精品解析：期末复习作业第十二章 实数 上海市民办兰生复旦中学 2021-2022学年七年级下学期数学

第十二章 实数 知识要点： 1、无理数和实数的概念：无限不循环小数叫做无理数．无理数和有理数统称为实数． 无理数有正负之分，分别称作正无理数和负无理数． 只有符合不同，绝对值相同的两个无理数称作互为相反数． 2、平方根和开平方、立方根和开立方、次方根和开次方的意义及其表示；方根和幂的关系以及方根的求法． 如果一个数的平方等于，那么这个数就叫做的平方根．即，叫做的平方根． ， 3、实数与数轴上的点一一对应的关系、实数的绝对值、相反数和倒数等概念，实数的运算意义及法则． 4、近似数的表达形式，有效数字的概念． 5、分数指数幂的概念，有理数指数幂的运算性质；方根的乘除、乘方和开方的运算． 例题精选： 例1： 1. 证明：不是有理数． 例2： 2. 下列各数中，哪些是有理数、哪些是无理数？若是有理数，请指明它是整数还是分数． ，，0，，，，，87，，2.121121112……（每两个2之间多一个1），，3.1415926． 例3： 判断题： 3. 无理数都是无限小数；（ ） 4. 无限小数都是无理数；（ ） 5. 正实数是由正有理数和正无理数组成的．（ ） 6. 实数可以分为正实数、负实数两类．（ ） 7. 有理数都是有限小数．（ ） 8. 无理数就是带有根号的数．（ ） 9. 不带根号的数就不是无理数．（ ） 10. 实数中不带根号的数是有理数．（ ） 例4： 11. 化简 （1）； （2）； （3）． 例5： 12. 填空：___________，___________，___________，___________． 例6： 13. 计算并化简：． 例7： 14. 求的最小值． 例8： 15. 点在数轴上所对应的实数分别为、，点也在数轴上，且为的三分之一，求B、C间的距离． 例9： 16. 计算： （1）； （2）； （3）． 例10： 17. 根据要求写出近似数： （1）987654312精确到百位． （2）保留四个有效数字． 例11： 18. 不用计算器比较大小 （1）与 （2）与 （3）与 （4）与 例12： 19. 根据已知条件化简并求值： （1）已知：，求的值． （2）已知：，求的值． 例13： 20. 扇形的圆心角是扇形的圆心角的倍，而扇形的半径是扇形的倍，若为，且围成的面积为平方厘米，求扇形的半径． 例14： 21. 用分数指数幂表示，结果为___________． 例15： 22. 计算： （1）； （2）． 例16： 23. 根据已知条件求值： （1）已知，求的值． （2）已知实数、、满足，求． 基础夯实 一、填空题： 24. 有两个连续的自然数，若其中较小的自然数的平方根是，则其中较大的自然数的算术平方根是___________． 25. 已知：是的立方根，是的相反数，且．那么的（）次方根为___________． 26. 已知：，则的四次方根是___________． 27. 已知实数、、在数轴上的位置如图所示，则___________． 28. 已知，，，，比较、、的大小___________． 29. 某集团全年产值约亿元，它精确到___________位．用科学记数法表示此近似数是___________元（保留两位有效数字）． 二、选择题： 30. 为任何实数，下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 31. 如果是任意两个不相等的无理数，那么：（1）也是无理数；（2）也是无理数；（3）也是无理数；（4）也是无理数．以上四个判断中不正确的是（ ） A. （1）（3）（4） B. （1）（2）（4） C. （1）（3） D. （1）（2）（3）（4） 三、计算题 32. 计算： 33. 计算： 34. 计算：． 35. 计算： 四、解答题 36. 数轴上有点，它们对应的数分别为1，，也在此数轴上，两点关于点对称． （1）求点所对应的数． （2）若点也在此数轴上，且，求点所对应的数及的长． 37. 已知：，， （1）求的值． （2）求的值． 38. 已知，求的算术平方根． 39. 已知，求的值． 40. 设等式在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，求的值. 41. 已知：，，且，求的值． 42. 扇形的圆心角为直角，正方形内接于扇形，点、、分别在、和弧上，过点作垂直于交其延长线于，如图正方形边长为，那么由、和弧围成的图形与由、和弧围成的图形的面积之和为多少？ 43. 用计算器计算： 在地面建立一个花坛，底部形状如图，它的外周由圆弧与正方形的三条边组成（如图的实线部分）．已知，正方形的面积为，求花坛底部的周长（结果保留三位有效数字）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十二章 实数 知识要点： 1、无理数和实数的概念：无限不循环小数叫做无理数．无理数和有理数统称为实数． 无理数有正负之分，分别称作正无理数和负无理数． 只有符合不同，绝对值相同的两个无理数称作互为相反数． 2、平方根和开平方、立方根和开立方、次方根和开次方的意义及其表示；方根和幂的关系以及方根的求法． 如果一个数的平方等于，那么这个数就叫做的平方根．即，叫做的平方根． ， 3、实数与数轴上的点一一对应的关系、实数的绝对值、相反数和倒数等概念，实数的运算意义及法则． 4、近似数的表达形式，有效数字的概念． 5、分数指数幂的概念，有理数指数幂的运算性质；方根的乘除、乘方和开方的运算． 例题精选： 例1： 1. 证明：不是有理数． 【答案】 证明：假设是有理数， 故可以表示为（均为整数且互质）， 则， 因为是偶数， 所以是偶数， 所以是偶数， 设（为整数）， 则，即， 所以也是偶数，这和互质矛盾． 所以假设不成立，是无理数． 【解析】 【分析】假设是有理数，则可以表示为（均为整数且互质），从而可得，由此判断出是偶数，再设（为整数），从而可得，由此判断出是偶数，据此得出假设不成立，即可得证． 【详解】略 【点睛】本题考查了无理数，熟练掌握无理数的定义是解题关键． 例2： 2. 下列各数中，哪些是有理数、哪些是无理数？若是有理数，请指明它是整数还是分数． ，，0，，，，，87，，2.121121112……（每两个2之间多一个1），，3.1415926． 【答案】有理数：，，，，，，，，，，；其中整数：，，，；分数：，，，； 无理数：，，，（每两个2之间多一个1） 【解析】 【详解】解：是整数，属于有理数， 是分数，属于有理数， 0是整数，属于有理数， 是无理数， 是分数，属于有理数， 是无理数， 是整数，属于有理数， 87是整数，属于有理数， 是无理数， 2.121121112……（每两个2之间多一个1）是无理数， 是无限循环小数，可以化为分数，属于有理数 3.1415926是小数，可以化为分数，属于有理数， 综上所述，有理数：，，，，，，，，，，；其中整数：，，，；分数：，，，； 无理数：，，，（每两个2之间多一个1）． 例3： 判断题： 3. 无理数都是无限小数；（ ） 【答案】对 【解析】 【详解】试题解析： 根据无理数的定义，无理数都是无限小数.正确. 故答案为对. 4. 无限小数都是无理数；（ ） 【答案】错 【解析】 【详解】试题解析：无限循环小数是有理数.无限不循环小数是无理数. 故答案为错. 5. 正实数是由正有理数和正无理数组成的．（ ） 【答案】√ 【解析】 【分析】根据实数的分类标准即可判断正误． 【详解】解：全体实数按定义分为有理数和无理数两类， 因此大于0的正实数由所有正有理数和所有正无理数组成，原说法正确． 6. 实数可以分为正实数、负实数两类．（ ） 【答案】 × 【解析】 【分析】根据实数的分类即可判断正误． 【详解】解：实数按符号分类可分为正实数、、负实数三类，原说法缺少，因此命题错误． 7. 有理数都是有限小数．（ ） 【答案】× 【解析】 【详解】解：有理数包含整数和分数，分数可以是无限循环小数，例如是有理数，它是无限循环小数，不是有限小数，因此原说法错误. 8. 无理数就是带有根号的数．（ ） 【答案】 × 【解析】 【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，通过举反例即可判断命题正误． 【详解】解：举反例，带有根号，计算得，是有理数，说明带有根号的数不一定是无理数， 另外不带根号，却是无理数，因此原说法不成立． 9. 不带根号的数就不是无理数．（ ） 【答案】× 【解析】 【详解】解：无理数是无限不循环小数，例如不带根号，但是无理数，因此原说法错误， 故答案为：×. 10. 实数中不带根号的数是有理数．（ ） 【答案】 【解析】 【分析】有理数是整数和分数的统称，属于实数的一部分，但实数中不带根号的数不一定是有理数，找出反例即可判断命题错误． 【详解】解：是实数，不带根号，但是是无理数，因此原命题说法错误． 例4： 11. 化简 （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用完全平方公式进行变形，再利用二次根式的性质计算即可得出结果； （2）先利用完全平方公式进行变形，再利用二次根式的性质计算即可得出结果； （3）先利用完全平方公式进行变形，再利用二次根式的性质计算即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 例5： 12. 填空：___________，___________，___________，___________． 【答案】 ①. ②. 当为大于1的奇数时，;当为大于1的偶数时， ③. ④. 当为奇数时，；当为偶数时，取任意实数， 【解析】 【分析】根据根式的运算性质，结合根指数的奇偶性分类讨论化简即可． 【详解】解：对于： 式子已经有意义，开次方后再做次方运算，运算相互抵消， ； 对于，分两种情况讨论： 当为大于1的奇数时，， 当为大于1的偶数时，； 对于： ，且恒成立， ； 对于： 根指数是偶数，被开方数需满足， 当为奇数时，，变形得， ， 当为偶数时，取任意实数，即，变形得， ， 综上所述，当为奇数时，；当为偶数时，取任意实数，． 例6： 13. 计算并化简：． 【答案】当时，结果为；当时，结果为；当时，结果为 【解析】 【分析】运用完全平方公式将式子变形为，再讨论的取值范围，结合绝对值和二次根式的性质计算即可得出结果． 【详解】解：， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，当时，结果为；当时，结果为；当时，结果为． 例7： 14. 求的最小值． 【答案】当为偶数时，最小值为； 当为奇数时，最小值为． 【解析】 【分析】先将按从小到大的顺序排列，再分为偶数及为奇数进行讨论求解． 【详解】解：先将按从小到大的顺序排列，记为. 当为偶数时，设（为正整数），当满足时，原式取得最小值， 最小值为. 当为奇数时，设（为非负整数），当时，原式取得最小值， 最小值为． 例8： 15. 点在数轴上所对应的实数分别为、，点也在数轴上，且为的三分之一，求B、C间的距离． 【答案】或 【解析】 【分析】先计算数轴上A、B两点的距离，再分点C在点A左侧、右侧两种情况，结合与的数量关系求解B、C间的距离． 【详解】解：点A对应的实数为、点B对应的实数为， ， 为的三分之一， ． 分两种情况讨论： 当点C在点A右侧时： ， 点C在线段上， ； 当点C在点A左侧时：点C在的延长线上， ， 综上所述，B、C间的距离为或． 例9： 16. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的性质、负整数幂的性质进行化简，再计算加减即可得出结果； （2）根据积的乘方法则和二次根式的混合运算法则计算即可得出结果； （3）将所求式子进行变形，再结合公式计算即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 例10： 17. 根据要求写出近似数： （1）987654312精确到百位． （2）保留四个有效数字． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）确定原数的百位，根据十位数字四舍五入计算即可； （2）从第一个非零数字开始数出四个有效数字，根据第五个数字四舍五入计算即可． 【小问1详解】 解：987654312的百位数字为3，十位数字为1， 精确到百位得：； 【小问2详解】 解：中第一个非零数字为1，依次数得前四个有效数字为1、2、3、5，第五个有效数字为4， ， 保留四个有效数字为． 例11： 18. 不用计算器比较大小 （1）与 （2）与 （3）与 （4）与 【答案】（1） （2） （3） （4）当时，；当时，；当时， 【解析】 【分析】（1）计算与的大小关系即可； （2）计算与的大小关系即可； （3）先求出，则，再根据即可得； （4）分三种情况：①，②，③，计算与1的大小关系即可． 【小问1详解】 解：∵ ， ∴． 【小问2详解】 解：∵ ， ∴， 又∵，， ∴． 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【小问4详解】 解：①当时，， ∴， ∴； ②当时，则； ③当时，， ∴， ∴； 综上，当时，；当时，；当时，． 例12： 19. 根据已知条件化简并求值： （1）已知：，求的值． （2）已知：，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，再将所求式子进行变形，整体代入计算即可得出结果； （2）设，，则，，，再结合，计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设，，则，，， ∵， ∴， ∴． 例13： 20. 扇形的圆心角是扇形的圆心角的倍，而扇形的半径是扇形的倍，若为，且围成的面积为平方厘米，求扇形的半径． 【答案】扇形的半径为厘米． 【解析】 【分析】设厘米，则厘米，根据扇形的圆心角是扇形的圆心角的倍得出，进而求出，根据围成的面积为平方厘米，利用扇形面积公式列方程求出的值，即可得出答案． 【详解】解：设厘米， ∵扇形的半径是扇形的倍， ∴厘米， ∵为，扇形的圆心角是扇形的圆心角的倍， ∴， ∴， ∵围成的面积为平方厘米， ∴， ∴， 解得：（厘米）， ∴扇形的半径为厘米． 例14： 21. 用分数指数幂表示，结果为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用根式与分数指数幂的转化规则，结合幂的运算法则逐步化简即可． 【详解】解：根据根式与分数指数幂的转化规则，先化简内层根号得，因此根号内的式子可写为，对整体开三次方得， 根据幂的运算法则计算得． 例15： 22. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先将带分数化为假分数，再根据指数幂的运算法则计算即可得出结果； （2）先计算积的乘方，再结合指数幂的运算法则计算即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 例16： 23. 根据已知条件求值： （1）已知，求的值． （2）已知实数、、满足，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合完全平方公式计算即可得出结果； （2）根据二次根式有意义的条件计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：由题意可得，则， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴． 基础夯实 一、填空题： 24. 有两个连续的自然数，若其中较小的自然数的平方根是，则其中较大的自然数的算术平方根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方根的定义得到较小自然数，再利用连续自然数的性质得到较大自然数，最后求出较大自然数的算术平方根． 【详解】解：∵较小的自然数的平方根是， ∴较小的自然数为， ∵两个数是连续的自然数， ∴较大的自然数为， ∴较大的自然数的算术平方根是． 25. 已知：是的立方根，是的相反数，且．那么的（）次方根为___________． 【答案】当为偶数时，为；当为奇数时，为 【解析】 【分析】根据立方根的定义得到根指数的关系，根据相反数的性质得到与的关系，结合已知列方程组求解，得到后再根据乘方的定义求的次方根． 【详解】解：是的立方根， ， 是的相反数， ， 两边立方得：， 又，， ， ， ， 整理得：， 联立， 解得：， ， ， 求的（）次方根：当为偶数时，正数的偶次方根有两个，互为相反数，结果为；当为奇数时，正数的奇次方根只有一个正根，结果为． 26. 已知：，则的四次方根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先对原式中关于的二次式配方，得到三个非负数的和为，根据非负数的性质求出的值，代入计算所求代数式后，再求其四次方根． 【详解】解：先对原式变形，对配方得， ∴原等式可化为， ∵任意实数的绝对值是非负数，二次根式的值是非负数，平方数是非负数， ∴，，， ∵三个非负数的和为， ∴每个非负数都为，即，，， 解得，，， 将，，代入得， ∴， ∴的四次方根是． 27. 已知实数、、在数轴上的位置如图所示，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由数轴可得，，从而可得，，，再结合二次根式的性质、绝对值的性质化简即可得出结果． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，，， ∴ ． 28. 已知，，，，比较、、的大小___________． 【答案】 【解析】 【分析】对，，分别取倒数，分母有理化后比较倒数的大小，再根据正数的倒数越大，原数越小得到最终大小关系． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∵， ，即， ∵正数中，倒数越大，原数越小， ∴． 29. 某集团全年产值约亿元，它精确到___________位．用科学记数法表示此近似数是___________元（保留两位有效数字）． 【答案】 ①. 千万 ②. 【解析】 【分析】先判断亿最后一位数字对应的数位得到精确度，再转换单位为元，按要求保留有效数字用科学记数法表示． 【详解】解：亿的单位为亿，最后一位数字对应数位是千万位， 亿元精确到千万位； 亿元元． 二、选择题： 30. 为任何实数，下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】采用特殊值法逐项判断即可． 【详解】解：A、取，，则，故A错误； B、取，，则，但、无意义，等式不成立，故B错误； C、，且，，故C正确； D、取，，则，故D错误． 31. 如果是任意两个不相等的无理数，那么：（1）也是无理数；（2）也是无理数；（3）也是无理数；（4）也是无理数．以上四个判断中不正确的是（ ） A. （1）（3）（4） B. （1）（2）（4） C. （1）（3） D. （1）（2）（3）（4） 【答案】D 【解析】 【分析】通过举反例判断各命题正误，只要存在一组不相等的无理数使运算结果为有理数，对应判断即不成立． 【详解】解：（1）取，，二者是不相等的无理数，为有理数，故（1）错误； （2）取，，二者是不相等的无理数，为有理数，故（2）错误； （3）取，，二者是不相等的无理数，为有理数，故（3）错误； （4）取，，二者是不相等的无理数，为有理数，故（4）错误； 综上所述，不正确的是（1）（2）（3）（4）． 三、计算题 32. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 33. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 34. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据负指数幂、分数指数幂的运算法则以及分母有理化的运算法则计算即可得出结果 【详解】解： ． 35. 计算： 【答案】 或 【解析】 【详解】解：设、，则、， 将、代入得：原式． 四、解答题 36. 数轴上有点，它们对应的数分别为1，，也在此数轴上，两点关于点对称． （1）求点所对应的数． （2）若点也在此数轴上，且，求点所对应的数及的长． 【答案】（1） （2）当点对应的数为时，的长为；当点对应的数为时，的长为 【解析】 【分析】（1）设点所对应的数为，根据轴对称的性质建立方程，解方程即可； （2）先求出，则可得，再设点所对应的数为，建立方程，解方程可得的值，由此即可得． 【小问1详解】 解：设点所对应的数为， ∵两点关于点对称，且点它们对应的数分别为1，， ∴， 解得， ∴点所对应的数为． 【小问2详解】 解：∵点对应的数为，点所对应的数为， ∴， ∵， ∴， 设点所对应的数为， ∴， 解得或， ∵点对应的数为1， ∴当点对应的数为时，的长为； 当点对应的数为时，的长为． 37. 已知：，， （1）求的值． （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出和的值，再将所求式子进行变形，整体代入计算即可得出结果； （2）由（1）可得，，求出，，再结合，计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可得，， ∴， ∵， ∴， ∴． 38. 已知，求的算术平方根． 【答案】 【解析】 【分析】由已知变形为，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：由已知得，即， 所以， 所以的算术平方根为． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，由已知条件求代数的值，一定要找到已知条件与要求结果之间的联系． 39. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据化简多项式，再代入整理即可得出答案． 【详解】解：原式= ， 原式=． 【点睛】有关代数式求值的问题，解题技巧一般有以下几种，利用有关概念，利用整体思想方法，利用分类讨论方法，利用数形结合的思想方法，利用非负数的性质，利用新定义等． 40. 设等式在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，求的值. 【答案】. 【解析】 【分析】已知等式右边成立，x﹣a≥0，a﹣y≥0，即y﹣a≤0；由等式左边成立可知，a=0，已知等式可变为0，移项、开平方得x=﹣y，利用代入法求式子的值． 【详解】∵在实数范围内成立， ∴x﹣a≥0，a﹣y≥0，即y﹣a≤0， 又a（y﹣a）≥0．a（x﹣a）≥0， ∴a=0，原等式可变为0， 解得：x=﹣y，∴． 【点睛】本题考查了二次根式的意义的运用，关键是通过分析左右两边四个二次根式有意义，得出a的值． 41. 已知：，，且，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】两式相减再进行因式分解得出，两式相加并结合完全平方公式计算得出，将所求式子进行变形，整体代入所求式子，计算即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴两式相减得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴两式相加得， ∴， ∴， ∴， ∴． 42. 扇形的圆心角为直角，正方形内接于扇形，点、、分别在、和弧上，过点作垂直于交其延长线于，如图正方形边长为，那么由、和弧围成的图形与由、和弧围成的图形的面积之和为多少？ 【答案】 【解析】 【分析】连接，设由、和弧围成的图形与由、和弧围成的图形的面积之和为，根据正方形内接于扇形及正方形的面积公式得出，，，进而求出，，根据，可得．即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，设由、和弧围成的图形与由、和弧围成的图形的面积之和为， ∵扇形的圆心角为直角，正方形内接于扇形，正方形边长为， ∴，，， ∴，，， 解得：（负值舍去）， ∴， ∵， ∴． 43. 用计算器计算： 在地面建立一个花坛，底部形状如图，它的外周由圆弧与正方形的三条边组成（如图的实线部分）．已知，正方形的面积为，求花坛底部的周长（结果保留三位有效数字）． 【答案】45.1m 【解析】 【分析】首先根据正方形面积计算出边长，然后根据的角和两条半径构成等边三角形确定圆弧半径的长度，最后结合圆弧周长计算公式（n为圆弧所对圆心角，r为半径）和正方形三条边长进行求解． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴正方形边长为m． ∵， ∴弧（优弧）所对圆心角为， ∵，， ∴是等边三角形， ∴圆弧的半径m， ∴圆弧的长度， ∴花坛底部的周长m， 取，， 则m． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $