15.1二次根式（第1课时二次根式的概念）（教学课件）数学新教材冀教版八年级上册

该初中数学课件聚焦二次根式的概念、有意义条件及性质，通过复习平方根和算术平方根，结合圆形喷水池半径等实际问题搭建学习支架，引导学生从旧知自然过渡到新知探索。 其特色是以“探究-归纳-应用”为主线，通过具体问题抽象出二次根式概念培养抽象能力，对比辨析性质表格培养推理意识，实际问题应用增强应用意识。帮助学生深化理解，助力教师高效教学。

15.1 二次根式 第1课时 二次根式的概念 第十五章 二次根式 冀教版2024 八年级上册 导入●新课 2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 1.什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 正数的正的平方根叫做它的算术平方根. 一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根. 0的算术平方根是0. a的平方根是 . 用　 (a≥0)表示. 1 2 3 理解二次根式的概念.（重点） 理解， ，（)的意义.（难点） 理解和掌握二次根式的性质，并能利用它们进行化简或计算.（难点） 学习●目标 新知●探究 一起探究 1.(1)2，18，，的算术平方根是怎样表示的? (2)非负数m，p+q，t2-1的算术平方根又是怎样表示的? 2.学校要修建一个占地面积为Sm2的圆形喷水池，它的半径应为多少米?如果在这个圆形喷水池的外围增加一个占地面积为am2的环形绿化带，那么所成大圆的半径应为多少米? 观察这些式子，思考：它们在表达形式上有什么共同特征？. ① 都含有""，根指数都为 2; ② 被开方数为非负数. 新知●探究 总结归纳 二次根式的概念： 形如的式子叫作二次根式， 根号下的数叫作被开方数. 判断二次根式，抓住二次根式两个必备特征： 注意：可以是数，也可以是式. 二次根式满足什么条件时有意义？ 注意：由于在实数范围内，负实数没有平方根，因此只有当被开方数是非负实数(a≥0)时，二次根式才在实数范围内有意义． ①外貌特征：含有""; ②内在特征：被开方数a≥0. 新知●探究 大家谈谈 1.小亮和小颖对二次根式“()”分别有如下的观点.你认同小亮和小颖的观点吗? 请举例说明. 小亮的观点 　　因为　 表示的是非负数a的算术平方根，所以，根据算术平方根的意义，有　 　≥0. 小颖的观点 　因为表示的是非负数a的算术平方根，所以，根据算术平方根和被开方数的关系，有 二次根式具有双重非负性 任何一个非负数算术平方根的平方都等于这个数 新知●探究 大家谈谈 2.填空： (1) , (2) , (3) , (4) . 思考： 1.(1)与(3)、(2)与(4)这两组题的被开方数下乘方的底数有什么联系？ 2.每组题的结果与它们的被开方数下乘方的底数有什么关系？ 2 2 1.2 1.2 互为相反数 底数的绝对值 =∣∣ 通过计算，你能得到什么结论？。 新知●探究 总结归纳 与( ) 2( a ≥ 0) 的异同点 表达式 ( ) 2 不同点 取值范围 a 为全体实数 a ≥ 0 运算顺序 先平方后开方 先开方后平方 运算结果 =|a|= ( ) 2=a(a ≥ 0) 相同点 与( ) 2均为非负数，当 a ≥ 0 时， = ( ) 2 平方在外面，直接去根号；平方在里面，得到绝对值，分类来讨论 新知●探究 做一做 化简： (1); (2); (3); (4)、. 解：（1） （2） （3） (4)、 典例●精析 例1 化简 基础巩固题 新知●应用 1.下列各式一定是二次根式的是（ ） C 被开方数为负数 被开方数不确定为非负数 含二次根号且被开方数为非负数 被开方数为非负数但含三次根号 方法技巧 判断二次根式，抓住二次根式两个必备特征： ①外貌特征： 含有""; ②内在特征： 被开方数a≥0. 2.给出下列式子：① ；② ； ③ ；④ ；⑤ ； ⑥ . 其中一定是二次根式的是_______ .(填序号) ①③⑤ 基础巩固题 新知●应用 3.如图， 在数轴上所表示的 x 的取值范围中，有意义的二次根式是(     ) A. B. C. D. B 方法技巧 注意：由于在实数范围内，负实数没有平方根，因此只有当被开方数a≥0时，二次根式才在实数范围内有意义． 基础巩固题 新知●应用 4.下列结论正确的是(　　) A． B．　 C.　 D．　 A B 5.若 　　　 ＝1－2a，则(　　) A．a＞ B．a≤ C．a＞ D．a≥ 基础巩固题 新知●应用 6. 若 　　　　 　　　　　则x－y的值为(　　) A．1 B．－1 C．7 D．－7 解析：因为　　　　　和（y+3）2都是非负数，它们的和为0，所以 所以 x＋y－1＝0，y＋3＝0，解得x＝4，y＝－3，所以x－y＝7.故选C． C 两个非负数的和为0时，这两个非负数都为0． 基础巩固题 新知●应用 7.若实数 x， y 满足 y=+ － 1， 则x － y 的值是(     ) A． 1 B． － 6 C． 4 D． 6 D 二次根式具有双重非负性 基础巩固题 新知●应用 8.化简： (1); (2); (3); (4)、. 解：（1） （2） （3） (4)、 新知●应用 能力提升题 9.当 x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义？ (1) +( x+5) 0； (2) － ； (3) ； (4) . 解：(1)欲使 +( x+5) 0有意义， 则必有∴ x ≤ － 3 且 x ≠ － 5. 新知●应用 能力提升题 (2)欲使 －有意义， 则必有∴ 2 ≤ x ≤ 5. (3)欲使有意义， 则必有，∴ x> － . (4)欲使 有意义， 则必有 ∴ x ≥ － 4 且 x ≠ 2 . 求使代数式有意义的字母取值范围的类型 ①二次根式型：被开方数≥0 ②含分母型：分母≠0 ③0指数幂型：a中a≠0 ④复合型：应取各个部分字母取值范围的公共部分． 新知●应用 能力提升题 10.在实数范围内分解因式： (1) x4－9 (2) x3－2x (3) 4x4－4x2+1. 新知●应用 能力提升题 11.化简： 解： 课堂●小结 二次根式 即a≥0, ≥0 二次根式的“双重”非负性 概念 二次根式 我们把形如　 (a≥0)的式子叫做二次根式 a (a≥0) -a (a＜0) 解：原式＝(x2＋3)(x2－3)＝(x2＋3)(x＋)(x－)．　 原式＝x(x2－2)＝x(x＋)(x－)． 原式＝(2x2－1)2 ＝[(x)2－12]2 ＝[(x＋1)(x－1)]2 ＝(x＋1)2(x－1)2. $$