15.1 第1课时 二次根式及其化简-【绿卡初中创新题】2026-2027学年八年级上册数学同步教案(冀教版·新教材)

课题

二次根式及其化简

授课类型

新授课

授课人

教学内容

课本P90—92

教学目标

1.了解二次根式、最简二次根式的概念.

2.了解二次根式的非负性.

3.理解和掌握二次根式的简单性质，并能利用它们进行化简和计算.

教学重难点

重点：二次根式的概念与性质.

难点：二次根式基本性质的灵活应用.

教学准备

多媒体课件

教与学互动设计（教学过程）

设计意图

1.创设情景，导入新课

复习：

1. 什么叫平方根？什么叫算术平方根?

2.填空：

（1）的平方根是　　　　; 

（2）一个圆的面积为S,这个圆的半径是　　　　； 

（3）若正方形的面积为a—4,则边长为　　　　. 

学生思考并回答.

3.提问:你能发现它们有什么共同的特征吗？

学生观察，总结共同特征并表述意见.

唤起学生对于平方根和算术平方根的记忆，使学生认识到学习根式的必要性.通过观察、归纳,为后面学习二次根式的概念及其基本性质做好铺垫.

2.实践探究，学习新知

活动一：二次根式的概念

我们已经学习了数的开平方,并用（a≥0）表示非负数a的算术平方根.现在，我们首先来学习二次根式的定义.

【一起探究】　

1.（1)2，18,,的算术平方根是怎样表示的?

(2）非负数m，p+q，t2-1的算术平方根又是怎样表示的？

2.学校要修建一个占地面积为S m2的圆形喷水池,它的半径应为多少米？如果在这个圆形喷水池的外围增加一个占地面积为a m2的环形绿化带，那么所成大圆的半径应为多少米？

引导学生分析得出：

1.解:（1）,,,.　(2)，，.

2. 解：，.

引导学生概括二次根式的定义：在上面的问题中,我们得到了，,,,，，，，等式子，它们分别表示某个非负数的算术平方根.一般地,我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式.

【教师总结】　

（1)二次根式的被开方数a可能为整式，也可能为分式，因此要分清a所代表的式子类型.

（2)本身作分母时,要注意只能大于0，不能等于0.

(3）要注意，等，这时无论a取何值都有意义.

【活动】　

提问:+1是不是二次根式？呢?

让学生通过自己思考,得出表示这些数的一般形式,体会概念是由具体到抽象、由特殊到一般的过程形成的，进而给出二次根式的概念.

议一议:二次根式表示什么意义?

此算术平方根的被开方数是什么？被开方数必须满足什么条件的二次根式才有意义？

其中字母a要满足什么条件？为什么?

经学生讨论后,让学生回答,并让其他的学生点评.

最后教师归纳:一个非负数的算术平方根才是二次根式,如果无法判断被开方数是非负数,那么这个式子就不能说是二次根式.+1中的a可能为正，也可能为负，所以不能说这个式子是二次根式,中的a+1也可能为正，也可能为负,所以也不能说这个式子是二次根式.

【教师总结】

从形式上看,二次根式必须具备以下两个条件:

（1）必须有二次根号；

（2）被开方数不能小于0.

活动二:二次根式的简单性质

了解了二次根式的概念,实际上(a≥0）表示的就是我们以前学过的非负数a的算术平方根,下面我们来研究一下它有哪些简单性质.

【大家谈谈】　

小亮和小颖对二次根式“（a≥0）”分别有如下的观点.你认同小亮和小颖的观点吗?请举例说明.

小亮的观点:因为表示的是非负数a的算术平方根，所以根据算术平方根的意义，有≥0.

小颖的观点：因为表示的是非负数a的算术平方根,所以根据算术平方根和被开方数的意义,有（）2=a.

学生讨论举例后得出小亮和小颖的观点都正确.

【教师总结】

(1)（a≥0）是一个非负数，即具有双重非负性,一

通过探究促使学生独立思考、合作探讨，并最终获得结论，有利于帮助学生从被动地接受知识到主动地探索新知,满足学生的多样化学习需求,通过学生自己归纳总结,让学生经历二次根式概念的形成过程,符合学生的认知规律,避免了概念教学的机械记忆，同时提高学生的概括总结能力，培养了学生思维的严谨性.