精品解析：重庆市第一中学校2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

重庆一中高2027届高二下期期末考试 数学试题卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，，则实数的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 0 D. 0或1 【答案】C 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系，列式，再检验集合中元素是否满足互异性. 【详解】由条件，则或， 当时，集合不满足集合元素的互异性，舍去， 当时，或（舍）， 所以. 2. 命题：，，命题：，则是的（ ）条件 A. 充分必要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式同向相加可判断充分性，通过举反例否定其必要性，从而可判断两个命题之间的关系. 【详解】因为，所以，又因为，所以，即可以推出，所以充分性成立； 取，满足，但是不满足，即推不出，所以必要性不成立， 故是的充分不必要条件. 3. 重庆一中为调查该校学生对于数学史的了解情况，组织了一次数学史知识竞赛，并从该学校2500名参赛学生中随机抽取了100名学生，并统计了这100名学生成绩情况（满分100分，其中80分及以上为优秀），得到了样本频率分布直方图（如图），根据频率分布直方图推测，这2500名学生中竞赛成绩为优秀的学生人数大约为（ ） A. 200 B. 600 C. 700 D. 900 【答案】C 【解析】 【分析】依据频率分布直方图计算出样本中竞赛成绩为优秀的学生频率，再去推测这2500名学生中竞赛成绩为优秀的学生人数即可. 【详解】样本中竞赛成绩为优秀的学生频率为， 则这2500名学生中竞赛成绩为优秀的学生人数大约为. 4. 函数定义域是，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为函数定义域是，所以， 解得，所以的定义域是 5. 函数在上单调递增，则的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合复合函数增减性和二次函数单调性及对数函数真数的定义域列出不等式组，即可求解 【详解】要使在上单调递增， 因为外层函数在上单调递增， 所以只需求内层函数在上单调递增， 又因为内层函数是二次函数，开口向上，其对称轴为， 所以，解得 根据函数定义域有，结合单调区间等价于对所有恒成立，即 综上，取两个条件的交集，得. 6. 点、在抛物线上，且，记线段的中点为，则到轴的最短距离为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【详解】焦点，准线方程为， 分别过作轴的垂线，垂足为， 则， 等号成立时三点共线， 故到轴的最短距离为 7. 连续型随机变量，记函数，则的图像（） A. 在上不单调 B. 关于对称 C. 关于对称 D. 关于对称 【答案】D 【解析】 【分析】利用正态分布曲线的对称性，结合函数的单调性，和必过的点，再通过函数的中心对称性进行证明，即可作出判断. 【详解】 由连续型随机变量，可知根据正态分布密度函数曲线关于直线对称， 函数表示正态分布密度函数与及轴围成的面积，且易知. 对于A、B：函数在上是单调递增的，而递增函数不可能有对称轴，故A、B错误； 对于C、D：由，可猜想的图象关于点对称，证明：， 所以的图象关于点对称，故C错误，D正确. 8. 若，且不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，对求单调性可知，当，方程有两个不等的实根，要使不等式对恒成立，则二次函数的两根恰好为，由韦达定理表示出，再求出，代入，构造新函数，求导求出值域即可得出答案. 【详解】令，， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以， 当，方程有两个不等的实根，设为， 因为不等式对恒成立， 所以说明二次函数的两根恰好为， 所以， 又因为，所以，则， ， 所以， 令，， 因为，，，， 所以，所以在上单调递增，又， 当趋近时，趋近正无穷， 所以. 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 9. 已知，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据作差法判断AB；根据基本不等式判断C；根据幂函数的单调性判断D. 【详解】对于A，由，得，则，所以，A正确. 对于B，， 因为，，所以，即，B错误. 