第二单元 第 2 课时 运算律在分数中的推广（讲义）2026-2027学年六年级上册数学（苏教版）

本讲义聚焦“运算律在分数中的推广”核心知识点，承接整数运算律与分数四则混合运算顺序，系统梳理加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律（正向、逆向、拓展）及减法与除法性质的分数应用，构建“旧知迁移—算理建构—方法应用”的学习支架，为后续复杂分数运算筑牢基础。 该资料以核心素养为导向，通过新知脉络梳理、解题方法图谱及易错预警，结合长方形面积模型（模型思想）直观理解乘法分配律，借助迁移类比思想（整数到分数）培养推理意识，分层练习与数学活动拓展助力课中教学实施，课后可帮助学生查漏补缺，提升运算能力与简算意识。

第 2 课时 运算律在分数中的推广 第一部分 课时核心素养与新知建构 1 一、新知脉络全景梳理 1 二、核心解题方法图谱记忆 2 三、课时数学思想与素养提升 2 第二部分 核心考点深度解构与解题策略精讲 3 考点一：加法运算律在分数中的应用（基础必考） 3 考点二：乘法交换律与结合律的应用（基础必考） 4 考点三：乘法分配律的正向应用（核心必考） 5 考点四：乘法分配律的逆向应用（核心必考） 6 考点五：乘法分配律的拓展变形（提升层级） 7 第三部分 高频易错预警与避坑指南 8 易错点 1：乘法分配律漏乘括号内的项 8 易错点 2：混淆乘法结合律与分配律 8 易错点 3：提取公因数时，剩余项漏加括号、符号错误 8 易错点 4：除法误用分配律（除数不能拆分） 8 第四部分 分层能力进阶与课时达标精练 10 一、基础夯实达标练（6 题） 10 二、能力拓展提升练（4 题） 11 三、思维拓展培优练（2 题） 12 ▶ 数学活动拓展 13 第五部分 习题精准解析与知识点睛 14 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 课时核心素养与新知建构 一、新知脉络全景梳理 本课时是苏教版 2024 版六年级上册第二单元《混合运算与数量关系（三）》的运算核心课，承接整数运算律与分数四则混合运算顺序的知识基础，核心完成 “整数运算律向分数运算的迁移推广”，是分数简便运算的核心支柱，也是提升分数运算效率与准确率的关键内容。本课时严格对标《义务教育数学课程标准（2022 年版）》运算能力与推理意识培养要求，核心掌握加法交换律与结合律的分数应用、乘法交换律与结合律的分数应用、乘法分配律的正向应用、乘法分配律的逆向提取、运算律的拓展变形、减法与除法性质的推广六大核心内容。全课时建立 “旧知迁移 — 算理建构 — 方法应用 — 变形拓展 — 易错突破” 的完整学习路径，围绕运算能力、迁移类比思想、优化思想、符号意识四条核心素养主线，让学生理解 “整数运算律在分数运算中同样适用” 的本质，能灵活选择运算律进行简便计算，为后续复杂分数运算、百分数混合运算筑牢简算能力根基。 知识模块 核心内容 关键方法 易错预警 加法运算律推广 加法交换律、结合律在分数加减中适用，同分母凑整简化计算 同分母优先法、带号搬家法 交换位置漏带运算符号，结合时括号使用错误 乘法交换律与结合律 乘法交换律、结合律在分数连乘中适用，交叉约分凑整 约分优先法、结合凑整法 结合律与分配律混淆，约分失误导致计算错误 乘法分配律正向应用 和、差乘一个数，分别相乘再加减，简化通分步骤 拆分分配法、逐项相乘法 漏乘括号内某一项，差的分配律符号处理错误 乘法分配律逆向应用 提取公因数，将分散的乘加 / 乘减合并简化 提取公因数法、合并简算法 公因数找错，剩余项未加括号，运算符号混淆 运算律拓展变形 接近整数的数拆分、补数构造，灵活适配分配律 拆数构造法、补数法 拆数改变原数大小，分配律展开漏项 性质推广 连减、连除的性质在分数运算中适用 连减变加、连除变乘法 去括号时符号错误，除法误用分配律 二、核心解题方法图谱记忆 方法名称 适用题型 操作路径 技巧口诀 加法凑整法 分数连加、加减混合运算 ①找同分母分数；②带符号交换位置；③同分母结合优先计算 分数加减看分母，同分母的先算，带号搬家凑整快 乘法凑整法 分数连乘运算 ①找可直接约分的因数；②交换位置结合分组；③先约分再计算 分数连乘先约分，交换结合凑整，约分之后再乘更简单 分配律正用法 和 / 差乘一个数的题型 ①用括号外的数分别乘括号内每一项；②保留原运算符号；③分别计算后再加减 分配律，分别乘，每项都要乘到，不漏不掉 分配律逆用法 有相同公因数的乘加 / 乘减题型 ①找出共同的因数；②提取公因数，剩余项放括号内；③先算括号内再相乘 提取公因数，剩余括号住，符号看清楚，计算更简便 拆数构造法 接近整数的分数乘法 ①把接近整数的数拆成整数 ± 分数；②用分配律展开计算；③合并化简结果 接近整数拆一拆，分配律展开算，凑整简化不出错 三、课时数学思想与素养提升 1. 迁移类比思想：运算律的普适性建构 核心要义：整数四则运算的运算律与性质，在分数运算中完全适用，通过旧知向新知的迁移类比，理解运算律的普适性，实现知识的无缝衔接，降低新知学习难度。 典型范式：整数加法中 “凑整十、整百” 的思路，迁移到分数中就是 “凑同分母、凑整数 1”，核心逻辑完全一致，只是数的形式不同。 2. 模型思想：数形结合理解算理 核心要义：借助长方形面积模型，直观解释乘法分配律的算理，将抽象的运算律转化为具象的几何图形，用面积的两种计算方式对应分配律的两种表达，深化对算理的理解。 典型范式：大长方形面积可以用 “长 × 宽（和乘宽）” 计算，也可以用 “两个小长方形面积相加” 计算，两种方式结果相等，对应。 3. 优化思想：算法选择的效率意识 核心要义：面对同一道分数运算题，有多种计算方法，运用运算律可以简化计算步骤、提升准确率，培养 “主动观察、选择最优算法” 的优化意识，提升运算能力。 典型范式：计算，先通分再乘需要两步通分，用分配律直接约分计算，一步出结果，效率和准确率都更高。 4. 符号化思想：运算律的规范表达 核心要义：用字母符号规范表示各运算律，用简洁的符号语言概括通用规律，培养符号意识与数学表达能力，体会数学符号的简洁性与严谨性。 典型范式：用表示加法交换律，用表示乘法分配律，用字母公式实现规律的通用化表达。 第二部分 核心考点深度解构与解题策略精讲 考点一：加法运算律在分数中的应用（基础必考） 典型例题 1（基础层级）—— 加法凑整简算 题目：计算。 思路点拨： ① 第一步：观察算式特征，发现与是同分母，与是同分母，相加可凑成整数 1，适合用加法运算律凑整； ② 第二步：运用加法交换律，带着运算符号交换和的位置，得到； ③ 第三步：运用加法结合律，将同分母分数分别结合分组，得到； ④ 第四步：分别计算两组的和，，完成简算。 【答案】 【知识点睛】加法运算律的分数应用核心要点： 1. 运算律内容： · 加法交换律：，交换两个加数的位置，和不变； · 加法结合律：，三个数相加，先加前两个或先加后两个，和不变； 2. 核心技巧：分数加减简算的核心是找同分母分数，同分母分数加减无需通分，优先计算可以凑整，大幅简化步骤； 3. 注意事项：交换加数位置时，必须带着数字前面的运算符号一起移动（带号搬家），不能只换数字不换符号；加减混合运算同样适用带号搬家规则； 4. 拓展延伸：连减的性质在分数中同样适用，同分母的减数可以结合起来一次性减去。 考点二：乘法交换律与结合律的应用（基础必考） 典型例题 2（基础层级）—— 连乘约分凑整 题目：计算。 思路点拨： ① 第一步：观察算式特征，发现的分母 5 和整数 5 可以直接约分，适合用乘法交换律调整顺序； ② 第二步：运用乘法交换律，交换和 5 的位置，得到； ③ 第三步：先计算可约分的部分，，再计算； ④ 第四步：按从左到右的顺序反向验证，结果一致，简算正确。 【答案】 【知识点睛】乘法交换律与结合律的分数应用核心要点： 1. 运算律内容： · 乘法交换律：，交换两个因数的位置，积不变； · 乘法结合律：，三个数相乘，先乘前两个或先乘后两个，积不变； 2. 核心技巧：分数连乘简算的核心是找能直接约分的因数，通过交换、结合，把能约分的因数放在一起优先计算，先约分再相乘，大幅降低计算量； 3. 注意事项：乘法交换律、结合律只适用于连乘算式，算式中不能有加减法；有加减的连乘不能直接用结合律； 4. 易错提醒：结合时要把相乘能凑 1、凑整数的因数组合，不要盲目分组，确保分组后计算更简便。 考点三：乘法分配律的正向应用（核心必考） 典型例题 3（核心层级）—— 和乘一个数 题目：计算。 思路点拨： ① 第一步：观察算式特征，括号外的整数 36 和括号内两个分数的分母 4、9 都能直接约分，用分配律可以避免通分，适合正向运用乘法分配律； ② 第二步：运用乘法分配律展开，用 36 分别乘括号内的和，保留加号连接，得到； ③ 第三步：分别计算两个乘法算式，，； ④ 第四步：计算两个积的和，； ⑤ 第五步：按 “先算括号内、再算乘法” 的常规顺序验证，结果一致，简算正确。 【答案】 【知识点睛】乘法分配律正向应用核心要点： 1. 运算律内容： · 和的分配律：； · 差的分配律：； 2. 适用场景：当括号外的数和括号内各分数的分母能约分时，用乘法分配律可以跳过通分，直接约分计算，大幅简化步骤； 3. 核心规则：括号外的因数必须和括号内的每一项都相乘，不能漏乘；括号内的运算符号要原样保留，展开后加号还是加号，减号还是减号； 4. 易错提醒：差的分配律最容易出错，展开后减号不能丢，比如，展开后是，减号必须保留。 考点四：乘法分配律的逆向应用（核心必考） 典型例题 4（核心层级）—— 提取公因数 题目：计算。 思路点拨： ① 第一步：观察算式特征，两个乘法项中都有相同的因数，剩余的和相加可凑整，适合逆用乘法分配律； ② 第二步：提取共同的公因数，将剩余的两个因数连同运算符号放进括号内，得到； ③ 第三步：先计算括号内的加法，； ④ 第四步：计算最终结果，； ⑤ 第五步：按 “先乘后加” 的常规顺序验证，结果一致，简算正确。 【答案】 【知识点睛】乘法分配律逆向应用核心要点： 1. 运算律内容： · 乘加逆用：； · 乘减逆用：； 2. 适用场景：算式中有两个及以上的乘法项，且含有完全相同的公因数，剩余部分相加 / 减能凑整时，逆用分配律可以简化计算； 3. 核心规则： · 先准确找出所有乘法项共有的公因数； · 提取公因数后，剩余的所有项必须带着原运算符号放进括号，不能漏项、错符号； · 单独的一个数（如单独的）可以看成，补出因数 1 构造公因数； 4. 易错提醒：提取公因数后，剩余部分一定要加括号，否则运算顺序改变，结果错误；写完后反向展开验证，确保能还原成原式。 考点五：乘法分配律的拓展变形（提升层级） 典型例题 5（提升层级）—— 拆数构造分配律 题目：计算。 思路点拨： ① 第一步：观察算式特征，整数 99 接近分母 98，可拆分为，构造出能和分母约分的整数，适配乘法分配律； ② 第二步：将 99 拆成，原式转化为； ③ 第三步：正向运用乘法分配律展开，得到； ④ 第四步：分别计算两项，，； ⑤ 第五步：合并结果，。 【答案】 【知识点睛】乘法分配律拓展变形核心要点： 1. 核心思路：当算式中没有直接的分配律结构时，通过拆数、补数的方式，构造出乘法分配律的标准形式，再用运算律简算； 2. 常见变形类型： · 接近整数的数拆分：如、，拆成整数 ± 分数 / 整数，用分配律展开； · 隐藏公因数补 1：如，把后面的看成，补出公因数 1 再提取； 3. 核心原则：拆数、补数必须保证原数大小不变，不能为了凑整改变原数的大小； 4. 易错提醒：拆分带符号的数时，要注意符号，比如，展开后是减号，不能写成加号。 第三部分 高频易错预警与避坑指南 易错点 1：乘法分配律漏乘括号内的项 错误范式：计算，错误写成，只给第一项乘了 6，第二项漏乘。 成因剖析：对分配律 “分别相乘” 的核心理解不到位，只关注第一项的约分，忽略了括号内所有项都要乘括号外的数。 避坑方案：牢记分配律口诀 “括号外面一个数，括号里面每一项，个个都要乘一遍”。展开后先数项数：括号内有几项，展开后就有几项，项数对不上就是漏乘了，立即修正。 易错点 2：混淆乘法结合律与分配律 错误范式：计算，错误写成，把连乘的结合律错用成分配律，擅自添加加号。 成因剖析：对两种运算律的适用场景区分不清，不知道 “只有加减才能用分配律，全是乘法只能用交换结合律”。 避坑方案：先看算式的运算类型：全是乘法的连乘算式，只用交换律和结合律；既有乘法又有加减的算式，才能用乘法分配律。先判断有没有加减法，再选对应的运算律，避免混淆。 易错点 3：提取公因数时，剩余项漏加括号、符号错误 错误范式：计算，错误写成，剩余项没加括号，运算顺序完全改变。 成因剖析：对逆用分配律的结构理解模糊，不知道提取公因数后，剩余部分是一个整体，必须用括号括起来。 避坑方案：提取公因数后，剩余的所有数字和运算符号必须全部放进括号里。写完后反向用分配律展开验证，能完全还原原式就是正确的，还原不了就是格式有误。 易错点 4：除法误用分配律（除数不能拆分） 错误范式：计算，错误写成，把分配律错误套用到除数上。 成因剖析：对乘除法的差异理解不清，误以为除法和乘法一样都有分配律，忽略了 “只有被除数可以拆分，除数不能拆分” 的规则。 避坑方案：明确结论：除法没有通用分配律。只有当被除数是和 / 差时，可以拆分分别除以除数再加减；除数是和 / 差时，绝对不能拆分，必须先算括号内的和 / 差，再算除法。 第四部分 分层能力进阶与课时达标精练 一、基础夯实达标练（6 题） 1. 填空： （1）整数的加法、乘法运算律，在分数运算中（ ）。 （2），运用了（ ）律。 （3），运用了（ ）律。 （4），运用了（ ）律。 （5）。 2. 判断： （1）所有分数四则混合运算都必须用简便方法计算。（ ） （2），运用了乘法结合律。（ ） （3）乘法分配律既可以正向应用，也可以逆向应用。（ ） （4）。（ ） （5）整数运算律在分数中同样适用，能使部分计算更简便。（ ） 3. 选择： （1）下面算式中，正确运用乘法分配律的是（ ）。 A. B. C. （2）计算，简便算法正确的是（ ）。 A. B. C. （3）下面算式中，计算结果最大的是（ ）。 A. B. C. 4. 用简便方法计算： （1） （2） 5. 用简便方法计算： （1） （2） 6. 一块长方形菜地，长 24 米，宽比长的还多 2 米。这块菜地的周长是多少米？（列综合算式，能用简便方法请用简便方法） 二、能力拓展提升练（4 题） 7. 选择： （1）下面算式中，与结果相等的是（ ）。 A. B. C. （2）计算，简便算法正确的是（ ）。 A. B. C. （3）下面运算律或性质运用正确的是（ ）。 A. B. C. 8. 用简便方法计算： （1） （2） 9. 列式计算： （1）与的和乘 12，积是多少？ （2）比 24 的多的数是多少？（用简便方法计算） 10. 学校食堂运来大米和面粉各 40 袋，大米每袋重吨，面粉每袋重吨。运来的大米和面粉一共重多少吨？（用简便方法解答） 三、思维拓展培优练（2 题） 11. 计算： 12. 小马虎在计算一道题时，把错写成了。他得到的结果与正确结果相差多少？ ▶ 数学活动拓展 实践活动：简便运算大比拼 活动任务： 1. 小组合作，每人编 3 道可以用运算律简便计算的分数运算题，涵盖加法、乘法、分配律不同类型； 2. 小组内交换答题，计时比拼，比一比谁算得又快又准； 3. 共同讨论总结：什么样的题目适合用简便方法？常见的简便运算技巧有哪些？ 4. 分享生活中可以用分数简便运算解决的实际问题。 要求：通过自主编题、竞赛答题的互动形式，巩固运算律的应用方法，提升简算意识与运算能力，培养合作交流与归纳总结的能力。 第五部分 习题精准解析与知识点睛 一、基础夯实达标练解析 1. 【答案】 （1）同样适用 （2）加法交换 （3）乘法分配 （4）乘法结合 （5）；； 思路点拨： ① 整数运算律在分数中完全适用，是本课时的核心结论； ② 交换加数位置，对应加法交换律； ③ 和乘一个数展开分别乘，对应乘法分配律； ④ 连乘中结合分组，对应乘法结合律； ⑤ 逆用分配律提取公因数，剩余两项放括号内。 【知识点睛】基础概念识记题型，覆盖各运算律的定义、形式与基本应用，夯实运算律的概念基础。 2. 【答案】（1）× （2）× （3）√ （4）× （5）√ 思路点拨： ① 不是所有题目都能简便计算，要根据数字特征选择，错误； ② 连乘算式不能变加法，不是结合律，错误； ③ 乘法分配律可以正用也可以逆用，正确； ④ 除数是和的形式，不能拆分用分配律，错误； ⑤ 整数运算律在分数中适用，可简化部分计算，正确。 【知识点睛】概念辨析题型，针对性规避运算律混淆、除法误用分配律等高频易错点，深化对运算律适用场景的理解。 3. 【答案】（1）B （2）A （3）C 思路点拨： ① A 是交换律，C 是结合律，只有 B 是分配律，选 B； ② 把后面的看成，提取公因数得，选 A； ③ 分别计算：A=，B=，C=，C 最大，选 C。 【知识点睛】基础选择题型，考查运算律识别、逆用变形、结果比较，训练基础应用能力。 4. 【答案】 （1） （2） 思路点拨： ① 加法题用交换律 + 结合律，同分母分别结合凑整； ② 乘法题用交换律调整顺序，优先约分再计算。 【知识点睛】基础简算题型，巩固加法、乘法交换律与结合律的应用，训练凑整、约分的简算技巧。 5. 【答案】 （1） （2） 思路点拨： ① 正向运用乘法分配律，分别相乘再相加； ② 逆向运用乘法分配律，提取公因数后凑整计算。 【知识点睛】乘法分配律基础题型，覆盖正向、逆向两种基本应用，夯实分配律的核心用法。 6. 【答案】 宽：（米） 周长：（米） 答：这块菜地的周长是 68 米。 思路点拨： ① 先根据数量关系求出宽的长度； ② 再用长方形周长公式计算周长，分步计算清晰准确。 【知识点睛】几何应用题型，结合长方形周长公式考查分数运算，培养综合应用能力。 二、能力拓展提升练解析 7. 【答案】（1）A （2）B （3）B 思路点拨： ① 补出因数 1，提取后为，选 A； ② 把 101 拆成 100+1，展开得，选 B； ③ A 选项符号错误，C 选项括号内应该是加法，B 选项连除性质运用正确，选 B。 【知识点睛】综合应用题型，深化分配律变形、运算性质的理解，提升辨析与推理能力。 8. 【答案】 （1） （2） 思路点拨： ① 把 98 拆成 97+1，用分配律展开约分简算； ② 补出因数 1，逆用分配律提取公因数，凑整计算。 【知识点睛】分配律拓展题型，训练拆数构造、补 1 构造的简算技巧，提升灵活运用运算律的能力。 9. 【答案】 （1） 答：积是 11。 （2） 答：这个数是。 思路点拨： ① “和乘一个数”，先加括号再乘，用分配律简算； ② 提取公因数，逆用分配律简化计算。 【知识点睛】列式计算题型，强化文字描述到算式的转化能力，巩固分配律的灵活应用。 10. 【答案】 方法一：先算各总重量再相加 （吨） 方法二：先算一袋大米 + 一袋面粉的总重量，再乘袋数 （吨） 答：运来的大米和面粉一共重 8 吨。 思路点拨： ① 可以分别计算再相加，也可以逆用分配律先算一袋的总重量； ② 两种方法结果一致，第二种方法计算更简便。 【知识点睛】实际应用题型，结合生活场景考查乘法分配律的应用，体会运算律在解决实际问题中的价值。 三、思维拓展培优练解析 11. 【答案】 原式 思路点拨： ① 利用裂项公式，将每一项拆成两个分数的差； ② 拆分后中间项全部抵消，只剩首项和末项，大幅简化计算。 【知识点睛】裂项相消拓展题型，是运算律思想的延伸，培养观察规律、转化化简的高阶运算能力。 12. 【答案】 正确结果： 错误结果： 相差： 答：得到的结果与正确结果相差。 思路点拨： ① 先用乘法分配律展开正确的算式，得到完整的展开式； ② 对比错误算式，发现没有乘 20，相差的部分就是。 【知识点睛】错中求解题型，深化对乘法分配律 “每一项都要乘” 的核心规则的理解，培养对比分析与推理能力。 ▶ 数学活动拓展解析 活动参考过程： 1. 自主编题：围绕加法、乘法、分配律三类简算题型，每人编 3 道题，保证题目具备简算特征； 2. 竞赛答题：小组内交换答题，计时完成，互相批改，统计正确率与用时； 3. 总结归纳：共同梳理常见简算题型的特征、对应运算律、操作技巧，形成小组简算技巧清单； 4. 分享交流：分享生活中的分数简算应用场景，体会数学的实用价值。 【知识点睛】通过互动实践活动，巩固各运算律的应用方法与适用场景，提升简算意识、运算速度与准确率，培养合作交流、归纳总结的综合能力，让学生在竞赛与分享中深化对运算律的理解，落实运算能力核心素养的培养目标。 1 学科网（北京）股份有限公司 $