第26章二次函数单元测试卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本卷为初中数学二次函数单元测试卷，覆盖二次函数定义、图像性质、平移、最值及实际应用等核心知识，通过基础题与综合应用题结合，适配单元复习巩固，体现数学眼光、思维与语言的素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|对称轴、开口方向、二次函数定义、图像与方程根关系|基础巩固，结合图像辨析（如第6题利用图像判断方程根）| |填空题|4/20|与x轴交点、顶点式表达式、实际问题最值（爆米花可食用率）|联系生活情境，考查模型意识（如第13题加工时间优化）| |解答题|9/60|解析式求解、图像绘制、实际应用（铅球轨迹、租车利润）、几何综合（面积、直角三角形）|分层设计，创新应用突出（如第22题化学试剂挥发对比，第23题几何与函数结合）|

第26章二次函数单元测试卷(试卷版) 1、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1．二次函数图象的对称轴是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2．若抛物线的开口向下，顶点坐标为，则二次函数有（     ） A．最小值 B．最大值 C．最小值2 D．最大值2 3．已知函数是二次函数，则m等于（     ） A． B．2 C． D． 4．某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（     ） A． B． C． D． 5．将抛物线向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到的抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 6．已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个同号不等实数根 D．有两个异号实数根 7．设是抛物线上的三点，则（     ） A． B． C． D． 8．二次函数（，，是常数，）的图象与轴交于点，．则下列说法：①一元二次方程的根为，．②；③对于的每一个确定的值，若一元二次方程（为常数，）的根为整数，则的值只有两个；④若点，在该二次函数的图象上，则；正确的是（     ） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 9．二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … … t m 2 2 n … 当时，与其对应的函数值．有以下结论：①；②和3是关于x的方程的两个根；③；④，其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若，是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①②④ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．二次函数的图象与轴交点坐标是________． 12．已知抛物线的顶点坐标为且经过坐标原点，则这个二次函数的表达式是______． 13．某食品加工厂专门生产爆米花，在生产过程中，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．为了提升产品品质、降低生产成本，技术人员研究发现，在特定生产条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足函数表达式，为了让爆米花的可食用率达到最高，最佳加工时间为_________分钟． 14.斜抛小球，小球触地后呈抛物线反弹，每次反弹后保持相同的抛物线形状（开口方向与开口大小前后一致），第一次反弹后的最大高度为，第二次反弹后的最大高度为．第二次反弹后，小球越过最高点落在垂直于地面的挡板处，且离地高度，若，．则第一次反弹抛物线图象与它的二次项系数的比值为_____________；_____________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.已知抛物线过A（-1，12）、B（1，-4）两点. （1） 求此抛物线的函数解析式； （2） 将此函数解析式化为的形式． 16．二次函数（为常数）的图象与轴相交吗？如果相交，有几个交点？ 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17．已知二次函数． … … … … (1)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象（先完成列表，并使每个数对均为整数，再描点，后连线）； (2)当时，结合图象写出的取值范围． 18．一个运动员推铅球，铅球在点处出手，出手时铅球离地面的高度为米，铅球在点处落地．铅球在运动员前处（即）达到最高点，最高点离地面的高度为．已知铅球经过的路线是抛物线，按照如图所示建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)求该运动员推铅球的成绩． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19．已知二次函数． (1)求函数图象的对称轴与顶点坐标． (2)将函数图象向下平移个单位长度，若平移后的图象经过点，求的值． 20．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴与轴交于点，连接．求的面积． 6、 （本题满分12分） 21.近年来随着人们生活方式的改变，租车出行成为一种新选择，本溪某租车公司根据去年运营经验得出：每天租车的车辆数（辆）与每辆车每天的租金（元）满足关系式（，且为的整数倍），公司需要为每辆租出的车每天支出各种费用共元，设租车公司每天的利润为元． (1)求与的函数关系式．（利润租金支出） (2)公司在“十一黄金周”的前天每天都获得了最大利润，但是后天执行了物价局的新规定：每辆车每天的租金不超过元．请确定这天公司获得的总利润最多为多少元？ 七、（本题满分12分） 22.为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在A、B两种不同的场景下做对比实验，分别收集了试剂挥发过程中剩余质量（克）和（克）与时间x（分钟）（）的部分数据： （分钟） 0 5 10 15 20 （克） （克） 经研究发现，可以分别用函数刻画，与x之间的关系．场景A下试剂挥发过程中的剩余质量与时间x近似满足函数关系：，与x近似满足一次函数关系，图象如图所示． (1)写出表中m的值： ，并在给定的平面直角坐标系中画出场景A下试剂挥发过程中的剩余质量（克）与时间x（分钟）的函数图象； (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①在场景A下，剩余质量随时间减少的变化趋势是 ； A．匀速变化 B．先快后慢 C．先慢后快 ②查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克．在上述实验中，该化学试剂在场景 （填“A”或“B”）下发挥作用的时间更长； (3) 当时，两种场景下试剂挥发过程中剩余质量的差值达到最大时，此时对应的时间是第 分钟（结果保留小数点后一位）． 8、 （本题满分14分） 23.二次函数的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点和点． (1)试求a，b所满足的关系式； (2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当的面积为面积的倍时，求a的值； (3)是否存在实数a，使得为直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第26章二次函数单元测试卷(解析版) 1、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1．二次函数图象的对称轴是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【详解】解：二次函数的对称轴是直线.故选：A． 2．若抛物线的开口向下，顶点坐标为，则二次函数有（     ） A．最小值 B．最大值 C．最小值2 D．最大值2 【详解】解：∵抛物线的开口向下，顶点坐标为， ∴二次函数有最大值．故选：B 3．已知函数是二次函数，则m等于（     ） A． B．2 C． D． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，且， ∴且， ∴．故选：B 4．某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（     ） A． B． C． D． 【详解】解：， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为90， ∴这条鱼此次射出的水流的最大高度是．故选：C 5．将抛物线向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到的抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【详解】解：， ∴原抛物线顶点坐标为， ∵抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位， ∴平移后顶点的横坐标为，纵坐标为， 即平移后抛物线的顶点坐标为．故选：B 6．已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个同号不等实数根 D．有两个异号实数根 【详解】解：由函数图象可得：的图象与有两个交点，且交点的横坐标都在y轴右侧， ∴关于x的方程即有两个同号不等实数根.故选：C 7．设是抛物线上的三点，则（     ） A． B． C． D． 【详解】解：∵抛物线中，， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线． ∴到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，到对称轴的距离为， 又∵开口向下的抛物线，点到对称轴的距离越大，函数值越小， 且， ∴．故选：A 8．二次函数（，，是常数，）的图象与轴交于点，．则下列说法：①一元二次方程的根为，．②；③对于的每一个确定的值，若一元二次方程（为常数，）的根为整数，则的值只有两个；④若点，在该二次函数的图象上，则；正确的是（     ） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于，， ∴一元二次方程的根为，，故①错误； ∵抛物线与轴有两个不同交点， ∴，即，故②正确； ∵抛物线对称轴为直线，， ∴抛物线开口向上，当时，； ∵方程（）的根为整数， ∴根的取值范围为，其中整数为，，， 结合对称性，与对应函数值相等，对应一个值； 对应顶点函数值，对应另一个值，故的值只有两个，③正确； ∵点关于对称轴的对称点为，时，时随增大而增大， 又， ∴，即，故④正确．故选：B 9．二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … … t m 2 2 n … 当时，与其对应的函数值．有以下结论：①；②和3是关于x的方程的两个根；③；④，其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【详解】解：当时，， 当时，， ∴， ∴ ∴，①正确； ∵和的函数值相同， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵时，则时，， ∴和2是关于x的方程的两个根；故②错误； ∵， ∴， ∵时，， ∴， ∴， ∴，故③正确； 当时，，则， ∴， 当时，，则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，故④错误.故选：C 10．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若，是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①②④ 【详解】解：∵抛物线开口向下，∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴，即，∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的上方， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ∵抛物线经过，对称轴为直线， ∴抛物线经过， 即，故②正确，⑤不正确； ∵，且开口向下， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故③不正确，不符合题意； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，抛物线取得最大值， 当时，，且， ∴，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的结论是①②④．故选：D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．二次函数的图象与轴交点坐标是________． 【详解】解：∵ 二次函数图象与轴相交时，交点的横坐标为， ∴ 令，代入二次函数解析式， 得， ∴ 二次函数的图象与轴交点坐标是．故填 12．已知抛物线的顶点坐标为且经过坐标原点，则这个二次函数的表达式是______． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为 设二次函数的表达式为， 抛物线经过坐标原点， 将代入表达式得， 解得 ， ∴抛物线解析式为．故填 13．某食品加工厂专门生产爆米花，在生产过程中，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．为了提升产品品质、降低生产成本，技术人员研究发现，在特定生产条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足函数表达式，为了让爆米花的可食用率达到最高，最佳加工时间为_________分钟． 【详解】解：∵，且， ∴当时，y取得最大值， ∴最佳加工时间为3.75分钟．故填3.75 14.斜抛小球，小球触地后呈抛物线反弹，每次反弹后保持相同的抛物线形状（开口方向与开口大小前后一致），第一次反弹后的最大高度为，第二次反弹后的最大高度为．第二次反弹后，小球越过最高点落在垂直于地面的挡板处，且离地高度，若，．则第一次反弹抛物线图象与它的二次项系数的比值为_____________；_____________． 【详解】解：，， ，， 设第一次反弹后的抛物线解析式为， 抛物线过原点， ， 解得：，即； 每次反弹后保持相同的抛物线形状（开口方向与开口大小前后一致）， 两个抛物线的是相同的， 设二次反弹后的抛物线解析式为， ，， ， 抛物线过，两点， ， 解得：， ． 故填 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.已知抛物线过A（-1，12）、B（1，-4）两点. （1） 求此抛物线的函数解析式； （2） 将此函数解析式化为的形式． 【详解】（1）解：A（-1，12）、B（1，-4）两点坐标代入，得 解得： ∴此抛物线的函数解析式为： （3） 此函数解析式化为的形式为：. 16．二次函数（为常数）的图象与轴相交吗？如果相交，有几个交点？ 【详解】解：， ∵， ∴二次函数的图象与 x 轴相交，且有两个交点． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17．已知二次函数． … … … … (1)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象（先完成列表，并使每个数对均为整数，再描点，后连线）； (2)当时，结合图象写出的取值范围． 【详解】（1）解：列表， 0 1 2 3 4 2 2 描点，连线，函数图象，如下图： （2）解：由图象可得，当时，或． 18．一个运动员推铅球，铅球在点处出手，出手时铅球离地面的高度为米，铅球在点处落地．铅球在运动员前处（即）达到最高点，最高点离地面的高度为．已知铅球经过的路线是抛物线，按照如图所示建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)求该运动员推铅球的成绩． 【详解】（1）解：根据题意知，抛物线顶点坐标为， 可设该抛物线对应的函数表达式为， 将代入，得： ， 解得：． ∴函数表达式为； （2）解：当时，即， 解得，（舍去）． 答：该运动员推铅球的成绩为． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19．已知二次函数． (1)求函数图象的对称轴与顶点坐标． (2)将函数图象向下平移个单位长度，若平移后的图象经过点，求的值． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线， ∴顶点坐标为， 故答案为：对称轴直线为,顶点坐标为； （2）∵向下平移个单位长度， 则平移后函数为， 将代入函数， 得， 则， 故答案为：． 20．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴与轴交于点，连接．求的面积． 【详解】解：依题意， ∵二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， ∴令得， ∴， 解得， 观察图象得出， 令则， ∴， ∵二次函数 ∴对称轴为直线， 即， ∴， ∴的面积． 6、 （本题满分12分） 21.近年来随着人们生活方式的改变，租车出行成为一种新选择，本溪某租车公司根据去年运营经验得出：每天租车的车辆数（辆）与每辆车每天的租金（元）满足关系式（，且为的整数倍），公司需要为每辆租出的车每天支出各种费用共元，设租车公司每天的利润为元． (1)求与的函数关系式．（利润租金支出） (2)公司在“十一黄金周”的前天每天都获得了最大利润，但是后天执行了物价局的新规定：每辆车每天的租金不超过元．请确定这天公司获得的总利润最多为多少元？ 【详解】（1）解：根据题意得 （，且为的整数倍）； （2）解：， ， 前天：当时，取得最大值，最大值为， 当时，随着的增大而增大，后天每辆车每天的租金不超过元， 后天：当时，的最大值为， （元）． 答：这天公司获得的总利润最多为元． 七、（本题满分12分） 22.为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在A、B两种不同的场景下做对比实验，分别收集了试剂挥发过程中剩余质量（克）和（克）与时间x（分钟）（）的部分数据： （分钟） 0 5 10 15 20 （克） （克） 经研究发现，可以分别用函数刻画，与x之间的关系．场景A下试剂挥发过程中的剩余质量与时间x近似满足函数关系：，与x近似满足一次函数关系，图象如图所示． (1)写出表中m的值： ，并在给定的平面直角坐标系中画出场景A下试剂挥发过程中的剩余质量（克）与时间x（分钟）的函数图象； (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①在场景A下，剩余质量随时间减少的变化趋势是 ； A．匀速变化 B．先快后慢 C．先慢后快 ②查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克．在上述实验中，该化学试剂在场景 （填“A”或“B”）下发挥作用的时间更长； (3)当时，两种场景下试剂挥发过程中剩余质量的差值达到最大时，此时对应的时间是第 分钟（结果保留小数点后一位）． 【详解】（1）解：与近似满足一次函数关系，观察表格数据可知，时间每增加分钟时，剩余质量减少克， ； 则（克）与时间（分钟）的函数图象如图所示； （2）解：观察图象可知，在场景A下，剩余质量随时间减少的变化趋势是先慢后快； 由表格可知，当时，（克）；（克）； 而该化学试剂发挥作用的最低质量为克，故该化学试剂在场景A下发挥作用的时间更长． （3）解：将点和代入中得， ， 解得， ； 设与的函数关系式为， 将点和代入得， ， 解得， ， ， ， 抛物线开口向下， 当分钟时，取最大值，最大值为克， ∵结果保留小数点后一位 ∴ 即两种场景下试剂挥发过程中剩余质量的差值达到最大时，此时对应的时间是第分钟． 8、 （本题满分14分） 23.二次函数的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点和点． (1)试求a，b所满足的关系式； (2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当的面积为面积的倍时，求a的值； (3)是否存在实数a，使得为直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：将，代入，得， ∴． （2）解：由（1）可知， ∴顶点M的纵坐标为， ∵， ∴ ∴， 整理得， 解得， 由图象可知， ∵顶点M在第二象限， ∴对称轴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． (3)不存在实数a，使得为直角三角形． 理由如下： ①由图可知，A为直角顶点，不可能； ②若C为直角顶点，此时与原点O重合，由题意可知，也不可能； ③若B为直角顶点，则， 令，可得， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，整理得， 解得， 由（2）可知，， ∴，不合题意，舍去； 综上所述，不存在实数a，使得为直角三角形． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $