专题01 巧作辅助圆问题（隐圆问题）（题型专练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以“隐圆构造”为主线，系统整合5类核心模型，通过“定义-判定-轨迹-最值-应用”逻辑链培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定点定长构造辅助圆|1典例+5变式|利用圆的定义，共端点等线段构圆|从圆的定义出发，基础模型应用于翻折、旋转等动态问题| |对角互补构造辅助圆|1典例+4变式|同侧等角四点共圆判定|结合三角形高、中点等条件，强化共圆判定推理| |定弦定角模型|1典例+4变式|定弦定角确定圆弧轨迹，优弧/劣弧分类|联系圆周角性质，解决动点轨迹与最值问题| |定角定高模型|1典例+3变式|定角动弦找圆最值，三点共线求半径最小值|融合三角形高与圆半径关系，提升空间观念| |最大张角问题|1典例+7变式|外接圆与直线相切时张角最大|结合实际情境（如射门），深化圆与直线位置关系应用|

可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01巧作辅助圆问题 (隐圆问题) (题型突破举一反三) 题型01定点定长构造辅助圆 典例精析 【典例1】 【答案】A 三 举一反三 【变式1】 【答案】B 【变式2】 【答案】90° 【变式3】 【答案】2V10-2/-2+2√10 【变式4】 【答案】 8-2√万 【变式5】 【答案】9：1 ■ 题型02对角互补构造铺肋圆 典例精析 【典例2) 【详解】证明：取BC的中点M,连接EM、DM,如图， BD、CE是锐角△ABC的高， ∠BDC=∠BEC=90°， 在Rt△BDC中，M是BC中点， 1/8 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DM=BM=CM, 在RtABEC中，EM=BM=CM, .BM EM=DM =CM, B、C、D、E四点共圆， .∠ABC+∠EDC=180°， .∠EDC+∠ADE=180°. .∠ADE=∠ABC. E B M 三举一反三 【变式1】 【答案】22 【变式2】 【答案】A 【变式3】 【答案】25 【变式4】 【答案】(1)证明：当点E与点C重合时， :∠ACB=90°，点D是AB的中点， .CD=BD=AD. ∠DEF=∠B. (2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半：EF;DCB (3)4V2 题型03定弦定角模型 典例精析 2/8 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【典例3】 【答案】B 举一反三 【变式1】 【答案】C 【变式2】 【答案】V73-3/-3+√3 【变式3】 【答案】95 【变式4】 【答案】2 题型04定角定高模型 典例精析 【典例4】 【答案】(1)3+V5: (2)证明：如图2，延长CB至M,使得BC=BM,连接MA,MF, D B 图2 在△ECB与△FMB中， BC=BM ∠EBC=∠FBM, EB=BF ·△ECB≌aFMB(SAS). 3/8 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .MF=EC :AB⊥BC,BC=BM, .AM =AC, ∠ACB=60°， ∴△AMC是等边三角形， ∴.AM=AC,∠MAC=60° ,△AFD是等边三角形， .AF=AD,∠FAD=60°， ∴，∠MAC-∠FAC=∠FAD-∠FAC, 即∠MAF=∠CAD 在△AMF与△ACD中， AM=AC ∠MAF=∠CAD AF=AD .aMAF≌aCAD(SAS), .MF=CD .MF=EC, ∴，CD=EC 设∠ECM=a,则∠ACE=60°-a, .∠CMF=∠ECM=a,∠ACD=∠AMF=60°+a, ∴.∠ECD=∠ECA+∠ACD=60°-a+60°+a=120°， CE=CD .'DE =3CD 3)5 三举一反目 【变式1】 【答案】(1)82-8：(2)8：(2)(84-125)m 【变式2】 【答案】(1)图①所示： 4/8 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B Rt△ACB即为所求： 图① 16√5 (2) 3； (3)存在面积最大值，最大值为144m2, 理由如下：分别延长AB、DC交于点M,如图③所示：则△ADM、△CBM均为等腰直角三角形， CB=CD= m. E B M 图③ 6N2 .BM6V2m,CM=6/2x/2=12m,AD=DM-(62+12)m. ∴.S四边形BCD=SAADM-SACBM 号Dr-ac2-65+12-2x6=72+725, .∠BCD=360°-∠A-∠CDA-∠CBA=360°-45°-90°-90°=135°， “将△CBE绕点C顺时针旋转135°得到△CDE,则A,D,E'三点共线， ,.Sg边形AEcr=S网边EBcD(SACEE+SaCDF)=S网边形ABCD-SACFE, S四边形ABCD为定值， ,当SCFE取得最小值时，Sg边形AecF取得最大值， ∠E'CF=135°-90°=45°， ∴.以E'F为斜边作等腰Rt△OEF,则△CEF的外接圆是以点O为圆心，OF长为半径的圆， 设aCEF的外接圆半径为m,则E'F=√2rm, 又.OC+OD2CD, √2 2r+r≥6V2, 5/8 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.r≥12W2-12, 当点O在CD上时，E'F最短，此时E'F=√2r=24-12W2, aCEF的面积最小值=2×(24-122)x62=722-72, :四边形ABCP的面积最大值72+722-(72V2-72)=14(m). 【变式3】 【答案】(1)11：(2)125，(3)6400N2平方米 题型05最大张鱼问题 典例精析 【典例5】 √2 【答案】 60 2 举一反三 【答案】2√2 【变式2】 【答案】(25,0 【变式3】 【答案】V3 【变式4】 【答案】4 【变式5】 【答案】(1)证明：：⊙0与直线1相切于点C, ∴点C是⊙0与直线1的唯一公共点， .当点P异于点C时，点P在圆外， 设AP与⊙O交于点D,连接BD,如图， 6/8 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 。O P AB=AB, ∴∠ACB=∠ADB ,∠ADB=∠DBP+∠APB>∠APB, .∠ACB>∠APB； (2)Vab+b2 (3)2+2√2 【变式6】 【答案】 [提出问题]甲自己射门好，理由如下： 如图2，记AP与过AB两点的圆的交点为C,连接BC, 图2 4B=4B, ∠A0B=∠ACB ∠ACB=∠APB+∠PBC, ∠AQB>∠APB .甲自己射门好： [经验感知](1)如图4，⊙0即为所求： 7/8 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 图4 (2)30°： [理解应用](1)C;(2)121-7√2 【变式7 【答案】(1)证明：：MW=MN ∴.∠MBN=∠MCN :∠MCN=∠MAN+∠ANC>∠MAN, .∠MBN>∠MAW, (2)c(5,0)】 8/8 专题01 巧作辅助圆问题（隐圆问题） （题型突破·举一反三） 题型01 定点定长构造辅助圆 题型02 对角互补构造辅助圆 题型03 定弦定角模型 题型04 定角定高模型 题型05 最大张角问题 ▌题型01 定点定长构造辅助圆 如图1，若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆（圆的定义）. 适用范围：题目出现共端点，等线段时，可利用圆的定义构造辅助圆. 【典例1】如图，已知AB=AC=AD，∠CAD=20°，则∠CBD的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【答案】A 【详解】 如图，AB=AC=AD ∵ ， 故选A． 【变式1】如图，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2，则BD的长为（      ） A． B． C．3 D．2 【答案】B 【详解】试题分析：以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交⊙A于F，连接DF． ∵DC∥AB， ∴ ∴DF=CB=1，BF=2+2=4， ∵FB是⊙A的直径， ∴∠FDB=90°， ∴BD= 故选B． 考点：勾股定理． 【变式2】（第二十四章圆突破30圆中的最值（三）显性“定点定长”型隐圆）如图，P是等腰所在平面内的一点，且定长，连接，．当的长最大时，的度数为_______． 【答案】 【分析】本题考查了圆的性质、直径所对的圆周角性质以及等腰三角形的性质，理解圆的性质以及直径所对的圆周角性质，解答本题的关键；通过已知条件得点P在等腰三角形的顶点A为圆心、为半径的圆上运动，然后，利用圆的性质，当弦直径时，其长度达到最大，接着利用直径所对的圆周角性质，得出当为直径时，。 【详解】解：， 点A为圆心，为半径作圆，那么点P必然在这个圆上。 由于是圆上的一条弦， ∴当为直径时，其长度达到最大。 三点都在以为半径的上． ∵直径是圆中最长的弦， 设此时点P的位置为，连接和， 是直径， 。 当是直径（如图，点P在处）时最大， 此时，． 故答案为：． 【变式3】（2026·福建漳州·一模）在矩形中，是的中点，点在上运动．将沿翻折得到，连接，则的最小值为___________． 【答案】/ 【分析】如图，连接，由折叠的性质易证，推出点在以点为圆心，为直径的圆上运动，当三点共线时，有最小值，利用勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：如图，连接， 由折叠的性质得， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴点在以点为圆心，为直径的圆上运动， 当三点共线时，有最小值， ∵，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【变式4】（2026·山东临沂·二模）如图所示，已知矩形，，，点为边上不与端点重合的一个动点，连接，将沿翻折得到，连接并延长交于点，则线段的最大值是________． 【答案】 【分析】以为圆心，长为半径作圆，当与相切时，即，两点重合时，值最大，证明，得出，由勾股定理求出，即可得出结果． 【详解】解：以为圆心，长为半径作圆，如图所示： 四边形是矩形， ，，， 由折叠的性质得：，， ， 当与相切时，即，两点重合时，、、三点共线，值最大， 四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， 在中，， ， 的最大值为：． 【变式5】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，．将绕点旋转得到，点的对应点分别为点，连接．在旋转过程中，当点在直线两旁时， 面积的最大值分别是和，则______． 【答案】 【分析】根据旋转性质可知，为定值，点在以点为圆心，为半径的圆上，面积最值为圆上点到的距离最值． 【详解】解：根据旋转性质可知，为定值，点在以点为圆心，为半径的圆上， 设到的距离为，又， ， 当点在直线远离点的一侧，点到的距离最大为， 当点在直线靠近点的一侧，点到的距离最小为， ， ． ▌题型02 对角互补构造辅助圆 如图2，同侧共边三角形且公共边所对角相等的四个顶点共圆. 条件：已知∠A和∠D位于线段同侧，且∠A=∠D， 结论：A，B，C，D四点共圆. 【典例2】（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，、是锐角的高，连接．求证：请用隐圆解决问题 【答案】见解析 【分析】取的中点M，连接、，只要证明B、C、D、E四点共圆，可得，，即可推出．解答本题的关键是学会证明四点共圆，利用圆的性质解决有关问题． 【详解】证明：取的中点M，连接、，如图， 、是锐角的高， ， 在中，M是中点， ， 在中，， ， 四点共圆， ， ， ． 【变式1】（25-26九年级上·全国·单元复习）如图所示，在等腰直角三角形中，，，点为斜边的中点，是上一动点，过点作垂直于交于点，连接，则的最小值是__________． 【答案】 【分析】本题考查了圆的性质，等腰直角三角形的性质，垂线段最短等知识，先由已知得和互补，则有、、、四点共圆，为直径，连接，根据等腰直角三角形的性质得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，根据等腰三角形三线合一的性质得，则当为直径时，圆最小，也最小，根据垂线段最短可得答案． 【详解】解：如图， 可知和互补， 所以、、、四点共圆，为直径， 连接， ∵在等腰直角三角形中，，， ∴， ∵点为斜边的中点， ∴，， ∴当为直径时，圆最小，也最小， ∴的最小值为． 【变式2】（25-26九年级上·全国·单元复习）如图，在四边形中，，是的中点，是的中点，若，，，则的长为 ( ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查圆内接四边形，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等腰三角形的性质等知识点，解答此题的关键是得出，，，四点共圆． 连接，，根据且为中点，证明是等腰三角形，再利用等腰三角形三线合一的性质得到，根据圆周角定理得到，求得，，进而可得出结论． 【详解】连接，，如图， ，且为中点， ， ， ， 为中点， ， ， ，，，四点共圆， ，， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 由勾股定理得 ， ， ， 故选A． 【变式3】（2026·江苏扬州·二模）如图，将绕点A旋转至，使得共线．若，，则的长为____． 【答案】 【分析】作于点H，由旋转可得，再说明点A，点C，点B，点四点共线，可得，然后根据等腰三角形的性质得，接下来根据勾股定理求出，则此题可解． 【详解】解：如图所示，过点A作于点H， 将绕点A旋转至， ∴． ∵， ∴， ∴点A，点C，点B，点四点共线， ∴． ∵， ∴， 根据勾股定理，得， ∴． 【变式4】（吉林省长春市第七十二中学2025-2026学年下学期5月中考模拟九年级数学）在中，，点是的中点，点在边上，过点作的垂线，交直线于点． (1)【特例感知】如图①，当点与点重合时，，请说明理由． 【提出问题】如图②，当点与点不重合时，还成立吗？ 【解决问题】答：图②中的依然成立； (2)下面是针对点在线段上的情形进行的一种证明，请你补充完整： 如图③，取中点，连接，，． ， ． 点是的中点， ， ．______________（填依据） ，点是的中点， ． ， 即点，，，在以____为直径的圆上； ____． 由【特例感知】可知，． ． (3)【拓展应用】如图④，若，，，点为线段上的动点，点为线段上的动点，以为斜边构造等腰直角三角形，则的最小值为____． 【答案】(1)证明：当点与点重合时， ，点是的中点， ， ． (2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；； (3) 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质以及等边对等角即可证明； （2）取中点，连结，，，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、四点共圆的判定与性质、圆周角定理得到，再利用【特例感知】的结论解答即可； （3）连接，取中点，连接，先根据直角三角形斜边中线的性质得到点在以点为圆心，为直径的圆上，则，故当时，取得最小值，在解直角三角形即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图③，取中点，连接，，， ， ， 点是的中点， ， ，__直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半_（填依据） ，点是的中点， ， ， 即点，，，在以_____为直径的圆上， ___． 由【特例感知】可知，， ． （3）解：∵等腰直角， ∴， 连接，取中点，连接， ∵， ∴， ∴点在以点为圆心，为直径的圆上， ∴， ∴当时，取得最小值， ∴． ▌题型03 定弦定角模型 如图，已知AB为定线段，P为动点，且∠APB=α，则A、B、P三点必共圆，或称为点P一定在以AB为弦的某一个圆上，且这个圆是固定的，圆心在线段AB的垂直平分线上，动点P的运动轨迹为关于线段AB对称的圆弧上，分为以下三种情况： ∠P＜90°，点P在优弧APB上运动（不与A，B重合） ∠P=90°，点P在O上运动（不与A，B重合） ∠P＞90°，点P在劣弧APB上运动（不与A，B重合） 弦AB为直径 【推论】当AP=BP时，点P到AB的距离最大，且此时△ABP的面积最大. 【典例3】（2026·江苏南通·模拟预测）如图，在正方形中，，点E，F分别在上，相交于点G，连结．当点E从点C运动到点D的过程中，的最小值为（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】先利用正方形的边相等、内角为直角的性质，结合证明，进而推出，从而确定点G的运动轨迹是以为直径的圆弧， 将求线段最小值问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题，当O，G，D共线时，有最小值，用点到圆心的距离减去半径即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点G的运动轨迹是以为直径的圆弧，当O，G，D共线时，有最小值， 如图，以为直径作，连接， 在正方形中，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 【点睛】“定弦定角”模型是发现隐圆、进而求解最值的关键核心． 【变式1】（2026·广东广州·二模）如图，的直径为，是弧上一动点，半径垂直于，，垂足为．当点从运动到的过程中，点运动的路径长为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据可得，从而判定点在以为直径的圆上运动；通过分析点在起点和终点时点的位置，确定点的运动轨迹为以为直径的半圆，最后利用勾股定理求出，结合圆周长公式求解即可． 【详解】解：连接 ∵， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， 当点在点时，与重合，此时点与点重合， 当点在点时，与重合， ∵为的直径， ∴， 即， 又∵， ∴点与点重合， ∴点运动的路径是以为直径的半圆， ∵的直径为，半径， ∴，， 在中，， ∴点运动的路径长为． 【变式2】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，半圆的直径，点在半圆上，，点在上，于点，则的最小值为___________． 【答案】/ 【分析】本题考查勾股定理，解直角三角形，定弦定角求点圆最值，通过直角找到点Q的运动轨迹是解题关键． 根据，可知点Q在以为直径的圆上，再利用点圆最值求出的最小值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴点Q在以为直径的圆上，记该圆圆心为D， 如图，当点Q在上时最小，连接， ∵为直径， ∴， ∴，， ∴，即半径为3， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，是的弦．C为上一点，，连接并延长至点D，过点D作交于点E，连接，．当时，四边形面积的最大值为______． 【答案】 【分析】本题考查了圆的性质，平行四边形的性质与判定，掌握“定角定弦”的隐圆模型是解题的关键． 延长至点N，使得，连接，过点E作，通过面积计算证明四边形的面积与的面积相等，同时根据条件可知始终都在同一个大小不变的圆上，画出对应的圆，根据图形即可求出面积的最大值，即可求解． 【详解】解：如图，延长至点N，使得，连接，过点E作， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是梯形，面积为 又，， 始终都在同一个大小不变的圆上，如下图 根据图形可知当C点刚好在的垂直平分线上，即时，此时为等边三角形，面积最大，最大为，同时四边形的面积也最大，为． 故答案为：． 【变式4】（21-22九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在中，，，，过点作的平行线，为直线上一动点，为的外接圆，直线交于点，则的最小值为 __．    【答案】2 【分析】连接．首先证明，由此推出点在以为圆心，为半径的上运动，连接交于，此时的值最小． 【详解】解：如图，连接． ， ， ， ， 点在以为圆心，为半径的上运动， 连接交于，此时的值最小．此时与交点为． 所对圆周角为， ， 过点作，垂足为，      是等腰三角形， ∴，， ∴， ， ，， ， ， 故答案为：2．   【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、平行线的性质、圆周角定理、勾股定理，点与圆的位置关系，解直角三角形等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题． ▌题型04 定角定高模型 定角定高模型是一类独立的最值模型，其根本原理是“定角动弦，找圆最值”，即圆中的圆周角(或圆心角)固定，则圆的大小(即r的大小)决定了该角所对的弦(或弧)的大小. 条件：在△APB中，∠APB=(定角)，PC是AB边上的高，且PC=h(定高)， 结论：即当P,O,C三点共线时，圆的半径PO取最小值，AB取最小值 【典例4】（2025九年级上·全国·专题练习）在直角中，，，点D是外一点，连接，以为边作等边． (1)如图1，当点F在线段上，交于点M，且平分，若，求的面积； (2)如图2，连接并延长至点E，使得，连接、、，证明：； (3)如图3，旋转使得落在的角平分线上，M、N分别是射线、上的动点，且始终满足，连接，若，请直接写出的面积最小值． 【答案】(1)； (2)见解析； (3) 【分析】（1）过点M作交于点N，设，则，，解得，从而求得； （2）延长至M，使得，连接，，证，，则，，从而证得； （3）过点D作于点H，过点D作于点G，过点D作交延长线于点K，证，运用定角定高模型进行分析． 【详解】（1）解：如图1，过点M作交于点N， ∴是等边三角形，， ∴． ∵在直角中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 设， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故． （2）证明：如图2，延长至M，使得，连接，， 在与中， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，． ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 即． 在与中， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 设，则， ∴，， ∴， ∵， ∴． （3）解：如图3，过点D作于点H，过点D作于点G，过点D作交延长线于点K， ∵，平分，，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴． 在中， ∵，，， ∴， ∵，，， 过点A作于点Q， ∴，， ∴，． 对于，， ∵， ∵， ∴当有最小值时，即最小， ∵， ∴最小，也即最小． ∵，， ∴当过外接圆圆心时，有最小值，即有最小值，也即有最小值，此时， ∵，， ∴， 即当是等边三角形时，的面积最小，为． 此时，由图形对称性可得，， 故的面积最小值为． 【点睛】本题是图形综合题，考查了锐角的三角函数值，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，定角定高模型，综合运用以上几何性质是解题关键． 【变式1】（2025·陕西西安·二模）【问题提出】 （1）如图①，已知点A是直线l外一点，点B，C均在直线l上，于点D且．求的最小值； 【问题探究】 （2）如图②，在四边形中，，点E，F分别为上的点，且，求四边形面积的最大值； 【问题解决】 （3）如图③，某园林对一块矩形花圃进行区域划分，点K为的中点，点M，N分别为上的点，且将花圃分为三个区域．已知，现计划在和中种植甲花，在其余区域种植乙花，试求种植乙花面积的最大值． 【答案】（1）；（2）；（2） 【分析】（1）作的外接圆，连接，过点O作于点E，先由圆周角定理和垂径定理得，可得，，设 ，结合 ，再进一步即可解决问题； （2）分别延长交于点M，如图所示：则均为等腰直角三角形，将绕点C顺时针旋转得到，则A、D、三点共线，由，当取得最小值时，取得最大值，，求出的最小值，即可解决问题； （3）如图③中，将绕点K顺时针旋转得到，此时N，C，共线，作的外接圆，连接，，，过点O作于点H．求出的面积的最小值，可得结论． 【详解】解：（1）如图①中，作的外接圆，连接，过点O作于点E，则，，， ∵ ∴， 设， 则， ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴最小值为； （2）分别延长交于点M，如图所示：则均为等腰直角三角形， ∵，，， ∴，，， ∴ ； ∵， ∴将绕点C顺时针旋转得到，则A、D、三点共线， ∴， ∵为定值， ∴当取得最小值时，取得最大值， ∵， ∴以为斜边作等腰，则的外接圆是以点O为圆心，长为半径的圆，过点O作于点J． 设的外接圆半径为，则， 又∵， ∴， ∴， 当点O在上时，最短，此时， ∴， ∴． （3）如图③中，将绕点K顺时针旋转得到，此时N，C，共线，作的外接圆，连接，，，过点O作于点H． ∵， ∴， 同理可得：， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积的最小值为， ∴的面积的面积的最小值为， ∴五边形的面积的最大值， ∴种植乙花面积的最大值为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，三角形的外接圆，解直角三角形，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用辅助圆解决问题，属于中考常考题型． 【变式2】（21-22八年级下·江苏盐城·期末）（1）问题提出：如图①，已知线段AB，请以AB为斜边，在图中画出一个直角三角形； （2）如图②，已知点A是直线l外一点，点B、C均在直线l上，AD⊥l且AD=4，∠BAC=60°，求△ABC面积的最小值； （3）问题解决：如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形ABCD中，∠A=45°，∠B=∠D=90°，CB=CD=m，点E、F分别为AB、AD上的点，若保持CE⊥CF，那么四边形AECF的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）图①所示： Rt△ACB即为所求； （2）； （3）存在面积最大值，最大值为144m2， 理由如下：分别延长AB、DC交于点M，如图③所示：则△ADM、△CBM均为等腰直角三角形， ∵CB=CD=m， ∴BM=m，m，AD=DM=m， ∴S四边形ABCD=S△ADM-S△CBM =， ∵∠BCD=360°-∠A-∠CDA-∠CBA=360°-45°-90°-90°=135°， ∴将△CBE绕点C顺时针旋转135°得到，则三点共线， ∴S四边形AECF=S四边形ABCD-（S△CBE+S△CDF）=S四边形ABCD-， ∵S四边形ABCD为定值， ∴当取得最小值时，S四边形AECF取得最大值， ∵135°-90°=45°， ∴以为斜边作等腰，则的外接圆是以点O为圆心，OF长为半径的圆， 设的外接圆半径为rm，则m， 又∵OC+OD≥CD， ∴， ∴， 当点O在CD上时，最短，此时， ∴的面积最小值=， ∴四边形AECF的面积最大值（m2）． 【分析】（1）以AB为直径作圆，在圆上任取一点（不与点A、B重合）C，连接AC、BC，由圆周角定理得∠ACB=90°，即可得出结论； （2）作△ABC的外接圆⊙O，连接OA、OB、OC，过点O作OE⊥BC于点E，先由圆周角定理和垂径定理得∠BOC=2∠BAC，BE=CE=BC，则∠BOC=120°，∠OBC=∠OCB=30°，设OA=OB=OC=r，则OE=r，BC=2BE=，再由AO+OE≥AD，得r≥，则BC=，即可解决问题； （3）分别延长AB、DC交于点M，则△ADM、△CBM均为等腰直角三角形，将△CBE绕点C顺时针旋转135°得到，则三点共线，由S四边形AECF=S四边形ABCD-（S△CBE+S△CDF）=S四边形ABCD-，当取得最小值时，S四边形AECF取得最大值，求出的最小值，即可解决问题． 【详解】（1）解：以AB为直径作圆，在圆上任取一点（不与点A、B重合）C，连接AC、BC， 如图①所示：则∠ACB=90°， ∴Rt△ACB即为所求； （2）作△ABC的外接圆⊙O，连接OA、OB、OC，过点O作OE⊥BC于点E，如图②所示： 则∠BOC=2∠BAC，OA=OB=OC，BE=CE=BC， ∵∠BAC=60°， ∴∠BOC=120°，∠OBC=∠OCB=30°， 设 OA=OB=OC=r，则OE=，BC=2BE=， ∵AO+OE≥AD，AD=4， ∴， 解得：r≥， ∴BC=， ∴BC最小值为， ∵S△ABC=BC•AD， ∴△ABC面积的最小值为：； （3）略 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了四边形的面积、圆周角定理、垂径定理、旋转变换的性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形面积以及最值问题等知识；本题综合性强，熟练掌握圆周角定理、垂径定理以及等腰三角形的性质是解题的关键，属于中考常考题型． 【变式3】（2023·吉林长春·模拟预测）【问题提出】 （1）如图①，为的一条弦，圆心到弦的距离为4，若的半径为7，则上的点到弦的距离最大值为______； 【问题探究】 （2）如图②，在中，为边上的高，若，求面积的最小值； 【问题解决】 （3）如图③，在中，平分交于点，点为上一点，米，．则四边形的面积的最小值为______． 【答案】（1）11；（2）；（3）平方米 【分析】（1）根据圆的性质直接可得答案； （2）作的外接圆，连接，过点O作于点，设，则，根据垂线段最短可得R的最小值，从而得出的最小值，进而得出答案； （3）过点作于点于点，则，在上截取，连接，利用证明，则，要使四边形的面积最小，只需的面积最小，由（2）同理求出面积的最小值即可． 【详解】解：（1）∵圆心到弦的距离为4，若的半径为7， ∴上的点到弦的距离最大值为， 故答案为：11； （2）作的外接圆，连接，过点O作于点，如图． ， ， ， 设，则， 由，得，即， ∴， ， ． 即面积的最小值为； （3）过点作于点于点， ∵平分， ∴． 又， ． 米，，， 、为等腰直角三角形， ∴米， （平方米）， 平方米． 在上截取，连接，如图． ， ， ， 要使四边形的面积最小，只需的面积最小． ， ， ， 作的外接圆，如图，连接，作于点， 则， ∴． 设，则． 由，得，解得， 米， （平方米）， （平方米）． 即四边形的面积存在最小值，最小值为平方米． 故答案为：平方米． 【点睛】本题考查了圆的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，垂线段最短等知识，将四边形面积最小问题转化为三角形面积最小是解题的关键． ▌题型05 最大张角问题 问题：已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，∠ACB最大？ 图示： 作△ABC的外接圆当外接圆与OM相切时，∠ACB最大 结论：当外接圆与OM相切时，即当时，∠ACB最大 【典例5】（2026·安徽合肥·一模）足球运动员在球场上，常需带球跑动到一定位置后，再进行射门，这个位置为射门点，射门点与门边框两端点的夹角就是射门角．如图1，如果点，表示球门边框(不考虑球门的高度)的两端点，点表示射门点，连接，，则就是射门角．在不考虑其他因素的情况下，一般地，射门角越大，进球的可能性就越大．当最大时，点是最佳射门点，是最佳射门角．如图2，点是球门前一点，与点，构成等边，运动员带球在经过点的直线上跑动． （1）如图3，当时，最佳射门角的度数是_____°； （2）如图4，当时，若最佳射门点到球门的距离为，则_____． 【答案】 60 【分析】（1）证明当点P在点C处时，取最大值即可得解； （2）作，使得经过点A、B，且与直线l相切于点，则是最佳射门角，延长交于点E，延长，交于点D，则，过点作于点F，设，，利用和是含30度的直角三角形找到a与r之间的关系，从而用a表示出，，从而用a表示出d，从而得解． 【详解】解：（1）取等边的中心O，连接，以点O为圆心，为半径作圆，则经过点A、B、C，即是的外接圆， 设交于点D，连接， ∵点O是等边的中心， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴直线l与相切于点C， ∴当点P不在点C处时，， ∴当点P在点C处时，， 即最佳射门角的度数是； （2）作，使得经过点A、B，且与直线l相切于点，连接、、、，则， 设 同理可得：此时是最佳射门角， ∵， ∴点O在的垂直平分线上， 又∵， ∴点C在的垂直平分线上， ∴垂直平分，， 延长交于点E， 则点E是的中点，且， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， 延长，交于点D，则，过点作于点F， 则， 设，则，， ∵， ∴， ∴， 两边平方整理得：， ∴或， ∵， ∴， ∵，即不合题意， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【变式1】（2026·江苏宿迁·三模）如图，正六边形的边长为2，动点M、N分别从点A、D同时出发，以相同的速度沿，向终点F，C运动，过点F作，垂足为H点，连接、，当最大时，线段的长为__________． 【答案】 【分析】连接、交于点，由题意可得点为正六边形的对称中心，且中心角为，，从而得出和均为等边三角形，由等边三角形的性质可得，由题意可得，由对称性可得，直线必过对称中心，证明点在以为直径的上，结合是定线段，得出当最大时，则与相切，此时点在处，连接，，则，且，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、交于点， ∵六边形为正六边形， ∴点为正六边形的对称中心，且中心角为，， ∴和均为等边三角形， ∴， 由题意可得：， 由对称性可得，直线必过对称中心， ∵， ∴， ∴点在以为直径的上， ∵是定线段， ∴当最大时，则与相切，此时点在处，连接，，则，且， ∴， ∴， 故当最大时，线段的长为． 【点睛】本题考查了正多边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、切线的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【变式2】（2025九年级·全国·专题练习）数学家研究发现：当弦一定时，圆越小，该弦在优弧上的圆周角就越大，在劣弧上的圆周角就越小．已知，为轴正半轴上一动点．当最大时，点的坐标是______． 【答案】 【分析】根据题意，当的外接圆最小，即与相切于点时，最大，设外接圆的圆心为，连接，过点作于点．由四边形是矩形，则，求得，根据勾股定理可求出，即可求出点的坐标． 【详解】解：根据题意，当的外接圆最小，即与相切于点时，最大． 设外接圆的圆心为，连接，过点作于点． 点的坐标分别是， 点一定在线段的垂直平分线上，则， ． ∵轴，， ∴ ∴四边形是矩形， ． ， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题重点考查坐标与图形性质、圆周角定理、切线的性质、矩形的判定、勾股定理、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 【变式3】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知中，，，当最大时，的长为_______． 【答案】 【分析】本题考查圆的切线性质、勾股定理，得到与圆B相切时，最大是解答的关键．先根据题意，点C在以点B为圆心，为半径的圆上运动（不在直线上），当与圆B相切时，最大，然后利用切线性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，∵， ∴点C在以点B为圆心，为半径的圆上运动（不在直线上）， 当与圆B相切时，最大，此时，点C在点处，， ∴， 故答案为：． 【变式4】（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B、点D．点A是x轴上的一个动点，点C是y轴上的一个动点，且．点E、F分别是和的中点，当的值是________，最大． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点，直角三角形斜边上中线的性质，切线的性质，勾股定理，掌握相关的知识是解题的关键． 连接，分别令，，求出点B，D的坐标，得到，的长，根据直角三角形斜边上中线的性质得到，的长，过O作于点H，当最大时，则也最大，又，因此当H和E重合时取等号，此时，即与小圆相切，根据切线的性质结合勾股定理即可求解． 【详解】解：连接， 当时，， ∴点D坐标为， 当时，， ∴， ∴点B坐标为， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵F是中点，， ∴， 过O作于点H，当最大时，则也最大， 在中，，当H和E重合时取等号，此时，即与小圆相切，如图所示， ∴． 故答案为：． 【变式5】（2026·广东广州·二模）【阅读材料】德国数学家约翰内斯•米勒在1471年提出了一个有趣的问题：如图①，一根竖直悬挂的杆，在地面（直线l）上的哪个点P能让杆看起来最长（也就是最大）．这个最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题之一．利用圆的知识，其实这个问题并不难解决．如图②，作过点A，B且与直线l相切于点C，当点P异于点C时，容易证明，所以当点P与点C重合时，最大，也就是说，当的外接圆与l相切时，最大． 【解决问题】 (1)请完成材料中的证明； (2)材料中的最大视角问题，设，点B到直线l的距离为b，当最大时，点P到所在直线的距离是多少？（用含a，b的代数式表示） (3)如图③，E是射线上的一点，，，C是的中点．把绕点C顺时针旋转得到，连接．求当最大时，的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）设与交于点D，连接，利用三角形外角得到角度的关系，再结合圆周角定理即可证明； （2）根据（1）中结论可知当点P与点C重合时，最大，再添加辅助线，得到，结合勾股定理求解即可； （3）先证明与全等，可得，添加辅助线证明，得到边成比例，再证明为等边三角形，利用边的关系求解即可． 【详解】（1）证明：∵与直线l相切于点C， ∴点C是与直线l的唯一公共点， ∴当点P异于点C时，点P在圆外， 设与交于点D，连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：由题意可知，当点P与点C重合时，最大． 如图，设所在直线与l相交于点F，连接，过点O作于点E，如图， 则即为此时点P到所在直线的距离， ∵与直线l相切于点C， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴； 即当最大时，点P到所在直线的距离是； （3）解：如图，延长到点F，使，连接，，如图， ∵，，， 在与中， ， ∴， ∴， 由旋转性质可知，，， ∴，， ∴， ∴， ∴当最大时，最大． 在左侧作，使得，连接， 则， ∴，， ∴， ∴，， ∴点F在过点G且与垂直的直线上运动， ∴当的外接圆与直线相切时，最大， ∵延长，交于点H，连接，如图， 设， ∵的外接圆与直线相切， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 又∵， ∴， ∴，即， ∵在中，，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式6】（23-24九年级上·江苏镇江·期中）【提出问题】如图1，直线是足球场底线，是球门，点是射门点，连接，则叫做射门角．如图2，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑（射门角越大，足球越容易被踢进），甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好，利用所学知识说明理由． 【经验感知】如图3，若球员在直线上跑动，随时准备射门，是否存在某一点，使得射门角最大．人们发现：当且仅当经过两点的圆与直线相切于点时，最大，并称此时的为最大射门角．如图4，为球门，直线是足球场的底线，直线，垂足为，若，球员丙带球沿直线向底线方向运球，已知丙运球过程中的最大射门角是． （1）尺规作图：作经过两点并且与直线相切于点的（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求出最大射门角的度数． 【理解应用】 （1）如图5，正方形网格中，点均在格点上，为球门，球员丁带球沿方向进攻，最好的射点在（    ） A．点        B．点或点          C．线段（异于端点）上一点     D．线段（异于端点）上一点 （2）如图6，矩形是足球场的示意图，其中宽，球门，且．点分别是上的点，，一位左前锋球员戊从点处带球，沿方向跑动，球员戊在上何处才能使射门角（）最大，直接写出此时的长度． 【答案】 [提出问题] 甲自己射门好，理由如下： 如图2，记与过两点的圆的交点为，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴甲自己射门好； [经验感知]（1）如图4，即为所求； （2）； [理解应用] （1）C；（2） 【分析】[提出问题]根据同弧所对的圆周角，以及三角形外角的性质可得，，然后作答即可； [经验感知]（1）由题意知，过三点，分别作的垂直平分线，交点即为圆心，然后作圆即可； （2）如图4，连接，于，是的切点，四边形是矩形，，则，是等边三角形，然后根据圆周定理求最大射门角的度数即可； [理解应用]（1）如图5，连接，作的垂直平分线的交点为，连接，，由，可知四点共圆，如图5，则，然后作答即可； （2）如图，过作与相切，切点为， 线段的垂直平分线交于点，于，、的延长线交点为，则是最大的射门角，，，均为等腰直角三角形，，，设的半径为，则，，，由勾股定理得，，即，计算求解满足要求的值，根据，计算求解即可． 【详解】[提出问题]略 [经验感知]（1）略 （2）如图4，连接，于， ∵是的切点， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形，， ∵， ∴， ∴最大射门角的度数为； [理解应用]（1）解：如图5，连接，作的垂直平分线的交点为，连接，， 由勾股定理得，， ∴， ∴四点共圆，如图5， ∴， ∴当射点在线段（异于端点）上一点时，射门角最大， 故选：C； （2）解：∵，，， ∴， 如图，过作与相切，切点为， 线段的垂直平分线交于点，于，、的延长线交点为，则是最大的射门角， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， 由题意知，，， ∴均为等腰直角三角形， ∴，， 设的半径为，则，， ∴， 由勾股定理得，，即， 解得，或（舍去）， ∴， ∴射门角（）最大，此时的长度为米． 【点睛】本题考查了圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质，等边三角形的判定与性质，作垂线，垂直平分线的性质，切线的性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识．理解题意，熟练掌握圆的知识是解题的关键． 【变式7】（2023·广西北海·二模）综合与实践 【问题提出】 （1）如图，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙已跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑，甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？假设球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进．请结合你所学知识，求证：． 【数学理解】 德国数学家米勒曾提出最大视角问题，对该问题的一般描述是：如图，已知点，是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大，人们称这一命题为米勒定理． 【问题解决】 （2）如图，已知点，的坐标分别是，，是轴正半轴上的一动点，当的外接圆与轴相切于点时，最大，当最大时，求点的坐标． 【答案】（）证明：∵ ∴， ∵， ∴； （）． 【分析】（）利用圆周角定理可得，再利用三角形外角性质即可得； （）连接，，过点作交轴于点，连接，可得，证明四边形是矩形，进而求得的长，进一步得出结果． 【详解】（）略 （）如图， 连接，，过点作交轴于点，连接， ∴，， ∵与轴相切， ∴轴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，垂径定理，圆的切线的性质，三角形外角性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 巧作辅助圆问题（隐圆问题） （题型突破·举一反三） 题型01 定点定长构造辅助圆 题型02 对角互补构造辅助圆 题型03 定弦定角模型 题型04 定角定高模型 题型05 最大张角问题 ▌题型01 定点定长构造辅助圆 如图1，若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆（圆的定义）. 适用范围：题目出现共端点，等线段时，可利用圆的定义构造辅助圆. 【典例1】如图，已知AB=AC=AD，∠CAD=20°，则∠CBD的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【变式1】如图，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2，则BD的长为（      ） A． B． C．3 D．2 【变式2】（第二十四章圆突破30圆中的最值（三）显性“定点定长”型隐圆）如图，P是等腰所在平面内的一点，且定长，连接，．当的长最大时，的度数为_______． 【变式3】（2026·福建漳州·一模）在矩形中，是的中点，点在上运动．将沿翻折得到，连接，则的最小值为___________． 【变式4】（2026·山东临沂·二模）如图所示，已知矩形，，，点为边上不与端点重合的一个动点，连接，将沿翻折得到，连接并延长交于点，则线段的最大值是________． 【变式5】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，．将绕点旋转得到，点的对应点分别为点，连接．在旋转过程中，当点在直线两旁时， 面积的最大值分别是和，则______． ▌题型02 对角互补构造辅助圆 如图2，同侧共边三角形且公共边所对角相等的四个顶点共圆. 条件：已知∠A和∠D位于线段同侧，且∠A=∠D， 结论：A，B，C，D四点共圆. 【典例2】（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，、是锐角的高，连接．求证：请用隐圆解决问题 【变式1】（25-26九年级上·全国·单元复习）如图所示，在等腰直角三角形中，，，点为斜边的中点，是上一动点，过点作垂直于交于点，连接，则的最小值是__________． 【变式2】（25-26九年级上·全国·单元复习）如图，在四边形中，，是的中点，是的中点，若，，，则的长为 ( ) A． B． C． D． 【变式3】（2026·江苏扬州·二模）如图，将绕点A旋转至，使得共线．若，，则的长为____． 【变式4】（吉林省长春市第七十二中学2025-2026学年下学期5月中考模拟九年级数学）在中，，点是的中点，点在边上，过点作的垂线，交直线于点． (1)【特例感知】如图①，当点与点重合时，，请说明理由． 【提出问题】如图②，当点与点不重合时，还成立吗？ 【解决问题】答：图②中的依然成立； (2)下面是针对点在线段上的情形进行的一种证明，请你补充完整： 如图③，取中点，连接，，． ， ． 点是的中点， ， ．______________（填依据） ，点是的中点， ． ， 即点，，，在以____为直径的圆上； ____． 由【特例感知】可知，． ． (3)【拓展应用】如图④，若，，，点为线段上的动点，点为线段上的动点，以为斜边构造等腰直角三角形，则的最小值为____． ▌题型03 定弦定角模型 如图，已知AB为定线段，P为动点，且∠APB=α，则A、B、P三点必共圆，或称为点P一定在以AB为弦的某一个圆上，且这个圆是固定的，圆心在线段AB的垂直平分线上，动点P的运动轨迹为关于线段AB对称的圆弧上，分为以下三种情况： ∠P＜90°，点P在优弧APB上运动（不与A，B重合） ∠P=90°，点P在O上运动（不与A，B重合） ∠P＞90°，点P在劣弧APB上运动（不与A，B重合） 弦AB为直径 【推论】当AP=BP时，点P到AB的距离最大，且此时△ABP的面积最大. 【典例3】（2026·江苏南通·模拟预测）如图，在正方形中，，点E，F分别在上，相交于点G，连结．当点E从点C运动到点D的过程中，的最小值为（     ） A．2 B． C．4 D． 【变式1】（2026·广东广州·二模）如图，的直径为，是弧上一动点，半径垂直于，，垂足为．当点从运动到的过程中，点运动的路径长为（） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，半圆的直径，点在半圆上，，点在上，于点，则的最小值为___________． 【变式3】（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，是的弦．C为上一点，，连接并延长至点D，过点D作交于点E，连接，．当时，四边形面积的最大值为______． 【变式4】（21-22九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在中，，，，过点作的平行线，为直线上一动点，为的外接圆，直线交于点，则的最小值为 __．    ▌题型04 定角定高模型 定角定高模型是一类独立的最值模型，其根本原理是“定角动弦，找圆最值”，即圆中的圆周角(或圆心角)固定，则圆的大小(即r的大小)决定了该角所对的弦(或弧)的大小. 条件：在△APB中，∠APB=(定角)，PC是AB边上的高，且PC=h(定高)， 结论：即当P,O,C三点共线时，圆的半径PO取最小值，AB取最小值 【典例4】（2025九年级上·全国·专题练习）在直角中，，，点D是外一点，连接，以为边作等边． (1)如图1，当点F在线段上，交于点M，且平分，若，求的面积； (2)如图2，连接并延长至点E，使得，连接、、，证明：； (3)如图3，旋转使得落在的角平分线上，M、N分别是射线、上的动点，且始终满足，连接，若，请直接写出的面积最小值． 【变式1】（2025·陕西西安·二模）【问题提出】 （1）如图①，已知点A是直线l外一点，点B，C均在直线l上，于点D且．求的最小值； 【问题探究】 （2）如图②，在四边形中，，点E，F分别为上的点，且，求四边形面积的最大值； 【问题解决】 （3）如图③，某园林对一块矩形花圃进行区域划分，点K为的中点，点M，N分别为上的点，且将花圃分为三个区域．已知，现计划在和中种植甲花，在其余区域种植乙花，试求种植乙花面积的最大值． 【变式2】（21-22八年级下·江苏盐城·期末）（1）问题提出：如图①，已知线段AB，请以AB为斜边，在图中画出一个直角三角形； （2）如图②，已知点A是直线l外一点，点B、C均在直线l上，AD⊥l且AD=4，∠BAC=60°，求△ABC面积的最小值； （3）问题解决：如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形ABCD中，∠A=45°，∠B=∠D=90°，CB=CD=m，点E、F分别为AB、AD上的点，若保持CE⊥CF，那么四边形AECF的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【变式3】（2023·吉林长春·模拟预测）【问题提出】 （1）如图①，为的一条弦，圆心到弦的距离为4，若的半径为7，则上的点到弦的距离最大值为______； 【问题探究】 （2）如图②，在中，为边上的高，若，求面积的最小值； 【问题解决】 （3）如图③，在中，平分交于点，点为上一点，米，．则四边形的面积的最小值为______． ▌题型05 最大张角问题 问题：已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，∠ACB最大？ 图示： 作△ABC的外接圆当外接圆与OM相切时，∠ACB最大 结论：当外接圆与OM相切时，即当时，∠ACB最大 【典例5】（2026·安徽合肥·一模）足球运动员在球场上，常需带球跑动到一定位置后，再进行射门，这个位置为射门点，射门点与门边框两端点的夹角就是射门角．如图1，如果点，表示球门边框(不考虑球门的高度)的两端点，点表示射门点，连接，，则就是射门角．在不考虑其他因素的情况下，一般地，射门角越大，进球的可能性就越大．当最大时，点是最佳射门点，是最佳射门角．如图2，点是球门前一点，与点，构成等边，运动员带球在经过点的直线上跑动． （1）如图3，当时，最佳射门角的度数是_____°； （2）如图4，当时，若最佳射门点到球门的距离为，则_____． 【变式1】（2026·江苏宿迁·三模）如图，正六边形的边长为2，动点M、N分别从点A、D同时出发，以相同的速度沿，向终点F，C运动，过点F作，垂足为H点，连接、，当最大时，线段的长为__________． 【变式2】（2025九年级·全国·专题练习）数学家研究发现：当弦一定时，圆越小，该弦在优弧上的圆周角就越大，在劣弧上的圆周角就越小．已知，为轴正半轴上一动点．当最大时，点的坐标是______． 【变式3】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知中，，，当最大时，的长为_______． 【变式4】（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B、点D．点A是x轴上的一个动点，点C是y轴上的一个动点，且．点E、F分别是和的中点，当的值是________，最大． 【变式5】（2026·广东广州·二模）【阅读材料】德国数学家约翰内斯•米勒在1471年提出了一个有趣的问题：如图①，一根竖直悬挂的杆，在地面（直线l）上的哪个点P能让杆看起来最长（也就是最大）．这个最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题之一．利用圆的知识，其实这个问题并不难解决．如图②，作过点A，B且与直线l相切于点C，当点P异于点C时，容易证明，所以当点P与点C重合时，最大，也就是说，当的外接圆与l相切时，最大． 【解决问题】 (1)请完成材料中的证明； (2)材料中的最大视角问题，设，点B到直线l的距离为b，当最大时，点P到所在直线的距离是多少？（用含a，b的代数式表示） (3)如图③，E是射线上的一点，，，C是的中点．把绕点C顺时针旋转得到，连接．求当最大时，的长． 【变式6】（23-24九年级上·江苏镇江·期中）【提出问题】如图1，直线是足球场底线，是球门，点是射门点，连接，则叫做射门角．如图2，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑（射门角越大，足球越容易被踢进），甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好，利用所学知识说明理由． 【经验感知】如图3，若球员在直线上跑动，随时准备射门，是否存在某一点，使得射门角最大．人们发现：当且仅当经过两点的圆与直线相切于点时，最大，并称此时的为最大射门角．如图4，为球门，直线是足球场的底线，直线，垂足为，若，球员丙带球沿直线向底线方向运球，已知丙运球过程中的最大射门角是． （1）尺规作图：作经过两点并且与直线相切于点的（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求出最大射门角的度数． 【理解应用】 （1）如图5，正方形网格中，点均在格点上，为球门，球员丁带球沿方向进攻，最好的射点在（    ） A．点        B．点或点          C．线段（异于端点）上一点     D．线段（异于端点）上一点 （2）如图6，矩形是足球场的示意图，其中宽，球门，且．点分别是上的点，，一位左前锋球员戊从点处带球，沿方向跑动，球员戊在上何处才能使射门角（）最大，直接写出此时的长度． 【变式7】（2023·广西北海·二模）综合与实践 【问题提出】 （1）如图，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙已跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑，甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？假设球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进．请结合你所学知识，求证：． 【数学理解】 德国数学家米勒曾提出最大视角问题，对该问题的一般描述是：如图，已知点，是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大，人们称这一命题为米勒定理． 【问题解决】 （2）如图，已知点，的坐标分别是，，是轴正半轴上的一动点，当的外接圆与轴相切于点时，最大，当最大时，求点的坐标． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $