专题01 圆的相关概念八大题型专项训练（题型专练）数学新教材苏科版九年级上册

专题01 圆的相关概念八大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 圆的基本概念 题型02 圆心角的识别 题型03 求圆中弦的条数 题型04圆的周长和面积 题型05 确定圆内一点最长的弦 题型06 圆中角度的计算 题型07 圆中线段长度的计算 题型08 圆中线段长度的证明 ▌题型01 圆的基本概念 1. 圆：平面内到定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合。 2. 相关定义 · 弦：连接圆上任意两点的线段；直径是过圆心的弦，是圆中最长弦，直径。 · 弧：圆上两点间部分；优弧（大于半圆，用 3 个字母表示）、劣弧（小于半圆，2 个字母）、半圆。 · 等圆：半径相等的两个圆；等弧：同圆或等圆中，能够完全重合的弧。 · 同心圆：圆心相同，半径不同的圆。 3. 易错点：长度相等的弧不一定是等弧，必须在同圆或等圆的前提下才成立。 【典例1-1】（24-25九年级上·全国·课后作业）下列说法：①直径是弦 ②弦是直径 ③半圆是弧，但弧不一定是半圆 ④长度相等的两条弧是等弧中，正确的命题有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例1-2】下列判断结论正确的有（　　） （1）直径是圆中最大的弦． （2）长度相等的两条弧一定是等弧． （3）面积相等的两个圆是等圆． （4）圆上任意两点间的部分是圆的弦． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】下列说法正确的是（    ） A．所有半径都相等 B．过圆心的直线是圆的直径 C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D．长度相等的两条弧是等弧 【变式1-2】现有甲、乙两种说法：甲：半圆是弧；乙：长度相等的两条弧是等弧．其中说法正确的是（   ） A．甲对 B．乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 【变式1-3】如图，若点O为⊙O的圆心，则线段 　 　是圆O的半径；线段 　 　是圆O的弦，其中最长的弦是 　 ； 　 　是劣弧； 　 　是半圆． ▌题型02 圆心角的识别 1. 圆心角定义：顶点在圆心，两边都与圆相交的角。 2. 判断三要素：顶点在圆心，两条边是圆的半径，二者缺一不可。 【典例2-1】（23-24九年级上·全国·单元测试）下面图形中的角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【典例2-2】如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】下列图形中的角是圆心角的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】图中是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图所示，下列各角是圆内的角，其中圆心角是（    ） A． B． C． D． ▌题型03 求圆中弦的条数 1. 弦判定标准：线段的两个端点都必须在圆周上。 2. 计数方法 · 圆上有个互不重合的点，弦总条数公式： · 枚举法：固定一个点，依次和其余各点连线，再去掉重复的线段。 3. 注意：半径不是弦；直径是特殊的弦，计数时要算进去；只有一端在圆上的线段不是弦。 【典例3】如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有_______条弦，它们分别是_____________． 【变式1-3】如图，⊙O 中，点 A、O、D 以及点 B、O、C 分别在一条直线上，图中弦的条数有______条． ▌题型04 圆的周长和面积 1. 基础公式（半径，直径） · ， · 圆周长： · 圆面积： 2. 半圆相关 · 半圆周长 =（弧长加直径，不要漏掉直径） · 半圆面积 = 【典例4】一个圆形花坛，周长是，在距花坛边的外面围上一圈栏杆，栏杆的长（取）（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】若⊙O的直径等于8，圆的半径为 ___，面积为 ___．（结果保留π） 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，在中，，弦的长为4，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】团扇，又称“纨扇”“宫扇”等，是我国传统的工艺品之一，代表着团圆友善、吉祥如意．涵涵制作了一面圆形团扇作为母亲节礼物，如图1，这把团扇的扇面面积为为了美观，涵涵准备用一个体积为，长、宽、高之比为的长方体纸盒进行包装，如图2． (1)该圆形团扇的半径为______； (2)求该长方体盒子的长． ▌题型05 确定圆内一点最长的弦 1. 核心结论：过圆内任意一点的最长弦是直径。 2. 作图方法：连接圆心和该点并向两边延长，与圆交于两点，这两点之间的线段就是最长弦。 【典例5-1】已知的直径为，是中最长的弦，则的长为（   ） A． B． C． D． 【典例5-2】（2025九年级·全国·专题练习）如图，已知的半径为6，AB是的弦，C是上一点，连接AC，BC．若D，E分别是AB，BC的中点，则DE的最大值为________． 【变式1-1】已知圆的半径为，则圆中一条弦的长度不可能的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知的半径为，为内一点，若，则经过点的弦长可能是（   ） A． B．9 C． D． 【变式1-3】外一点到圆周上一点的最长距离为，最短距离为，则的直径长为________． ▌题型06 圆中角度的计算 1. 同圆的所有半径长度相等，可得到等腰三角形，利用等腰三角形等边对等角计算角度。 2. 角度计算常用：三角形内角和、等腰三角形性质。 【典例6-1】如图，已知是的直径，为的弦，，连接，．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于一点．直线交于点，连接．若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 【典例6-2】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，是的直径，A为延长线上一点，点E在上，，交于点B，且，求的度数． 【变式1-1】如图，在中，，，，三点均在圆上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，点、在以为直径的上，连接，，，．若，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，为的直径，和是的两条弦，且，，求的度数． ▌题型07 圆中线段长度的计算 1. 同一个圆中，所有半径都相等，所有直径都相等，直径等于 2 倍半径。 2. 看到半径，标记相等线段，构造等腰三角形。 3. 线段计算依靠：线段和差、等腰三角形边长关系。 【典例7-1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以点C为圆心，CA长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则⊙C的半径为（　　） A． B．8 C．6 D．5 【典例7-2】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的半径，B为上一点（且不与点O、A重合），过点 B作的垂线交圆O于点C，以为边作矩形，连接．若，则的长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．1 【变式1-1】如图，，，是上的点，，垂足为点，且为的中点，若，则的长为______． 【变式1-2】如图，是的直径，点C，D在上，，，若，则的长为 ． 【变式1-3】如图，是弦的中点，A是上一点，与交于点E，已知，． (1)求线段的长． (2)当时，求，的长． ▌题型08 圆中线段长度的证明 1. 核心依据：同圆（等圆）的半径相等。 2. 证明线段相等两种主要思路： ① 利用半径相等得到等腰三角形，用等腰三角形性质证边相等； ② 证全等三角形：把待证线段放在两个三角形中，利用半径相等提供边的条件，结合已知证全等，得到对应边相等。 3. 解题步骤： · 标出图中相等的半径； · 找出等腰三角形或者全等三角形； · 借助等腰性质或全等对应边相等完成证明。 【典例8-1】如图，、为中两条直径，点、在直径上，且． 求证：． 【典例8-2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，的弦的延长线交于点P，连接，且平分．求证：． 【变式1-1】如图，在中，C，D分别是半径，的中点，求证：． 【变式1-2】如图，已知是的直径，点在上，． (1)求证：； (2)求的度数． 【变式1-3】课本再现 如图1，，，，垂足分别为，，与相等吗？为什么？ （1）完成上述课本习题． 知识应用 （2）如图2，的弦，的延长线相交于点，连接并延长．若，求证：为的平分线． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 圆的相关概念八大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 圆的基本概念 题型02 圆心角的识别 题型03 求圆中弦的条数 题型04圆的周长和面积 题型05 确定圆内一点最长的弦 题型06 圆中角度的计算 题型07 圆中线段长度的计算 题型08 圆中线段长度的证明 ▌题型01 圆的基本概念 【典例1-1】【答案】B 【典例1-2】【答案】B 【变式1-1】【答案】C 【变式1-2】【答案】A 【变式1-3】【答案】OA、OB、OC；AC、AB、BC；AC；、；、； ▌题型02 圆心角的识别 【典例2-1】【答案】D 【典例2-2】【答案】B 【变式1-1】【答案】A 【变式1-2】【答案】D 【变式1-3】【答案】A ▌题型03 求圆中弦的条数 【典例3】【答案】A 【变式1-1】【答案】B 【变式1-2】【答案】 三/3 ，， 【变式1-3】【答案】三/3 ▌题型04 圆的周长和面积 【典例4】【答案】C 【变式1-1】【答案】 4； 16π． 【变式1-2】【答案】B 【变式1-3】 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查圆形面积公式，长方体体积公式，用方程解决实际问题是解答本题的关键； （1）设该圆形团扇的半径为r，根据圆形面积公式解答即可； （2）设长方体盒子的长为，则宽为，高为，根据长方体体积公式解答即可． 【详解】（1）解：设该圆形团扇的半径为r． 即 解得或（舍去） 答：该圆形团扇的半径为8． （2）解：设长方体盒子的长为，则宽为，高为， ，即． 解得． ． 故长方体盒子的长为． ▌题型05 确定圆内一点最长的弦 【典例5-1】【答案】B 【典例5-2】【答案】6 【变式1-1】【答案】D 【变式1-2】【答案】C 【变式1-3】【答案】6 ▌题型06 圆中角度的计算 【典例6-1】【答案】C 【典例6-2】【答案】 【变式1-1】【答案】C 【变式1-2】【答案】B 【变式1-3】 【答案】的度数为． 【分析】本题考查平行线的性质，半径相等，三角形的外角性质．由平行线的性质，可得，由等边对等角求得，再根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的度数为． ▌题型07 圆中线段长度的计算 【典例7-1】【答案】D． 【典例7-2】【答案】C 【变式1-1】【答案】 【变式1-2】【答案】1 【变式1-3】 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了圆的基本性质、等腰三角形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，，根据中点的定义得到，再根据三线合一的性质得到，在中利用勾股定理即可求解； （2）设，表示出、的长，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：如图，连接，， ∵是弦的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵A是上一点，， ∴的半径为8， ∴在中，； （2）解：设，则， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：，（舍去）， ∴，． ▌题型08 圆中线段长度的证明 【典例8-1】 【答案】见解析 【分析】此题考查了圆的认识和全等三角形的判定及性质，关键是根据圆的性质得出和全等，要能综合应用全等三角形的判定与性质． 根据、为中两条直径，得出，，再根据，得出，从而证出和全等，即可得出答案． 【详解】解：∵、为中两条直径， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴． 【典例8-2】 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 过点O作于点于点H，连接，则可证明，则，再证明，则，继而得以求证． 【详解】证明：过点O作于点于点H，连接． 平分， ， ∵ ， 又， ， ． 【变式1-1】 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆的基本概念，全等三角形的判定与性质，先判断出，然后根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：∵C，D分别是半径，的中点， ∴，， 又， ∴， 又， ∴， ∴． 【变式1-2】 【答案】(1) 证明：的半径为， ， ，， ； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形内角和以及等腰三角形等边对等角，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据已知条件利用证明全等即可； （2）根据，求出，再利用全等求出，最后利用等边对等角即可求． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ． 【变式1-3】 【答案】（1）． 理由如下：在和中， ， ． 又于点，于点， 即分别是边上的高， ； （2）证明：如图，过点分别作，，垂足分别为，． ， 同理可得：， ，， 为的平分线． 【分析】本题主要考查了圆的基本概念，三角形全等的判定与性质、角平分线的判定． （1）证明，根据于点，于点，即可证明； （2）过点分别作，，垂足分别为，．同理（1）即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 圆的相关概念八大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 圆的基本概念 题型02 圆心角的识别 题型03 求圆中弦的条数 题型04圆的周长和面积 题型05 确定圆内一点最长的弦 题型06 圆中角度的计算 题型07 圆中线段长度的计算 题型08 圆中线段长度的证明 ▌题型01 圆的基本概念 1. 圆：平面内到定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合。 2. 相关定义 · 弦：连接圆上任意两点的线段；直径是过圆心的弦，是圆中最长弦，直径。 · 弧：圆上两点间部分；优弧（大于半圆，用 3 个字母表示）、劣弧（小于半圆，2 个字母）、半圆。 · 等圆：半径相等的两个圆；等弧：同圆或等圆中，能够完全重合的弧。 · 同心圆：圆心相同，半径不同的圆。 3. 易错点：长度相等的弧不一定是等弧，必须在同圆或等圆的前提下才成立。 【典例1-1】（24-25九年级上·全国·课后作业）下列说法：①直径是弦 ②弦是直径 ③半圆是弧，但弧不一定是半圆 ④长度相等的两条弧是等弧中，正确的命题有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是对圆的认识，弦，直径，弧，半圆，等弧的概念，对每个命题进行判断，然后作出选择． 【详解】解：①直径是弦，故原说法正确； ②弦不一定是直径，故原说法错误； ③半圆是弧，但弧不一定是半圆，故原说法正确； ④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，所以长度相等的两条弧是等弧，故原说法错误； 所以，正确的命题有①③共2个． 故选：B． 【典例1-2】下列判断结论正确的有（　　） （1）直径是圆中最大的弦． （2）长度相等的两条弧一定是等弧． （3）面积相等的两个圆是等圆． （4）圆上任意两点间的部分是圆的弦． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据圆的有关定义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】（1）直径是圆中最大的弦，正确；（2）长度相等的两条弧一定是等弧，错误；（3）面积相等的两个圆是等圆，正确；（4）圆上任意两点间的部分是圆的弦，错误. 故选B． 【点睛】本题考查了与圆有关的概念，解题的关键是能够了解圆的有关概念． 【变式1-1】下列说法正确的是（    ） A．所有半径都相等 B．过圆心的直线是圆的直径 C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D．长度相等的两条弧是等弧 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的基本概念（半径、直径、对称性、等弧），熟练掌握这些概念的定义及限制条件是解题的关键． 根据圆的基本概念（半径、直径、对称性、等弧）的定义，逐一分析每个选项的正误． 【详解】解：半径相等仅在同圆或等圆中成立，否则不一定相等，A选项错误； 直径是通过圆心且两端点在圆上的线段，而过圆心的直线是无限延伸的，不是直径，B选项错误； 圆有无数条对称轴（任何直径所在直线），且绕圆心旋转180度后与自身重合，故 圆既是轴对称图形又是中心对称图形，C选项正确； 等弧需在同圆或等圆中长度相等且能重合，仅长度相等不一定是等弧，D选项错误． 故选：C． 【变式1-2】现有甲、乙两种说法：甲：半圆是弧；乙：长度相等的两条弧是等弧．其中说法正确的是（   ） A．甲对 B．乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的相关概念，熟练掌握圆的相关概念是做题的关键．根据弧，半圆和等弧的定义进行分析解答即可． 【详解】解：弧是圆上任意两点间的部分，半圆是圆的一半，是弧的一种，故甲正确； 等弧指在同圆或等圆中能完全重合的弧，仅长度相等不一定能重合，故乙错误， 说法正确的是甲． 故选：A． 【变式1-3】如图，若点O为⊙O的圆心，则线段 　 　是圆O的半径；线段 　 　是圆O的弦，其中最长的弦是 　 ； 　 　是劣弧； 　 　是半圆． 【答案】OA、OB、OC；AC、AB、BC；AC；、；、； 【分析】根据弦、直径、半径、弧、半圆、劣弧等定义一一解答即可； 【详解】解：如图，若点O为⊙O的圆心，则线段OA、OB、OC是圆O的半径；线段AC、AB、BC是圆O的弦，其中最长的弦是AC；、是劣弧；、是半圆． 故答案为OA、OB、OC；AC、AB、BC；AC；、；、； 【点睛】本题考查弦、直径、半径、弧、半圆、劣弧等定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． ▌题型02 圆心角的识别 1. 圆心角定义：顶点在圆心，两边都与圆相交的角。 2. 判断三要素：顶点在圆心，两条边是圆的半径，二者缺一不可。 【典例2-1】（23-24九年级上·全国·单元测试）下面图形中的角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆心角的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； B．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； C．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； D．是圆心角，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了圆心角的定义，注意：顶点在圆心上，并且两边和圆相交的角，叫圆心角． 【典例2-2】如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆心角的概念，确定一个角是否是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆心上，顶点在圆心上的角就是圆心角，否则不是． 【详解】解：根据圆心角的概念，、、的顶点分别是B、A、C，都不是圆心O，因此都不是圆心角．只有B中的的顶点在圆心，是圆心角． 故选：B． 【变式1-1】下列图形中的角是圆心角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是圆心角的定义，正确掌握圆心角的定义是解题的关键． 根据圆心角的定义作答即可． 【详解】解：圆心角的定义：圆心角的顶点必在圆心上， 所以选项A符合题意，选项B，C，D不合题意． 故选：A． 【变式1-2】图中是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角的概念，解决本题的关键是掌握顶点在圆心的角叫作圆心角，根据圆心角的定义进行判断． 【详解】解：A、顶点O不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； B、顶点O不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； C、顶点O在圆内，不符合圆心角的概念，不符合题意； D、顶点O在圆心，符合圆心角的概念，符合题意． 故选：D． 【变式1-3】如图所示，下列各角是圆内的角，其中圆心角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角的定义，根据圆心角的定义，角的两边是两条从圆心出发的射线，它们必须与圆周相交于两点，顶点在圆心的角叫做圆心角，即可求解． 【详解】解：图中是圆心角 故选：A． ▌题型03 求圆中弦的条数 1. 弦判定标准：线段的两个端点都必须在圆周上。 2. 计数方法 · 圆上有个互不重合的点，弦总条数公式： · 枚举法：固定一个点，依次和其余各点连线，再去掉重复的线段。 3. 注意：半径不是弦；直径是特殊的弦，计数时要算进去；只有一端在圆上的线段不是弦。 【典例3】如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的有关概念，由连接圆上任意两点的线段叫做弦，即可判断得出答案，掌握圆的有关概念是解题的关键． 【详解】解：圆中的弦有：、，共两条， 故选：． 【变式1-1】点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】试题分析：弦是连接圆上任意两点的线段，根据定义作答． 解：由图可知，点A、B、E、C是⊙O上的点， 图中的弦有AB、BC、CE，一共3条． 故选B． 考点：圆的认识． 【变式1-2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有_______条弦，它们分别是_____________． 【答案】 三/3 ，， 【分析】根据连接圆上任意两点的线段叫弦回答即可． 【详解】解：图中的弦有，，共三条． 故答案为：三；，，． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握弦的概念是解题的关键． 【变式1-3】如图，⊙O 中，点 A、O、D 以及点 B、O、C 分别在一条直线上，图中弦的条数有______条． 【答案】三/3 【分析】根据弦的定义（连接圆上任意两点的线段叫做弦）进行分析，即可得出结论． 【详解】解：根据弦的定义可得： 图中的弦有AB，BC，CE共三条， 故答案为：三． 【点睛】本题考查了弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫弦，充分理解其定义是解题关键． ▌题型04 圆的周长和面积 1. 基础公式（半径，直径） · ， · 圆周长： · 圆面积： 2. 半圆相关 · 半圆周长 =（弧长加直径，不要漏掉直径） · 半圆面积 = 【典例4】一个圆形花坛，周长是，在距花坛边的外面围上一圈栏杆，栏杆的长（取）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的周长公式，先根据花坛周长求出花坛半径，再得到栏杆围成圆的半径，最后计算栏杆周长． 【详解】解：设花坛半径为，栏杆围成圆的半径为， ∵， ∴， ∵栏杆在距花坛边的外侧， ∴， ∴栏杆周长． 【变式1-1】若⊙O的直径等于8，圆的半径为 ___，面积为 ___．（结果保留π） 【答案】 4； 16π． 【分析】根据直径是半径的2倍，圆的面积公式计算即可． 【详解】∵圆的直径为8， ∴圆的半径为4，圆的面积为， 故答案为：4，16π． 【点睛】本题考查了半径，圆的面积，熟练掌握圆的面积公式是解题的关键． 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，在中，，弦的长为4，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，等边三角形的性质与判定，可证明是等边三角形，得到，再根据圆的面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的面积为， 故选：B． 【变式1-3】团扇，又称“纨扇”“宫扇”等，是我国传统的工艺品之一，代表着团圆友善、吉祥如意．涵涵制作了一面圆形团扇作为母亲节礼物，如图1，这把团扇的扇面面积为为了美观，涵涵准备用一个体积为，长、宽、高之比为的长方体纸盒进行包装，如图2． (1)该圆形团扇的半径为______； (2)求该长方体盒子的长． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查圆形面积公式，长方体体积公式，用方程解决实际问题是解答本题的关键； （1）设该圆形团扇的半径为r，根据圆形面积公式解答即可； （2）设长方体盒子的长为，则宽为，高为，根据长方体体积公式解答即可． 【详解】（1）解：设该圆形团扇的半径为r． 即 解得或（舍去） 答：该圆形团扇的半径为8． （2）解：设长方体盒子的长为，则宽为，高为， ，即． 解得． ． 故长方体盒子的长为． ▌题型05 确定圆内一点最长的弦 1. 核心结论：过圆内任意一点的最长弦是直径。 2. 作图方法：连接圆心和该点并向两边延长，与圆交于两点，这两点之间的线段就是最长弦。 【典例5-1】已知的直径为，是中最长的弦，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的认识，直径的定义，解题的关键是熟记圆的相关定义并灵活运用．根据直径的定义直接求解即可． 【详解】解： 是中最长的弦， 是中的直径， 的直径为， ． 故选：B ． 【典例5-2】（2025九年级·全国·专题练习）如图，已知的半径为6，AB是的弦，C是上一点，连接AC，BC．若D，E分别是AB，BC的中点，则DE的最大值为________． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形中位线定理与圆的性质，解题核心是利用中位线定理将与建立数量关系，再结合“圆中最长的弦是直径”确定的最大值，从而求出的最大值． 根据三角形中位线定理可得，所以当最大时，最大，当最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值． 【详解】解：分别是的中点， 是的中位线， ， 又是的弦， 的半径为， 直径为：， 因为圆中直径是最长的弦， 的最大值为， 当时， ， ， ， 即的最大值为． 故答案为： ． 【变式1-1】已知圆的半径为，则圆中一条弦的长度不可能的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的基本概念，先计算出直径长度，再根据圆中最长的弦为直径，判断各选项弦长是否合理，即可． 【详解】解：∵圆的半径为， 故圆的直径为， 故圆中弦长的取值范围是弦长； 又∵， ∴弦长不可能是． 故选：D． 【变式1-2】已知的半径为，为内一点，若，则经过点的弦长可能是（   ） A． B．9 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的性质和勾股定理．熟练掌握圆的性质和勾股定理是解题的关键． 根据圆的弦长性质，求出经过圆内一点的弦长的取值范围，再据此判断即可． 【详解】解：的半径，， ∴最小弦长， 最大弦长， ∴弦长的取值范围为． 选项A中.，不符合要求． 选项B中.，不符合要求． 选项C中.在弦长的取值范围内，符合要求． 选项D中.，不符合要求． 故选C． 【变式1-3】外一点到圆周上一点的最长距离为，最短距离为，则的直径长为________． 【答案】6 【分析】本题考查了圆的直径，半径，熟练掌握直径是圆的最大弦是解题的关键． 根据直径是圆中最大的弦解答即可． 【详解】解：如图，设圆的圆心为点O， ∵直径是圆中最大的弦， ∴过P，O作圆的直径，则，， ∴， ∴圆的直径为， 故答案为：6． ▌题型06 圆中角度的计算 1. 同圆的所有半径长度相等，可得到等腰三角形，利用等腰三角形等边对等角计算角度。 2. 角度计算常用：三角形内角和、等腰三角形性质。 【典例6-1】如图，已知是的直径，为的弦，，连接，．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于一点．直线交于点，连接．若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等边对等角得，由平行线的性质得，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴，． ∴． 【典例6-2】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，是的直径，A为延长线上一点，点E在上，，交于点B，且，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了圆的基本性质（同圆半径相等），等腰三角形的性质和三角形外角定理，正确作出辅助线，利用圆的半径相等得到等腰三角形，再结合三角形外角性质，将已知角与所求角建立联系，通过方程求解是解题的关键． 连接，由，得到，则，得，由得，由得，由，代入即可求出的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故的度数为． 【变式1-1】如图，在中，，，，三点均在圆上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解：连接，，由等边对等角得出，，证明，由全等三角形的性质得出，最后再根据角度的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ， ，． ，，， ， ， ． 【变式1-2】如图，点、在以为直径的上，连接，，，．若，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由得，由，根据两直线平行，内错角相等得，再由求出，然后根据即可求解． 【详解】如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1-3】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，为的直径，和是的两条弦，且，，求的度数． 【答案】的度数为． 【分析】本题考查平行线的性质，半径相等，三角形的外角性质．由平行线的性质，可得，由等边对等角求得，再根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的度数为． ▌题型07 圆中线段长度的计算 1. 同一个圆中，所有半径都相等，所有直径都相等，直径等于 2 倍半径。 2. 看到半径，标记相等线段，构造等腰三角形。 3. 线段计算依靠：线段和差、等腰三角形边长关系。 【典例7-1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以点C为圆心，CA长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则⊙C的半径为（　　） A． B．8 C．6 D．5 【答案】D． 【分析】连结CD，根据直角三角形斜边中线定理求解即可． 【详解】解：如图，连结CD， ∵CD是直角三角形斜边上的中线， ∴CDAB10＝5． 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 【典例7-2】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的半径，B为上一点（且不与点O、A重合），过点 B作的垂线交圆O于点C，以为边作矩形，连接．若，则的长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，线段的和差，解题的关键是熟练掌握以上性质． 连接，根据矩形的性质得出相等的边和直角，利用勾股定理和线段的和差进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为矩形， ∴， 由勾股定理得， ∴， 故选：C． 【变式1-1】如图，，，是上的点，，垂足为点，且为的中点，若，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，可得，根据垂直平分线的性质可得，即可得出． 【详解】解：如图，连接， ∵，，是上的点， ∴， ∵，垂足为点，且为的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． 【变式1-2】如图，是的直径，点C，D在上，，，若，则的长为 ． 【答案】1 【分析】根据，，可得四边形是菱形，则可得，进而可得是等边三角形，，由可得，进而可得是等边三角形，则可得． 本题考查了菱形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，以及圆的相关知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】 解：连接，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵, ∴四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：1 【变式1-3】如图，是弦的中点，A是上一点，与交于点E，已知，． (1)求线段的长． (2)当时，求，的长． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了圆的基本性质、等腰三角形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，，根据中点的定义得到，再根据三线合一的性质得到，在中利用勾股定理即可求解； （2）设，表示出、的长，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：如图，连接，， ∵是弦的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵A是上一点，， ∴的半径为8， ∴在中，； （2）解：设，则， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：，（舍去）， ∴，． ▌题型08 圆中线段长度的证明 1. 核心依据：同圆（等圆）的半径相等。 2. 证明线段相等两种主要思路： ① 利用半径相等得到等腰三角形，用等腰三角形性质证边相等； ② 证全等三角形：把待证线段放在两个三角形中，利用半径相等提供边的条件，结合已知证全等，得到对应边相等。 3. 解题步骤： · 标出图中相等的半径； · 找出等腰三角形或者全等三角形； · 借助等腰性质或全等对应边相等完成证明。 【典例8-1】如图，、为中两条直径，点、在直径上，且． 求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了圆的认识和全等三角形的判定及性质，关键是根据圆的性质得出和全等，要能综合应用全等三角形的判定与性质． 根据、为中两条直径，得出，，再根据，得出，从而证出和全等，即可得出答案． 【详解】解：∵、为中两条直径， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴． 【典例8-2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，的弦的延长线交于点P，连接，且平分．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 过点O作于点于点H，连接，则可证明，则，再证明，则，继而得以求证． 【详解】证明：过点O作于点于点H，连接． 平分， ， ∵ ， 又， ， ． 【变式1-1】如图，在中，C，D分别是半径，的中点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆的基本概念，全等三角形的判定与性质，先判断出，然后根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：∵C，D分别是半径，的中点， ∴，， 又， ∴， 又， ∴， ∴． 【变式1-2】如图，已知是的直径，点在上，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1) 证明：的半径为， ， ，， ； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形内角和以及等腰三角形等边对等角，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据已知条件利用证明全等即可； （2）根据，求出，再利用全等求出，最后利用等边对等角即可求． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ． 【变式1-3】课本再现 如图1，，，，垂足分别为，，与相等吗？为什么？ （1）完成上述课本习题． 知识应用 （2）如图2，的弦，的延长线相交于点，连接并延长．若，求证：为的平分线． 【答案】（1）． 理由如下：在和中， ， ． 又于点，于点， 即分别是边上的高， ； （2）证明：如图，过点分别作，，垂足分别为，． ， 同理可得：， ，， 为的平分线． 【分析】本题主要考查了圆的基本概念，三角形全等的判定与性质、角平分线的判定． （1）证明，根据于点，于点，即可证明； （2）过点分别作，，垂足分别为，．同理（1）即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 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