专题03 全等三角形模型之手拉手模型（几何模型讲义）数学新教材苏科版八年级上册

该初中数学讲义通过分类框架系统梳理了手拉手模型的知识体系，将双等边、双等腰直角、双等腰、双正方形等类型按“定义-条件-结论-证明”逻辑呈现，用思维导图归纳全等判定（SAS）、角度转移等核心要点，突出旋转思想与后续瓜豆原理的联系。 讲义亮点在于“动态变式”练习设计，如典例5结合等腰直角三角形旋转探究线段关系，通过“共顶点等线段”识别训练提升几何直观。易错点总结（如找错对应边）和万能口诀帮助学生规范推理，A组基础题、C组压轴题满足分层需求，教师可据此实施精准复习，提升学生逻辑推理与问题解决能力。

专题03 全等三角形模型之手拉手模型 手拉手模型，又叫共顶点旋转全等模型：两个等腰三角形（等边/等腰直角/普通等腰）拥有公共顶点，两条腰两两配对形成两组等线段，顶角相等，通过旋转构造 SAS 全等三角形。常结合：等边三角形、等腰直角三角形、正方形背景，结合动点旋转、线段求值、角度定值证明。手拉手是旋转思想的具象化，也是后期学习瓜豆原理、相似手拉手的基础。 识别共顶点等线段的手拉手结构，掌握 SAS 全等推导逻辑，会推导夹角定值、线段和差关系，熟练书写证明格式，区分正向基础模型与反向变式模型。（核心目标） 公共顶点为旋转中心，相等顶角 + 两组等线段，构造旋转全等，实现线段转移、角度转移，解决线段相等、夹角固定、线段和差最值问题。（核心思想） 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.全等模型--手拉手模型 2 易错点与方法总结 14 模型运用 15 A组（基础题） 15 B组（能力提升题） 21 C组（综合压轴题） 31 “手拉手”全等模型是中国数学教育界基于中考命题实践凝练的原创教学模型，其发展历程体现了‌问题驱动‌（压轴题）→ ‌方法整合‌（旋转构造）→ ‌概念普及‌（拟人化命名）的典型路径，是中国特色几何模型教学的典范，模型定义为：‌两个顶角相等的等腰三角形共顶点，左底角互连、右底角互连的结构。‌后来该模型被纳入常规几何教学，衍生出等边三角形、正方形等特殊形态的应用变式，并总结出核心结论。 1）等腰/等边三角形性质：两腰相等，顶角相等； 2）等式性质：等角同时加上/减去公共角，所得角度仍然相等； 3）SAS 全等判定定理（手拉手全等判定固定用 SAS，极少使用 AAS/ASA）； 4）三角形外角定理、倒角书写格式；倒角标配：手拉手全等 + 八字（8 字）模型； 5）两点之间线段最短（拓展最值使用）。 模型1.手拉手模型（全等） 【模型提炼与证明】 1）双等边三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2）双等腰直角三角形型条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 3）双等腰三角形型 条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。 证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD， 又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD， 又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°， 又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 4）双正方形形型 条件：四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。 结论：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。 证明： ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴BC=AC，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90° ∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，即∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS）， ∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CMB=∠DMN，∴∠BCM=∠DNM=90°， 过点C作CP⊥DE,CQ⊥BG,则∠CPD=∠CPB=90°，又∵∠CBG=∠CDE，BC=DC，∴△BCQ≌△DCP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 【模型运用】 【典例1】（24-25八年级下·重庆·开学考试）如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．有以下结论：①；②PQAE；③；④；⑤为等边三角形；⑥平分．上述结论正确的有（  ）个      A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】解：①等边和等边， ，，，， 在和中，，，；故①正确； ③（已证），， （已证），，， 在与中，，，；故③正确； ②，，是等边三角形， ，，∴；故②正确； ④，， 等边，，∴，， ．故④正确； ，，又，是等边三角形，故⑤正确； ⑥如图，过点作于，于， ，，，平分，，， ∵，∴，∴，∴， 当平分，∴，∵，， ∴，∴，互相矛盾，⑥错误，故选：B． 【典例2】（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）已知：如图，分别以的边为腰向外作等腰直角、等腰直角，连接相交于点O，连接，①，②，③，④平分，⑤平分，则以上结论正确的有（    ） A．①③⑤ B．②③④ C．③④⑤ D．①③④ 【答案】D 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形，∴， 又∵，∴， 即，∴，∴，①正确； ∵，∴，又∵， ∴，∴，即，③正确； 过点A分别作，垂足为点P,Q． ∵，∴，∴，∴， ∴点A在的平分线上，即平分，④正确．故选：D． 【典例3】（24-25八年级上·重庆南岸·开学考试）如图，在等腰中，，点F在边上，延长交于点E，，．(1)试说明：；(2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）∵，∴，即， 在和中，，∴； （2）∵，，∴， ∵，∴ ∵，∴，∴． 【典例4】（24-25七年级下·山东威海·期末）【操作判断】将两个等腰直角三角形纸板（和）如图Ⅰ放置，直角顶点A重合，点D在边上，连接． （1）对于如下结论，正确的是 ；（填写序号） A．；B．；C．． 【变化探究】对“操作判断”作如下探究： （2）如图Ⅱ，若点D在边的延长线上，写出间的数量关系，并写明理由； （3）如图Ⅲ，若点D在边的延长线上，直接写结论： ①间的数量关系是 ；② °． 【答案】（1）A、B、C；（2），理由见解析；（3）①，②135 【详解】（1）解：∵和是等腰直角三角形， ∴，，，∴， ∴，∴，， ∴，， ∴，故B、C正确； ∵，， ∴，∴，故A正确；故答案为：A、B、C； （2）解：∵和是等腰直角三角形，∴，，， ∴，∴，∴，∴； （3）解：①：∵和是等腰直角三角形，∴，，， ∴，∴，∴， ∴；故答案为：； ②∵，∴故答案为：． 【典例5】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，那么称此图形为“手拉手全等模型”．例如，如图①，与都是等腰三角形，其中，则． (1)如图②，与都是等腰三角形，，，且，求证：． (2)如图③若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，为中上的高，连接，求的度数以及线段，，之间的数量关系，并说明理由．(3)如图④，在四边形中，，，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)，，理由见解析(3) 【详解】（1）证明：，，即， ，，，； （2）解：，；理由如下：设交于，如图： ，，即， ，，，，， ，， ，即；为等腰直角中边上的高，， ，； （3）解：作，且，连接，，如图， ，，， ，即， ，，，， ，，在中，，， ，，． 【典例6】（24-25山东临沂·八年级统考期末）【知识背景】我们在第十一章《三角形》中学习了三角形的边与角的性质，在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在第十三章《轴对称》中学习了等腰三角形的性质和判定．在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题． (1)【问题初探】如图（1），中，，，点D是BC上一点，连接AD，以AD为一边作，使，，连接BE，猜想BE和CD有怎样的数量关系，并说明理由． (2)【类比再探】如图（2），中，，，点M是AB上一点，点D是BC上一点，连接MD，以MD为一边作，使，，连接BE，则______．（直接写出答案，不写过程；需要作辅助线的，请说明辅助线的作法，并在图（2）中作出辅助线） (3)【方法迁移】如图（3），是等边三角形，点D是BC上一点，连接AD，以AD为一边作等边三角形ADE连接BE，则BD，BE，BC之间有怎样的数量关系？（直接写出答案，不写过程）． (4)【数学思考】如图（4），是等边三角形，点M是AB上一点，点D是BC上一点，连接MD，以MD为一边作等边三角形MDE，连接BE猜想的度数，并说明理由． 【答案】(1)BE＝CD．证明见详解；(2)90°；(3)BC＝BD+BE．证明见详解；(4)∠EBD＝120°． 【详解】（1）证明：问题初探：BE＝CD．如图（1），∵∠DAE＝∠BAC＝90°， ∴∠BAE+∠BAD=∠BAD+∠CAD，∴∠BAE＝∠CAD， 在△BAE和△CAD中，，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴BE＝CD； （2）解：在图（2）中过点M作MF∥AC交BC于点F， ∵，，∴∠ACB=∠ABC=， ∵MF∥AC，∴∠BMF=∠A=90°，∠BFM=∠C=45°，∴MB=MF， ∵∠DME＝∠BMF＝90°，∴∠BME＝∠DMF， 在△BME和△FMD中，，∴△BME≌△FMD（SAS）， ∴∠MBE＝∠MFD=45°；∴∠EBD＝∠MBE+∠ABC＝90°．故答案为：90°； （3）解：BC＝BD+BE．如图（3），∵△ABC和△ADE是等边三角形， ∴∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠BAE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=60°，∴∠BAE＝∠CAD， 在△BAE和△CAD中，，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴BE＝CD，∴BC＝BD+CD＝BD+BE； （4）拓展创新：∠EBD＝120°．理由：在图（4）中过点M作MG∥AC交BC于点G， 如图则∠BMG=∠A=60°，∠BGM=∠C=60°，∴△BMG是等边三角形，∴BM=GM， ∵∠DME＝∠BMG＝60°，∴∠BME+∠BMD=∠BMD+∠GMD=60°，∴∠BME＝∠DMG， 在△BME和△GMD中，，∴△BME≌△GMD（SAS）， ∴∠MBE＝∠MGB＝60°，∴∠EBD＝∠MBE+∠MBG＝120°． 【典例7】（24-25山东潍坊·八年级统考期末）已知，△ABC为等边三角形，点D在边BC上． (1)[问题解决]如图1，以AD为一边作等边三角形ADE，连接BE．求证：BE＋BD＝AB． (2)[迁移运用]如图2，点F是AB边上一点，以DF为一边作等边三角形DEF．求证：BE＋BD＝BF． (3)[类比探究]如图3，点F是AB边的延长线上一点，以DF为一边作等边三角形DEF．试探究线段BE，BD，BF三条线段之间存在怎样的数量关系？请写出你的结论并说明理由． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)BD＋BF＝BE，理由见解析 【详解】（1）证明：∵△ABC与△ADE都是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°，AD＝AE，∠DAE＝60°， ∴∠BAE＝∠DAE－∠BAD＝60°－∠BAD，∠CAD＝∠BAC－∠BAD＝60°－∠BAD，∴∠BAE＝∠CAD， 在△CAD与△BAE中，，∴△CAD≌△BAE（SAS）， ∴BE＝CD，∴BE＋BD＝CD＋BD＝BC，∵AB＝BC，∴BE＋BD＝AB； （2）证明：过点D作DG//AC，交AB于点G， ∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠A＝∠C＝60°， ∵DG∥AC，∴∠BGD＝∠A＝60°，∠BDG＝∠C＝60°， 又∵∠ABC＝60°，∴△BDG为等边三角形，∴BD＝DG＝BG， ∵△DEF为等边三角形，∴DE＝DF，∠EDF＝60°， ∵∠BDE＝∠BDG－∠EDG＝60°－∠EDG，∠FDG＝∠EDF－∠EDG＝60°－∠EDG，∴∠BDE＝∠FDG， 在△BDE与△GDF中，∴△BDE≌△GDF（SAS）， ∴BE＝GF，∴BE＋BD＝GF＋BG＝BF； （3）BD＋BF＝BE，理由如下：过点D作DG∥AC，交AB于点G， ∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠A＝∠C＝60°， ∵DG∥AC，∴∠BGD＝∠A＝60°，∠BDG＝∠C＝60°， 又∵∠ABC＝60°，∴△BDG为等边三角形，∴BD＝DG＝BG， ∵△DEF为等边三角形，∴DE＝DF，∠FDE＝60°， ∵∠GDF＝∠GDB＋∠BDF＝60°＋∠BDF，∠BDE＝∠EDF＋∠BDF＝60°＋∠BDF，∴∠GDF＝∠BDE， 在△BDE与△GDF中，∴△BDE≌△GDF（SAS），∴BE＝GF， ∵GF＝BF＋BG＝BF＋BD，∴BD＋BF＝BE． 【典例8】（2026·广东广州·二模）如图，正方形和正方形边长分别为和，正方形绕点旋转．（1）________；（2）用和的代数式表示：________． 【答案】 / / 【详解】（1）解：四边形和四边形是正方形， ，，，，， 在和中，，，； （2）解：如下图所示，连接，，设与交于点M ，，，， ，，， ，，， ，，． 模型常见易错点 1）找错拉手三角形，对应边、对应角匹配错误 错误：随意挑选三角形，没有按照 “左腰配左腰，右腰配右腰” 配对。 正解：共顶点出发的两条边两两组合，严格按照旋转对应关系写全等。 2）角度运算出错，分不清是加公共角还是减公共角 内旋用加公共角，外旋用减公共角，看到图形先观察重叠区域，再处理角度。 3）只会证全等，不会用八字模型求拉手夹角 很多学生只能完成第一问全等证明，第二问角度定值无从下手，忽略八字倒角的搭配使用。 4）把拉手夹角当成补角，记错结论 等边手拉手夹角 60°，等腰直角夹角 90°，普通等腰夹角等于顶角 α，并非 180°−α。 5）大题直接套用模型结论，缺少角度推导过程 解答题不能直接写 “手拉手模型，所以全等”，必须写出角度加减的步骤，补齐 SAS 条件。 解题方法总结 手拉手模型是初中几何旋转构造的基石，承接静态全等证明，过渡到动态几何探究，是从静态图形走向动态旋转的分水岭。它常以等边、等腰直角三角形为载体，出现在中考几何压轴探究题，一般分三小问：证全等→求角度定值→线段最值。本模型搭配八字倒角、将军饮马最值，可以组合成综合大题，熟练掌握手拉手的构造与倒角逻辑，能够大幅提升几何压轴解题能力，完善全等几何模型体系。 万能口诀 共顶点，两等腰，顶角相等条件好；公共角上做加减，造出夹角刚刚好； SAS 全等写规范，拉手边长一样高；八字倒角算夹角，角度等于原顶角。 1．（2023·宁夏·中考真题）如图，在中，，，．点在上，且．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．则的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，∴，，∴，在和中，，∴， ∴，∴， ∵，，∴， ∴的面积等于；故选B． 3．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）如图，在和中，，，．(1)求证：(2)求证： 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：∵，∴． 在和中，，∴（），∴； （2）证明：延长交于F，如图所示： ∵，∴，∵，∴， 即，∴， 即，∴，∴． 4．（24-25八年级下·甘肃天水·期末）如图，四边形、是两个正方形，交于点O，交于点．(1)求证：(2)求与的夹角的度数． 【答案】(1)证明过程见解答(2)与的夹角的度数为 【详解】（1）证明：四边形、是两个正方形， ，，，， 在和中，，，； （2）解：由（1）知：，， ，且，， ，与MB的夹角的度数为． 5．（25-26七年级下·上海宝山·期末）如图，已知：、都是等边三角形，连接分别是线段的中点． (1)求证：；(2)求证：是等边三角形． 【答案】(1)证明：∵、都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中，，∴； (2)证明：∵，∴，， ∵分别是线段的中点，∴， 在和中，，∴， ∴，∴， ∴，∴是等边三角形． 6．（25-26八年级上·成都·校考期中）如图， ， ， ， ， 相交于点 ，连接 ．(1)求证： ；(2)求 的度数． 【答案】(1)证明：∵ ， ． 在 和 中，，∴． （2）解：设 与 交于点 ， ∵ ，∴ ， ∵，∴ ， ． 7．（24-25福建福州市·九年级月考）如图，和均为等边三角形，连接BE、CD． （1）请判断：线段BE与CD的大小关系是 ； （2）观察图，当和分别绕点A旋转时，BE、CD之间的大小关系是否会改变? （3）观察如图和4，若四边形ABCD、DEFG都是正方形,猜想类似的结论是___________,在如图中证明你的猜想. （4）这些结论可否推广到任意正多边形（不必证明）,如图,BB1与EE1的关系是 ;它们分别在哪两个全等三角形中 ;请在如图中标出较小的正六边形AB1C1D1E1F1的另五个顶点，连接图中哪两个顶点,能构造出两个全等三角形？ 【答案】(1) BE=CD （2）线段BE与CD的大小关系不会改变 （3）AE＝CG，证明见解析 （4）这些结论可以推广到任意正多边形.如图5，BB1=EE1，它们分别在△AE1E和△AB1B中，如图6，连接FF1，可证△AB1B≌△AF1F．图形见解析. 【详解】（1）线段BE与CD的大小关系是BE=CD；（2）线段BE与CD的大小关系不会改变； （3）AE=CG．证明：如图4，正方形ABCD与正方形DEFG中， ∵AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90°， 又∠CDG=90°+∠ADG=∠ADE，∴△ADE≌△CDG，∴AE=CG． （4）这些结论可以推广到任意正多边形． 如图5，BB1=EE1，它们分别在△AE1E和△AB1B中，如图6，连接FF1，可证△AB1B≌△AF1F． 8．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图1，在中，，，点D是边上的一点（不与点B，C重合），连接．将线段绕点A逆时针旋转，得到线段． (1)求证：；(2)如图2，的平分线交于点F．①试探究三线段，，之间有何数量关系，并予以证明；②若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵，将线段绕点A逆时针方向旋转得到线段， ∴，， ∴，即， 在和中，，∴，∴； (2)①，证明如下：如图2，连接， ∵的平分线交于点F，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，，∴，由（1）得，， ∴，，∴， ∴，∴； ②如图2，过A作于H，由①得，， ∵，，∴，∴， ∵，，，∴， ∴，∴， 在中，，∴的长为． 1．（24-25八年级上·江苏·专题练习）如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，，即， 在和中，，， ，，，故①正确，符合题意； 由三角形的外角性质得：，，故②正确，符合题意； 作于，于，如图所示，则， 在和中，，，，平分， ，当时，才平分， 假设，，，平分，， 在和中，，，， ，，与矛盾，③错误； 没有条件可以证明平分，④错误；正确的个数有个；故选：． 2．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）已知：如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接．以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：①∵，∴，即， ∵在和中，∵， ，∴，本选项正确； ②∵为等腰直角三角形，∴，， ∵，，∴，本选项正确； ③∵，， ∴，∴，本选项正确； ④∵，，故此选项正确，故选：D． 3．（25-26八年级下·河南郑州·期末）如图，与都是等边三角形，连接，，，．若将绕点顺时针旋转，当点，，在同一条直线上时，线段的长为__________． 【答案】或 【详解】解：∵与都是等边三角形，∴ ，，， ∴∴ ，∴，∴， 当共线时，分两种位置情况： 情况1：点在之间（顺序） 此时，过作于， 在中，，∴ ，，， 由勾股定理：，得， 情况2：点在之间（顺序） 此时， 过作，交延长线于，如图，     同理得，​​，​， 由勾股定理： ，综上，线段的长为或． 4．（24-25·贵州遵义·八年级期末）在中，，且E为边的中点，连接，以为边向上作等边三角形，连接，则的长为_______． 【答案】6 【详解】解：延长BC到F，使BF=2BC，即， ∵在中，， ∴，，∴是等边三角形，∴，， 又∵在等边三角形中，，， ∴，∴ （SAS），∴， 又∵，E为边的中点，∴， ∴，∴．故答案为6． 5.（24-25八年级上·四川遂宁·期末）小王在探究等边三角形“手拉手”问题，得出以下四个结论． 如图，已知，均为等边三角形，点在线段上，且不与点、点重合，连接，则；已知条件同，则；如图，已知，均为等边三角形，点在内部，连接、，则、、三点共线； 如图，已知为等边三角形，点在外，并且与点位于线段的异侧，连接、．若，则．以上结论正确的是 ． 【答案】 【详解】解：，均为等边三角形， ，，，， ，即， 在和中，，，故正确； 由知，，， ，，故正确；，均为等边三角形， ，，，， ，即， 在和中，，， ，， 若，则，、、三点共线， 缺少，无法证明，故错误；如图，在上取一点，使得，设交于点， 为等边三角形，，，，， ，，在和中，， ，，，， 是等边三角形，，，故正确；故答案为：． 6．（24-25八年级上·天津红桥·期末）综合与探究 在和中，，，，连接，． [发现问题]如图1，若，延长交于点D，则与的数量关系是________；的度数为________； [类比探究]如图2，若，延长，相交于点D，请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． [拓展延伸]如图3，若，且点B，E，F在同一条直线上，过点A作，垂足为点M，请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】发现问题：；类比探究：；拓展延伸： 【详解】解：发现问题：，如下图，设与交于点O， ，，即， ，，， ，； 类比探究：，理由如下：如下图， ，，即， ，，， ； 拓展延伸：，理由如下：如下图， ，，即， ，，， ，，即， ，． 7．（2025·河北邯郸·三模）如图1，在中，，，D是上的一点，且，连接，． (1)试判断与的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)如图2，若将绕点E旋转一定的角度后，仍然有，，试判断与的位置关系和数量关系是否发生变化； (3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，且与交于点F，其他条件不变． ①请直接写出与的数量关系； ②你能求出与所成的较小的角的度数吗？如果能，请直接写出该角的度数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，，理由见解析(2)没有发生变化(3)①，②能， 【详解】（1）解：，．理由：延长交于点F，如图 在和中，．，． ，．，． ，． （2）由题意得，．． 在和中，．，． ，．，． ，． 与的位置关系和数量关系没有发生变化． （3）①，理由见②．②能，与所成的较小的角的度数为． 和是等边三角形， ，，，． ．． 在和中， ．． ． 即与所成的较小的角的度数为． 8．（25-26八年级下·广东佛山·期中）在“综合与实践”数学活动课上，杨老师带领同学们开展“直角三角形拼接与线段探究”的专题研究．同学们用硬纸板制作了两个以点O为公共直角顶点的等腰直角三角形模型，将它们按固定位置拼放在同一平面内：如图，和均为等腰直角三角形．在活动中，同学们先连接线段、，探究两条线段的长度关系与位置关系；再将图形固定，结合中点、特殊角度等条件进行计算推理，请你和同学们一起完成以下探究任务． (1)【问题初探】①如图1，试判断与的数量关系，并说明理由； ②请直接写出与位置关系： ． (2)【解决分析】如图2，若点恰好在上，且为的中点，且，求的长度． (3)【学以致用】如图3，设与的交点为，若，，，请在图3中完成作图，并直接写出的长度为 ．（提示：连接，作交的延长线于点） 【答案】(1)①，理由如下：∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中，，∴，∴； ②设交于点，交于点，如图，∵，∴， 又∵，∴，∴； （2）解：∵为中点，，∴，， ∵和均为等腰直角三角形， ∴，，，， ∴，即， 在和中，，∴， ∴，，∴，即， 在中，， ∵是等腰直角三角形，，∴， ∴；；解得； （3）解：作图如下： 由（1）可得，，又，是线段的垂直平分线，， 由图可得，， ∵，，，∴解得， ，，且， 在中，，，∴，即解得（舍去负根）， 在中，，， ∴，∴， 在中，；；；解得（舍去负根）， ∴，是等腰直角三角形， ∴，． 1．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，已知和都是等边三角形（，，共线）．下列结论： ①；②；③；④；⑤． 其中正确的有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：∵与为等边三角形， ∴，∴， 在和中，，∴， ∴，故①正确； 又∵，∴在和中，， ∴，∴， ∴是等边三角形，则，故②正确； 在和中，，∴，∴， ∴，∴，故③正确； 作于M，于N，如图所示：则， 在和中，，∴， ∴，∴平分，， 又，，则，故④正确； 在上取一点，使得，连接，又， 在和中，，，， ，则为等边三角形，，则，故⑤错误； ∴正确的有①②③④共4个． 2．（24-25九年级上·湖北黄石·期末）如图，是等边三角形外一点，，，则的最大值是 ． 【答案】5 【详解】解：∵将AD顺时针旋转60°，得，连结，则AD=DD′=AD′，∴△ADD′是等边三角形， 又∵等边三角形，∴∠BAC=∠，∴∠BAD′+∠D′AC=∠CAD+∠D′AC=60°， ∴AB=AC，AD′=AD，∴△ABD′≌△ACD（SAS）， ∴BD′=CD，∴BD′+DD′≥BD，当B、D′、D三点在一线时，BD最大， BD最大=BD′+DD′=CD+AD=2+3=5．故答案为：5． ． 3．（2022·黑龙江·中考真题）和都是等边三角形． (1)将绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有（或）成立；请证明．(2)将绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)图②结论：，证明见解析 (3)图③结论： 【解析】(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC， ∵点P与点A重合，∴PB=AB，PC=AC，PA=0，∴或； (2)解：图②结论： 证明：在BP上截取，连接AF， ∵和都是等边三角形，∴，， ∴，∴，∴（SAS），∴， ∵AC=AB，CP=BF，   ∴（SAS）， ∴，，∴， ∴，∴是等边三角形，∴，∴； (3)解：图③结论：，理由：在CP上截取，连接AF， ∵和都是等边三角形，∴，， ∴，∴，∴（SAS），∴， ∵AB=AC，BP=CF，∴（SAS），   ∴，， ∴，∴，∴是等边三角形， ∴，∴，即． 4．（24-25八年级上·湖南株洲·阶段练习）【问题提出】如图1，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】(1)等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边：等边三角形，连接．①如图2，若点在边上，线段、、之间的关系为__________（直接写出结论）． ②如图3，若点在边的延长线上， 试证明线段、、之间的关系． (2)如图4，等腰中，，，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出、、之间的数量关系，并加以说明．(3)如图5，在中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则是否有最小值，如有，求出它的最小值，没有，请说明理由． 【答案】(1)①；②；(2)(3)有最小值，最小值为2 【详解】（1）①结论：. 证明：过点E作，交与点G， ∵是等边三角形，，∴， ∴是等边三角形，∴，∵是等边三角形，∴， ∴，即， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，故答案为：； ②结论： 证明：过点E作，交与点G， ∵是等边三角形，，∴， ∴是等边三角形，∴， ∵是等边三角形，∴， ∴，即， 在和中，，∴，∴， ∵，∴； （2）解：，理由如下：∵，是等边三角形， ∴，，，∴， 在中，，∴， ∵，∴垂直平分，∴， ∴，∴，在上截取， ∵，，∴是等边三角形，∴， ∴，即， 在和中，，∴，∴， ∵，∴． （3）解：有最小值，最小值为2 以为边，在下方构造等边三角形，连接， ∵，点D为中点，∴，∵是等边三角形， ∴， ∴，即，在和中，， ∴，∴，∵，∴， ∵点Q在直线上，∴当时，取最小值，此时，． 5．（24-25七年级下·河北保定·期末）问题探索 如图1，在中，，点在线段上运动，以为一边，在的右侧作，使，，过，两点作直线． （1）直接写出___________°，的最小值为___________cm； （2）请说明；（3）直接写出的度数，并求出的值． 拓展延伸（4）如图2，改变“问题探索”中“”这一条件，其它条件不变．设，，则，之间有怎样的数量关系？直接写出结论． （5）在（4）的条件下，继续改变“问题探索”中“点在线段上运动”这一条件为“点在直线上运动”，则与有何数量关系？请直接写出所有可能的结论． 【答案】（1），；（2）见解析；（3），；（4）；（5）或或 【详解】（1）解：在中，，， 点在线段上运动，当点在线段中点处时，则，此时值最小， 在中，， 当点在线段中点处时，最小值为；故答案为：，； （2）证明，，， 即，； （3）解：，， ，， ，； （4）解：，，， 即，；， ，，即， ，，； （5）解：当点在线段上时，由（4）知，， ，； 当点在线段延长线上时，，， ，即，； ，； 当点在线段延长线上时，，， ，即，；， ；综上所述，或或． 6．（24-25七年级下·山东青岛·期末）特殊化是重要的数学策略，即研究一般性问题，经常先从特殊情形进行研究，再通过归纳与猜想，验证并得出一般性的结论． 【问题提出】如图①，和是等腰三角形，，，且点在同一直线上，和有怎样的关系？ 【问题解决】(1)在图②中，若，点在同一直线上，则和的数量关系是_____，位置关系是_____； (2)在图③中，若，点在同一直线上，判断说明和数量关系，并求的度数； (3)在图④中，若，点在同一直线上，则和的数量关系是_____，_____°． (4)通过上述特殊化研究，解决在【问题提出】中，与有怎样的关系．（写出两条） 【答案】(1)(2)，(3)，(4) 【详解】（1）解：当时，则， ∵，∴和都是等腰直角三角形， ∴，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∴，∴，即， ∴和的数量关系是：，位置关系是：，故答案为：； （2）当时，则， ∵，∴和都是等边三角形， ∴，∴，同（1）证明：， ∴，∴； （3）当时，则， ∵，∴和都是等腰三角形， ∴，∴， ∵，∴， 即，同（1）证明：，∴， ∴，故答案为：； （4），理由如下： ∵，∴和都是等腰三角形， ∴， ∴，同（1）证明：， ∴，∴． 7．（绵阳市2025-2026学年八年级下期末）如图，四边形是边长为的正方形，，，连接，交于点，过点作，分别交直线，于点，，连接．(1)求证：；(2)探究四边形的形状，并证明；(3)当点与点重合时，求的长度． 【答案】(1)证明：∵四边形为正方形，，． ∵，，，即． 在和中，； (2)解：四边形是正方形．证明：设交于点． 由（1）得，，∴． ∵，． ∵，∴在中，， ．． ，． ，∴四边形是矩形．． ，． 在和中，，．∴矩形是正方形； （3）解：①若在线段上，过点作交于点． 在中，，∴， ∵，．∵正方形中，， ，． 在和中，，． 在中，，．． ②若在线段的延长线上，过点作交于点． 同理，可得．．综上所述，． 8．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）结合图形，解答下列各题： 【问题探究】：(1)如图1，锐角中，分别以、为边向外作正方形和正方形，连接、交于点，试猜想线段与线段的数量及位置关系，并说明理由； 【拓展应用】：(2)在【问题探究】的条件下，如图1，连接，若，，则_______； (3)如图2，在中，，以为直角边，为直角顶点向外作等腰直角，连接，若，，则长为_________； (4)如图3，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，、，过点作直线轴，点是直线上的一个动点，线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，则的最小值为_________． 【答案】(1)解：，，理由如下： ∵正方形和正方形，∴，，， ∴，即， ∴，∴，， ∵，，∴，∴， ∴与的大小关系及位置关系为：，； （2）解：连接，， ∵正方形和正方形，∴，， ∴，，由（1）得， 由勾股定理得：，， ，，∴； （3）解：以为直角边，A为直角顶点向外作等腰直角，使得，连接，如图， ∵为等腰直角三角形，∴，， ∵，∴，∵，∴， 在等腰直角中，， 在中，， ∵，∴，即， 又∵，，在与中，，∴， ∴； （4）解：连接，在y轴负半轴上取一点D，使得， 作点D关于直线l的对称点，连接，，如图， ∵线段绕点A按逆时针方向旋转得到线段，∴， ∵、，∴，，在中，， 取的中点，连接，∴，∴， ∴是等边三角形，∴，∴， ∴，即，∵，， 在与中，，∴，∴， ∵点D关于直线l的对称点，∴，∴， 要使的值最小，即为的值最小，即点A，点B，点三点共线，即为， ∵，，在中，， ∴的最小值为． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 全等三角形模型之手拉手模型 手拉手模型，又叫共顶点旋转全等模型：两个等腰三角形（等边/等腰直角/普通等腰）拥有公共顶点，两条腰两两配对形成两组等线段，顶角相等，通过旋转构造 SAS 全等三角形。常结合：等边三角形、等腰直角三角形、正方形背景，结合动点旋转、线段求值、角度定值证明。手拉手是旋转思想的具象化，也是后期学习瓜豆原理、相似手拉手的基础。 识别共顶点等线段的手拉手结构，掌握 SAS 全等推导逻辑，会推导夹角定值、线段和差关系，熟练书写证明格式，区分正向基础模型与反向变式模型。（核心目标） 公共顶点为旋转中心，相等顶角 + 两组等线段，构造旋转全等，实现线段转移、角度转移，解决线段相等、夹角固定、线段和差最值问题。（核心思想） 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.全等模型--手拉手模型 2 易错点与方法总结 14 模型运用 15 A组（基础题） 15 B组（能力提升题） 21 C组（综合压轴题） 31 “手拉手”全等模型是中国数学教育界基于中考命题实践凝练的原创教学模型，其发展历程体现了‌问题驱动‌（压轴题）→ ‌方法整合‌（旋转构造）→ ‌概念普及‌（拟人化命名）的典型路径，是中国特色几何模型教学的典范，模型定义为：‌两个顶角相等的等腰三角形共顶点，左底角互连、右底角互连的结构。‌后来该模型被纳入常规几何教学，衍生出等边三角形、正方形等特殊形态的应用变式，并总结出核心结论。 1）等腰/等边三角形性质：两腰相等，顶角相等； 2）等式性质：等角同时加上/减去公共角，所得角度仍然相等； 3）SAS 全等判定定理（手拉手全等判定固定用 SAS，极少使用 AAS/ASA）； 4）三角形外角定理、倒角书写格式；倒角标配：手拉手全等 + 八字（8 字）模型； 5）两点之间线段最短（拓展最值使用）。 模型1.手拉手模型（全等） 【模型提炼与证明】 1）双等边三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2）双等腰直角三角形型条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 3）双等腰三角形型 条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。 证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD， 又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD， 又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°， 又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 4）双正方形形型 条件：四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。 结论：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。 证明： ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴BC=AC，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90° ∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，即∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS）， ∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CMB=∠DMN，∴∠BCM=∠DNM=90°， 过点C作CP⊥DE,CQ⊥BG,则∠CPD=∠CPB=90°，又∵∠CBG=∠CDE，BC=DC，∴△BCQ≌△DCP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 【模型运用】 【典例1】（24-25八年级下·重庆·开学考试）如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．有以下结论：①；②PQAE；③；④；⑤为等边三角形；⑥平分．上述结论正确的有（  ）个      A．4 B．5 C．6 D．7 【典例2】（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）已知：如图，分别以的边为腰向外作等腰直角、等腰直角，连接相交于点O，连接，①，②，③，④平分，⑤平分，则以上结论正确的有（    ） A．①③⑤ B．②③④ C．③④⑤ D．①③④ 【典例3】（24-25八年级上·重庆南岸·开学考试）如图，在等腰中，，点F在边上，延长交于点E，，．(1)试说明：；(2)若，，求的度数． 【典例4】（24-25七年级下·山东威海·期末）【操作判断】将两个等腰直角三角形纸板（和）如图Ⅰ放置，直角顶点A重合，点D在边上，连接． （1）对于如下结论，正确的是 ；（填写序号） A．；B．；C．． 【变化探究】对“操作判断”作如下探究： （2）如图Ⅱ，若点D在边的延长线上，写出间的数量关系，并写明理由； （3）如图Ⅲ，若点D在边的延长线上，直接写结论： ①间的数量关系是 ；② °． 【典例5】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，那么称此图形为“手拉手全等模型”．例如，如图①，与都是等腰三角形，其中，则． (1)如图②，与都是等腰三角形，，，且，求证：． (2)如图③若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，为中上的高，连接，求的度数以及线段，，之间的数量关系，并说明理由．(3)如图④，在四边形中，，，，求的长． 【典例6】（24-25山东临沂·八年级统考期末）【知识背景】我们在第十一章《三角形》中学习了三角形的边与角的性质，在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在第十三章《轴对称》中学习了等腰三角形的性质和判定．在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题． (1)【问题初探】如图（1），中，，，点D是BC上一点，连接AD，以AD为一边作，使，，连接BE，猜想BE和CD有怎样的数量关系，并说明理由． (2)【类比再探】如图（2），中，，，点M是AB上一点，点D是BC上一点，连接MD，以MD为一边作，使，，连接BE，则______．（直接写出答案，不写过程；需要作辅助线的，请说明辅助线的作法，并在图（2）中作出辅助线） (3)【方法迁移】如图（3），是等边三角形，点D是BC上一点，连接AD，以AD为一边作等边三角形ADE连接BE，则BD，BE，BC之间有怎样的数量关系？（直接写出答案，不写过程）． (4)【数学思考】如图（4），是等边三角形，点M是AB上一点，点D是BC上一点，连接MD，以MD为一边作等边三角形MDE，连接BE猜想的度数，并说明理由． 【典例7】（24-25山东潍坊·八年级统考期末）已知，△ABC为等边三角形，点D在边BC上． (1)[问题解决]如图1，以AD为一边作等边三角形ADE，连接BE．求证：BE＋BD＝AB． (2)[迁移运用]如图2，点F是AB边上一点，以DF为一边作等边三角形DEF．求证：BE＋BD＝BF． (3)[类比探究]如图3，点F是AB边的延长线上一点，以DF为一边作等边三角形DEF．试探究线段BE，BD，BF三条线段之间存在怎样的数量关系？请写出你的结论并说明理由． 【典例8】（2026·广东广州·二模）如图，正方形和正方形边长分别为和，正方形绕点旋转．（1）________；（2）用和的代数式表示：________． 模型常见易错点 1）找错拉手三角形，对应边、对应角匹配错误 错误：随意挑选三角形，没有按照 “左腰配左腰，右腰配右腰” 配对。 正解：共顶点出发的两条边两两组合，严格按照旋转对应关系写全等。 2）角度运算出错，分不清是加公共角还是减公共角 内旋用加公共角，外旋用减公共角，看到图形先观察重叠区域，再处理角度。 3）只会证全等，不会用八字模型求拉手夹角 很多学生只能完成第一问全等证明，第二问角度定值无从下手，忽略八字倒角的搭配使用。 4）把拉手夹角当成补角，记错结论 等边手拉手夹角 60°，等腰直角夹角 90°，普通等腰夹角等于顶角 α，并非 180°−α。 5）大题直接套用模型结论，缺少角度推导过程 解答题不能直接写 “手拉手模型，所以全等”，必须写出角度加减的步骤，补齐 SAS 条件。 解题方法总结 手拉手模型是初中几何旋转构造的基石，承接静态全等证明，过渡到动态几何探究，是从静态图形走向动态旋转的分水岭。它常以等边、等腰直角三角形为载体，出现在中考几何压轴探究题，一般分三小问：证全等→求角度定值→线段最值。本模型搭配八字倒角、将军饮马最值，可以组合成综合大题，熟练掌握手拉手的构造与倒角逻辑，能够大幅提升几何压轴解题能力，完善全等几何模型体系。 万能口诀 共顶点，两等腰，顶角相等条件好；公共角上做加减，造出夹角刚刚好； SAS 全等写规范，拉手边长一样高；八字倒角算夹角，角度等于原顶角。 1．（2023·宁夏·中考真题）如图，在中，，，．点在上，且．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．则的面积是（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）如图，在和中，，，．(1)求证：(2)求证： 4．（24-25八年级下·甘肃天水·期末）如图，四边形、是两个正方形，交于点O，交于点．(1)求证：(2)求与的夹角的度数． 5．（25-26七年级下·上海宝山·期末）如图，已知：、都是等边三角形，连接分别是线段的中点．(1)求证：；(2)求证：是等边三角形． 6．（25-26八年级上·成都·校考期中）如图， ， ， ， ， 相交于点 ，连接 ．(1)求证： ；(2)求 的度数． 7．（24-25福建福州市·九年级月考）如图，和均为等边三角形，连接BE、CD． （1）请判断：线段BE与CD的大小关系是 ； （2）观察图，当和分别绕点A旋转时，BE、CD之间的大小关系是否会改变? （3）观察如图和4，若四边形ABCD、DEFG都是正方形,猜想类似的结论是_______,在如图中证明你的猜想. （4）这些结论可否推广到任意正多边形（不必证明）,如图,BB1与EE1的关系是 ;它们分别在哪两个全等三角形中 ;请在如图中标出较小的正六边形AB1C1D1E1F1的另五个顶点，连接图中哪两个顶点,能构造出两个全等三角形？ 8．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图1，在中，，，点D是边上的一点（不与点B，C重合），连接．将线段绕点A逆时针旋转，得到线段． (1)求证：；(2)如图2，的平分线交于点F．①试探究三线段，，之间有何数量关系，并予以证明；②若，，求的长． 1．（24-25八年级上·江苏·专题练习）如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）已知：如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接．以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26八年级下·河南郑州·期末）如图，与都是等边三角形，连接，，，．若将绕点顺时针旋转，当点，，在同一条直线上时，线段的长为__________． 4．（24-25·贵州遵义·八年级期末）在中，，且E为边的中点，连接，以为边向上作等边三角形，连接，则的长为_______． 5.（24-25八年级上·四川遂宁·期末）小王在探究等边三角形“手拉手”问题，得出以下四个结论． 如图，已知，均为等边三角形，点在线段上，且不与点、点重合，连接，则；已知条件同，则；如图，已知，均为等边三角形，点在内部，连接、，则、、三点共线； 如图，已知为等边三角形，点在外，并且与点位于线段的异侧，连接、．若，则．以上结论正确的是 ． 6．（24-25八年级上·天津红桥·期末）综合与探究 在和中，，，，连接，． [发现问题]如图1，若，延长交于点D，则与的数量关系是________；的度数为________； [类比探究]如图2，若，延长，相交于点D，请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． [拓展延伸]如图3，若，且点B，E，F在同一条直线上，过点A作，垂足为点M，请直接写出，，之间的数量关系． 7．（2025·河北邯郸·三模）如图1，在中，，，D是上的一点，且，连接，． (1)试判断与的位置关系和数量关系，并说明理由；(2)如图2，若将绕点E旋转一定的角度后，仍然有，，试判断与的位置关系和数量关系是否发生变化；(3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，且与交于点F，其他条件不变． ①请直接写出与的数量关系；②你能求出与所成的较小的角的度数吗？如果能，请直接写出该角的度数；如果不能，请说明理由． 8．（25-26八年级下·广东佛山·期中）在“综合与实践”数学活动课上，杨老师带领同学们开展“直角三角形拼接与线段探究”的专题研究．同学们用硬纸板制作了两个以点O为公共直角顶点的等腰直角三角形模型，将它们按固定位置拼放在同一平面内：如图，和均为等腰直角三角形．在活动中，同学们先连接线段、，探究两条线段的长度关系与位置关系；再将图形固定，结合中点、特殊角度等条件进行计算推理，请你和同学们一起完成以下探究任务． (1)【问题初探】①如图1，试判断与的数量关系，并说明理由； ②请直接写出与位置关系： ． (2)【解决分析】如图2，若点恰好在上，且为的中点，且，求的长度． (3)【学以致用】如图3，设与的交点为，若，，，请在图3中完成作图，并直接写出的长度为 ．（提示：连接，作交的延长线于点） 1．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，已知和都是等边三角形（，，共线）．下列结论： ①；②；③；④；⑤． 其中正确的有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25九年级上·湖北黄石·期末）如图，是等边三角形外一点，，，则的最大值是 ． 3．（2022·黑龙江·中考真题）和都是等边三角形． (1)将绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有（或）成立；请证明．(2)将绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明． 4．（24-25八年级上·湖南株洲·阶段练习）【问题提出】如图1，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】(1)等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边：等边三角形，连接．①如图2，若点在边上，线段、、之间的关系为__________（直接写出结论）． ②如图3，若点在边的延长线上， 试证明线段、、之间的关系． (2)如图4，等腰中，，，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出、、之间的数量关系，并加以说明．(3)如图5，在中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则是否有最小值，如有，求出它的最小值，没有，请说明理由． 5．（24-25七年级下·河北保定·期末）问题探索 如图1，在中，，点在线段上运动，以为一边，在的右侧作，使，，过，两点作直线． （1）直接写出___________°，的最小值为___________cm； （2）请说明；（3）直接写出的度数，并求出的值． 拓展延伸（4）如图2，改变“问题探索”中“”这一条件，其它条件不变．设，，则，之间有怎样的数量关系？直接写出结论． （5）在（4）的条件下，继续改变“问题探索”中“点在线段上运动”这一条件为“点在直线上运动”，则与有何数量关系？请直接写出所有可能的结论． 6．（24-25七年级下·山东青岛·期末）特殊化是重要的数学策略，即研究一般性问题，经常先从特殊情形进行研究，再通过归纳与猜想，验证并得出一般性的结论． 【问题提出】如图①，和是等腰三角形，，，且点在同一直线上，和有怎样的关系？ 【问题解决】(1)在图②中，若，点在同一直线上，则和的数量关系是_____，位置关系是_____； (2)在图③中，若，点在同一直线上，判断说明和数量关系，并求的度数； (3)在图④中，若，点在同一直线上，则和的数量关系是_____，_____°． (4)通过上述特殊化研究，解决在【问题提出】中，与有怎样的关系．（写出两条） 7．（绵阳市2025-2026学年八年级下期末）如图，四边形是边长为的正方形，，，连接，交于点，过点作，分别交直线，于点，，连接．(1)求证：；(2)探究四边形的形状，并证明；(3)当点与点重合时，求的长度． 8．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）结合图形，解答下列各题： 【问题探究】：(1)如图1，锐角中，分别以、为边向外作正方形和正方形，连接、交于点，试猜想线段与线段的数量及位置关系，并说明理由； 【拓展应用】：(2)在【问题探究】的条件下，如图1，连接，若，，则_______； (3)如图2，在中，，以为直角边，为直角顶点向外作等腰直角，连接，若，，则长为_________； (4)如图3，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，、，过点作直线轴，点是直线上的一个动点，线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，则的最小值为_____． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $