26.4实际问题与二次函数第1课时 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“实际问题与二次函数”，通过课堂导入明确实际问题中变量关系可用二次函数刻画，引导学生结合二次函数图象和性质研究，搭建从二次函数性质到实际应用的学习支架，帮助理解实际问题转化为数学问题的过程。 其亮点是以跳水、矩形菜园等实例为载体，通过“审设列解检答”六步流程，引导学生用数学眼光抽象数量关系，用数学思维推理运算求最值，用数学语言建立函数模型。这种教学方法帮助学生发展应用意识，教师可借助清晰步骤和实例提升教学效果。

第二十六章 二次函数 26.4 实际问题与二次函数 课时1 能根据实际问题中的数量关系确定二次函数解析式，并能结合实际意义确定自变量的取值范围，在自变量范围内确定实际问题的最值，发展应用意识. 学习目标 2 对于某些实际问题，如果其中变量之间的关系可以用二次函数来刻画，那么就可以利用二次函数的图象和性质对其进行研究. 课堂导入 在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式是 h=﹣4.9t2+2.8t+11. 运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？(结果保留小数点后一位.) 例1 分析：运动员在跳水过程中重心的高度是时间的二次函数，于是最大高度问题转化为求二次函数的最大值问题，而何时达到最高点问题，转化为二次函数取最大值时自变量的取值问题. 新知讲解 知识点 用二次函数解决实际问题 在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式是 h=﹣4.9t2+2.8t+11. 运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？(结果保留小数点后一位.) 例1 解：对于二次函数h=﹣4.9t2+2.8t+11，当 时，h有最大值 . 因此，运动员起跳后大约0.3s时，其重心达到最高点，最大高度为11.4m. 新知讲解 知识点 用二次函数解决实际问题 思考：函数h=﹣4.9t2+2.8t+11的图象，直观地反映了运动员跳水过程中重心高度的变化，由此你能描述运动员在竖直方向上的运动过程吗？ 起跳阶段 (t = 0 到 t ≈0.3 s) 运动员从高度 11 m 处起跳，重心高度逐渐上升，在约 0.3 s时达到最高点11.4m. 下落阶段(t ≈0.3 s到落水) 到达最高点后，重心高度开始下降，直到重心高度为0时，运动员入水，完成跳水动作. 新知讲解 知识点 用二次函数解决实际问题 用二次函数解决实际问题一般步骤 (1) 审：仔细审题，厘清题意. (2) 设：找出问题中的变量和常量，分析它们之间的关系，设出适当的未知数. (3) 列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式. (4) 解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题. (5) 检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. (6) 答：写出答案. 新知讲解 知识点 用二次函数解决实际问题 如图，利用一面墙(墙的长度不限)，用20m长的篱笆围成一个矩形菜园.如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 分析：菜园面积是一边长的函数，设一边长为x m，由矩形的面积公式可得函数解析式，于是菜园的面积最大问题转化为函数的最大值问题. 例2 (20-2x)m x m S=x(20-2x) . 思考：自变量的取值范围怎么考虑呢？ 在实际问题中，函数自变量的取值应使问题有现实意义. 如菜园的边长应为正数， 即 x>0，且 20-2x>0， 于是自变量x的取值范围是 0<x<10. 新知讲解 知识点 用二次函数解决实际问题 如图，利用一面墙(墙的长度不限)，用20m长的篱笆围成一个矩形菜园.如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 例2 解：设垂直于墙的边长为 x m，则平行于墙的边长为(20-2x) m， 矩形菜园的面积 S=x(20-2x) . 即 S=-2x2+20x (0< x <10). 当x=﹣ =5时，S有最大值 =50. 因此，当垂直于墙的边长为 5 m 时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为 50 . (20-2x)m x m 新知讲解 知识点 用二次函数解决实际问题 如果例题中墙的长度为8m，如何围才能使菜园的面积最大？ 最大面积是多少？ 解：设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长为(20-2x) m， 且20-2x≤8，即x≥6， 矩形菜园的面积 S=x(20-2x)， 即S=-2x2+20x (6≤x<10). ∵当6≤x<10时，S随x的增大而减小， ∴当x=6时，S有最大值-2×62+20×6=48. 因此，当垂直于墙的边长为6m时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为48 m2. 跟踪训练 新知讲解 知识点 用二次函数解决实际问题 1.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边)，设AB=x m，花园面积为S m2. (1)求S关于x的函数解析式; (2)当x为何值时，S有最大值？请求出最大值. 解：(1) 由题意得BC=(28-x) m， 则S=x(28-x)=-x2+28x (0<x<28). (2) ∵S=-x2+28x=-(x-14)2+196, ∴当x=14时，S有最大值，最大值是196. 随堂练习 2.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h (单位：m)与小球运动的时间 t (单位：s)的关系近似为 h=30t-5t2 (0≤ t ≤6) .小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 解：h=30t-5t2=-5(t-3)2+45. ∵ 0≤ t ≤6， ∴当t=3时，h有最大值45. 答：小球运动3s时，小球最高，最大高度是45m. 随堂练习 数学问题 利用二次函数的图象和性质求解 最值问题 二次函数模型 实际问题的答案 实际问题 构建 抽象 利用二次函数解决实际问题的一般步骤: 审、设、列、解、检、答. 课堂小结 $