山西太原市山西大学附属中学校2026年高一数学暑假作业综合练习

**基本信息** 聚焦高一数学核心知识整合，以题载知，渗透数学眼光、思维与语言，强化知识逻辑与应用能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数与应用|单选4,6,填空12,解答18|含奇偶性、零点、实际建模（震级/利润）|从函数概念到性质推导，再到现实问题模型构建| |三角函数|单选1,7,解答15,16,19|涉及求值、图像（五点法）、最值与平移|三角公式推导→图像变换→性质应用的逻辑链| |立体几何|单选8,填空14,解答17|含体积最值、内切/外接球、面面平行证明|空间观念建立→位置关系判定→度量计算的递进| |向量与不等式|单选2,多选9,填空13|向量夹角、不等式性质判断|向量运算定义→数量积应用，不等式性质推导→命题判断|

山大附中高一暑假作业综合练习 一、单选题 1．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式化简可得结果. 【详解】. 故选：A. 2．已知向量，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平方结合数量积的定义可求. 【详解】因为，所以，即． 设与的夹角为，则，解得， 所以与的夹角为． 故选：D. 3．若函数的图象经过点，则（　　） A． B．3 C．9 D．8 【答案】B 【分析】将代入函数解析式，即可求出，即可得解函数解析式，再代入求值即可. 【详解】解：由题意知，所以，即， 所以，所以，所以. 故选：B 4．20世纪30年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测振仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测振仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级，其计算公式为，其中是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅，1976年河北唐山发生的地震为里氏7.8级，2020年重庆万州区发生的地震为里氏3.2级，若河北唐山地震与重庆万州区地震的最大振幅分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列出方程组，求得，结合对数的运算性质，即可求解. 【详解】由1976年河北唐山发生的地震为里氏级，2020年重庆万州区发生的地震为里氏级， 可得，两式相减，可得， 即，可得，所以. 故选：D. 5．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助中间值比较大小. 由得到，由得到，由得到，从而得到. 【详解】，， ，， ，，. 故选：A. 6．已知偶函数定义域为，且，当时，，则函数在区间上所有零点的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】函数在区间上的零点的集合等于函数和函数在区间内的交点横坐标的集合，分析函数的图象特征，作出两函数的图象，观察图象可得结论. 【详解】因为函数，的零点的集合与方程在区间上的解集相等， 又方程可化为， 所以函数，的零点的集合与函数和函数在区间内的交点横坐标的集合相等， 因为函数为定义域为的偶函数， 所以，函数的图象关于轴对称， 因为， 取可得，， 所以函数为偶函数， 所以函数的图象关于对称， 又当时，， 作出函数，的区间上的图象如下： 观察图象可得函数，的图象在区间上有个交点， 将这个交点的横坐标按从小到大依次记为， 则，，，， 所以函数在区间上所有零点的和为. 故选：A. 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式化简再结合所给条件求解出代数式值即可. 【详解】， 再由，可知， 即，则. 故选：D. 8．如图，正方体的棱长为，点在正方形的边界及其内部运动，且满足，则四面体的体积的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，推导出，可求出的取值范围，则点的轨迹是平面内以点为圆心，圆心角为，且半径为的圆弧及其内部，计算出点到距离的最小值，可求出面积的最小值，结合锥体的体积公式可求得结果. 【详解】连接，因为平面，平面，所以， 所以，， 所以，点的轨迹是平面内以点为圆心，圆心角为，且半径为的圆弧及其内部， 连接交于点，因为四边形为正方形，所以为的中点，且， 因为正方形的边长为，则，所以， 设点到的距离为，则， 所以，面积的最小值为， 故， 即三棱锥体积的最小值为. 故选：C. 二、多选题 9．设，，，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】举例判断A，利用不等式的性质判断BC；作差判断D. 【详解】，但，A错. ，B对. ，则，C对. ，无法判断的符号，从而无法判断二者大小关系，D错. 故选：BC. 10．函数的图象与直线(t为常数且)的交点个数可能为(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】ACD 【分析】利用诱导公式化简，作出化简后的函数在指定区间上的图象，观察动直线y=t(t>0)与图象关系得解. 【详解】原函数化为：，其图象如图： 观察图象得：0<t<1时，有3个交点；t=1时，有2个交点；t>1时，没有交点，选项ACD满足. 故选：ACD 11．下列四个结论中，正确的结论是（   ） A．与表示同一个函数． B．“”的充分不必要条件是“”． C．已知，则的取值范围的取值范围是． D．函数的值域为． 【答案】AC 【分析】根据函数定义域及解析式判断A,应用充分不必要定义判断B,应用不等式的性质计算判断C,换元法计算二次函数值域判断D. 【详解】对于A，的定义域为，与的定义域为相同， 而，解析式相同，故表示同一个函数，故A正确； 对于B，满足的数不一定满足，满足的数一定满足， 故B不符合题意. 对于C：因为，，又，则，所以 ，所以，所以的取值范围的取值范围是，故C正确； 对于D，令，则，因为，， 所以，即函数的值域为，故D错误； 故选：AC. 三、填空题 12．已知，则___________. 【答案】 【分析】利用已知等式可求得，由两角差的正切公式可求得结果. 【详解】由得：，， . 故答案为：. 13．已知，且，则________． 【答案】 【分析】根据同角三角函数的基本关系求出，再由诱导公式化简即可求解. 【详解】，且, , . 故答案为： 14．已知正三棱锥的底面边长为1，点到底面的距离为，则该三棱锥的内切球半径为__________，该三棱锥外接球半径为__________． 【答案】 【分析】设是棱锥的高，则是的中心，是中点，易得几何体的体积，进而结合等体积法求得内切球的半径，利用直角三角形求解外接球的半径. 【详解】如图， 是棱锥的高，则是的中心，是中点， ，， ，，． ， 所以， 设内切球半径为，则，； 易知外接球球心在高上，球心为，设外接球半径为， 则在中，，即， 解得. 故答案为：；． 四、解答题 15．求值 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根式与指数式的互化将根式化为同底的指数式，再结合对数运算性质和指数幂性质即可计算得解. （2）根据对数性质、运算法则和换底公式即可计算求解. 【详解】（1）原式. （2）原式 . 16．用“五点法”作出下列函数的简图． (1)； (2)． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）分别取的值为，列表、描点、连线，可得出函数的图象； （2）分别取的值为，列表、描点、连线，可得出函数的图象； 【详解】（1）①取值列表如下： x 0 π 2π sinx 0 1 0 －1 0 1－sinx 1 0 1 2 1 ②描点连线，如图所示.    （2）①取值列表如下： x 0 π 2π cosx 1 0 －1 0 1 －1＋cosx 0 －1 －2 －1 0 ②描点连线，如图所示．    17．（1）叙述两个平面平行的判定定理，并证明; （2）如图，正方体中，分别为的中点，求证:平面平面. 【答案】（1）见解析； （2）见解析. 【分析】（1）写出面面平行的判定定理，然后用反证法证明即可； （2）根据为正方体，，为，中点得到，，然后利用面面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）面面平行的判定定理：如果一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行，即，，，，， 证明：假设， ∵，，， ∴，同理可得，， ∴，与矛盾，所以不成立， 所以. （2） 取中点，连接，，， ∵为正方体，，为，中点， ∴，，，， ∴四边形，为平行四边形，，， ∵平面，平面，平面，平面， ∴∥平面，∥平面， ∵平面，平面，， ∴平面∥平面. 18．某饮料公司推出了一种时尚运动功能饮料，一上市就受到年轻人的喜爱，该公司统计了该饮料一年中每个月份的盈利情况，得到月利润万元与销售月份之间的关系为. (1)求一年中最高月利润及对应的月份； (2)求该饮料月利润超过3万元的月份. 【答案】(1)第8个月的月利润最大，为7万元 (2)第6，7，8，9，10月. 【分析】（1）对分段函数进行分段考虑，运用换元法和配方法分别求出的最大值，最后综合比较即得； （2）根据（1）的结果判断超过3万元的月份只可能在后面的7个月中，通过解不等式求得，取整即得. 【详解】（1）当时，令，则，且， 则， 因，故时，即时，取得最大值3；            当时， 因，故时，取得最大值7. 综上，第8个月的月利润最大，为7万元. （2）由（1）可知前5个月中，最大月利润为第3个月的3万元， 故超过3万元的月份只可能在后面的7个月里， 即，由可得，， 解得. 又，所以， 故月利润超过3万元的月份有第6，7，8，9，10月. 19．已知函数 (1)求函数的最大值及取得最大值时的取值集合； (2)若将函数的图像向右平移个单位所得函数图像为偶函数图像，求的最小正值． 【答案】(1)最大值为 (2) 【分析】（1）利用三角函数恒等变换得到，得到函数的最大值及对应的； （2）写出平移后的解析式，根据奇偶性得到方程，求出，进而求出最小正值. 【详解】（1）函数 ， 所以函数的最大值为1，令，， 解得：， 故取得最大值时的取值集合为：； （2）函数的图像向右平移个单位，得到， ∵为偶函数， ，即， 当时，取得最小正值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山大附中高一暑假作业综合练习 一、单选题 1．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．若函数的图象经过点，则（　　） A． B．3 C．9 D．8 4．20世纪30年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测振仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测振仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级，其计算公式为，其中是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅，1976年河北唐山发生的地震为里氏7.8级，2020年重庆万州区发生的地震为里氏3.2级，若河北唐山地震与重庆万州区地震的最大振幅分别为，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 6．已知偶函数定义域为，且，当时，，则函数在区间上所有零点的和为（   ） A． B． C． D． 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，正方体的棱长为，点在正方形的边界及其内部运动，且满足，则四面体的体积的最小值是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．设，，，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．函数的图象与直线(t为常数且)的交点个数可能为(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 11．下列四个结论中，正确的结论是（   ） A．与表示同一个函数． B．“”的充分不必要条件是“”． C．已知，则的取值范围的取值范围是． D．函数的值域为． 三、填空题 12．已知，则___________. 13．已知，且，则________． 14．已知正三棱锥的底面边长为1，点到底面的距离为，则该三棱锥的内切球半径为__________，该三棱锥外接球半径为__________． 四、解答题 15．求值 (1) (2) 16．用“五点法”作出下列函数的简图． (1)； (2)． 17．（1）叙述两个平面平行的判定定理，并证明; （2）如图，正方体中，分别为的中点，求证:平面平面. 18．某饮料公司推出了一种时尚运动功能饮料，一上市就受到年轻人的喜爱，该公司统计了该饮料一年中每个月份的盈利情况，得到月利润万元与销售月份之间的关系为. (1)求一年中最高月利润及对应的月份； (2)求该饮料月利润超过3万元的月份. 19．已知函数 (1)求函数的最大值及取得最大值时的取值集合； (2)若将函数的图像向右平移个单位所得函数图像为偶函数图像，求的最小正值． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $