （2）解：图象经过点，把代入，则 解得：， 故抛物线解析式， ................4分 是抛物线与轴交点的横坐标， ， 解得：， ， ， ，故．................6分 当时，，此时；................8分 当时，，此时．................10分 23． （10分） 【详解】（1）解：由题意得， 解得， 答：用时10分钟，全部学生到达食堂．................2分 （2）解：①设等待排队有名学生，则． ∵，抛物线开口向下， ∴当（分钟）时，（人）．................6分 ②可以达到预期效果，理由： ， 可以在13分钟内完成全部出餐． 等待排队有名学生，则． 当（分钟）时，（人） ， 每个学生的排队时间不超过5分钟． 此方案可以满足预期效果．................10分 24． （12分） 【详解】（1）把点A代入抛物线，得 ∴ ∴抛物线的表达式为:................2分 （2）令 解得:（不符合题意，舍去），. ∵落地距离在6.4～6.6得12分. ∴该同学得分为12分.................6分 （3）根据题意知，抛物线的顶点为. ∴设抛物线的表达式为： 将点A代入上式，得 解得：. ∴抛物线的表达式为：.................8分 令. 解得：（不符合题意，舍去），................10分 ∵. ∴该同学能得到15分的满分.................12分 25． （14分） 【详解】（1）解：将代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∴顶点坐标；.................3分 （2）解：连接，取的中点F，连接并延长，交于点G，连接并延长，交抛物线于点E，如图所示： 把代入得：， ∴， ∵， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴此时点E符合题意， ∵F为的中点， ∴， 设直线的解析式为，把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴， 同理根据，可得直线的解析式为， 联立， 解得：，， ∴点E的坐标为；.................8分 （3）解：过点M作于点N，过点B作于点G，交y轴于点H，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴当点M在点H处时，最小，且最小值为的长， ∵，， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当取得最小值时，点的坐标为，这个最小值为．.................14分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(福建专用) 第二十六章 二次函数 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．若二次函数的图象经过原点，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 3．关于二次函数，下列结论中正确的是（    ） A．其图象的对称轴是直线 B．当时，y随x的增大而减小 C．若点是抛物线上的点，则点也是抛物线上的点 D．把该函数的图象先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后，图象经过点 4．若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 5．已知，两点都在抛物线（）上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．已知二次函数，点在其第一象限的图象上，点在其第二象限的图象上，则关于的一元二次方程的两根，判断正确的是（    ） A． B． C． D．与的符号都不确定 7．如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为米时，水面的宽度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 8．某二次函数图象如图所示，下面各式判断正确的是（    ） A． B． C．方程无解 D． 9．如图，已知点，O为坐标原点，P是线段上任意一点（不含端点O、A），过P、O两点的二次函数和过P、A两点的二次函数的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线与相交于点D．当时，这两个二次函数的最大值之和等于（    ） A．5 B． C．8 D．12 10．已知整式，其中，，为互不相等的正整数且不大于，下列说法： ①存在唯一的一组，，的值，使得为整式； ②若，则满足条件的所有式子中，当取任意实数时，其值为非负数的整式的和为； ③若，则满足条件的共有个． 其中正确的个数是（    ）． A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．用配方法将函数写成的形式是__________ 12．将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后的函数解析式为_______________. 13．若点和点在抛物线上，且，则的取值范围是______________． 14．已知二次函数，当时，二次函数的最大值为6，则的值为____________． 15．在平面直角坐标系中，已知抛物线与y轴正半轴有交点，当时，；当时，，则m的值等于______． 16．如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则__________． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17．（8分）若，且与成正比例，与成正比例，当时，；当时，； (1)求y与x的函数关系式； (2)时，函数的值为多少？ 18．（8分）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)填空：__________，__________； (2)设为此抛物线的对称轴上一点，当的面积等于的面积时，求点坐标； 19．（8分）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，已知． (1)求该抛物线的函数表达式和对称轴． (2)将点向上平移个单位得到点，将向左平移个单位得到，将向右平移个单位得到，已知和均在抛物线上，求和的值． 20．（8分）已知二次函数，它与x轴的交点坐标为，，与y轴的交点坐标为． (1)求出，，的值，并写出此二次函数的解析式； (2)求顶点坐标，画出函数图象，并求当时函数的最大值和最小值． 21．（8分）如图，二次函数的图象与x轴交于两点（点在点的左边），点是该函数图象的顶点． (1)求点的坐标； (2)在二次函数的图象上是否存在点P，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（10分）已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若抛物线图象经过点是抛物线与轴交点的横坐标，记，比较与的大小． 23．（10分）某中学有500名学生在校就餐，因人数多就餐排队时间长，决定进行优化调整．经调研，发现放学后累计到达食堂的人数（人）随时间（分）的变化情况满足函数：． (1)放学几分钟后，全部学生都到达食堂？ (2)食堂计划调整方案，预期13分钟内完成全部出餐，且每个学生的排队时间不能超过5分钟．原方案和调整后方案如下表． 目前实施方案 调整方案 点餐 窗口 单个窗口 点餐 窗口 单个窗口 形式 数量 出菜速度 形式 数量 出菜速度 自由点菜 4个 5份/分钟 套餐选择 5个 8份/分钟 ①按原方案，等待点餐的学生最多达到多少人？ ②调整后，是否可以达到预期效果？如果可以，请说明理由；如果不行，请调整窗口个数，使之可以达到预期效果． 24．（12分）掷实心球是中考体育素质类选考项目之一，如图1是某同学在某次试投中实心球所经过的路线呈抛物线形状，图2是其示意图，若实心球所经过的路线是抛物线（是常数）的一部分，出手处点距地面的高度米． 分值（分） 11 12 13 14 15 落地距离（m） （注：落地距离包含最小值，不包含最大值） (1)求抛物线的函数表达式； (2)上表是体育考试（实心球）评分标准的一部分，请你给该同学打分；（参考数据：） (3)为提升中考体育考试成绩，该同学在老师的指导下进行了技术训练，在出手高度不变的前提下，调整出手角度与力量，使球在距出手处的水平距离2米处达到最高，最高点距地面2米，请判断该同学能否得到15分的满分？ 25．（14分）已知抛物线经过点两点，与轴交于点，顶点为． (1)求的值及顶点的坐标； (2)点为直线下方抛物线上的一点，当时，求点的坐标； (3)点为轴上的一动点，连接，当取得最小值时，求点的坐标，并求出这个最小值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试卷 第1页（共4页） 试卷 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(福建专用) 第二十六章 二次函数 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，的最高次数为1，不是二次函数，故A不符合题意； B．，即，的指数为，不是二次函数，故B不符合题意； C．，的最高次数为1，不是二次函数，故C不符合题意； D．，的最高次数为2，且，是二次函数，故D符合题意． 故选：D． 2．若二次函数的图象经过原点，则的值为（ ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】解：把代入得， 解得或， ， ． 故选：． 3．关于二次函数，下列结论中正确的是（    ） A．其图象的对称轴是直线 B．当时，y随x的增大而减小 C．若点是抛物线上的点，则点也是抛物线上的点 D．把该函数的图象先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后，图象经过点 【答案】C 【详解】解：由二次函数得对称轴为，故A选项错误，不合题意； ∵， ∴抛物线开口向上， ∴在对称轴右侧，y随x的增大而增大， ∴当时，y随x的增大而增大，故B选项错误，不合题意； ∵点是抛物线上的点， ∴， 当时，， ∴点也在抛物线上，故C选项正确，符合题意； 二次函数先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后得， 当时， ∴点不在图象上，故D选项错误，不合题意． 故选：C 4．若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，且， 解方程，即， 解得或， 又∵， ， ． 5．已知，两点都在抛物线（）上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以抛物线对称轴为直线， 点到对称轴的距离为； 点到对称轴的距离为， 因为，所以抛物线开口向上，在对称轴右侧随的增大而增大， 点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，所以， 故选：A． 6．已知二次函数，点在其第一象限的图象上，点在其第二象限的图象上，则关于的一元二次方程的两根，判断正确的是（    ） A． B． C． D．与的符号都不确定 【答案】A 【详解】解：点在二次函数第一象限的图象上 在二次函数第二象限的图象上 异号，， 设，即， 即，则， 故， ，则， 由得，， 故选：A． 7．如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为米时，水面的宽度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【详解】解：根据题意，当时，得：， 解得：或． ∴水面宽度为：（米）． 故选：A． 8．某二次函数图象如图所示，下面各式判断正确的是（    ） A． B． C．方程无解 D． 【答案】B 【详解】解：A、图象与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线， 图象与轴的另一个交点在和之间， 当时，，即，故选项A不符合题意； B、抛物线的对称轴为直线， ， 由图象可知，当时，， ，故选项B符合题意； C、由图象可知顶点坐标为， ， 方程的解为，选项C不符合题意； D、时函数值为最大值， ，即，选项D不符合题意． 故选：B． 9．如图，已知点，O为坐标原点，P是线段上任意一点（不含端点O、A），过P、O两点的二次函数和过P、A两点的二次函数的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线与相交于点D．当时，这两个二次函数的最大值之和等于（    ）    A．5 B． C．8 D．12 【答案】D 【详解】 解：分别过点B、D、C作于点F，于点E，于点M，    ∵， ∴， ∴， 设，根据抛物线的对称性，得， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 即①， 同理②， ①+②得：， ∴， 即这两个二次函数的最大值之和等于12， 故选：D． 10．已知整式，其中，，为互不相等的正整数且不大于，下列说法： ①存在唯一的一组，，的值，使得为整式； ②若，则满足条件的所有式子中，当取任意实数时，其值为非负数的整式的和为； ③若，则满足条件的共有个． 其中正确的个数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：关于①， ∵为整式，， ∴设，整理得：， ∴，， ∴，整理得：， ∵，，为互不相等的正整数且不大于， ∴ ∴矛盾， ∴①不正确，不符合题意； 关于②， 若，则， ∵，，为互不相等的正整数且不大于6， ∴，， ∵当取任意实数时，整式的值为非负数， ∴，则， ∴，则， 当，解得：，∴符合条件的值为：， ∴或或或， 当，解得：，∴符合条件的值为：， ∴或或， 当，解得：，∴符合条件的值为：， ∴或， 当，解得：，∴没有符合条件的值， 当，解得：，∴没有符合条件的值， ∴将所有满足条件的相加： 的系数：； 的系数：； 常数项：； ∴值为非负数的整式的和为， ∵， ∴②不正确，不符合题意 关于③， ∵，，，为互不相等的正整数且不大于6， ∴， ∴当，可取，对应的选法分别为种，满足条件的共有种， ∴当，可取，对应的选法分别为种，满足条件的共有种， ∴当，可取，对应的选法分别为种，满足条件的共有种， ∴当，可取，对应的选法分别为种，满足条件的共有种， ∴综上，满足条件的共有种， ∴③是正确的，符合题意； ∴符合题意的只有③，个数为． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．用配方法将函数写成的形式是__________ 【答案】 【详解】解：依题意， ， 故答案为：． 12．将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后的函数解析式为_______________. 【答案】 【详解】解：的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到 ， 即． 故答案为： 13．若点和点在抛物线上，且，则的取值范围是______________． 【答案】或 【详解】解：∵ ， ∴该抛物线的对称轴直线为，且二次项系数， ∴抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大， 设点关于对称轴直线的对称点为， ∴根据对称轴公式2，解得， ∵，抛物线开口向上： ∴当在对称轴右侧时，满足， ∴当在对称轴左侧时，满足， ∴m的取值范围是或． 14．已知二次函数，当时，二次函数的最大值为6，则的值为____________． 【答案】的值为8或 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线， ①当时，即时， ，在对称轴右侧，随的增大而减小， 当时，有最大值为6， ， 解得：； ②当时，即时， 当时，有最大值为6， ， 解得：， ， （不合题意，舍去）， ③当时，即时， ，在对称轴左侧，随的增大而增大， 当时，有最大值为6， ， 解得：， 综上所述，的值为8或． 15．在平面直角坐标系中，已知抛物线与y轴正半轴有交点，当时，；当时，，则m的值等于______． 【答案】4 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴， ∵时，， ∴当时，， 又当时，， ∴当时，， 即， 解得：， 故答案为：． 16．如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则__________． 【答案】 【详解】解：由题意得修改后的花园面积， ∵， ∴当时，修改后的花园面积达到最大． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17．（8分）若，且与成正比例，与成正比例，当时，；当时，； (1)求y与x的函数关系式； (2)时，函数的值为多少？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵与成正比例，与成正比例， ∴设，， ∵， ∴， 将和分别代入上式， 得， 解得， ∴与的函数关系式为； （2）将代入，得． 18．（8分）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)填空：__________，__________； (2)设为此抛物线的对称轴上一点，当的面积等于的面积时，求点坐标； 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【详解】（1）解：把，代入，得： ， 解得； （2）解：， ∴此抛物线的对称轴是直线， 当时，， ， 设直线的表达式为，直线交直线于点M， 把，代入，得： ， 解得：， ∴直线的表达式为， 当时，， ， ，，， ， ， ∵的面积等于的面积， ， ， ， 或； 19．（8分）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，已知． (1)求该抛物线的函数表达式和对称轴． (2)将点向上平移个单位得到点，将向左平移个单位得到，将向右平移个单位得到，已知和均在抛物线上，求和的值． 【答案】(1)；直线 (2)， 【详解】（1）解：当时，， ． ， ，， ，， 代入到抛物线的表达式得， 解得， 抛物线的函数表达式为， 对称轴为直线． （2）解：由（1）得，点， 由平移的性质得，点，， 将点代入函数表达式可知： 解得或（舍去）． 20．（8分）已知二次函数，它与x轴的交点坐标为，，与y轴的交点坐标为． (1)求出，，的值，并写出此二次函数的解析式； (2)求顶点坐标，画出函数图象，并求当时函数的最大值和最小值． 【答案】(1)， (2)顶点坐标为 当时，函数最大值为，最小值为 【详解】（1）解：将，，代入， 可得：， 解得：， ； （2）解：， 抛物线顶点坐标为，抛物线开口向下， 当时，函数最大值为， 当时，有最小值，最小值为， 图略． 21．（8分）如图，二次函数的图象与x轴交于两点（点在点的左边），点是该函数图象的顶点． (1)求点的坐标； (2)在二次函数的图象上是否存在点P，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点坐标为 (2)点坐标为或 【详解】（1）解：把代入得，解得， ∴抛物线解析式为； 当时，，解得，则， ∵， ∴点坐标为． （2）解：存在．理由如下： 设， ∵， ∴， 得， 当，解得， 此时P点坐标为或， 当时，方程没有实数解． 综上所述，P点坐标为或． 22．（10分）已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若抛物线图象经过点是抛物线与轴交点的横坐标，记，比较与的大小． 【答案】(1) (2)当时，；当时， 【详解】（1）解：抛物线为， 对称轴为直线． 即抛物线的对称轴为直线． （2）解：图象经过点，把代入，则 解得：， 故抛物线解析式， 是抛物线与轴交点的横坐标， ， 解得：， ， ， ，故． 当时，，此时； 当时，，此时． 23．（10分）某中学有500名学生在校就餐，因人数多就餐排队时间长，决定进行优化调整．经调研，发现放学后累计到达食堂的人数（人）随时间（分）的变化情况满足函数：． (1)放学几分钟后，全部学生都到达食堂？ (2)食堂计划调整方案，预期13分钟内完成全部出餐，且每个学生的排队时间不能超过5分钟．原方案和调整后方案如下表． 目前实施方案 调整方案 点餐 窗口 单个窗口 点餐 窗口 单个窗口 形式 数量 出菜速度 形式 数量 出菜速度 自由点菜 4个 5份/分钟 套餐选择 5个 8份/分钟 ①按原方案，等待点餐的学生最多达到多少人？ ②调整后，是否可以达到预期效果？如果可以，请说明理由；如果不行，请调整窗口个数，使之可以达到预期效果． 【答案】(1)10分钟 (2)①320人 ②可以达到预期效果 理由：， 可以在13分钟内完成全部出餐． 等待排队有名学生，则． 当（分钟）时，（人） ， 每个学生的排队时间不超过5分钟． 此方案可以满足预期效果． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， 答：用时10分钟，全部学生到达食堂． （2）解：①设等待排队有名学生，则． ∵，抛物线开口向下， ∴当（分钟）时，（人）． ②略 24．（12分）掷实心球是中考体育素质类选考项目之一，如图1是某同学在某次试投中实心球所经过的路线呈抛物线形状，图2是其示意图，若实心球所经过的路线是抛物线（是常数）的一部分，出手处点距地面的高度米． 分值（分） 11 12 13 14 15 落地距离（m） （注：落地距离包含最小值，不包含最大值） (1)求抛物线的函数表达式； (2)上表是体育考试（实心球）评分标准的一部分，请你给该同学打分；（参考数据：） (3)为提升中考体育考试成绩，该同学在老师的指导下进行了技术训练，在出手高度不变的前提下，调整出手角度与力量，使球在距出手处的水平距离2米处达到最高，最高点距地面2米，请判断该同学能否得到15分的满分？ 【答案】(1) (2)12分 (3)该同学能得到15分的满分 【详解】（1）把点A代入抛物线，得 ∴ ∴抛物线的表达式为: （2）令 解得:（不符合题意，舍去），. ∵落地距离在6.4～6.6得12分. ∴该同学得分为12分. （3）根据题意知，抛物线的顶点为. ∴设抛物线的表达式为： 将点A代入上式，得 解得：. ∴抛物线的表达式为：. 令. 解得：（不符合题意，舍去）， ∵. ∴该同学能得到15分的满分. 25．（14分）已知抛物线经过点两点，与轴交于点，顶点为． (1)求的值及顶点的坐标； (2)点为直线下方抛物线上的一点，当时，求点的坐标； (3)点为轴上的一动点，连接，当取得最小值时，求点的坐标，并求出这个最小值． 【答案】(1)，， (2) (3)点的坐标为，这个最小值为 【详解】（1）解：将代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∴顶点坐标； （2）解：连接，取的中点F，连接并延长，交于点G，连接并延长，交抛物线于点E，如图所示： 把代入得：， ∴， ∵， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴此时点E符合题意， ∵F为的中点， ∴， 设直线的解析式为，把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴， 同理根据，可得直线的解析式为， 联立， 解得：，， ∴点E的坐标为； （3）解：过点M作于点N，过点B作于点G，交y轴于点H，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴当点M在点H处时，最小，且最小值为的长， ∵，， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当取得最小值时，点的坐标为，这个最小值为． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(福建专用) 第二十六章 二次函数 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．若二次函数的图象经过原点，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 3．关于二次函数，下列结论中正确的是（    ） A．其图象的对称轴是直线 B．当时，y随x的增大而减小 C．若点是抛物线上的点，则点也是抛物线上的点 D．把该函数的图象先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后，图象经过点 4．若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 5．已知，两点都在抛物线（）上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．已知二次函数，点在其第一象限的图象上，点在其第二象限的图象上，则关于的一元二次方程的两根，判断正确的是（    ） A． B． C． D．与的符号都不确定 7．如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为米时，水面的宽度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 8．某二次函数图象如图所示，下面各式判断正确的是（    ） A． B． C．方程无解 D． 9．如图，已知点，O为坐标原点，P是线段上任意一点（不含端点O、A），过P、O两点的二次函数和过P、A两点的二次函数的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线与相交于点D．当时，这两个二次函数的最大值之和等于（    ） A．5 B． C．8 D．12 10．已知整式，其中，，为互不相等的正整数且不大于，下列说法： ①存在唯一的一组，，的值，使得为整式； ②若，则满足条件的所有式子中，当取任意实数时，其值为非负数的整式的和为； ③若，则满足条件的共有个． 其中正确的个数是（    ）． A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．用配方法将函数写成的形式是__________ 12．将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后的函数解析式为_______________. 13．若点和点在抛物线上，且，则的取值范围是______________． 14．已知二次函数，当时，二次函数的最大值为6，则的值为____________． 15．在平面直角坐标系中，已知抛物线与y轴正半轴有交点，当时，；当时，，则m的值等于______． 16．如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则__________． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17．（8分）若，且与成正比例，与成正比例，当时，；当时，； (1)求y与x的函数关系式； (2)时，函数的值为多少？ 18．（8分）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)填空：__________，__________； (2)设为此抛物线的对称轴上一点，当的面积等于的面积时，求点坐标； 19．（8分）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，已知． (1)求该抛物线的函数表达式和对称轴． (2)将点向上平移个单位得到点，将向左平移个单位得到，将向右平移个单位得到，已知和均在抛物线上，求和的值． 20．（8分）已知二次函数，它与x轴的交点坐标为，，与y轴的交点坐标为． (1)求出，，的值，并写出此二次函数的解析式； (2)求顶点坐标，画出函数图象，并求当时函数的最大值和最小值． 21．（8分）如图，二次函数的图象与x轴交于两点（点在点的左边），点是该函数图象的顶点． (1)求点的坐标； (2)在二次函数的图象上是否存在点P，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（10分）已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若抛物线图象经过点是抛物线与轴交点的横坐标，记，比较与的大小． 23．（10分）某中学有500名学生在校就餐，因人数多就餐排队时间长，决定进行优化调整．经调研，发现放学后累计到达食堂的人数（人）随时间（分）的变化情况满足函数：． (1)放学几分钟后，全部学生都到达食堂？ (2)食堂计划调整方案，预期13分钟内完成全部出餐，且每个学生的排队时间不能超过5分钟．原方案和调整后方案如下表． 目前实施方案 调整方案 点餐 窗口 单个窗口 点餐 窗口 单个窗口 形式 数量 出菜速度 形式 数量 出菜速度 自由点菜 4个 5份/分钟 套餐选择 5个 8份/分钟 ①按原方案，等待点餐的学生最多达到多少人？ ②调整后，是否可以达到预期效果？如果可以，请说明理由；如果不行，请调整窗口个数，使之可以达到预期效果． 24．（12分）掷实心球是中考体育素质类选考项目之一，如图1是某同学在某次试投中实心球所经过的路线呈抛物线形状，图2是其示意图，若实心球所经过的路线是抛物线（是常数）的一部分，出手处点距地面的高度米． 分值（分） 11 12 13 14 15 落地距离（m） （注：落地距离包含最小值，不包含最大值） (1)求抛物线的函数表达式； (2)上表是体育考试（实心球）评分标准的一部分，请你给该同学打分；（参考数据：） (3)为提升中考体育考试成绩，该同学在老师的指导下进行了技术训练，在出手高度不变的前提下，调整出手角度与力量，使球在距出手处的水平距离2米处达到最高，最高点距地面2米，请判断该同学能否得到15分的满分？ 25．（14分）已知抛物线经过点两点，与轴交于点，顶点为． (1)求的值及顶点的坐标； (2)点为直线下方抛物线上的一点，当时，求点的坐标； (3)点为轴上的一动点，连接，当取得最小值时，求点的坐标，并求出这个最小值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $