4.2 第2课时 在简单实际问题中认识一次函数与正比例函数-【初中学霸创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步课件(北师大版2024)

2 认识一次函数 情境导入 知识讲解 随堂小测 课堂小结 第2课时 在简单实际问题中认识一次函数与正比例函数 学习目标 1.掌握一次函数、正比例函数的概念。（重点） 2.能根据条件求出一次函数的关系式。（难点） 情境导入 什么叫函数? 在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量. 函数有图象、表格、关系式三种表达方式. 复 习 回 顾 知识讲解 知识点1 一次函数与正比例函数的定义 某弹簧的自然长度为3 cm.在弹性限度内，所挂物体的质量x每增 加1 kg,弹賛长度y增加0.5 cm. (1)计算所挂物体的质量分别为1kg，2 kg，3 kg，4 kg，5 kg时 弹簧的长度，并填入下表： (2)你能写出y与x之间的关系式吗？ x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 3 3.5 4 4.5 5 5.5 y=3+0.5x 做一做 某辆汽车油箱中原有汽油40 L，汽车每行驶50 km耗油4 L. （1）完成下表： （2）你能写出耗油量y（L )与汽车行驶路程x(km)之间的关系式吗？ （3）你能写出油箱剩余油量z ( L )与汽车行驶路程x( km)之间的关系式吗？ 汽车行驶路程x/km 0 50 100 150 200 300 耗油量y/L 0 4 8 12 20 24 y=x= z=40-x=40- 一次函数： 如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=kx+b(k，b为常数，k≠0) 的形式，那么称y是x的一次函数。 特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数。 例1 下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？ (1)y＝－x－4; (2)y＝5x2－6； (3)y＝2πx; (6)y＝8x2＋x(1－8x) 解：(1)是一次函数，不是正比例函数； (2)不是一次函数，也不是正比例函数； (3)是一次函数，也是正比例函数； (4)是一次函数，也是正比例函数； (5)不是一次函数，也不是正比例函数； (6)是一次函数，也是正比例函数． 随堂小测 1.下列函数①y＝2x－1，②y＝πx，③y＝ ，④y＝x2中，一次函数的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 2.下列y关于x的函数中，是正比例函数的为(　　) A．y＝x2　　　　　　 B．y＝ C．y＝ D．y＝ B C 3.已知函数y＝(m－1)x＋1－3m. (1)当m为何值时，y是x的一次函数？ (2)当m为何值时，y是x的正比例函数？ 1.判断一个函数是一次函数的条件： 自变量是一次整式，一次项系数不为零； 2.判断一个函数是正比例函数的条件： 自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项为零。 知识拓展 知识讲解 知识点2 确定一次函数（正比例）函数的关系式 1.一般地，形如y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫作一次函数．当b＝0时，y＝kx＋b即为y＝kx，所以说正比例函数是特殊的一次函数。 2.正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数。 例2 写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ （1）汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶路程 y( km )与行驶时间x (h)之间的关系； （2）圆的面积y（cm2)与它的半径x (cm)之间的关系； （3）某水池有水15 m3,现打开进水管进水，进水速度为5 m3/h, x h后这个水池内有水y m3. 解：（1）由路程=速度×时间，得y=60x，y是x的一次函数，也是x的正比例函数； （2）由圆的面积公式，得y= πx2, y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数； （3）这个水池每时增加5 m3水，x h增加5x m3水，因而y=15+5x, y是x的一次函数，但不是x的正比例函数. 随堂小测 1.为了增强居民的节约用水意识，某市制定了新的水费标准：每户每月用水量不超过5 t的部分，自来水公司按每吨2元收费；超过5 t的部分，按每吨2.6元收费.设某用户月用水量x吨，自来水公司应收的水费为y元. （1）试写出y（元）与x（t）之间的函数关系式. （2）该户今年5月份的用水量为8 t，自来水公司应收水费多少元？ 解:（1）当x≤5时，y＝2x； 当x>5时，y＝10＋（x－5）×2.6＝2.6x－3； （2）因为x＝8>5 ， 所以y＝2.6×8－3=17.8（元）. 课堂小结 一次函数和正比例函数： 一般地，形如y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的函数叫作一次函数，其中x是自变量，y是x的函数。特别地，当b＝0时，y＝kx(k为常数，k≠0)，y叫作x的正比例函数。 说明： （1）正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包括正比例函数； （2）判断一个函数是否是一次函数，必须将其化成最简形式。 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 绿卡图书—走向成功的通行证 $