精品解析：重庆市北碚区2025-2026学年高二下学期学生学业水平能力监测数学试卷

2025—2026学年（下）学生学业水平能力监测 高二年级数学试卷 （数学试卷共4页，考试时间120分钟，满分150分） 1.答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考号填写在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡指定位置上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试题和答题卡一并收回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设满足，则（ ） A. -1 B. -2 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】依题意，. 2. 已知随机变量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项分布的期望和方差公式，结合期望和方差的性质即可求解. 【详解】已知随机变量，即随机变量服从二项分布， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 3. 乘积展开后的项数为（ ） A. 27 B. 32 C. 35 D. 60 【答案】D 【解析】 【详解】多项式乘法原理：展开每一项，都是从每个括号里各选一个字母相乘得到， 第1个括号有3种选择，第2个括号有5种选择，第3个括号有4种选择， 根据分步乘法计数原理得， 所以展开后的项数是60. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据条件概率的性质和公式计算，再结合对立事件的概率公式即可求解. 【详解】已知，， 根据条件概率公式，得， 根据条件概率的性质，在事件发生的条件下，事件发生与事件不发生是对立事件， 所以， 因此，故A正确. 5. 某汽车总装厂从甲、乙、丙三家供应商处采购了同一型号的智能驾驶系统，数量分别为500套、300套、200套，用于装备其生产的同款汽车.已知甲、乙、丙三家供应的该系统的故障率分别为，，.现从已售出的该款汽车中随机抽取一辆，发现其智能驾驶系统发生故障.若在无法追溯故障部件具体来源的情况下，依据概率推断责任，则甲、乙、丙三家供应商应承担的责任比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用条件概率，全概率公式求解. 【详解】设事件表示“抽取的智能驾驶系统发生故障”,事件表示 “故障系统来自甲供应商”,事件表示 “故障系统来自乙供应商”,事件表示“故障系统来自丙供应商”, 总采购套数是（套），所以,, 由题意可知， 由全概率公式，得总故障概率是 ， 所以甲供应商责任概率是, 乙供应商责任概率是, 丙供应商责任概率是, 所以甲、乙、丙三家供应商应承担的责任比为. 6. 甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排拍照，要求甲在左端或右端，且乙丙要相邻，则不同的排列方式共有（ ） A. 12种 B. 16种 C. 24种 D. 32种 【答案】C 【解析】 【分析】先确定甲的位置，再通过捆绑法即可求解. 【详解】第一步：甲在左端或右端，共2种选择， 第二步：将乙丙视为1个整体，此时连同剩下的丁、戊，一共相当于3个元素排列， 剩余3个位置可以自由排列这3个元素，排列数为； 同时乙丙两人内部可以互换顺序，有种排列方式， 故总排列数为两步结果相乘：. 7. 为了研究一种新的学习方法对学生数学成绩的影响，某研究中心随机选取了200名学生进行对比实验，其中100名学生采用新方法学习，100名学生采用传统方法学习.经过一个学期后，对学生的数学成绩进行评估，结果如下表： 新方法学习 传统方法学习 合计 数学成绩优秀 50 70 120 数学成绩不优秀 50 30 80 已知其中，且.根据小概率值的独立性检验，则（ ） A. 新的学习方法与数学成绩有关 B. 新的学习方法与数学成绩无关 C. 新的学习方法与数学成绩有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 D. 新的学习方法与数学成绩无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 【答案】B 【解析】 【详解】零假设：新的学习方法与数学成绩无关， 因为， 所以，根据的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可认为新的学习方法与数学成绩无关，AC选项错误，B选项正确； 临界值用于判断小概率值是否足够小以至于拒绝零假设，D选项错误． 8. 若对恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式变形分离参数得 ，构造函数并求导判断其在 上单调递增，利用开区间端点处的极限确定参数范围. 【详解】由题意，对任意恒有. 因 ，两边取自然对数得. 令 ，，求导得，可知在上递增. 当 时，，故 ，所以在 上严格递增. 当时， . 故要使不等式恒成立，必须且只需. 即的取值范围为 . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于样本相关系数，下列说法正确的是（ ） A. 的正负可以反映成对样本数据是正相关还是负相关 B. 的大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度 C. 的值越大，成对样本数据之间线性相关的程度越强 D. 的取值范围是 【答案】AB 【解析】 【分析】由样本相关系数的定义进行判断． 【详解】对于A项，当时，称成对样本数据正相关，当时，称成对样本数据负相关，故A项正确； 对于B，C两项，当越接近1时，成对样本数据之间线性相关的程度越强， 当越接近0时，成对样本数据之间线性相关的程度越弱，故B项正确，C项错误； 对于D项，的取值范围是，故D项错误． 10. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】化简得，对应可知 代入题目条件得，A正确； ，B正确； ，C正确； ，D错误. 11. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. ，使得为增函数 C. ，使得点为曲线的对称中心 D. 当时，过点且与曲线相切的直线恰有两条 【答案】AC 【解析】 【分析】求导，利用导数研究函数的单调性，可判断AB；利用对恒成立，求解可判断C；设切点为，利用导数的几何意义求得切线方程，代入点，可得，判断方程解的个数即可判断D. 【详解】， 求导得，令，得， 又因为， 所以有两个不等的实根， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以有两个极值点，不存在，使得为增函数，故A正确，B错误； 若曲线关于点对称，则对恒成立， 又， ， 所以对恒成立， 即对恒成立， 所以，解得， 所以当时，使得点为曲线的对称中心，故C正确； 当时，，求导得， 设切点为，切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为. 又切线过点，所以， 整理得. 令，求导得， 令，得，解得或， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以函数有极大值，极小值， 又当时，，当时，； 所以与轴有唯一交点，所以有唯一解， 所以方程有唯一解， 所以当时，过点且与曲线相切的直线恰有一条，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，若，则____________. 【答案】 【解析】 【详解】因为随机变量，所以， 所以. 13. 以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有______个. 【答案】 【解析】 【分析】计算出从正方体的顶点中任取个点的取法种数，减去所取的四点共面的取法种数，由此可得出结果. 【详解】正方体的个顶点中任取个共有个， 不能组成四面体的个顶点有，已有个面，对角面有个， 所以，以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有个， 故答案为：. 14. 若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知：存在，使得，利用参变分离结合存在性问题分析求解. 【详解】因为， 由题意可知：存在，使得，整理得， 且在上单调递增，则，可得， 所以实数的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的数.（写出必要的过程，结果用数字作答） （1）可以组成多少个四位数； （2）可以组成多少个能被5整除的四位数. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分两步，先排最高位，其余的3个位置没有限制任意排； （2）分末尾是0和5排列. 【小问1详解】 先排最高位有6种方法，其余的3个位置没有限制，任意排，有种方法． 根据分步计数原理，可组成没有重复数字的四位数的个数为； 【小问2详解】 5的倍数，若末尾是0，则有＝120个； 若末尾是5，有个． 共有． 16. 已知函数，在处取得极值. （1）求实数，的值； （2）求在区间上的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用极值及极值点的意义求出并验证即得. （2）由（1）的结果，利用导数求最值，即可求得值域. 【小问1详解】 函数的定义域为， 求导得， 由在处取得极值， 得，解得， 此时， 当时，；当时，， 因此函数在处取得极值，所以. 【小问2详解】 由（1）知，，， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 而，则， 所以在区间上的值域为. 17. 新能源汽车的定价是影响其销量的关键因素之一.某公司统计了其一款车型在五个不同定价下的日均销量，数据如下表： 销售单价（万元/辆） 14 16 18 20 22 日均销量（辆） 110 95 80 65 55 （1）根据上表数据，求日均销量关于销售单价的经验回归方程，并据此预测当销售单价为24万元/辆时，该车型的日均销量； （2）计算表中5个样本点对应的残差（，2，3，4，5），用销售单价作为横坐标，残差作为纵坐标，作出残差图，并根据残差图分析该线性回归模型的拟合效果. 附：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 【答案】（1） （2）当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 得到，作出残差图， 由图，残差数值都在横轴附近波动，残差点均匀分布在横轴两侧的狭窄带状区域内， 没有明显的曲线趋势与扩散收缩现象，说明该线性回归模型对数据拟合效果很好. 【解析】 【分析】（1）结合题意求出平均数，利用最小二乘法得到回归方程，再进行计算即可； （2）逐个求出残差，作出残差图，再进行分析即可. 【小问1详解】 由题意得，， 则，， 可得，， 则回归方程为，当时，， 得到预测当销售单价为24万元/辆时，该车型的日均销量为辆. 【小问2详解】 略 18. 某电视台举办“公益猜歌挑战赛”，嘉宾需按指定顺序依次猜测三首歌曲，，的歌名.规则如下：只有猜对当前歌曲才有资格猜测下一首；若猜错任意一首或三首全部猜对，本轮挑战立即结束.已知猜对歌曲，，的概率分别为，，，猜对时获得的公益基金分别为，，（单位：元），各次猜测结果相互独立. （1）若，，，，，，猜测顺序固定为.已知嘉宾最终获得的公益基金不少于1000元，求其获得基金恰好为3000元的概率； （2）若猜测顺序固定为，记随机变量为嘉宾获得的公益基金总额.写出的分布列，并用，，，，，表示的数学期望； （3）若三首歌曲满足，，，，，，且.为使最大，嘉宾应按何种顺序猜测？请说明理由. 【答案】（1） （2）X的分布列为： X P （3）猜测顺序为，理由如下： 设两首歌曲M，N，猜对概率为，获得基金为，且， 先猜M后猜N的期望， 先猜N后猜M的期望， 由得， 故，即， 已知，为使最大，应按比值从大到小排序， 即猜测顺序为. 【解析】 【分析】（1）计算各种情况的概率，再利用条件概率的公式求解； （2）由可能的取值，计算对应概率，再结合分布列，利用公式计算数学期望； （3）设两首歌曲M，N，猜对概率为，获得基金为，且，由先猜N后猜M的期望更大，推广到三首歌的情况即可. 【小问1详解】 计算各情况获得基金及概率： 猜错：获0元，概率； 猜对猜错：获元，概率； 猜对猜错：获元，概率； 猜对：获元，概率， 设事件A为最终获得的公益基金不少于1000元，则， 事件B为获得基金恰好为3000元，，， 所以. 【小问2详解】 随机变量X的可能取值为， ，，， ， X的分布列为： X P ， 化简得. 【小问3详解】 略 19. 已知函数. （1）证明：存在唯一的极值点和唯一的零点； （2）设的极值点和零点所对应的点分别为，，求证：当时，的图象总在直线的上方； （3）若关于的方程（a为实数）有两个不相等的实数根，，且，求证：. 【答案】（1）函数定义域为 . 求导得. 令 ，得 . 当 时，，函数单调递增；当 时，，函数单调递减. 因此 在 处取得唯一极大值，无极小值，所以极值点唯一. 令 ，得 ，因 ，故 ，解得 . 且函数在 上递增且，在  上递减且 ，故零点唯一为 . 综上，存在唯一的极值点和唯一的零点. （2）极值点为 ，零点为. 直线 的方程为. 令. 求导得，所以 在 上单调递减. 又，故 在上先增后减，其最小值在区间端点取得. 而，因此在 内恒有 ， 即，所以  的图象总在直线 的上方. （3）由题意，方程 有两个不等实根， 结合（1）和函数图象可知 ，且. 由（2）可知，在 上有. 取 ，得，整理得①. 由于时，，故， 因为在 上单调递增，而 ，所以②. 由①②得，故不等式成立. 【解析】 【分析】（1）求导分析单调性，确定极值点唯一；令 解出唯一零点； （2）写出 坐标及直线方程，作差构造函数，利用导数判断其符号，证明图象在直线上方； （3）由两零点分布及（2）的结论，分别放缩与 得不等式. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年（下）学生学业水平能力监测 高二年级数学试卷 （数学试卷共4页，考试时间120分钟，满分150分） 1.答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考号填写在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡指定位置上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试题和答题卡一并收回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设满足，则（ ） A. -1 B. -2 C. 1 D. 2 2. 已知随机变量，则（ ） A. B. C. D. 3. 乘积展开后的项数为（ ） A. 27 B. 32 C. 35 D. 60 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 某汽车总装厂从甲、乙、丙三家供应商处采购了同一型号的智能驾驶系统，数量分别为500套、300套、200套，用于装备其生产的同款汽车.已知甲、乙、丙三家供应的该系统的故障率分别为，，.现从已售出的该款汽车中随机抽取一辆，发现其智能驾驶系统发生故障.若在无法追溯故障部件具体来源的情况下，依据概率推断责任，则甲、乙、丙三家供应商应承担的责任比为（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排拍照，要求甲在左端或右端，且乙丙要相邻，则不同的排列方式共有（ ） A. 12种 B. 16种 C. 24种 D. 32种 7. 为了研究一种新的学习方法对学生数学成绩的影响，某研究中心随机选取了200名学生进行对比实验，其中100名学生采用新方法学习，100名学生采用传统方法学习.经过一个学期后，对学生的数学成绩进行评估，结果如下表： 新方法学习 传统方法学习 合计 数学成绩优秀 50 70 120 数学成绩不优秀 50 30 80 已知其中，且.根据小概率值的独立性检验，则（ ） A. 新的学习方法与数学成绩有关 B. 新的学习方法与数学成绩无关 C. 新的学习方法与数学成绩有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 D. 新的学习方法与数学成绩无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 8. 若对恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于样本相关系数，下列说法正确的是（ ） A. 的正负可以反映成对样本数据是正相关还是负相关 B. 的大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度 C. 的值越大，成对样本数据之间线性相关的程度越强 D. 的取值范围是 10. 设，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. ，使得为增函数 C. ，使得点为曲线的对称中心 D. 当时，过点且与曲线相切的直线恰有两条 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，若，则____________. 13. 以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有______个. 14. 若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的数.（写出必要的过程，结果用数字作答） （1）可以组成多少个四位数； （2）可以组成多少个能被5整除的四位数. 16. 已知函数，在处取得极值. （1）求实数，的值； （2）求在区间上的值域. 17. 新能源汽车的定价是影响其销量的关键因素之一.某公司统计了其一款车型在五个不同定价下的日均销量，数据如下表： 销售单价（万元/辆） 14 16 18 20 22 日均销量（辆） 110 95 80 65 55 （1）根据上表数据，求日均销量关于销售单价的经验回归方程，并据此预测当销售单价为24万元/辆时，该车型的日均销量； （2）计算表中5个样本点对应的残差（，2，3，4，5），用销售单价作为横坐标，残差作为纵坐标，作出残差图，并根据残差图分析该线性回归模型的拟合效果. 附：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 18. 某电视台举办“公益猜歌挑战赛”，嘉宾需按指定顺序依次猜测三首歌曲，，的歌名.规则如下：只有猜对当前歌曲才有资格猜测下一首；若猜错任意一首或三首全部猜对，本轮挑战立即结束.已知猜对歌曲，，的概率分别为，，，猜对时获得的公益基金分别为，，（单位：元），各次猜测结果相互独立. （1）若，，，，，，猜测顺序固定为.已知嘉宾最终获得的公益基金不少于1000元，求其获得基金恰好为3000元的概率； （2）若猜测顺序固定为，记随机变量为嘉宾获得的公益基金总额.写出的分布列，并用，，，，，表示的数学期望； （3）若三首歌曲满足，，，，，，且.为使最大，嘉宾应按何种顺序猜测？请说明理由. 19. 已知函数. （1）证明：存在唯一的极值点和唯一的零点； （2）设的极值点和零点所对应的点分别为，，求证：当时，的图象总在直线的上方； （3）若关于的方程（a为实数）有两个不相等的实数根，，且，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $