第1章三角形 专题提优6：构造等腰三角形的常用方法及共顶点的等腰三角形(手拉手模型) 讲义 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

本初中数学讲义聚焦构造等腰三角形的常用方法及共顶点等腰三角形（手拉手模型），系统梳理利用平行线、角平分线与平行线或垂线、截长补短法、倍角关系等构造方法，逐步过渡到共顶点等腰（含等边）三角形的手拉手模型应用，搭建从基础构造到模型迁移的学习支架。 资料通过模型示例、分层例题及变式训练（如点在线段或延长线的不同情境），培养学生几何直观（数学眼光）与推理能力（数学思维），手拉手模型的探究强化模型意识（数学语言）。课中助力教师高效授课，课后学生可通过方法归纳与例题解析查漏补缺，提升解题能力。

专题提优6：构造等腰三角形的常用方法及 共顶，点的等腰三角形（手拉手模型） 构造等腰三角形的常用方法 一、利用“平行线”构造等腰三角形 在等腰三角形内部或外部作任意一边的平行线均可构造出新的等腰三角形， 从而实现边与角之间的转化. 模型示例： ①如图，作腰的平行线： B E ②如图，作底的平行线： 1/10 D E A A E B B C 1.如图，在△ABC中，AB=AC,D在AB上，F在AC的延长线上，且 BD=CF,连接DF交BC于点E求证：DE=EF 2.如图①，在等腰△ABC中，AB=AC,∠BAC=45,BD⊥AC,点P 为边AB上一点（不与点A,点B重合），PM⊥BC,垂足为M,交BD于点N. (I)请猜想PN与BM之间的数量关系，并证明： (②)若点P为边AB延长线上一点，PM⊥BC,垂足为M,交DB的延长线于 点N,请在图②中画出图形，并判断(I)中的结论是否成立.若成立，请证明； 若不成立，请写出你的猜想并证明 2/10 ① ② 二、利用“角平分线+平行线”构造等腰三角形 模型示例： B D D 3.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,E,F分别在BD,AD上，且 DE=CD,EP=AC,求证：EFI/AB B E D 3/10 三、利用“角平分线+垂线”构造等腰三角形 模型示例： E D 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,CD⊥AD,故可以延长CD交AB于，点 E,则△ACE是等腰三角形. 4.已知在△ABC中，AB=AC,∠B=a (I)如图①，当a=30°时，过，点A作AD⊥AB交BC于D,若AD=4cm,则 BC的长为 cm; (2)如图②，当a=45时，过点B作BD平分∠ABC交AC于D,过C作 CE⊥BD交BD的延长线于E,求证：BD=2CE (3)当0°<Q<90^时，AB=4,BC=5,BE为∠ABC的平分线，CE⊥BE于 E,连接AE,若SAc=m,请直接写出△ACE的面积（用含m的式子表示） 4/10 DE B C B 备用图 四、利用“截长补短法”构造等腰三角形 5.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于D,且AB+BD=DC, 求∠C的度数（用截长法和补短法两种方法解答） 五、利用“倍角关系”构造等腰三角形 模型示例： ! B B ① ② ③ ④ 已知：在△ABC中，∠ACB=号∠ABC 5/10 (I)如图①，作∠ABC的平分线BD,则可构造等腰△BDC: (2)如图②，作∠BCE=2∠ACB,交BA的延长线于点E,则可构造等腰 △BCE: (3)如图③，延长CB至点D,使BD=AB,则可构造两个等腰三角形， △ABD和△ADC; (④如图④，作∠BCE=∠ACB,交AB的延长线于点E,则可构造等腰 △BCE 6.在△ABC中，∠ACB=2∠B,BC=2AC,求证：∠A=90° 共顶，点的等腰三角形（手拉手模型） 一、共顶，点的等腰三角形 1.已知，△ADE和△ABC都是等腰直角三角形， ∠ADE=∠BAC=90°，p是AE的中点，连接DP 6/10 (I)如图①，点A,B,D在同一条直线上，则DP与AE的位置关系为 (②)将图①中的△ADE绕，点A逆时针旋转，当 AD落在图②所示的位置时，点C,D,P恰好在同一条直线上. ①在图②中，按要求补全图形，并证明∠AE=∠ACP; ②连接BD,交AE于点F.判断线段BF与DF的数量关系，并证明 B B ① ② 二、共顶点的等边三角形 2.△ABC和△ADE都是等边三角形 (I)将△ADE绕，点A旋转到图①的位置时，连接BD,CE并延长相交于点P (点P与点A重合)，有PA+PB=PC(或PA+PC=PB)成立，请证明. (②)将△ADE绕，点A旋转到图②的位置时，连接BD,，CE相交于，点P,连接 PA,猜想线段PA,PB,PC之间有怎样的数量关系？并加以证明. (3)将△ADE绕，点A旋转到图③的位置时，连接BD,CE相交于点P,连接 7/10 PA,猜想线段PA,PB,PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证 明 A(P)B ① 三、构造共顶，点的等腰三角形（手拉手模型） 3.在△ABC中，AB=AC,∠ABC=a,点D是直线BC上一点，点C关于 射线AD的对称，点为点E.作直线BE交射线AD于点F.连接CF (I)如图①，点D在线段BC上，求∠AFB的大小（用含的代数式表示） (2)如果∠a=60°. ①如图②，当，点D在线段BC上时，用等式表示线段AF,BF,CF之间的 数量关系，并证明： ②如图③，当点D在线段CB的延长线上时，补全图形，写出线段 AF,BF,CF之间的数量关系. 8/10 ① ② DB ③ 4.通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型理解】 (I)如图①，△ABC,△ADE共顶，点A,AB=AC, AD=AE,∠BAC=∠DAE,连接BD,CE由 ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,得∠BAD=∠CAE叉AB=AC,AD=AE 可以推理得到△ABD=△ACE,进而得到BD=,∠ABD=【问题研 究】（②）小明同学在思考完上述问题后，解决了下面的尺规作图问题. 如图②，已知直线a,b及点P，a与b不平行.作等腰直角三角形PAB,使得 ,点A,B分别在直线a,b上.小明同学作法简述如下：如图③，过点P作PD⊥a, 垂足为，点D,以P为直角顶点作等腰直角三角形PDE,过点E作EB⊥PE,交b 9/10 于点B,在a上截取DA=BE,连接AB.△PAB即为所要求作的等腰直角三角形， 请证明小明的作法是正确的. 【深入研究】小明同学经过研究发现：在上题条件下，也能作出等边三角 形PAB,使得点A,B分别在直线a,b上. (3)请你简述作法，并在图④中画出示意图.（不需要尺规作图） ④ 10/10专题提优6：构造等腰三角形的常用方法及 共顶点的等腰三角形（手拉手模型） 构造等腰三角形的常用方法 一、利用“平行线”构造等腰三角形 在等腰三角形内部或外部作任意一边的平行线均可构造出新的等腰三角形， 从而实现边与角之间的转化. 模型示例： ①如图，作腰的平行线： B ②如图，作底的平行线： D..E A A B B C 1.如图，在△ABC中，AB=AC,D在AB上，F在AC的延长线上，且 1/13 BD=CP,连接DF交BC于点E.求证：DE=EF 答案：过点D作AF的平行线交BC于点 G,,∠ECF=∠EGD,∠DGB=ACB.:AB=AC,÷∠ABC=∠ACB,·ABC=DGB,·BD=DG. ·BD=CP,·DG=CF.在△DGE和△FCE中， I∠EGD=∠ECF, DEG=∠FEC,·△DGE≌△FCE(AAS),.DE=EF DG=FC, 2.如图①，在等腰△ABC中，AB=AC,∠BAC=45°，BD⊥AC,点P为边 AB上一点（不与点A,点B重合），PM⊥BC,垂足为M,交BD于点N (1)请猜想PN与BM之间的数量关系，并证明； (2)若点P为边AB延长线上一点，PM⊥BC,垂足为M,交DB的延长线于点N, 请在图②中画出图形，并判断()中的结论是否成立.若成立，请证明；若不成立， 请写出你的猜想并证明. ② 答案： (1)PN=2BM. 证明如下：如图①，作PF//AC交BC于点F,交BD于点 E:BD⊥AC,PF//AC,PF⊥BD,∠BPE=∠A=45°，÷∠BEP=90°，÷∠BPE=∠PBE=45°，÷BE PM L BF,:BM=MF,PN=2BM. 2/13 ② (2)画出图形如图②，(1)中的结论成立.理由：如图②，作PF/AC交CB的 延长线于点E,交DB的延长线于点 F:∠ABD=∠PBF=∠BPF=45°，÷BF=PF:∠EBF=∠EPM,∠EFB=∠PFN=90°，BF=PF,·△ 二、利用“角平分线+平行线”构造等腰三角形 模型示例： 3.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,E,F分别在BD,AD上，且 DE=CD,EF=AC,求证：EF//AB B E 答案：过点C作CM//EF,交AD的延长线于点 3/13 M,·M=∠EFD.:DE=CD,∠EDF=∠CDM,·△EDF≌△CDM(AAS),EF=CM:EF=AC 为等腰三角形，÷∠DAC=M.又：AD平分 ∠BAC,·BAD=∠DAC,·∠EFD=∠BAD,·EF//AB 三、利用“角平分线+垂线"构造等腰三角形 模型示例： E D B 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,CD⊥AD,故可以延长CD交AB于点E， 则△ACE是等腰三角形. 4. 已知在△ABC中，AB=AC,∠B=a. (I)如图①，当ca=30时，过点A作AD上AB交BC于D,若AD=4cm,则 BC的长为 cm; (2)如图②，当a=45时，过点B作BD平分∠ABC交AC于D,过C作CE⊥BD交 BD的延长线于B,求证：BD=2CE: (3)当0°<C<90时，AB=4,BC=5,BE为LABC的平分线，CE1BE于E,连 接AE,若S△ABc=m,请直接写出△ACE的面积.（用含m的式子表示） ② 备用图 答案： 4/13 (1)12 (2)延长CE与BA交于点F,如图①、：∠ABC=45°，AB=AC, ·∠BAC=90°：CE⊥BD,·∠BAC=∠DEC:∠ADB=∠CDE,·ABD=∠DCE,在 △BAD和△CAF中， |∠BAD=∠CAF, AB=AC, A△BAD兰△CAF(ASA),HBD=CR:BD平分 NABD=∠ACF, ∠ABC,CE⊥DB,·∠FBE=∠CBE,在△BEF和△BEC中， IFBE=∠CBE, BE=BE, 、∠BEF=∠BEC, ·△BF￥△B2C(ASA),CE=ER,BD=2CE. 2 ② (3)S△AB=言m, 解析：延长CE与BA交于点F,作CHL AB于H,如图②，由(2)可知 △BEF兰△BEC,:CE=FE,BC=BF=5,S△AE=S△AE=8△ACr又 :AB=4,AF=1.:S△ABC=m,即 告AB·CH=m,CH=青m,S△As=AF.CH=支×1×3m=青m,SAAE=SAAs=青m 四、利用“截长补短法”构造等腰三角形 5.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于D,且AB+BD=DC,求 ∠C的度数.（用截长法和补短法两种方法解答） 答案： 方法1：（截长法）在CD上取点E,使DE=BD,连接AE,则 5/13 CE=AB=AE,·∠B=∠AED=∠C+∠CAE=2LC:∠BAC=120°，·∠B+∠C=2LC+∠C=60°， 方法2：（补短法）延长DB至点F,使BF=AB,连接AP,则 AB+BD= DF=CD,AF=AC,∠C=P=专∠ABC:∠BAC=120°，∴∠ABC+∠C=∠ABC+∠AB 注意： 利用“截长补短法构造等腰三角形：基本图形1：如图①，在△ABC中， ∠C=36°，CA=CB,∠1=∠2，则CD=AD=AB.基本图形2：如图②，在△ABC中， ∠C=90°，AC=BC,∠1=∠2，DE⊥AB于E,则AC=BC=AE ① 五、利用“倍角关系”构造等腰三角形 模型示例： E ① ② ③ ④ 已知：在△ABC中，∠ACB=LABC (I)如图①，作∠ABC的平分线BD,则可构造等腰△BDC: (2)如图②，作∠BCE=2∠ACB,交BA的延长线于点E,则可构造等腰△BCE (3)如图③，延长CB至点D,使BD=AB,则可构造两个等腰三角形， △ABD和△ADC; 6/13 (4)如图④，作∠BCE=∠ACB,交AB的延长线于点E,则可构造等腰△BCE. 答案： 6.在△ABC中，∠ACB=2LB,BC=2AC,求证：∠A=90° 如图①，在BC的延长线上截取CH=AC,在BC上截取CE=CA. BC=2AC,÷BE=CE=AC:AC=CH,·∠H=∠CAH,÷∠ACB=∠H+∠CAH=2∠H, 且∠ACB=2∠B,∠H=∠B,AH=AB.又 HC=BE,·△AHC≌△ABE(SAS),·AE=AC,AE=AC=CE,·△ACE是等 边三角形，ACB=60°，“∠B=30°，∠BAC=90° A 一题多解 如图②，作∠ACB的平分线CD交AB于D,过点D作DE⊥BC于 E:∠ACB=2LB,∴∠B=∠BCD=∠ACB,BD=CD,·BE=CE=BC:BC=2AC,∴AC=CE. 在△ACD和△BCD中， (AC=EC, ∠ACD=∠ECD,·△ACD≌△ECD(SAS),·∠A=∠CED=90 CD CD, 共顶点的等腰三角形（手拉手模型） 一、共顶点的等腰三角形 1.已知，△ADE和△ABC都是等腰直角三角形，∠ADE=∠BAC=90°，P是 7/13 AE的中点，连接DP (1)如图①，点A,B,D在同一条直线上，则DP与AE的位置关系为 (2)将图①中的△ADE绕，点A逆时针旋转，当 AD落在图②所示的位置时，点C,D,P恰好在同一条直线上 ①在图②中，按要求补全图形，并证明∠AE=∠ACP; ②连接BD,交AE于点F判断线段BF与DF的数量关系，并证明. ① 答案： (1)互相垂直 (2)①补全图形如图①所示，由(I)知DP⊥AE,·∠APC=90°， ÷∠ACP+∠CAE=90°：∠BAC=90°，÷∠BAE+∠CAE=90°，·∠BAE=∠ACP. ② ③BF=DF.理由如下：作BC1AE于点G,如图②，则∠ACB=∠APC90°.由① 知∠BAE=∠ACP:AB=AC,·△ABC≌△CAP(AAS) :BC=AP:∠ADB=90,点P是AB的中点，÷PD=AD, :ADF兰÷PD=BC,:∠DPE=∠ACB-90°，∠DFP=∠BFC,·ADFPG△BFG(AAS), .BF=DF. 二、共顶点的等边三角形 2.△ABC和△ADE都是等边三角形. 8/13 (I)将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD,CE并延长相交于点P(点P 与点A重合)，有PA+PB=PC(或PA+PC=PB)成立，请证明 (2)将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD,CE相交于点P,连接PA ,猜想线段PA,PB,PC之间有怎样的数量关系？并加以证明 (3)将△ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD,CE相交于点P,连接PA, 猜想线段PA,PB,PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明。 毫 A(P)B ① 答案： (I):△ABC是等边三角形，·AB=AC:点P与点A重合， PB=AB,PC=AC,PA=0,·PA+PB=PC或PA+PC=PB. (2)PB=PA十PC,证明如下：在BP上截取BF=CP,连接AF,如图①， :△ABC和△ADE都是等边三角形， :AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°，·∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,·∠BAD=∠CAE, (SAS),·∠ABD=∠ACE:AC=AB,CP=BF,·△CAP兰△BAF(SAS), &∠CAP=∠BAF,AF=AP,·∠CAP+∠CAF=∠BAF+∠CAF,·∠FAP=∠BAC=60°， :△AFP是等边三角形，PF=AP,·PA+PC=PF+BF=PB. (3)PA+PB=PC. 解析：在CP上截取CP=BP,连接AF,如图②，：△ABC和△ADE都是等边 三角形， 9/13 ·AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°，·∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE,·∠BAD=∠CAE, 是等边三角形，：PF=AP,·PA十PB=PF+CF=PC,即PA十PB=PC 三、构造共顶点的等腰三角形（手拉手模型） 3.在△ABC中，AB=AC,∠ABC=,点D是直线BC上一点，点C关于射线 AD的对称点为点E.作直线BE交射线AD于点F.连接CF (I)如图①，点D在线段BC上，求∠AFB的大小（用含α的代数式表示）， (2)如果∠a=60°. ①如图②，当点D在线段BC上时，用等式表示线段AF,BF,CF之间的数量关 系，并证明： ②如图③，当点D在线段CB的延长线上时，补全图形，写出线段AF,BF,CP之 间的数量关系. ② ③ 答案： (I)如图①，连接AE,CE,:点E为点C关于AD的对称点， ·AE=AC,EF=FC,∠EAD=∠CAD.设∠EAD=∠CAD=x,则∠CAE=2x :AB=AC,÷∠ACB=∠ABC=,÷∠BAE=180°-2x-2,÷∠ABE+∠AEB=2x+2a:AE=AB, 10/13 ① ② (2)①AF=BF+CR.证明如下：如图②，延长FB至点G,使FG=FA,连接 AG :AB=AC,·∠ABC=Q=60°，：△ABC为等边三角形，∠BAC=60°.由(I)知， LAFB=Q=60°，÷△AFG为等边三角形， ÷AG=AF,∠GAF=60°，∠GAB=∠PAC.在△ABG和△ACF中， (AG=AF, ∠GAB=∠FAC,·△ABG兰△ACF(SAS),·BG=CF,CF+BF=BG+BF=GF:GF=AF,·AF= 、AB=AC, ②补全图形如图③所示.CP=AF+BF连接AE,EC,:点E为点C关于AD的对 称，点，·AE=AC,EF=FC,∠EAD=∠CAD,设∠EAD=∠CAD=x,则 ∠CAE=2x:AB=AC=AE,·∠ACB=∠ABC=∠BAC=60°，∠DAB=X-60°，·∠EAB=X+X-6 在BE上取，点G,使得FG=FA,连接AG,·△AFG为等边三角形，：AG AF,∠GAF=60°，∠GAE=FAB=X-60°.在△AGE和△AFB中， (AG=AF, ∠GAE=∠FAB,·△AGE≌△AFB 、AE=AB, (SAS), ÷BF=EG,.EF=EG+FG=BF+AF,·CF=EF=AF+BF E-- 4.通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型理解】 (1)如图①，△ABC,△ADE共顶点A,AB=AC,AD=AE,∠BAC=DAE, 11/13 连接BD,CE.由∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,得LBAD=∠CAE.又 AB=AC,AD=AE,可以推理得到△ABD兰△ACE,进而得到BD= ∠ABD=【问题研究】(2)小明同学在思考完上述问题后，解决了下面的尺规作 图问题 如图②，已知直线a,b及点P,a与b不平行.作等腰直角三角形PAB,使得点 A,B分别在直线a,b上.小明同学作法简述如下：如图③，过点P作PD⊥a,垂足 为点D,以P为直角顶点作等腰直角三角形PDE,过点E作EB⊥PE,交b于点B, 在a上截取DA=BE,连接AB.△PAB即为所要求作的等腰直角三角形， 请证明小明的作法是正确的. 【深入研究】小明同学经过研究发现：在上题条件下，也能作出等边三角形 PAB,使得点A,B分别在直线a,b上 (3)请你简述作法，并在图④中画出示意图.（不需要尺规作图） 0 ② 0 答案： (1)CE ∠ACE 解析：：∠BAC=∠DAE,÷∠BAC-∠DAC=∠DAE-DAC, ·∠BAD=∠CAE,在△ABD和△ACE中， (AB=AC, AD=AC, :ABD兰△ACB(SAS),:BD=CB,:ABD=∠ACE,故答案为 AD=AC, CE,∠ACE (2):APDE是以P为直角顶点的等腰直角三角形，：PE=PD, ∠DPE=90°：B⊥PE,PD⊥a,·∠PB=PDA=90°，在△PEB和△PDA中， 12/13 EB=DA, ∠PEB=∠PDA,·△PEB兰△PDA(SAS), PE=PD, ·PB=PA,∠BPE=∠APD,·∠APB=APE+∠BPE=∠APE+∠APD=DPE=90°，·△ 即为所要求作的等腰直角三角形， (3)如图，△PAB即为所求 作法：1.作PF⊥a于点F: 2.以PF为边在PF右侧作等边三角形PFG: 3.以FG为边在FG上方作等边三角形FGH: 4.连接PH交直线a于点： 5.连接并延长IG交直线b于点B: 6.在射线FI上取一点A,连接PB,PA,使PA=PB,连接AB 13/13