专题04 全等三角形中的动点问题有关的四种模型（高效培优专项训练）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 聚焦全等三角形动点问题，通过四类题型构建“模型识别-动态分析-关系证明”的解题体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型一|6题（等边三角形动点构造全等）|利用等边性质构造全等，转化动态边角关系|从静态全等性质到动态边、角计算，培养空间观念| |题型二|6题（双动点分类讨论）|分类讨论动点位置，结合全等判定列方程求解|通过多情境分类，深化全等条件的灵活应用| |题型三|6题（线段关系证明）|构造辅助线（如延长、对称），利用全等转化线段|从简单和差到复杂位置关系，提升推理能力| |题型四|6题（角关系证明）|借助外角、折叠等转化角，结合全等传递角关系|从角的基本计算到动态角关系推导，强化逻辑思维|

专题04 全等三角形中的动点问题有关的四种模型 题型一 利用全等三角形求解动点边、角问题 题型二 利用分类讨论思想求解动点中全等三角形问题 题型三 利用全等三角形求证线段之间的关系问题 题型四 利用全等三角形求证角之间的关系问题 题型一：利用全等三角形求解动点边、角问题 1．（25-26八年级上·福建厦门·期中）在等边中，点A是边上的动点（不与D，E重合），点C是边上的动点（不与D，F重合），若，连接，以为边在内作等边，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D．随着A，C位置的变化而变化 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；作出辅助线，构建全等三角形是解题的关键． 在上截取，连接，易证，，由，得出，由证得，得出，，推出，求出，即可得出结果． 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故选：B． 2．（24-25八年级上·浙江金华·阶段检测）我们规定对角互补的四边形称为对补四边形． （1）如图1，四边形为对补四边形，，则的度数为________． （2）如图2，在等边三角形中，，若动点从点沿着运动，速度为，动点从点沿着运动，速度为，两个动点同时出发，当点运动到点时所有运动停止．连结，交于点，当四边形为对补四边形时，此时的运动时间为________． 【答案】 4.8 【分析】本题属于四边形综合题，考查了对补四边形的定义、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，本题综合性强，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． （1）利用同角的补角相等证明即可； （2）设运动时间为．由全等三角形的性质证明，再由此构建方程求解即可． 【详解】（1）解：四边形为对补四边形，， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，设运动时间为秒，则，， ， 当时，， ， 是等边三角形， ，， 四边形是对补四边形， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 当四边形为对补四边形时，此时的运动时间为． 故答案为：4.8 3．（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）在等边三角形中，E是折线上的动点，D为射线上任意一点，且． (1)如图①，当动点E在边上时，连接、，求证：； (2)如图②，当动点E是边的中点时，判断的形状，并说明理由； (3)如图③，当动点E在边上时，求证：； (4)连接，若，是直角三角形，直接写出的长． 【答案】(1) 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵， 即， 在和中， ， ∴； (2) 是等腰三角形，理由如下： ∵E为的中点，是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形； (3) 证明：过点E作，如图， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴； ∴， ∴； (4)或 【分析】本题考查了三角形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等边三角形性质及应用，直角三角形性质及应用；解题的关键是掌握等边三角形性质及全等三角形判定定理． （1）由是等边三角形，得，，而，知是等边三角形，有，，可得，，再由边角边的证明方法证明即可； （2）由E为的中点，是等边三角形，得，，又，故，有知，是等腰三角形： （3）过点E作，证明是等边三角形，可得，，即可证，得，从而； （4）分两种情况：当时，由（1）可知，，可得；当时，由（3）可知，，可得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）解：当时，如图， ∴是的中线， ∴， 由（1）知，， ∴； 当时，如图， ∴ ∴， ∴， 由（3）知，， ∴； 综上，的长为或． 4．（24-25八年级上·云南昭通·阶段检测）在等边中，线段为边上的中线，动点在直线上时，以为一边在的下方作等边，连接． (1)当动点在线段上时（如图），求证：； (2)当动点在线段的延长线上时（如图），设直线与直线的交点为．求证：； (3)在第（）问的条件下，试判断是否为定值？请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)是定值，，理由见解析． 【分析】（）由和都是等边三角形，得，然后利用角度和差即可求证； （）由和都是等边三角形，得，，，则，证明即可求证； （）由是等边三角形，且是边上的中线，得，又，则，然后利用角度和差即可求解； 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定及性质的运用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∵，， ∴； （2）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：是定值，理由如下： ∵是等边三角形，且是边上的中线， ∴， 由（）可知：， ∴， ∵， ∴． 5．（22-23八年级上·浙江金华·期末）新定义∶对角互补的四边形称为对补四边形． (1)如图1，四边形为对补四边形，，求的度数． (2)在等边三角形上，，完成以下问题∶ ①如图2，若动点从点沿着运动，速度为，动点从点沿着运动，速度为，两个动点同时出发，当点运动到点时所有运动停止．当四边形为对补四边形时，求此时的运动时间． ②如图3，若动点从点沿着运动，速度为，动点从点沿着运动，速度为，两个动点同时出发，当点运动到点时所有运动停止．连结，当四边形为对补四边形时，求此时的运动时间． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用同角的补角相等证明即可； （2）①设运动时间为根据，构建方程，可得结论； ②设运动时间为由全等三角形的性质证明，再由此构建方程求解即可． 【详解】（1）解：四边形为对补四边形， ， ， ； （2）解：①如图中，设运动时间为 是等边三角形， ， 四边形是对补四边形， ， ， ， ， 解得： ∴当四边形为对补四边形时，此时的运动时间为； ②如图中，设运动时间为 是等边三角形， ，， 四边形是对补四边形， ， ， ， ， )， ， ， 解得：， 当四边形为对补四边形时，此时的运动时间为 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了对补四边形的定义、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 6．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）已知：如图1，在等边中，点E、F分别为边上的动点，且，直线交于点O．    (1)如图1，当F是的中点时，______． (2)在E、F运动的过程中，的大小是否变化？请利用图2，证明你的结论． (3)若将题目中的条件：“点E、F分别在边上的动点”改为“点E、F分别在边的延长线上的动点”（如图3所示），其余条件不变，（2）中的结论还成立吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)的大小不会变化，理由见解析 (3)（2）中的结论还成立，理由见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与性质． （1）通过证明得到，再利用三角形外角的性质即可求解； （2）同理（1）即可证明； （3）通过证明得到，再利用三角形外角的性质结合对顶角相等即可求解； 【详解】（1）解：在等边中，，， ∵， ∴即， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵是的外角， ∴； （2）解：的大小不会变化，证明如下： 在等边中，，， ∵， ∴即， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵是的外角， ∴； （3）解：（2）中的结论还成立，理由如下： 在等边中，，， ∵， ∴即， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵是的外角，， ∴． 题型二：利用分类讨论思想求解动点中全等三角形问题 7．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，是上的一点，，，，动点从点出发向点运动，速度为，同时动点从点出发向点匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点的运动速度为（     ）． A．3或 B．2或 C．2或3 D．3或 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质及动点问题，设运动时间为，表示出、、的长，根据，分和两种情况，利用全等三角形对应边相等列方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒，点的运动速度为cm/s， 则，， ∵， ∴， ∵， ∴分两种情况讨论： ①当时， ，， ∴，， 解得， ∴； ②当时， ∴，， ∴，， 解得， ∴； 综上所述，点的运动速度为或． 故选B． 8．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，直线，平分，过点作交于点．动点，同时从点出发，其中动点以的速度沿射线运动，动点以的速度在直线上运动．已知，设动点，的运动时间为．当动点在直线上运动时，若与全等，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 分当在线段上时，，当在线段上时，，当在线段延长线上时，，当在线段延长线上时，四种情况，然后根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ，平分， ∴， ∴当在线段上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， 当在线段上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， 当在线段延长线上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， 当在线段延长线上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， ∴若与全等，则的值为或， 故答案为：或． 9．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，直线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度沿直线上运动；已知，设动点，的运动时间为． (1)若，试求动点的运动时间的值； (2)试问当动点，在运动过程中，是否存在某个时间，使得与全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由． 【答案】(1)动点的运动时间或； (2)或时，与全等． 【分析】本题是三角形综合题，考查等腰直角三角形的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题． （1）作，则，根据可得的值，分别用表示，即可求得的值，即可解题； （2）当点在点上方时，易得时，，分别用表示，即可求得的值；当点在点下方时，进行求解即可． 【详解】（1）解：作，，则， ， ， 当点在点左侧时， ∴, 即， 解得：； 当点在点右侧时，， ∴，解得， 综上动点的运动时间或； （2）当点在点上方时， ，， ∴当时，， 即或， 解得：或（舍去）， 当点在点下方时， ， ∴， ， ∴； 答：或时，与全等． 10．（24-25八年级上·河北唐山·阶段检测）如图，射线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度在射线上运动；已知，设动点，的运动时间为． (1)的度数为________； (2)若，试求动点、的运动时间的值； (3)试问当动点、在运动过程中，存在某个时间，使得，直接写出的值． 【答案】(1) (2)当或12时， (3) 【分析】（1）根据，平分，得出，根据，得出； （2）分两种情况分别讨论，①当点在线段上时，②当点运动到点的右侧时； （3）先证明，得出，说明当在线段上，且时，，得出，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①当点在线段上时，过作于，于，如图所示： ∵平分， ∴， 由题意得，，， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当点运动到点的右侧时， ， 解得：， 综上分析可知：当或12时，． （3）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当在线段上，且时，， ∴， 解得：， ∴当时，． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，以及一元一次方程的应用，进行分类讨论是解答本题的关键． 11．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，直线，平分，过点B作交于点C．动点E，D同时从点A出发，其中动点E以的速度沿射线运动，动点D以的速度在直线上运动．已知，设动点D，E的运动时间为． (1)的度数为 ； (2)当点D沿射线运动时，若，求t的值； (3)当动点D在直线上运动时，若与全等，则t的值为 ． 【答案】(1) (2)或4 (3)或 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识： （1）根据角平分线的定义、直角三角形的锐角互余即可解决问题； （2）作于H，于G．由平分，推出，由，可得，解方程即可解决问题． （3）存在．由，可知当时，，列出方程即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1中， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图2中， ①当E在线段上时，作于H，于G． ∵平分， ∴， ∵ ∴， ∴. ②当点E运动到延长线上，同法可得时，也满足条件， ∴当或时，满足． 故答案为：或； （3）解：∵， ∴当时，， ∴ ∴ ∴时，． 当D在延长线上时，， 综上所述，满足条件的t的值为2或6， 故答案为：或． 12．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）如图，在中，，高相交于点，且． (1)求线段的长； (2)设动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点B出发，沿线段以每秒4个单位长度的速度向终点C运动，当点Q到达C点时，P、Q两点同时停止运动，连接．求当时，点P的运动时间是多少秒? (3)点F是直线上的一点且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等?若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点的运动时间是1秒； (3)符合条件的t值为1s或s． 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练运用分类讨论的思想解决问题． （1）只要证明即可解决问题； （2）证明，根据全等三角形的性质列式计算即可得结论； （3）分为点F在的延长线时，当时，，可求得结果；当点F在上，点Q在的延长线上时，当时，，即可求得另一个值． 【详解】（1）解：∵是高， ∴， ∵是高， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：设点的运动时间为秒，由已知得，， ， ， 由（1）得， ，， 又， 在和中， ， ， ， ， 解得， 点的运动时间是1秒； （3）解：存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等；理由如下： ①如图中，当时， ， ∵，， ∴． ∴， ∴， 解得； ②如图中，当时， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， 综上所述，存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等；符合条件的t值为1s或s． 题型三：利用全等三角形求证线段之间的关系问题 13．（2025八年级上·河北沧州·专题练习）如图，在等腰中，是的平分线，过点B作，且，连接交于点F，交于点P，点M是线段上的动点，点N是线段上的动点，连接，下列五个结论：①；②；③；④；⑤当取最小值时，；其中正确的有（   ） 如图，是等腰的角平分线，，，过点B作，且，连接交于点F，交于点P，点M是线段上的动点，点N是线段上的动点，连接、，下列五个结论：①；②；③；④； A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定方法证得，进而证得；根据角度之间的关系，证得，进而证得；根据得到；根据得，则，过点C作于点，有最小值，根据直角三角形的性质，据此进行逐一判断即可． 【详解】解： ， ， 在和中， ， ， ，故①②正确； ， 平分 ， ∵， ， ， ，故③正确； ， ，故④正确； 过点C作于点 平分 垂直平分 当点N与点Q重合点M为与交点时，最小，此时在中，，故⑤错误． 故选C． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，角平分线的定义，全等三角形的性质与判定 ，轴对称最短路径问题等，解决问题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的边角性质，角平分线定义及轴对称性，全等三角形的判断和性质． 14．（25-26八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，在直角中，，平分，是上一动点(不与，重合，是上一动点不与，重合，则的最小值为_______. 【答案】 【分析】此题考查根据面积等式求线段的长度、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等知识与方法，正确作出辅助线是关键．作于点，根据三角形的面积公式求得，在上取点，使，连接，则，可知当点与点重合，点与点重合时，取得最小值，则的最小值为． 【详解】解：作于点， ， ， ， ， 在上取点，使，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 当点与点重合，点与点重合时，则的值最小， 的最小值为， 故答案为：． 15．（21-22八年级上·广东湛江·期末）如图，，点A、B分别是射线、射线上的动点，连接的角平分线与的角平分线交于点P． (1)当时，求证：； (2)在点A、B运动的过程中，的大小是否发生改变？若不改变，请求出的度数；若改变请说明理由； (3)连接，C是线段上的动点，D是线段上的动点，当时，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)不变， (3)4 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行线的判定、三角形内角和定理及最短路径问题，解题的关键是灵活运用几何图形的性质和判定定理，结合对称思想解决最值问题． （1）由且， 判定为等边三角形，得出；计算，利用角平分线性质得，通过证明． （2）根据三角形外角性质得出；由角平分线性质得，结合三角形内角和定理求出， 确定其大小不变． （3）利用角平分线性质证明平分； 通过三角形面积公式求出； 作点关于的对称点， 转化， 根据垂线段最短得出最小值为4． 【详解】（1）证明：如图1中， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵平分， ， ∴， ∴． （2） 解：如图2中，的大小不变，．理由如下： ∵， ∴， ∵分别平分， ， ∴． （3） 解：如图3中，过点A作于H，过点P作于J于K于I． ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分， 作点D关于的对称点，连接， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为4． 16．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）【问题呈现】 已知为等边三角形，点为射线上一动点（点不与点，点重合）． （1）连接，以为边向右侧作等边，连接． ①如图1，当点在边上时，求证：； 【类比探究】 ②如图2，若点在边的延长线上，随着动点的运动位置不同，求证：． 【拓展应用】 （2）如图3，在等边中，，点是边上一定点且，若点为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接．直接写出的最小值． 【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）8． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）由和是等边三角形，推出，，，又因为，则，即，利用证明即可； （2）证明，得出，结合，则； （3）在射线上截取，连接，易证，则，，得出是等边三角形，则，即点E在角平分线上运动，在射线上截取，连接，证明，得出，推出，由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值． 【详解】（1）①证明：和是等边三角形， ，，． ， ，即． 在和中， ， ． ②证明：和是等边三角形， ，，． ， ，即． 在和中， ， ． ， ， ． （2）解：在射线上截取，连接， ∵和是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ∵， ∴， 是等边三角形， ， ∴，， 即点E在角平分线上运动， 在射线上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值， ∵，， ∴， ∴ 的最小值为8． 17．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）综合与实践 【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【问题解决】（1）①如图1，在等腰直角中，，过点C作直线于点D，于点E，则与之间满足的数量关系是___________ ； ②如图2，在中，，过点B作，过点A作，垂足分别为点E，D．猜想与之间的数量关系，并说明理由； 【方法应用】（2）①如图3，在中，，过点A作于点D，在直线m上取点E，使，猜想线段与的数量关系，并说明理由； ②如图4，在中，，．求的面积． 【答案】（1）①；②，见解析；（2）①，见解析；②18 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握一线三垂直全等模型是解答本题的关键． （1）根据，得到，结合，得到，，从而得到，即可得到，即可得到答案； 同理证明即可得到答案； （2）①作于点，三线合一得到，同（1）法证明，即可得出结论； ②作，交于点，证明即可得到答案 【详解】解：（1），， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ； ②，理由如下： ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）①，理由如下： 作于点， ∵， ∴， 同（1）法可得：， ∴， ∴； ②在中，，，，如图，作，交于点， ，，， ， 在和中， ， ， ， ． 18．（23-24七年级下·广东深圳·期中）【初步感知】 （1）如图 1，已知 为等边三角形，点D 为边 上一动点（点D 不与点B ，点 C 重合）．以 为边向右侧作等边，连接 ．求证：； 【类比探究】 （2）如图 2，若点D 在边 的延长线上，随着动点D 的运动位置不同，猜想并证明： ① 与 的位置关系为： ； ②线段 、 、 之间的数量关系为： ． 【拓展应用】 （3）如图 3，在等边 中，，点P 是边 上一定点且 ，若点D 为射线 上动点，以 为边向右侧作等边 ，连接 、 ．请问： 是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）平行； （3）有最小值，8 【分析】（1）由和是等边三角形，推出，，，又因为，则，即，从而利用“”证明； （2）①由（1）得，得出，，，则； ②因为，，所以； （3）在上取一点，使得，连接，可证，，求得，得出是等边三角形，则，即点E在角平分线上运动，在射线上截取，当点E与点C重合时，，进而解答此题． 【详解】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴ 即 在和中， ， ∴； （2）平行，，理由如下： 由（1）得， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）有最小值，理由如下： 如图，在射线上取一点，使得，连接， ∵和是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 由三角形内角和为，可知：，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 即点E在的角平分线上运动， 在射线上截取，连接， 在和中， ， ， ∴， 则， 由三角形三边关系可知，， 即当点E与点C重合，时，有最小值， ∵， ∴， ∴最小值为8． 【点睛】本题考查三角形综合，平行线的判定、三角形内角和定理、全等三角形的判定，正确添加辅助线、掌握相关图形的性质定理是解题的关键． 题型四：利用全等三角形求证角之间的关系问题 19．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理，直角三角形的性质，解题的关键是找出使最小时点P的位置．在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形内角和，求出结果即可． 【详解】解：在上截取，连接，如图， 平分， ， ， ， ， ， ∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如下图， ， ， ， 故选：C． 20．（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，在中，，平分，点 P为线段上一动点，点 Q为边上一动点，当的值最小时，的度数是_____． 【答案】/127度 【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的性质和判定、垂线段最短及三角形的内角和定理，确定使最小时点P的位置是解题的关键． 在上截取，连接，证明得出，从而证明当点A、P、E在同一直线上，且时， 的值最小，再根据三角形的内角和即可求出结果． 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ∴当点A、P、E在同一直线上，且，的值最小，即的值最小， ∴当点A、P、E在同一直线上，且时，， ， ， ， 故答案为：． 21．（专题02相交线与平行线（考题压轴，压轴必刷30题）-2023-2024学年七年级数学下学期期中考点大串讲（北师大版））如图，直线，连接，直线及线段把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接，构成三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是角） (1)当动点P落在第①部分时，求证：； (2)当动点P落在第②部分时，是否成立？（直接回答成立或不成立） (3)当动点P落在第③部分时，全面探究之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论． 【答案】(1)见解析 (2)不成立 (3)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形外角的性质．熟练掌握平行线的判定与性质，三角形外角的性质是解题的关键． （1）解法一：如图1；延长交直线于点E，则，，由，可得；解法二、如图2；过点P作，则，，，进而可得； （2）如图3，过P作，则，，，然后作答即可； （3）由题意知，分（a）如图4，当动点P在射线的右侧时；（b）如图5，当动点P在射线上；（c）如图6，当动点P在射线的左侧时，3种情况求解作答即可． 【详解】（1）解法一：如图1；延长交直线于点E． ∵， ∴． ∵， ∴； 解法二、如图2；过点P作， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∴； （2）解：不成立，结论是， 如图3，过P作， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意知，分3种情况求解； （a）如图4，当动点P在射线的右侧时，结论是：． 证明：如图4，连接，连接交于M， ∵， ∴． 又∵， ∴． （b）如图5，当动点P在射线上，结论是：，或或，（任写一个即可） 证明：如图5，∵点P在射线上， ∴． ∵， ∴． ∴，或或，． （c）如图6，当动点P在射线的左侧时，结论是． 证明：如图6，连接，连接交于F， ∵， ∴． ∵， ∴． 22．（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图1，在中，是直线上两动点，且．热爱探究的小明将沿折叠，得，连接，得到新的，如图2．请继续探究并解决下列问题： (1)如图2，此时_____； (2)如图3，当动点在线段上，动点在线段延长线上时，小明将沿对折，得，连接，其它条件不变，得到新的，如图4．请求出此时的度数，并说明理由； (3)拓展：如图5，在等边中，点、在边上，且，可知当时，线段构成一个等腰三角形，此时等腰三角形顶角的度数是_____（直接写出答案）． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形性质，正确添加辅助线是解题的关键． （1）通过证明，得到，即可求出结论； （2）由折叠得出，再证明，根据全等三角形性质求出结论； （3）将绕点C顺时针旋转得，证明，则，进而求出等腰三角形顶角即可． 【详解】（1）解：如下图： 在中，， ， ∵将沿折叠，得，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：由折叠得：， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）解：等边中，， 将绕点C顺时针旋转得， 则， ， ， ， ， ， ， ∵线段构成一个等腰三角形，， ∴线段构成一个等腰三角形，为此等腰三角形顶角， ， 即此时等腰三角形顶角的度数是． 23．（25-26八年级上·山东青岛·期末）【相关概念】三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角．如图1，将中的边反向延长，与另一边形成的即为的一个外角．利用平行线的相关知识，我们可以推出结论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【结论证明】为证明此结论，李明同学画好了图形（如图2），写好了“已知”和“求证”，根据李明的描述，请补充完整证明过程． 已知：如图2，是的一个外角． 求证：． 证明：过点作 …… 【结论应用】如图3，在中，，点在上，交于点，，求的度数． 【应用拓展】如图4，直线与直线相交于点，夹角为锐角，点在直线上且在点上方运动，点在直线上运动（不与点E、O重合）．当时，平分平分交直线于点，则的度数为___________． 【答案】【结论证明】 证明：过点C作 ， ；     【结论应用】 【应用拓展】或 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，角平分线的定义等知识点． （1）过点C作，则，再由角的和差计算证明即可； （2）先由求出，再根据平行线的性质求解即可； （3）分两种情况讨论，当点F在点O的右侧和点F在点O的左侧，根据三角形的外角性质以及角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）证明：过点C作 ， ；     （2）解：， ， ， ； （3）解：的度数为或    ①当点F在点O的右侧时， ， ， 是的角平分线，是的角平分线， ， ， ∴ ， ； ②当点F在点O的左侧时，如图， ， ， 是的角平分线，是的角平分线， ， ∴ 综上所述，或 24．（25-26八年级上·吉林延边·期中）如图①，线段，，，垂足分别为A，B，，动点P 从点A 出发，以每秒2个单位的速度沿向终点B 运动；同时动点Q从点B 出发，沿射线 运动、当点P 停止时，点Q 也随之停止运动．设点P 的运动的时间为， (1)当时 ， ， ． (2)若点Q的运动速度和点P 的运动速度相等，时， ①求证：； ②求证：． (3)如图②，若点Q 的运动速度为每秒a个单位，将“，”改为“”， 其它条件不变．若与全等，直接写出a 的值． 【答案】(1)2，4 (2)①见解析；②见解析 (3)或． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定． （1）根据路程等于速度乘以时间可得的长，进而可得的长； （2）①可证明，再由垂线的定义可得，据此可证明结论； ②由全等三角形的性质得到，则可证明，再由平角的定义即可证明结论； （3）分和两种情况，根据全等三角形的性质讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，当时，， ∴， 故答案为：2，4； （2）证明：①由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时，则， ∴， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 综上所述，或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04全等三角形中的动点问题有关的四种模型 题型归纳 题型一利用全等三角形求解动点边、角问题 题型二利用分类讨论思想求解动点中全等三角形问题 题型三利用全等三角形求证线段之间的关系问题 题型四利用全等三角形求证角之间的关系问题 题型专练 题型一：利用全等三角形求解动点边、角问题 1.(25-26八年级上福建厦门期中)在等边△DEF中，点A是DE边上的动点（不与D,E重合），点C 是DF边上的动点（不与D,F重合），若AE=2CD,连接AC,以AC为边在△DEF内作等边△ABC,连 接BF,则∠CFB的度数是() D A.15° B.30° C.45 D.随着A,C位置的变化而变化 2.(2425八年级上浙江金华阶段检测)我们规定对角互补的四边形称为对补四边形. (1)如图1，四边形ABCD为对补四边形，∠A=75°，则LDCE的度数为 (2)如图2，在等边三角形ABC中，AB=12cm,若动点P从点A沿着AB运动，速度为lcm/s,动点Q 从点A沿着AC运动，速度为l.5cm/s,两个动点同时出发，当点Q运动到点C时所有运动停止.连结PC, BO交于点D,当四边形APD为对补四边形时，此时的运动时间为s. 1/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(25-26八年级上内蒙古乌兰察布期中)在等边三角形ABC中，E是折线BA-AC上的动点，D为射 线BC上任意一点，且ED=EB 图① 图② 图③ 备用图 (I)如图①，当动点E在边BA上时，连接CE、AD,求证：△AED≌aCDE: (2)如图②，当动点E是边AC的中点时，判断△CDE的形状，并说明理由： (3)如图③，当动点E在边AC上时，求证：AE=CD: (④连接AD,若AB=I0cm,△BAD是直角三角形，直接写出AE的长. 4.(2425八年级上·云南昭通阶段检测)在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线，动点D在直线 AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE,连接BE. D 图① 图② 备用图 (1)当动点D在线段AM上时（如图①），求证：∠ACD=∠BCE: (2)当动点D在线段AM的延长线上时（如图②），设直线BE与直线AM的交点为O.求证：AD=BE; (3)在第(2)问的条件下，试判断∠AOB是否为定值？请说明理由。 5.(22-23八年级上浙江金华·期末)新定义：对角互补的四边形称为对补四边形. 图1 图2 图3 (1I)如图1，四边形ABCD为对补四边形，∠A=75°，求∠DCE的度数. 2/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)在等边三角形ABC上，AB=I0Cm,完成以下问题： ①如图2，若动点P从点A沿着AB运动，速度为lcms,动点Q从点C沿着CA运动，速度为2cm/s,两 个动点同时出发，当点Q运动到点A时所有运动停止.当四边形BPQC为对补四边形时，求此时的运动时 间. ②如图3，若动点P从点A沿着AB运动，速度为lcms,动点Q从点A沿着AC运动，速度为l.5cm/s,两 个动点同时出发，当点运动到点C时所有运动停止.连结PC,B0,当四边形APD卫为对补四边形时， 求此时的运动时间. 6.(24-25八年级上江苏徐州期中)已知：如图1，在等边△ABC中，点E、F分别为边CABC上的动 点，且AE=CF,直线AF、BE交于点O. E E F B F C B 图1 图2 图3 (1)如图1，当F是BC的中点时，∠BOF= (2)在E、F运动的过程中，∠BOF的大小是否变化？请利用图2，证明你的结论， (3)若将题目中的条件：“点E、F分别在边CA、BC上的动点”改为“点E、F分别在边CA、BC的延长线 上的动点”（如图3所示），其余条件不变，(2)中的结论还成立吗？请说明理由. 题型二：利用分类讨论思想求解动点中全等三角形问题 7.(25-26七年级下·陕西西安阶段检测)如图，在△ABC中，D是BC上的一点，∠A=∠C,AC=18, CD=6,动点P从点C出发向点A运动，速度为2Cm/s,同时动点Q从点A出发向点B匀速运动，连接 PO、PD,在运动过程中，存在某一时刻使aCDP与△AP全等，则点O的运动速度为()Cm/s, 3/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 4 A.3或 B.2或3 C.2或3 D.3或3 8.(24-25八年级上河北石家庄期未)如图，直线AM⊥AN,AB平分∠MAN,过点B作BC⊥BA交 AN于点C.动点D,E同时从点A出发，其中动点E以2cm/s的速度沿射线AN运动，动点D以lcm/s 的速度在直线AM上运动.己知AC=6Cm,设动点D,E的运动时间为(s).当动点D在直线AM上运 动时，若△ADB与△BEC全等，则t的值为 M D A 9.(2425七年级下四川成都期中)如图，直线AM1LAN,AB平分∠MAN,过点B作BC⊥BA交AW 于点C;动点E、D同时从A点出发，其中动点E以2cm/s的速度沿射线AN方向运动，动点D以lcm/s 的速度沿直线AM上运动：己知AC=6cm,设动点D,E的运动时间为t. M M B B D 备用图 ()若SMBD:Sac=23,试求动点D,E的运动时间t的值； (2)试问当动点D,E在运动过程中，是否存在某个时间t,使得△ADB与△BEC全等？若存在，请求出时 间t的值；若不存在，请说出理由. 10.(24-25八年级上河北唐山阶段检测)如图，射线AM⊥AW,AB平分∠MAW,过点B作BC⊥BA 交AN于点C;动点E、D同时从A点出发，其中动点E以2Cm/s的速度沿射线AW方向运动，动点D以 lcms的速度在射线AM上运动；已知AC=6cm,设动点D,E的运动时间为s】 4/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M M M B B -N -N 备用图1 备用图2 (1)∠ACB的度数为 (2②)若S△MDB:S△Bc=2:3,试求动点D、E的运动时间t的值； (3)试问当动点D、E在运动过程中，存在某个时间t,使得△ADB≌△CEB,直接写出t的值. 11.(23-24八年级上·江苏镇江阶段检测)如图，直线AM⊥AN,AB平分∠MAN,过点B作BC⊥BA 交AN于点C.动点E,D同时从点A出发，其中动点E以2cm/s的速度沿射线AN运动，动点D以lcms的 速度在直线AM上运动.已知AC=6Cm,设动点D,E的运动时间为s, M B D A (I)∠ACB的度数为_； (2)当点D沿射线AM运动时，若S。ABD:SBc=2aL,求t的值； (3)当动点D在直线AM上运动时，若△ADB与△BEC全等，则t的值为_： 12.(24-25八年级上湖南怀化期末)如图，在△ABC中，BC=5,高AD、BE相交于点O,且AE=BE. D (备用图) (备用图) (1)求线段AO的长： (2)设动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点B出发， 沿线段BC以每秒4个单位长度的速度向终点C运动，当点Q到达C点时，P、Q两点同时停止运动，连接 EP,EQ.求当∠APE=∠BQE时，点P的运动时间是多少秒？ (3)点F是直线AC上的一点且CF=B0,动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终 点A运动，动点Q从点B出发沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到 5/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 达A点时，P、Q两点同时停止运动.设点P的运动时间为t秒，是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的 三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值：若不存在，请说明理 由. 题型三：利用全等三角形求证线段之间的关系问题 13.(2025八年级上河北沧州专题练习)如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,AD是 ∠BAC的平分线，过点B作BEI‖AC,且BE=CD,连接CE交AD于点F,交AB于点P,点M是线段 AF上的动点，点N是线段AP上的动点，连接PM、MN,下列五个结论：①AD=CE;②AD⊥CE;③ BE=BP;④CD+AC=AB,⑤当PM+MN取最小值时，PM=MN,其中正确的有() 如图， 是等腰 的角平分线， ,过点B作 AD Rt△ABC ∠ACB=90°AC=BC BEI‖AC,且BE=CD,连接CE交AD于点F,交AB于点P,点M是线段AF上的动点，点N是线段AP 上的动点，连接PM、MN,下列五个结论：①AD=CE;②AD⊥CE;③CF=BP;④CD+AC=AB: A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 14.(25-26八年级上河南信阳阶段检测)如图，在直角△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6,AB=10 AD平分∠BAC,N是AC上一动点（不与A,C重合），M是AD上一动点（不与A,D重合），则 CM+MN的最小值为 D B 15.(21-22八年级上：广东湛江期末)如图，∠MON=60°，点A、B分别是射线OM、射线ON上的动点， 连接AB,∠MAB的角平分线与∠NBA的角平分线交于点P. 6/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B B B 备用图 备用图 (1)当OA=OB时，求证：AP∥OB: (2)在点A、B运动的过程中，∠P的大小是否发生改变？若不改变，请求出∠P的度数；若改变请说明理由： (3)连接OP,C是线段OP上的动点，D是线段OA上的动点，当SM=12,OB=6时，求AC+CD的最小 值 16.(25-26八年级上湖北孝感期末)【问题呈现】 已知△ABC为等边三角形，点D为射线BC上一动点（点D不与点B,点C重合）. B C D D 图1 图2 图3 (I)连接AD,以AD为边向右侧作等边△ADE,连接CE. ①如图1，当点D在BC边上时，求证：△ABD≌△ACE: 【类比探究】 ②如图2，若点D在边BC的延长线上，随着动点D的运动位置不同，求证：EC=AC+CD 【拓展应用】 (2)如图3，在等边△ABC中，AB=5,点P是边AC上一定点且AP-2,若点D为射线BC上动点，以 DP为边向右侧作等边△DPE,连接CE,BE.直接写出PE+BE的最小值. 17.(25-26八年级上内蒙古鄂尔多斯期中)综合与实践 【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，且三组 边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型.当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角 形 7/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 图4 【问题解决】(1)①如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线DE,AD⊥DE 于点D,BE⊥DE于点E,则AD,BE与DE之间满足的数量关系是 ②如图2，在Rt△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，过点B作BE⊥CE,过点A作AD⊥CE,垂足分别为 点E,D.猜想DE与BE,AD之间的数量关系，并说明理由： 【方法应用】(2)①如图3，在Rt△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，过点A作AD⊥m于点D,在直线 m上取点E,使BE=BC,猜想线段CE与AD的数量关系，并说明理由： ②如图4，在Rt△ABC中，AC=BC,∠ACB=∠ADC=90°，CD=6.求△BCD的面积. 18.(23-24七年级下广东深圳期中)【初步感知】 D C 图1 图2 图3 (1)如图1，已知△ABC为等边三角形，点D为边BC上一动点（点D不与点B，点C重合），以 AD为边向右侧作等边△ADE,连接CE.求证：△ABD≌△ACE； 【类比探究】 (2)如图2，若点D在边BC的延长线上，随着动点D的运动位置不同，猜想并证明： ①AB与CE的位置关系为：-； ②线段EC、AC、CD之间的数量关系为：-· 【拓展应用】 (3)如图3，在等边△ABC中，AB=5,点P是边AC上一定点且AP=2,若点D为射线BC上 动点，以DP为边向右侧作等边△DPE,连接CE、BE·请问：PE+BE是否有最小值？若有， 请直接写出其最小值；若没有，请说明理由. 题型四：利用全等三角形求证角之间的关系问题 8/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.(25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测)如图所示，在△ABC中，∠ABC=80°，BD平分∠ABC,P为 线段BD上一动点，D为边AB上一动点，当AP+PO的值最小时，∠APB的度数是() A.120% B.125° C.130° D.135° 20.(25-26八年级上山东聊城阶段检测)如图，在△ABC中，∠ABC=74°，BD平分∠ABC,点P为 线段BD上一动点，点O为边AB上一动点，当AP+PO的值最小时，∠APB的度数是一 21.(专题02相交线与平行线（考题压轴，压轴必刷30题）-2023-2024学年七年级数学下学期期中考点 大串讲（北师大版）)如图，直线AC∥BD,连接AB,直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③ ④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分.当动点P落在某个部分时，连接PA,PB,构成 ∠PAC,∠APB,∠PBD三个角.（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是O°角） ③ A ③ A C ③A ② P(1 ① ② ① B ④ D D ④ B ④ D 图1 图2 图3 (I)当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD: (②)当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？（直接回答成立或不成立） (3)当动点P落在第③部分时，全面探究∠PAC,∠APB,∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相 应的结论， 22.(25-26八年级上山东济宁期中)如图1，在△ABC中，∠BAC=90,AB=AC,D,E是直线BC上两动 点，且∠DAE=45°.热爱探究的小明将△ABD沿AD折叠，得△ADF,连接EF,得到新的△DEF,如图 2.请继续探究并解决下列问题： 9/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D、E 图1 图2 B E 图3 图4 图5 (1)如图2，此时∠DFE= (2)如图3，当动点E在线段BC上，动点D在线段CB延长线上时，小明将△ABD沿AD对折，得△AFD, 连接FE,其它条件不变，得到新的△DEF,如图4.请求出此时∠DFE的度数，并说明理由： (3)拓展：如图5，在等边△ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE=30°，可知当AD=BE时，线段 DE、AD、EB构成一个等腰三角形，此时等腰三角形顶角的度数是一（直接写出答案）· 23.(25-26八年级上山东青岛期末)【相关概念】三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫做 三角形的外角.如图1，将△ABC中∠ACB的边CB反向延长，与另一边AC形成的∠ACD即为△ABC的一 个外角，利用平行线的相关知识，我们可以推出结论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. E B52 D D (图1) (图2) 【结论证明】为证明此结论，李明同学画好了图形（如图2），写好了“已知”和“求证”，根据李明的 描述，请补充完整证明过程， 已知：如图2，∠ACD是△ABC的一个外角. 求证：∠ACD=∠A+∠B 证明：过点C作CE∥AB 【结论应用】如图3，在△ABC中，∠B=28°，点E在BC上，DE∥AC交AB于点F,∠BFD=125°，求 ∠C的度数， 【应用拓展】如图4，直线AB与直线CD相交于点O,夹角C为锐角，点E在直线AB上且在点O上方运 动，点F在直线CD上运动（不与点E、O重合）.当a=68°时，FH平分∠EFD,EG平分∠BEF交直线 10/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 FH于点G,则∠G的度数为」 H D G B (图3) (图4) 24.(25-26八年级上吉林延边期中)如图①，线段AB=6,AC⊥AB,BD⊥AB,垂足分别为A,B, AC=4,动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿AB向终点B运动：同时动点O从点B出发，沿 射线BD运动、当点P停止时，点Q也随之停止运动.设点P的运动的时间为（⊙）， D B 图① 图② (I)当t=1时，AP=-,BP=-, (2)若点Q的运动速度和点P的运动速度相等，t=1时， ①求证：△ACP≌△BPQ: ②求证：CP⊥PQ (3)如图②，若点Q的运动速度为每秒a个单位，将“AC⊥AB,BDLAB”改为“∠CAB=∠DBA”, 其它条件不变.若△ACP与△BPO全等，直接写出a的值. 11/11 专题04 全等三角形中的动点问题有关的四种模型 题型一 利用全等三角形求解动点边、角问题 题型二 利用分类讨论思想求解动点中全等三角形问题 题型三 利用全等三角形求证线段之间的关系问题 题型四 利用全等三角形求证角之间的关系问题 题型一：利用全等三角形求解动点边、角问题 1．B 【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；作出辅助线，构建全等三角形是解题的关键． 在上截取，连接，易证，，由，得出，由证得，得出，，推出，求出，即可得出结果． 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故选：B． 2． 4.8 【分析】本题属于四边形综合题，考查了对补四边形的定义、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，本题综合性强，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． （1）利用同角的补角相等证明即可； （2）设运动时间为．由全等三角形的性质证明，再由此构建方程求解即可． 【详解】（1）解：四边形为对补四边形，， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，设运动时间为秒，则，， ， 当时，， ， 是等边三角形， ，， 四边形是对补四边形， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 当四边形为对补四边形时，此时的运动时间为． 故答案为：4.8 3．(1) 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵， 即， 在和中， ， ∴； (2) 是等腰三角形，理由如下： ∵E为的中点，是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形； (3) 证明：过点E作，如图， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴； ∴， ∴； (4)或 【分析】本题考查了三角形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等边三角形性质及应用，直角三角形性质及应用；解题的关键是掌握等边三角形性质及全等三角形判定定理． （1）由是等边三角形，得，，而，知是等边三角形，有，，可得，，再由边角边的证明方法证明即可； （2）由E为的中点，是等边三角形，得，，又，故，有知，是等腰三角形： （3）过点E作，证明是等边三角形，可得，，即可证，得，从而； （4）分两种情况：当时，由（1）可知，，可得；当时，由（3）可知，，可得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）解：当时，如图， ∴是的中线， ∴， 由（1）知，， ∴； 当时，如图， ∴ ∴， ∴， 由（3）知，， ∴； 综上，的长为或． 4．(1)见解析； (2)见解析； (3)是定值，，理由见解析． 【分析】（）由和都是等边三角形，得，然后利用角度和差即可求证； （）由和都是等边三角形，得，，，则，证明即可求证； （）由是等边三角形，且是边上的中线，得，又，则，然后利用角度和差即可求解； 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定及性质的运用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∵，， ∴； （2）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：是定值，理由如下： ∵是等边三角形，且是边上的中线， ∴， 由（）可知：， ∴， ∵， ∴． 5．(1) (2)①；② 【分析】（1）利用同角的补角相等证明即可； （2）①设运动时间为根据，构建方程，可得结论； ②设运动时间为由全等三角形的性质证明，再由此构建方程求解即可． 【详解】（1）解：四边形为对补四边形， ， ， ； （2）解：①如图中，设运动时间为 是等边三角形， ， 四边形是对补四边形， ， ， ， ， 解得： ∴当四边形为对补四边形时，此时的运动时间为； ②如图中，设运动时间为 是等边三角形， ，， 四边形是对补四边形， ， ， ， ， )， ， ， 解得：， 当四边形为对补四边形时，此时的运动时间为 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了对补四边形的定义、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 6．(1) (2)的大小不会变化，理由见解析 (3)（2）中的结论还成立，理由见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与性质． （1）通过证明得到，再利用三角形外角的性质即可求解； （2）同理（1）即可证明； （3）通过证明得到，再利用三角形外角的性质结合对顶角相等即可求解； 【详解】（1）解：在等边中，，， ∵， ∴即， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵是的外角， ∴； （2）解：的大小不会变化，证明如下： 在等边中，，， ∵， ∴即， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵是的外角， ∴； （3）解：（2）中的结论还成立，理由如下： 在等边中，，， ∵， ∴即， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵是的外角，， ∴． 题型二：利用分类讨论思想求解动点中全等三角形问题 7．B 【分析】本题考查了全等三角形的性质及动点问题，设运动时间为，表示出、、的长，根据，分和两种情况，利用全等三角形对应边相等列方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒，点的运动速度为cm/s， 则，， ∵， ∴， ∵， ∴分两种情况讨论： ①当时， ，， ∴，， 解得， ∴； ②当时， ∴，， ∴，， 解得， ∴； 综上所述，点的运动速度为或． 故选B． 8．或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 分当在线段上时，，当在线段上时，，当在线段延长线上时，，当在线段延长线上时，四种情况，然后根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ，平分， ∴， ∴当在线段上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， 当在线段上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， 当在线段延长线上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， 当在线段延长线上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， ∴若与全等，则的值为或， 故答案为：或． 9．(1)动点的运动时间或； (2)或时，与全等． 【分析】本题是三角形综合题，考查等腰直角三角形的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题． （1）作，则，根据可得的值，分别用表示，即可求得的值，即可解题； （2）当点在点上方时，易得时，，分别用表示，即可求得的值；当点在点下方时，进行求解即可． 【详解】（1）解：作，，则， ， ， 当点在点左侧时， ∴, 即， 解得：； 当点在点右侧时，， ∴，解得， 综上动点的运动时间或； （2）当点在点上方时， ，， ∴当时，， 即或， 解得：或（舍去）， 当点在点下方时， ， ∴， ， ∴； 答：或时，与全等． 10．(1) (2)当或12时， (3) 【分析】（1）根据，平分，得出，根据，得出； （2）分两种情况分别讨论，①当点在线段上时，②当点运动到点的右侧时； （3）先证明，得出，说明当在线段上，且时，，得出，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①当点在线段上时，过作于，于，如图所示： ∵平分， ∴， 由题意得，，， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当点运动到点的右侧时， ， 解得：， 综上分析可知：当或12时，． （3）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当在线段上，且时，， ∴， 解得：， ∴当时，． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，以及一元一次方程的应用，进行分类讨论是解答本题的关键． 11．(1) (2)或4 (3)或 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识： （1）根据角平分线的定义、直角三角形的锐角互余即可解决问题； （2）作于H，于G．由平分，推出，由，可得，解方程即可解决问题． （3）存在．由，可知当时，，列出方程即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1中， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图2中， ①当E在线段上时，作于H，于G． ∵平分， ∴， ∵ ∴， ∴. ②当点E运动到延长线上，同法可得时，也满足条件， ∴当或时，满足． 故答案为：或； （3）解：∵， ∴当时，， ∴ ∴ ∴时，． 当D在延长线上时，， 综上所述，满足条件的t的值为2或6， 故答案为：或． 12．(1)； (2)点的运动时间是1秒； (3)符合条件的t值为1s或s． 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练运用分类讨论的思想解决问题． （1）只要证明即可解决问题； （2）证明，根据全等三角形的性质列式计算即可得结论； （3）分为点F在的延长线时，当时，，可求得结果；当点F在上，点Q在的延长线上时，当时，，即可求得另一个值． 【详解】（1）解：∵是高， ∴， ∵是高， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：设点的运动时间为秒，由已知得，， ， ， 由（1）得， ，， 又， 在和中， ， ， ， ， 解得， 点的运动时间是1秒； （3）解：存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等；理由如下： ①如图中，当时， ， ∵，， ∴． ∴， ∴， 解得； ②如图中，当时， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， 综上所述，存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等；符合条件的t值为1s或s． 题型三：利用全等三角形求证线段之间的关系问题 13．C 【分析】根据全等三角形的判定方法证得，进而证得；根据角度之间的关系，证得，进而证得；根据得到；根据得，则，过点C作于点，有最小值，根据直角三角形的性质，据此进行逐一判断即可． 【详解】解： ， ， 在和中， ， ， ，故①②正确； ， 平分 ， ∵， ， ， ，故③正确； ， ，故④正确； 过点C作于点 平分 垂直平分 当点N与点Q重合点M为与交点时，最小，此时在中，，故⑤错误． 故选C． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，角平分线的定义，全等三角形的性质与判定 ，轴对称最短路径问题等，解决问题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的边角性质，角平分线定义及轴对称性，全等三角形的判断和性质． 14． 【分析】此题考查根据面积等式求线段的长度、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等知识与方法，正确作出辅助线是关键．作于点，根据三角形的面积公式求得，在上取点，使，连接，则，可知当点与点重合，点与点重合时，取得最小值，则的最小值为． 【详解】解：作于点， ， ， ， ， 在上取点，使，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 当点与点重合，点与点重合时，则的值最小， 的最小值为， 故答案为：． 15．(1)见解析 (2)不变， (3)4 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行线的判定、三角形内角和定理及最短路径问题，解题的关键是灵活运用几何图形的性质和判定定理，结合对称思想解决最值问题． （1）由且， 判定为等边三角形，得出；计算，利用角平分线性质得，通过证明． （2）根据三角形外角性质得出；由角平分线性质得，结合三角形内角和定理求出， 确定其大小不变． （3）利用角平分线性质证明平分； 通过三角形面积公式求出； 作点关于的对称点， 转化， 根据垂线段最短得出最小值为4． 【详解】（1）证明：如图1中， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵平分， ， ∴， ∴． （2） 解：如图2中，的大小不变，．理由如下： ∵， ∴， ∵分别平分， ， ∴． （3） 解：如图3中，过点A作于H，过点P作于J于K于I． ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分， 作点D关于的对称点，连接， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为4． 16．（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）8． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）由和是等边三角形，推出，，，又因为，则，即，利用证明即可； （2）证明，得出，结合，则； （3）在射线上截取，连接，易证，则，，得出是等边三角形，则，即点E在角平分线上运动，在射线上截取，连接，证明，得出，推出，由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值． 【详解】（1）①证明：和是等边三角形， ，，． ， ，即． 在和中， ， ． ②证明：和是等边三角形， ，，． ， ，即． 在和中， ， ． ， ， ． （2）解：在射线上截取，连接， ∵和是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ∵， ∴， 是等边三角形， ， ∴，， 即点E在角平分线上运动， 在射线上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值， ∵，， ∴， ∴ 的最小值为8． 17．（1）①；②，见解析；（2）①，见解析；②18 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握一线三垂直全等模型是解答本题的关键． （1）根据，得到，结合，得到，，从而得到，即可得到，即可得到答案； 同理证明即可得到答案； （2）①作于点，三线合一得到，同（1）法证明，即可得出结论； ②作，交于点，证明即可得到答案 【详解】解：（1），， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ； ②，理由如下： ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）①，理由如下： 作于点， ∵， ∴， 同（1）法可得：， ∴， ∴； ②在中，，，，如图，作，交于点， ，，， ， 在和中， ， ， ， ． 18．（1）见解析 （2）平行； （3）有最小值，8 【分析】（1）由和是等边三角形，推出，，，又因为，则，即，从而利用“”证明； （2）①由（1）得，得出，，，则； ②因为，，所以； （3）在上取一点，使得，连接，可证，，求得，得出是等边三角形，则，即点E在角平分线上运动，在射线上截取，当点E与点C重合时，，进而解答此题． 【详解】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴ 即 在和中， ， ∴； （2）平行，，理由如下： 由（1）得， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）有最小值，理由如下： 如图，在射线上取一点，使得，连接， ∵和是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 由三角形内角和为，可知：，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 即点E在的角平分线上运动， 在射线上截取，连接， 在和中， ， ， ∴， 则， 由三角形三边关系可知，， 即当点E与点C重合，时，有最小值， ∵， ∴， ∴最小值为8． 【点睛】本题考查三角形综合，平行线的判定、三角形内角和定理、全等三角形的判定，正确添加辅助线、掌握相关图形的性质定理是解题的关键． 题型四：利用全等三角形求证角之间的关系问题 19．C 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理，直角三角形的性质，解题的关键是找出使最小时点P的位置．在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形内角和，求出结果即可． 【详解】解：在上截取，连接，如图， 平分， ， ， ， ， ， ∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如下图， ， ， ， 故选：C． 20．/127度 【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的性质和判定、垂线段最短及三角形的内角和定理，确定使最小时点P的位置是解题的关键． 在上截取，连接，证明得出，从而证明当点A、P、E在同一直线上，且时， 的值最小，再根据三角形的内角和即可求出结果． 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ∴当点A、P、E在同一直线上，且，的值最小，即的值最小， ∴当点A、P、E在同一直线上，且时，， ， ， ， 故答案为：． 21．(1)见解析 (2)不成立 (3)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形外角的性质．熟练掌握平行线的判定与性质，三角形外角的性质是解题的关键． （1）解法一：如图1；延长交直线于点E，则，，由，可得；解法二、如图2；过点P作，则，，，进而可得； （2）如图3，过P作，则，，，然后作答即可； （3）由题意知，分（a）如图4，当动点P在射线的右侧时；（b）如图5，当动点P在射线上；（c）如图6，当动点P在射线的左侧时，3种情况求解作答即可． 【详解】（1）解法一：如图1；延长交直线于点E． ∵， ∴． ∵， ∴； 解法二、如图2；过点P作， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∴； （2）解：不成立，结论是， 如图3，过P作， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意知，分3种情况求解； （a）如图4，当动点P在射线的右侧时，结论是：． 证明：如图4，连接，连接交于M， ∵， ∴． 又∵， ∴． （b）如图5，当动点P在射线上，结论是：，或或，（任写一个即可） 证明：如图5，∵点P在射线上， ∴． ∵， ∴． ∴，或或，． （c）如图6，当动点P在射线的左侧时，结论是． 证明：如图6，连接，连接交于F， ∵， ∴． ∵， ∴． 22．(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形性质，正确添加辅助线是解题的关键． （1）通过证明，得到，即可求出结论； （2）由折叠得出，再证明，根据全等三角形性质求出结论； （3）将绕点C顺时针旋转得，证明，则，进而求出等腰三角形顶角即可． 【详解】（1）解：如下图： 在中，， ， ∵将沿折叠，得，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：由折叠得：， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）解：等边中，， 将绕点C顺时针旋转得， 则， ， ， ， ， ， ， ∵线段构成一个等腰三角形，， ∴线段构成一个等腰三角形，为此等腰三角形顶角， ， 即此时等腰三角形顶角的度数是． 23．【结论证明】 证明：过点C作 ， ；     【结论应用】 【应用拓展】或 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，角平分线的定义等知识点． （1）过点C作，则，再由角的和差计算证明即可； （2）先由求出，再根据平行线的性质求解即可； （3）分两种情况讨论，当点F在点O的右侧和点F在点O的左侧，根据三角形的外角性质以及角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）证明：过点C作 ， ；     （2）解：， ， ， ； （3）解：的度数为或    ①当点F在点O的右侧时， ， ， 是的角平分线，是的角平分线， ， ， ∴ ， ； ②当点F在点O的左侧时，如图， ， ， 是的角平分线，是的角平分线， ， ∴ 综上所述，或 24．(1)2，4 (2)①见解析；②见解析 (3)或． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定． （1）根据路程等于速度乘以时间可得的长，进而可得的长； （2）①可证明，再由垂线的定义可得，据此可证明结论； ②由全等三角形的性质得到，则可证明，再由平角的定义即可证明结论； （3）分和两种情况，根据全等三角形的性质讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，当时，， ∴， 故答案为：2，4； （2）证明：①由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时，则， ∴， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 综上所述，或． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $