4.2 认识一次函数（第2课时 一次函数与正比例函数）（教学课件）数学新教材北师大版八年级上册

该初中数学课件聚焦一次函数与正比例函数的概念及关系，通过弹簧长度与物体质量、汽车耗油量等实际情景，结合表格数据引导学生观察变量“均匀”变化，搭建从变量关系到一次函数概念的学习支架。 其亮点是以实际问题培养数学眼光观察数量关系，通过归纳总结和题型探究发展数学思维推理能力，用函数解析式表达实际关系强化数学语言。例如弹簧问题中k为弹性系数、b为初始长度，帮助学生理解概念，教师可借助清晰辨析和变式训练提升教学效果，学生能掌握概念并解决实际问题。

【新教材】北师版·八年级上册 第四章 一次函数 4.2 认识一次函数 4.2.2 一次函数与正比例函数（第2课时） 学 习 目 标 1 2 3 理解一次函数的概念,明确一次函数与正比例函数之间的联系。 能够概括一次函数与正比例函数的关系，培养总结概括能力，感悟从特殊到一般的思想。 能根据问题信息写出一次函数的解析式，并利用一次函数解决实际问题。 情景引入 星体位置随着时间的变化而变化. 星体位置随着时间的变化而变化. (2) 你能写出 y与 x之间的关系式吗？ 在弹性限度内，弹簧长度y（单位：cm）与所挂物体的质量x（单位：kg）的关系如下表所示. x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm (1) 随着所挂物体质量x的增加，弹簧长度y的增长是“均匀”的吗？ y＝0.5x＋3 3 3.5 4 4.5 5 5.5 是均匀的 新知探究 尝试思考 某辆汽车油箱中原有汽油40 L，汽车每行驶50km耗油4 L， 汽车行驶路程x/km 0 50 100 150 200 300 耗油量y/L 0 4 8 12 16 24 （1）完成下表： （2）你能写出耗油量y（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系式吗？ 或 y＝0.08x (3) 你能写出油箱剩余油量 z (L) 与汽车行驶路程 x (km)之间的关系式吗？ 或 z＝40－0.08x 新知探究 观察思考 上面情景中，表示变量之间关系的函数解析式有什么共同的特点？ （1）y ＝ 0.5x ＋ 3 （2）y ＝ 0.12x （3）y ＝ -0.12x ＋60 y ＝ kx ＋ b 这些函数解析式都包含常数与自变量的乘积的形式！ 归纳总结 新知探究 函数的概念 若两个变量x，y间的对应关系可以表示成 y＝kx＋b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称 y是x的一次函数. 函数是一次函数 关系式为：y=kx+b (k为常数，k≠0) 特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数. 函数是正比例函数 关系式为：y=kx (k为常数，k≠0) 题型一 题型探究 小亮 方法技巧 判断函数是否为一次函数的方法 : 先看函数关系式是否是整式的形式，再将函数关系式进行恒等变形，然后看它是否符合一次函数关系式 y=k x+b(k ，b 为常数， k ≠ 0)的结构特征 . 利用一次函数定义判断 例1.下列函数中，哪些是一次函数？哪些又是正比例函数？ (1)y＝－2x2； (2)y＝； (3)y＝3x2－x(3x－2) ；(4) y=－ . 解（1）：因为x的次数是2，所以y＝－2x2不是一次函数. （2）因为y＝＝x＋，k＝，b＝， 所以y＝是一次函数，但不是正比例函数. （3）解：因为y＝3x2－x(3x－2)＝2x，k＝2，b＝0， 所以它是一次函数，也是正比例函数. （4）因为 y=－ 中，－ 不是整式，所以它不是一次函数 . 归纳总结 新知探究 函数的概念 1.判定一个函数是一次函数的条件： 2.判定一个函数是正比例函数的条件： 一次函数 正比例函数 ① k 是常数，k≠ 0； ② x 的次数是 1. ① k 是常数，k≠0； ② x 的次数是 1. ③ b=0. 正比例函数是一种特殊的一次函数. 题型二 题型探究 小亮 方法技巧 紧扣一次函数的定义与结构特征进行识别. 利用一次函数定义列关系式 例2.写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ (1) 汽车以 60 km/h 的速度匀速行驶，行驶路程 y (km)与行驶时间 x (h) 之间的关系； 解：由路程 = 速度×时间，得 y = 60x， y 是 x 的一次函数，也是 x 的正比例函数. 解：由圆的面积公式，得 y=πx2，y不是x的一次函数，也不是x的正比例函数. (2) 圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)之间的关系. 题型二 题型探究 小亮 方法技巧 把自变量 x 的值带入关系式中，即可求出函数的值. 利用一次函数定义列关系式 例2.写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ 解：这个水池每小时增加 5 m3 水，x h 增加 5x m3 水，因而 y = 15 + 5x.y 是 x 的一次函数，但不是 x 的正比例函数. (3)某水池有水15 m3，现打开进水管进水，进水速度为 5 m3/h，x h 后这个水池有水 y m3. 新知探究 思考交流 （1）例1中，两个一次函数的一次项系数 k 和常数项 b 分别是多少，它们的实际意义是什么？ （1）y = 60x k = 60，实际意义是汽车速度(每小时行驶 60 km )； b = 0，表示行驶 0 小时时，路程为 0 km 。y = 15 + 5x k = 5，实际意义是进水管进水速度(每小时进水 5m3 )； b = 15，表示打开进水管前，水池原有水 15 m3 。 新知探究 思考交流 （2）一般地，k，b 对一次函数 y = kx + b 有怎样的影响？与同伴进行交流。 k 实际中对应 “单位变化量”（如速度、速率 ）。 b 实际中对应 “初始值”（如原有水量、起始路程 ），决定函数起始状态。 题型一 题型探究 小亮 方法技巧 根据具体情景，找出函数表达式，把自变量 x 的值带入关系式中，即可求出函数的值. 利用一次函数定义列关系式 例3.如图，甲、乙两地相距500km. 现有一列“复兴号”动车组列车从乙地出发，以350km/h的速度向丙地行驶. 设x（h）表示列车行驶的时间，y（km）表示列车与甲地的距离. （1）写出 y 与 x之间的关系式，并判断 y 是否为x的一次函数； （2）当 x＝0.5 时，求 y 的值. （1）y＝500＋350x，y是x的一次函数； （2）y＝500＋350×0.5＝675（km） v ＝ 350km/h 课堂小结 变式训练 1.下列说法正确的是（ ） A.一次函数是正比例函数 B.正比例函数不是一次函数 C.不是正比例函数就不是一次函数 D.正比例函数是一次函数 D 变式训练 2.下列函数中，是正比例函数的是(　A　) A. y＝－8x B. y＝－ C. y＝5x2＋6 D. y＝－0.5x－1 A 变式训练 3.已知函数 . （1）当 m,n 取何值时，y是x的一次函数？ （2）当 m,n 取何值时，y是x的正比例函数？ 解：（1）∵ y是x的一次函数 ∴ m+1≠0，且 2- =1 解得 m≠ -1，且 m= ±1 ∴ m=1，n取任意数. （2）∵ y是x的正比例函数 ∴ m+1≠0，且 2- =1，且 n+4=0 解得 m≠ -1，m= ±1,且 n= -4 ∴ m=1，n= -4. 【新教材】北师版·八年级上册 感谢聆听! $