对于C，因为，所以，当且仅当，即时取等号， 又，故等号不成立，所以，C正确. 对于D，因为，所以，则在上单调递增，又，所以，D错误. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 随机变量，则方差 B. 0，6，5，11，8，6，12，17的下四分位数是11.5 C. 若两个随机事件，相互独立，满足，，则 D. 一副扑克中有红桃共13张牌，将，，称为花牌，其他称为数字牌，甲、乙依次不放回地从一副13张牌中各任取两张牌，甲抽到的花牌比乙抽到的花牌多的概率小于 【答案】ACD 【解析】 【分析】A利用二项分布的方差公式和方差性质计算；B利用百分位数的概念；C利用独立事件和加法概率公式；D分甲抽到2张花牌，甲抽到1张花牌，乙未抽到花牌，两种情况讨论. 【详解】对于A，因为，所以， 则，故A正确； 对于B，数据从小到大排列为0，5，6，6，8，11，12，17，共8个数据， ，故下四分位数是，故B错误； 对于C，因为，相互独立，所以,， 则， 则，故C正确； 对于D，甲、乙依次不放回地从一副13张牌中各任取两张牌，共有种， 其中甲抽到2张花牌的有种； 甲抽到1张花牌，乙未抽到花牌，共有种， 则甲抽到的花牌比乙抽到的花牌多的概率为，故D正确. 11. 设函数，则（ ） A. 当时， B. 若，则该不等式的解集为或或 C. 若关于的方程有4个不同的实数解，则 D. 上一定存在四个不同的点可以构成矩形 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于选项A，求导，判断函数在的单调性，进而比较大小；对于选项B，先根据的图象解出的解集，进而求出的解集；对于选项C，令，将方程转化为关于的方程，结合函数图象分析方程的根的情况；对于选项D，根据中心对称来判断. 【详解】对于选项A，因为，， 所以，，在上单调递增， 又，所以，选项A错误； 对于选项B，，或，在，上单调递增， ，，在上单调递减， 当时，取得极大值，当时，取得极小值， 如图所示，，或， ，解得或或， 所以或或， 解得或或， 所以不等式的解集为或或，选项B正确； 对于选项C，令，方程可化为， 要使方程有4个不同的实数解， 关于的方程有两个不同实数根， 则，结合函数图象可得且， 令，则，，， 所以，可得，选项C正确； 对于选项D，因为， ， 所以关于点中心对称， 所以上一定存在四个不同的点可以构成矩形，选项D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 等比数列的前项积是，若，则________． 【答案】128 【解析】 【分析】根据等比数列的性质求解. 【详解】等比数列，， 所以， . 13. 为定义在上的奇函数，且，当时，，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】依题意可得函数的周期为4，根据周期性与奇偶性计算可得答案. 【详解】由题意可知,又因为是上的奇函数满足， 所以,将换成，可得，所以周期． 因为是上的奇函数， 所以, 因为,所以, 又因为当时，，所以, 所以. 14. 将编号1~6的6个小球放入编号1~6的6个盒子中，每个盒子里放一个小球．要求恰好有两个小球放入同编号的盒子中，且1号小球不能放入2号盒子，2号小球不能放入1号盒子，3号小球不能放入4号盒子，4号小球不能放入3号盒子，一共有________种放法． 【答案】80 【解析】 【分析】分2个对号都在前四个（1,2,3,4）中；1个对号在前四个，1个对号是5或6；2个对号是5和6；3种情况讨论求解即可. 【详解】分类按选中的2个对号的位置，总共有种选对号的方式，分三类计算： 情况1：2个对号都在前四个（1,2,3,4）中 子情况1a：两个对号是或共2种选法， 若对号选择的是，剩余4个元素需要全部错排，且满足剩余元素的限制， 最终只能是3号球4号球去5号盒与6号盒，同时5号球、6号球去3号盒与4号盒， 共种， 总计：种。 子情况1b：两个对号一个来自、一个来自，共种选法： 原有限制全部自动满足（对号占了对应位置，不可能违反限制）， 剩余4个元素全错排， 若对号是1号球和3号球，则剩下2，4，5，6号球， 先放2号球，有3种选择，（4号盒或5号盒或6号盒）， 若2号球放4号盒，再放4号球，此时4号球有3种选择，（2号盒或5号盒或6号盒）， 剩下5号球、6号球，共1种选择，共计种， 同理，其它情况也是9种， 故总计：种； 情况1合计：种； 情况2：1个对号在前四个，1个对号是5或6 选对号方法：种， 若对号是1号球和5号球，剩下2，3，4，6号球， 有2号球放3号盒，3号球放2号盒，4号球放6号盒，6号球放4号盒， 或2号球放3号盒，3号球放6号盒，4号球放2号盒，6号球放4号盒， 或2号球放4号盒，3号球放2号盒，4号球放6号盒，6号球放3号盒， 或2号球放4号盒，3号球放6号盒，4号球放2号盒，6号球放3号盒， 共4种，同理其它情况也是4种， 总计：种， 情况3：2个对号是5和6 剩余1,2,3,4四个元素全部错排，满足限制， 此时1号球、2号球只能放3号盒和4号盒； 3号球、4号球只能放1号盒和2号盒； 共种， 故总计有：， 因此总放法为种. 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数是奇函数，且 （1）求和的值； （2）若，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义求解即可. （2）先利用函数的奇偶性和单调性将抽象不等式转化为具体的不等式 ，再对分类讨论，最后用基本不等式求最小值，得到实数的取值范围． 【小问1详解】 的定义域为，又为奇函数，则. 又，即，解得. 则， 由，则，满足条件. 【小问2详解】 由（1）知， ，均在上单调递增， 在上单调递增. 在时恒成立，是上单调递增的奇函数， 所以，即在时恒成立， ，成立，此时，时，得到． 且令，即在时恒成立. 又，当且仅当时等号成立， 即，故. 16. 高二某数学小组为调查本年级学生的数学分析能力与性别是否有关，随机抽取了100名学生参加数学分析能力竞赛活动，其中男生40名，女生60名．根据竞赛成绩，将参赛学生数学分析能力分为“优秀”与“合格”两级． 能力 性别 合格 优秀 合计 男 30 40 女 30 60 合计 100 （1）若男生和女生中各有30名被评为“优秀”，补充完整列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析该年级学生数学分析能力是否与性别有关？ （2）若所有参赛学生的成绩服从正态分布，其中为全体参赛学生成绩的均值，为全体参赛学生成绩的方差，经统计，参赛男生的平均成绩为70分，方差为11，参赛女生的平均成绩为65分，方差为6，试估计参赛成绩在内的学生人数（四舍五入精确到个位）． 参考：①附：，其中． 常用的小概率值和相应的临界值： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 ②若随机变量，则，， 【答案】（1） 能力 性别 合格 优秀 合计 男 10 30 40 女 30 30 60 合计 40 60 100 可以认为该年级学生的数学分析能力优秀与否和性别无关； （2）50人 【解析】 【分析】（1）补全列联表；提出零假设，计算卡方，与临界值比较判断即可. （2）根据加权平均值及合并方差公式得到，结合正态分布的对称性及原则求解即可. 【小问1详解】 完整列联表如下： 能力 性别 合格 优秀 合计 男 10 30 40 女 30 30 60 合计 40 60 100 零假设：该年级学生的数学分析能力优秀与否与性别无关. ， 因为，根据小概率值的独立性检验，我们推断成立，即可以认为该年级学生的数学分析能力优秀与否和性别无关. 【小问2详解】 由题意知， 故，则， 所以， 因为， 所以， 又（人）， 故成绩在范围内的学生约为50人. 17. 实验室有三个电子元件、、，需依次通电测试稳定性．规则如下：按预定顺序逐个通电，每个元件仅测试一次；若某元件通电故障（测试失败），则测试下一个元件；任一元件通电正常（测试成功），则立刻停止测试．元件、、通电正常的概率分别为，，，各元件工作状态相互独立． （1）若测试顺序定为，已知，，，求测试停止时，已经测试的元件个数的分布列及期望； （2）已知到测试停止时，每一个正常通电的元件可以获利60元，通电故障的元件则会损失30元，若，（），按照的预定顺序进行测试，设测试停止时，已测试的元件可获得的总利润为，期望为，且，求的取值范围． 【答案】（1） 1 2 3 （2） 【解析】 【分析】（1）根据随机变量的意义，结合独立事件概率公式，即可求解； （2）首先根据的取值，列出关于的分布列和数学期望，再根据，求解. 【小问1详解】 由题意可知，的所有可能取值为1，2，3， 则，，， 所以的分布为： 1 2 3 【小问2详解】 由题意：所有可能取值为：60，30，0，， ，； ； 化简得 18. 已知双曲线：（，）的其中一条渐近线为，且点在双曲线上．、为双曲线的左、右焦点，、为双曲线的左、右顶点． （1）求双曲线的标准方程； （2）已知直线的斜率，与双曲线交于、两点，以线段为直径的圆过双曲线的右顶点，求直线的方程； （3）过点的直线与双曲线的右支交于、两点，的重心为，判断重心是否在定曲线上，若在，求出该曲线的方程． 【答案】（1） （2） （3）（） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程以及点在曲线上代入求解即可. （2）设出直线方程，联立双曲线方程，根据韦达定理以及向量垂直求解即可. （3）先联立直线与双曲线方程，通过韦达定理得到交点坐标的和与积；再利用右支交点条件确定参数范围；最后用重心坐标公式将参数消去，得到重心轨迹的曲线方程. 【小问1详解】 由题意得：双曲线的一条渐近线方程为，则①. 点在双曲线上，代入得②. 由①②得，，双曲线的标准方程为：. 【小问2详解】 由（1）得：，设点，. 设直线的方程为：，与联立得， ，. 则，. ∵以为直径的圆过， . ， 或. 时，直线经过右顶点，此时交点中有一点与重合，不符合题意，∴直线方程为. 【小问3详解】 设，，将直线：代入双曲线方程， 得. 即 ,， . 因为直线与双曲线的右支交于，，所以，， 所以，. 因此，，因为， 所以的重心的坐标为，， 由，解得. 由，可得， 将代入， 得化简得， 所以的重心在双曲线上，曲线方程为（）. 19. 规定：函数与图像交点的横坐标从小到大依次为（），若存在，使得，则称具有“”性质 （1）判断函数是否具有“”性质？（需要写出判断过程） （2）若函数（）具有“”性质： （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若存在，，使得，则称具有反“”性质 已知函数，当取最小值时，设函数，是否存在，使得具有反“”性质，若存在，求出的最大值，若不存在，说明理由．（表示，中的较大者） 【答案】（1）由题意：令，即 （） 不妨取，1，2，则，，，若具有“”性质，则，使得，取， 具有“”性质． （2）（ⅰ）；（ⅱ）存在，2 【解析】 【分析】（1）联立函数与直线方程消去一次项，得到余弦方程解出一组间隔均匀的交点横坐标，直接在间隔两个交点的区间内选取特殊点代入计算函数值，通过数值对比验证区间内存在满足不等式的点，以此判断函数具备“”性质； （2）联立三次函数和直线方程因式分解得到三个实根，求导得到函数两个极值点，分正负参数讨论单调区间，舍去参数小于0的无效情形后，利用区间内极小值不超过左侧交点函数值建立不等式，构造单变量辅助函数结合单调性求解得到参数取值范围； （3）先取参数最小值确定三次函数解析式与全部交点，再按照分段规则分析，联立正弦型函数与直线得到零点存在约束，根据正整数对正弦周期的约束缩小候选值范围，验证区间内正弦函数极大值可超过右侧交点函数值，最终确定满足反“”性质的最大正整数. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 （ⅰ）由题，令 或. 对于方程， ， 由题：，，， 由具有“”性质，则，使得，即在上的极小值小于等于即可， 令，则，. ①当时， 时，，在上单调递增； 时，，在上单调递减；时，，在上单调递增； 是的极小值点，而 ，，不满足题意； ②当时， 时，，在上单调递增； 时，，在上单调递减；时，，在上单调递增； 是的极小值点，， 又 成立，即成立，成立. 令，求导得， 在上单调递增，又 的解集为， 即的取值范围为. （ⅱ）由（ⅰ），令，得，，. 设， 若，则 ， ， 与无交点若，则只能由得到. 令，则 ，解得（） ，∴取，则，当时， 无交点，， ，， 则 ，也不是其中一个交点的横坐标. 此时与不能有三个交点. 当时，， 若具有反“”性质，则存在，使得， 即在上存在极大值，且极大值大于等于. 时，，由（ⅰ）可知，在上单调递增，所以不存在极大值. 当，时，， ， 令，得，时，，单调递增，时，，单调递减，为的极大值点，，而 ， ，满足题意，的最大值为2. 【点睛】本题依托全新区间最值类定义命题，解题核心逻辑统一为先求函数与直线的交点零点，再依托多项式极值、三角函数周期性分析区间内高低点，分段复合函数需要区分区间讨论上下包络的峰值特征，含参不等式求解常用构造辅助函数的方式简化运算. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆一中高2027届高二下期期末考试 数学试题卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，，则实数的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 0 D. 0或1 2. 命题：，，命题：，则是的（ ）条件 A. 充分必要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要 3. 重庆一中为调查该校学生对于数学史的了解情况，组织了一次数学史知识竞赛，并从该学校2500名参赛学生中随机抽取了100名学生，并统计了这100名学生成绩情况（满分100分，其中80分及以上为优秀），得到了样本频率分布直方图（如图），根据频率分布直方图推测，这2500名学生中竞赛成绩为优秀的学生人数大约为（ ） A. 200 B. 600 C. 700 D. 900 4. 函数定义域是，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 5. 函数在上单调递增，则的范围为（ ） A. B. C. D. 6. 点、在抛物线上，且，记线段的中点为，则到轴的最短距离为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 连续型随机变量，记函数，则的图像（） A. 在上不单调 B. 关于对称 C. 关于对称 D. 关于对称 8. 若，且不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 9. 已知，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 随机变量，则方差 B. 0，6，5，11，8，6，12，17的下四分位数是11.5 C. 若两个随机事件，相互独立，满足，，则 D. 一副扑克中有红桃共13张牌，将，，称为花牌，其他称为数字牌，甲、乙依次不放回地从一副13张牌中各任取两张牌，甲抽到的花牌比乙抽到的花牌多的概率小于 11. 设函数，则（ ） A. 当时， B. 若，则该不等式的解集为或或 C. 若关于的方程有4个不同的实数解，则 D. 上一定存在四个不同的点可以构成矩形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 等比数列的前项积是，若，则________． 13. 为定义在上的奇函数，且，当时，，则________． 14. 将编号1~6的6个小球放入编号1~6的6个盒子中，每个盒子里放一个小球．要求恰好有两个小球放入同编号的盒子中，且1号小球不能放入2号盒子，2号小球不能放入1号盒子，3号小球不能放入4号盒子，4号小球不能放入3号盒子，一共有________种放法． 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数是奇函数，且 （1）求和的值； （2）若，恒成立，求实数的取值范围． 16. 高二某数学小组为调查本年级学生的数学分析能力与性别是否有关，随机抽取了100名学生参加数学分析能力竞赛活动，其中男生40名，女生60名．根据竞赛成绩，将参赛学生数学分析能力分为“优秀”与“合格”两级． 能力 性别 合格 优秀 合计 男 30 40 女 30 60 合计 100 （1）若男生和女生中各有30名被评为“优秀”，补充完整列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析该年级学生数学分析能力是否与性别有关？ （2）若所有参赛学生的成绩服从正态分布，其中为全体参赛学生成绩的均值，为全体参赛学生成绩的方差，经统计，参赛男生的平均成绩为70分，方差为11，参赛女生的平均成绩为65分，方差为6，试估计参赛成绩在内的学生人数（四舍五入精确到个位）． 参考：①附：，其中． 常用的小概率值和相应的临界值： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 ②若随机变量，则，， 17. 实验室有三个电子元件、、，需依次通电测试稳定性．规则如下：按预定顺序逐个通电，每个元件仅测试一次；若某元件通电故障（测试失败），则测试下一个元件；任一元件通电正常（测试成功），则立刻停止测试．元件、、通电正常的概率分别为，，，各元件工作状态相互独立． （1）若测试顺序定为，已知，，，求测试停止时，已经测试的元件个数的分布列及期望； （2）已知到测试停止时，每一个正常通电的元件可以获利60元，通电故障的元件则会损失30元，若，（），按照的预定顺序进行测试，设测试停止时，已测试的元件可获得的总利润为，期望为，且，求的取值范围． 18. 已知双曲线：（，）的其中一条渐近线为，且点在双曲线上．、为双曲线的左、右焦点，、为双曲线的左、右顶点． （1）求双曲线的标准方程； （2）已知直线的斜率，与双曲线交于、两点，以线段为直径的圆过双曲线的右顶点，求直线的方程； （3）过点的直线与双曲线的右支交于、两点，的重心为，判断重心是否在定曲线上，若在，求出该曲线的方程． 19. 规定：函数与图像交点的横坐标从小到大依次为（），若存在，使得，则称具有“”性质 （1）判断函数是否具有“”性质？（需要写出判断过程） （2）若函数（）具有“”性质： （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若存在，，使得，则称具有反“”性质 已知函数，当取最小值时，设函数，是否存在，使得具有反“”性质，若存在，求出的最大值，若不存在，说明理由．（表示，中的较大者） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $