4.2认识一次函数（第3课时一次函数在计费问题中的应用）（教学设计）数学北师大版2024八年级上册

4.2.3 认识一次函数（第3课时） 教学设计

1.教学内容

本节课是北师大版《义务教育教科书•数学》八年级上册（以下统称“教材”）第四章第二节认识一次函数第3课时.内容包括：一次函数在计费问题中的应用，通过分析出租车计费、水电费计费等实际情境，引导学生建立一次函数模型，解决相关计费问题。

2.内容解析

一次函数是刻画现实世界变量之间关系的重要数学模型，在计费问题中有着广泛的应用。学生在之前已经学习了一次函数的基本概念、表达式和性质，本节课是在此基础上，进一步让学生体会一次函数在实际生活中的应用价值，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，同时也为后续学习其他函数模型以及高中数学中的函数应用奠定基础。

​基于以上分析，确定本节课的教学重点为：根据实际计费情境确定一次函数关系式及自变量取值范围；利用一次函数关系式解决简单的计费问题。

1.教学目标

（1）能根据实际计费问题准确列出一次函数关系式，确定自变量的取值范围；会利用一次函数关系式解决具体的计费问题，如计算费用、比较方案等。

（2）经历从实际问题中抽象出一次函数模型的过程，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高数学建模思维和逻辑推理能力。

（3）体会数学与生活的紧密联系，增强学习数学的兴趣和应用数学的意识 ，培养学生严谨认真的学习态度。

2.目标解析

（1）达成知识与技能目标的标志是学生能够针对不同的计费情境，正确分析数量关系，列出一次函数表达式，并能根据给定的自变量值准确计算函数值，解决实际的计费问题。

（2）过程与方法目标的实现体现在学生在解决问题过程中，能主动思考，将实际问题转化为数学问题，通过建立一次函数模型求解，并能对结果进行合理的解释和分析。

（3）情感态度与价值观目标的达成表现为学生积极参与课堂讨论和活动，对用数学知识解决生活中的

计费问题产生浓厚兴趣，认识到数学在生活中的重要性。

已有知识及掌握情况：八年级学生在之前已经学习了一元一次方程、二元一次方程组等知识，具备了一定的代数运算能力和分析问题的能力 。在本章前两节课中，学生又学习了一次函数的概念、表达式和性质，对一次函数有了初步的认识和理解，能够根据已知条件确定一次函数的表达式，这为学习一次函数在计费问题中的应用奠定了知识基础。

预估教学中遇到的困难：部分学生在从实际计费问题中抽象出数学模型，准确分析数量关系，确定一次函数表达式及自变量取值范围时可能会遇到困难；在利用一次函数解决复杂的计费问题，如分段计费、比较不同方案的优劣时，学生可能会出现思路不清晰、计算错误等问题；此外，学生在将数学结果回归到实际问题中进行解释和应用时，可能会存在理解上的偏差。

解决困难的办法：通过创设丰富的实际生活情境，如出租车计费、水电费计费等，引导学生逐步分析问题，找出数量关系，建立一次函数模型，让学生在实践中掌握建模方法；对于复杂的计费问题，采用小组合作探究的方式，鼓励学生相互交流、讨论，共同理清思路，教师给予及时的指导和帮助；在教学过程中，注重对学生解题思路和方法的引导，加强对数学结果实际意义的解释和说明，通过具体的例子让学生理解数学与生活的紧密联系。

知识回顾

1. 什么是一次函数？

如果两个变量 x、y之间的对应关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数，k≠0）的形式，那么称 y是x的一次函数。

特别地，当b=0时，称 y是x的正比例函数。即正比例函数可以表示为y=kx (k ≠0）。

   想一想：在实际生活中，能否运用一次函数解决某些问题？

（设计意图：巩固学生已有的知识，为学习一次函数在计费问题中的应用做好铺垫.）

（教学建议：提问学生，让学生回答，教师进行补充和强调.）

应用一：

某单位需租一辆 45座大客车，咨询了甲、乙两家出租车公司。甲公司的计费标准：直接按里程计费，每千米 15元。乙公司的计费标准：除了每千米 10元的里程费外，另有服务费200元（不足 1km 按 1km

计算）。

（1）       假设该单位用车里程为 30km，你建议租用哪家公司的客车？

分析：甲公司：总费用=单价×数量

乙公司：总费用=里程费+服务费

我们需要将甲、乙两家出租车的费用分别计算出来进行比较，进而做出决定。

解：甲公司的费用：15×30＝450（元），

乙公司的费用：10×30＋200＝500（元）。

∵ 450＜500，

∴建议租用甲公司的客车。

（2）假设该单位用车里程为 52km，你建议租用哪家公司的客车？

解：甲公司的费用：15×52＝780（元），

    乙公司的费用：10×52＋200＝720（元）。

∵ 780＞720，

∴建议租用乙公司的客车。

（3）用车里程为多少千米时，两家出租车公司的收费相同？

你能否将两家公司费用分别表示出来呢？

解：设用车里程为 x 千米是两家收费相同，甲公司收费为15x元，乙公司收费为（10x+200)元，

     据题意，15x＝10x＋200，

        解得   x＝40

∴ 用车里程为 40 千米时，两家出租车公司的收费相同。

思考1：生活中还有哪些也是相关的计费问题？

除了租车、还有用水、用气、用电、快递计费等。

即本质上都是一次函数的应用。

（设计意图：通过具体的出租车计费问题，引导学生分析数量关系，建立一次函数模型，掌握根据实际问题列出一次函数关系式及确定自变量取值范围的方法，同时学会利用一次函数关系式解决简单的计费问题）.

（教学建议：引导学生一步一步分析问题，鼓励学生积极思考，大胆发言，对于学生的回答及时给予肯定和鼓励）.

应用二：

    为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费。下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准：

（1）当 220 < x≤300 时，写出水费 y（单位：元）与 x 之间的关系式；

（根据单价和用水量的关系建立水费y与x的关系式）

解：当 220＜ x ≤300 时，用水量属于第二档。

  水费 y＝3.45×220＋4.83×(x－220)，

  即   y＝4.83x－303.6。

（2）某户一年用水量是 250m3，求该户这一年的水费；

解：当 x＝250 时，y＝4.83×250－303.6＝903.9(元)。

（3）某户去年一年的水费是 1000.5元，求该户去年一年的用水量。

（1000.5元属于哪一计费档？每一档水费最大值分别是多少？）