山西太原市山西大学附属中学校2026年高一数学暑假作业检测（一）

**基本信息** 高一数学暑假检测卷，以复数、立体几何、概率统计等核心知识为载体，通过明矾晶体结构（正八面体）、欧拉线定理等情境设计，融合数学眼光观察现实世界与数学思维逻辑推理，实现基础巩固与能力提升的统一。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数共轭、线面关系、直观图面积|第3题结合二面角考查异面直线成角，体现空间观念| |多选|3/18|复数运算、欧拉线定理、正四面体|第10题以欧拉定理为背景，培养数学抽象能力| |填空|3/15|分位数计算、选科概率、解三角形最值|第13题关联高考选科模式，强化数据意识| |解答|5/77|向量表示与垂直、围棋比赛概率、三棱柱证明|16题通过比赛积分模型考查逻辑推理，19题结合三棱柱证明与二面角计算，发展几何直观|

山大附中高一数学暑假检测（一） 一、选择题：本小题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数（为虚数单位）的共轭复数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】化简可得，的共轭复数，故选：B． 2．设直线是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中一定正确的是（ ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，， ，则 D．若，，则 【答案】C 【详解】 对于A：如图，指正方体的前后面，满足，，，但， 故选项A不正确； 对于B：如图：指正方体的下底面，指正方体的上面，此时满足，，，但，故选项B不正确； 对于C：由，可得，又因为，所以，故选项C正确； 对于D：如图：指正方体的下底面，指正方体的右面，此时满足若，，但，故选项D不正确；故选：C. 3．如图，已知等边与等边所在平面成锐二面角，分别为，中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连接，，等边与等边所在平面成锐二面角，可得， 设等边与等边的边长为，则， 即为等边三角形， 所以， 因为E，F分别为，中点， 所以，异面直线与所成角即为所成的角， 在中，.故选：C 4．如图为水平放置的的直观图，则原三角形的面积为（ ） A．3 B． C．6 D．12 【答案】C 【详解】根据直观图的画法，可以得到直角坐标系下，如图所示： 故原三角形面积为： 故选：C 5．甲、乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，记事件A为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，事件B为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，事件C为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，则（　　） A．事件A、B是相互独立事件 B．事件B、C是互斥事件 C．P（A）+P（B）＝P（C） D．P（ABC）＝ 【答案】A 【详解】甲、乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，基本事件总数n＝6×6＝36，记事件A为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，则事件A包含的基本事件有18个，分别为：（1，2），（1，4），（1，6），（2，1），（2，3），（2，5），（3，2），（3，4），（3，6），（4，1），（4，3），（4，5），（5，2），（5，4），（5，6），（6，1），（6，3），（6，5）， ∴P（A）＝＝， 事件B为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，则事件B包含的基本事件有18个，分别为： （1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（3，1），（3，2），（3，3）， （3，4），（3，5），（3，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6）， ∴P（B）＝＝， 事件C为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，则事件C包含的基本事件有18个，分别为： （1，2），（2，2），（3，2），（4，2），（5，2），（6，2），（1，4），（2，4），（3，4）， （4，4），（5，4），（6，4），（1，6），（2，6），（3，6），（4，6），（5，6），（6，6）， ∴P（C）＝＝， 事件AB包含的基本事件有9个，分别为： （1，2），（1，4），（1，6），（3，2），（3，4），（3，6），（5，2），（5，4），（5，6）， P（AB）＝， ∵P（AB）＝P（A）P（B），∴事件A、B是相互独立事件，故A正确； 事件B与C能同时发生，故事件B与C不是互斥事件，故B错误； P（A）＝P（B）＝P（C）＝； ABC包包含的基本事件有9个，分别为： （1，2），（1，4），（1，6），（3，2），（3，4），（3，6），（5，2），（5，4），（5，6）， ∴P（ABC）＝＝．故D错误． 故选：A． 6．在中，已知，则的形状为（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【详解】因为 或，即或 故为等腰或直角三角形，故选： 7．甲，乙，丙三名运动员在某次测试中各射击20次，三人测试成绩的频率分布条形图分别如图1，图2和图3，若，，分别表示他们测试成绩的标准差，则（ ） A． B． C． D． 【详解】甲的平均成绩为, 其方差为 乙的平均成绩为, 其方差为 丙的平均成绩为，其方差为 . 所以，故选 D. 8. 十二水硫酸铝钾是一种无机物，又称明矾，是一种含有结晶水的硫酸钾和硫酸铝的复盐。我们连接一个正方体各个面的中心，可以得到明矾晶体的结构，即为一个正八面体如图。假设该正八面体的所有棱长均为，则二面角的余弦为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【详解】如图，连接，交于点，连接，易知过点，取的中点，连接，，根据正八面体的几何特征，可知，，又  平面，  平面，平面  平面，为二面角的平面角易知平面，则，是直角三角形，又  ，，  ，  在等边三角形中，    ，同理  ． 在中， ，故选C． 二、选择题：本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知复数，，下列结论正确的有（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，，则为纯虚数 【答案】AD 【详解】对于A，设，对应的向量分别为，，则由向量三角不等式得， 所以恒成立，故A正确； 对于B，取，，但，，故B错误； 对于C，当，时，，而，故C错误； 对于D，，故D正确； 故选：AD. 10.著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半此直线称为欧拉线该定理称为欧拉线定理已知的外心为，重心为，垂心为，且，，以下结论正确的是(    ) A. B. C. D. 若，则 【答案】ACD  【详解】由点是的重心，可得， 所以，故A项正确； 过的外心分别作、的垂线，垂足为、，如图， 易知点、分别是、的中点， 则 ，故B项错误； 因为点是的重心，所以， 故 ， 由欧拉线定理可得，则，故C项正确； 对选项，作于，则为中点， ，，， 由余弦定理可得，则， 设外接圆半径为，则，即， 则， 则，故D项正确． 11.如图，正四面体的棱长为，，分别是棱，上的点，且，，则(    ) A. 不存在 ，使得平面 B. 直线 与直线 异面 C. 不存在 ，使得平面平面 D. 三棱锥体积的最大值为 【答案】BC  【详解】当  时， ， 分别是棱 ， 的中点，此时  ， 因为  平面 ，  平面 ，所以  平面 ，故A错误． 因为直线 与平面 交于点 ，  平面 ，且不经过点 ，所以直线 与直线 异面，故B正确． 设 为  的中心，连接 ，因为经过点 有且只有一条直线 垂直于平面 ，所以经过点 且垂直于平面 的平面一定经过直线 ， 即当且仅当 ， ， 三点共线时，平面  平面 ， 因为  ，  ， 所以  ，  ，设 的中点为 ，连接 ， 则  ，因为 ， ， 三点共线， 所以  ，整理得  ，因为  ，所以此方程无解， 所以不存在  ，使得平面  平面 ，故C正确． 易知  ， 在  中 ，  ， 所以  的面积  ， 当且仅当  时等号成立， 所以三棱锥  体积的最大值为  ．故D错误． 故选： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．现统计出甲、乙两人在8次测验中的数学成绩如下（其中乙的一个成绩被污损）： 甲：86，79，82，91，83，89，94，89 乙：90，92，，80，84，95，94，90 已知乙成绩的平均数恰好等于甲成绩的60%分位数，则乙成绩的平均数为________，的值为________. 【答案】89 87 【详解】甲同学的成绩从小到大为： 因为，所以甲成绩的60%分位数为，即乙成绩的平均数为 因为，所以 故答案为：； 13．我省高考从2025年开始实行3+1+2模式，“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科，今年某校高一的学生甲和乙正准备进行选科，假如他们首选科目都是历史，再选科目他们选择每个科目的可能性均等，且他俩的选择互不影响，则他们的选科至少有一科不相同的概率为_______. 【答案】 【详解】每人从化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科的选法共有： {化学，生物}，{化学，政治}，{化学，地理}，{生物，政治}，{生物，地理}，{政治，地理} 共6种选法.由于两人选科互不影响，所以两人选科的种类共有种，其中两人的选科完全相同的选法有6种，所以的选科至少有一科不相同的概率为. 14. 在中，角的对边分别为,，则的最小值为_______． 【详解】由题意可知，， 化简得，所以． 根据正弦定理：，可得①． ，由①可得， 所以， 当时，等号成立．所以的最小值为． 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G分别在边AB，AD，BC上，且满足AE＝AB，AF＝AD，BG＝BC，设，. （1）用，表示，； （2）若EF⊥EG，，求角A的值. 【详解】（1）由平面向量的线性运算可知， .   （2）由题意，因为EF⊥EG，所以 ，解得， 所以， 则可化简上式为，解得，又，故. 16．甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为，负的概率为，且每局比赛之间的胜负相互独立． (1)求第三局结束时乙获胜的概率； (2)求甲获胜的概率． 【详解】（1）设事件A为“第三局结束乙获胜” 由题意知，乙每局获胜的概率为，不获胜的概率为．            若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．   故 （2）设事件B为“甲获胜”． 若第二局结束甲获胜，则甲两局连胜，此时的概率．    若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．     此时的概率．             若第四局结束甲得两分获胜，则甲第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共有9种情况：（胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜），（胜，负，平，胜），（平，胜，负，胜），（负，胜，平，胜），（平，负，胜，胜），（负，平，胜，胜）．            此时的概率           若第四局结束甲以积分获胜，则乙的积分为0分，总共有4种情况：（胜，平，平，平），（平，胜，平，平），（平，平，胜，平），（平，平，平，胜）．           此时的概率             故 17.某心理教育测评研究院为了解某市市民的心理健康状况，随机抽取了位市民进行心理健康问卷调查，将所得评分百分制按研究院制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图．已知调查评分在中的市民有人． 心理测评评价标准 调查评分 心理等级 1求的值及频率分布直方图中的值； 2在抽取的心理等级为的市民中，按照调查评分的分组，分为层，通过分层随机抽样抽取人进行心理疏导．据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在的市民的心理等级转为的概率为，调查评分在的市民的心理等级转为的概率为，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为的概率； 3该心理教育测评研究院建议该市管理部门设定预案：若市民心理健康指数的平均值不低于，则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据调查数据，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由．每组的每个数据用该组区间的中点值代替，心理健康指数调查评分 【详解】1由已知条件可得， 又因为每组的小矩形的面积之和为． 所以，解得； 2由Ⅰ知：，所以调查评分在中的人数是调查评分在中人数的， 若按分层抽样抽取人，则调查评分在中有人，在中有人， 设事件“在抽取的人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为”． 因为经心理疏导后的等级转化情况相互独立，所以， 所以， 故经心理疏导后至少有一人的心理等级转为的概率为； 3由频率分布直方图可得， ． 估计市民心理健康调查评分的平均值为， 所以市民心理健康指数平均值为． 所以只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动．  18．在中，角的对边分别为，满足． （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，，求周长的取值范围． 【详解】（1）因为， 所以，即， 所以，整理可得， 所以可得， 因为，可得，，所以，可得． （2）由正弦定理，且，， 所以，； 所以． 因为为锐角三角形，所以得，解得． 所以，；即周长的取值范围是，． 19.如图，在三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，为的中点．点在底面的射影恰好是边的中点． 求证平面 求二面角的余弦值． 【详解】证明：为正边的中点，． 又，， 而点在底面的射影恰好是边的中点． 即平面，连，而平面，， 又底面是边长为的等边三角形，则， 而，平面， 而平面，， 连，则四边形为平行四边形，， ，而，，平面， 平面 在正中，，，由知， ，，，． 过点作于，为垂足连，则， 则为二面角的平面角． 在等腰中，，，， ， ，故二面角的余弦值为  学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 山大附中高一数学暑假检测（一） 一、选择题：本小题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数（为虚数单位）的共轭复数是（ ） A． B． C． D． 2．设直线是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中一定正确的是（ ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，， ，则 D．若，，则 3．如图，已知等边与等边所在平面成锐二面角，分别为，中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 4．如图为水平放置的的直观图，则原三角形的面积为（ ） A．3 B． C．6 D．12 5．甲、乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，记事件A为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，事件B为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，事件C为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，则（　　） A．事件A、B是相互独立事件 B．事件B、C是互斥事件 C．P（A）+P（B）＝P（C） D．P（ABC）＝ 6．在中，已知，则的形状为（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形 7．甲，乙，丙三名运动员在某次测试中各射击20次，三人测试成绩的频率分布条形图分别如图1，图2和图3，若，，分别表示他们测试成绩的标准差，则（ ） A． B． C． D． 8. 十二水硫酸铝钾是一种无机物，又称明矾，是一种含有结晶水的硫酸钾和硫酸铝的复盐.我们连接一个正方体各个面的中心，可以得到明矾晶体的结构，即为一个正八面体如图.假设该正八面体的所有棱长均为，则二面角的余弦为(  ) A. B. C. D. 二、选择题：本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知复数，，下列结论正确的有（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，，则为纯虚数 10.著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半此直线称为欧拉线该定理称为欧拉线定理已知的外心为，重心为，垂心为，且，，以下结论正确的是(  ) A. B. C. D. 若，则 11.如图，正四面体的棱长为，，分别是棱，上的点，且，，则(  ) A. 不存在，使得平面 B. 直线与直线异面 C. 不存在，使得平面平面 D. 三棱锥体积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．现统计出甲、乙两人在8次测验中的数学成绩如下（其中乙的一个成绩被污损）： 甲：86，79，82，91，83，89，94，89 乙：90，92，，80，84，95，94，90 已知乙成绩的平均数恰好等于甲成绩的60%分位数，则乙成绩的平均数为________，的值为________. 13．我省高考从2025年开始实行3+1+2模式，“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科，今年某校高一的学生甲和乙正准备进行选科，假如他们首选科目都是历史，再选科目他们选择每个科目的可能性均等，且他俩的选择互不影响，则他们的选科至少有一科不相同的概率为_______. 14. 在中，角的对边分别为,，则的最小值为_______． 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G分别在边AB，AD，BC上，且满足AE＝AB，AF＝AD，BG＝BC，设，. （1）用，表示，； （2）若EF⊥EG，，求角A的值. 16．甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为，负的概率为，且每局比赛之间的胜负相互独立． (1)求第三局结束时乙获胜的概率； (2)求甲获胜的概率． 17.某心理教育测评研究院为了解某市市民的心理健康状况，随机抽取了位市民进行心理健康问卷调查，将所得评分百分制按研究院制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图．已知调查评分在中的市民有人． 心理测评评价标准 调查评分 心理等级 1求的值及频率分布直方图中的值； 2在抽取的心理等级为的市民中，按照调查评分的分组，分为层，通过分层随机抽样抽取人进行心理疏导．据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在的市民的心理等级转为的概率为，调查评分在的市民的心理等级转为的概率为，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为的概率； 3该心理教育测评研究院建议该市管理部门设定预案：若市民心理健康指数的平均值不低于，则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据调查数据，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由．每组的每个数据用该组区间的中点值代替，心理健康指数调查评分 18．在中，角的对边分别为，满足． （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，，求周长的取值范围． 19.如图，在三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，为的中点． 点在底面的射影恰好是边的中点． 求证平面 求二面角的余弦值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $