第15章 二次根式 回顾与反思-【绿卡初中创新题】2026-2027学年八年级上册数学同步教案(冀教版·新教材)

该初中数学教学设计聚焦二次根式的概念、性质、运算及最简二次根式，通过“知识结构”梳理从整式、分式到二次根式的代数式发展脉络，搭建知识支架帮助学生构建完整认知体系。 资料以专题复习（非负性、化简计算、求值）结合单元测试为特色，专题一通过例1利用二次根式非负性求xy值培养推理能力，专题二、三强化运算能力，测试卷含刹车距离等实际问题提升应用意识，助力学生巩固知识，教师有效检测教学效果。

第十五章 二次根式 回顾与反思 课题 回顾与反思 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P104—106 教学目标 1.加深对二次根式、最简二次根式的理解. 2.会利用二次根式的性质、运算法则进行化简计算. 能利用加、减、乘、除法法则对二次根式进行计算. 教学重难点 重点： 1.加深对二次根式、最简二次根式的理解. 2.会利用二次根式的性质、运算法则进行化简计算. 难点：能利用加、减、乘、除法法则对二次根式进行计算. 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1. 知识结构 （a≥0） 总结反思知识结构，培养学生善于归纳、总结的能力. 二.总结与反思 本章的内容，主要是学习被开方数为“数”的二次根式，因此，所学习的二次根式的有关概念以及加、减、乘、除运算，实质上是实数的算术平方根的有关概念和相关运算. 至此，从整式到分式，再到二次根式，我们对代数式的认识更加丰富了. 1.二次根式(a≥0)具有双重意义： (1)对非负数的开平方运算； (2)表示非负数的算术平方根. 2.二次根式的性质，都是根据非负数的算术平方根的意义推导出来的们分别是： （1）()2=a（a≥0）. （2）=a（a≥0). （3）当a≥0时,=a；当a〈0时,=—a. （4） 3.最简二次根式应满足的条件是： （1）被开方数的因数是整数,因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 4.二次根式的加减运算与整式的加减运算相类似，主要步骤是： （1）如果有括号,根据去括号法则去括号； （2）把不是最简二次根式的二次根式进行化简; （3）合并被开方数相同的最简二次根式. 5.二次根式的乘除运算法则是： ·（a≥0，b≥0). （2）(或)(a≥0，b＞0). 3. 专题复习 专题一　二次根式的非负性 【专题分析】 对于二次根式,有两个“非负”:第一个是a≥0,第二个是根据算术平方根的定义,可以知道≥0，这两个“非负”在解二次根式的有关问题时经常用到.二次根式的值为非负数，是一种常见的隐含条件.另外,绝对值、二次幂也有非负性，在题目中常常作为隐含条件,一定要引起充分的重视.解决这类问题经常会用到二元一次方程组. 【例1】设x，y均为实数,且y=，求xy的值. 解：由题意得x2—4≥0,4-x2≥0且x-2≠0, 解得x2=4且x≠2，所以x=-2, y==—500， 所以xy=(-2)×（—500)=1000. 专题二　二次根式的化简与计算 【专题分析】 在二次根式的混合运算中，熟练运用二次根式的乘除法法则，公式中a，b的取值范围往往是正确解题的关键，整式的乘法公式同样适用，运用乘法公式往往会使计算简便. 【例2】　计算. (1）-; (2）(7+4）（7-4）—（3—1)2. 解：(1）原式=-+2 =4—+2 =4+. （2）原式=49-48-（45—6+1) =1—46+6 =6—45. 专题三　二次根式的求值 【专题分析】 有理数中的法则、性质、运算律等在实数范围仍然适用,二次根式的运算的最后结果要化为最简二次根式.化简求值问题,一定要先化简,再代入求值，要注意观察题目的特点，不要盲目代入，而使计算变得复杂；另外，要注意乘法公式的变形应用及整体思想的运用. 【例3】已知x=，求代数式+x2·的值. 〔解析〕　原式利用单项式乘多项式法则计算后,把x的值代入计算即可. 解：原式=+x2=x2+x2=2x2, 当x=时,原式=2. 通过专题复习帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点. 四.本章节测试 单元测试卷 一、单选题 1．下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式中，x的取值范围是的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各组二次根式中，化成最简二次根式后，被开方数相同的一组是（    ） A．与B．与C．与 D．与 4．已知的值为5，那么x的值是（    ） A．5 B．25 C． D．5或 5．化简的结果是(   ) A． B． C． D． 6．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．在算式中，你估计哪一个因数值减小1导致乘积减小最大（    ） A． B． C． D． 8．下列各式中，与的积为有理数的是（    ） A． B． C． D． 9．计算的结果是（    ） A．1 B． C． D． 10．若直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，则斜边上的高为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．若代数式是二次根式，则的取值范围是 ． 12．化简：① ；      ② ． 13．当 时，二次根式取最小值，其最小值为 ． 14．若，则 ． 15．长方形相邻边长分别为，，则它的周长是 ，面积是 ． 16．规定，则的值是 ． 三、解答题 17．化简： （1）；      （2）；       （3）；      （4）． 18．计算： （1）；                   （2）； （3）；        （4）． 19．先将化简，然后选一个合适的x值代入化简后的式子求值． 20．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简写出一个满足条件的a值，并求出此时代数式的值. 21．交警通常根据刹车后轮滑行的距离来测算车辆行驶的速度，所用的经验公式是v= 16 ，其中v表示车速（单位：km/h），d表示刹车距离（单位：m），f表示摩擦系数，在一次交通事故中，测得d=20m，f=1.44，而发生交通事故的路段限速为80km/h，肇事汽车是否违规超速行驶？说明理由.（参考数据：≈1.4，≈2.2） 22．一个三角形的三边长、、 （1）求它的周长（要求结果化简） （2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值． 23．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使并且，则将变成开方，从而使得化简． 例如：化简． 解： ． 根据上述材料化简下列各式： （1）； （2）． 单元测试卷答案 1．A 2．C 3．C 4．D 5．C 6．B 7．A 8．D 9．C 10．C 11． 12． ①0.7 ② 13．6 0 14．3 15. 4 16． 17．解：（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 18．解：（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 19．解：原式 ， ∵， ∴，取， 原式． 20．解：由题意可知：a＜−2＜0＜b， 则原式＝， 当a＝−3时，原式＝5． 21．解：肇事汽车超速行驶．   理由如下： 把d=20，f=1.44代入v=16， v=16=16×2.4×≈38.4×2.2=84.48km/h＞80km/h， 所以肇事汽车超速行驶． 22．解：（1）周长 ． （2）当时，周长． 23．解：（1） ； （2）∵ ， ， ∴． 通过单元测试卷，进一步巩固本章所学内容，检测学习效果. 学科网（北京）股份有限公司 $