专题03 三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型（几何模型讲义）数学新教材人教版八年级上册

该初中数学讲义通过知识框架图系统梳理三角形倒角模型体系，涵盖飞镖（燕尾）型、风筝模型及翻角模型，以三角形外角定理为基础，用对比表格呈现各模型结构特征与推导逻辑，突出凹四边形拆分识别等重难点。 讲义亮点在于分层练习设计，A组基础题巩固模型应用，B组提升题结合角平分线综合命题，C组压轴题嵌套复杂图形培养推理意识。通过“延长线段构造外角”推导方法替代死记公式，易错点总结助力学生自主复习，教师可据此实施精准分层教学。

专题03 三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型 飞镖模型（燕尾模型）：图形向内凹陷，形如燕尾，由一个凹四边形构成，有一个向内的凹顶点，利用三角形外角定理拆分图形，建立凹角与外围三角的数量关系，实现角度求和计算。 风筝模型（也叫凹四边形对角模型）：拥有一组对顶的凹角，图形对称，同样依托三角形外角拆分，分为角度版风筝与面积版风筝，初中倒角以角度风筝为主。 两类模型本质一致：把凹四边形分割成两个三角形，用外角定理进行角度转化，无需添加辅助线即可完成推导。初中两大基础倒角母题，填空选择题快速口算角度的核心工具，几何大题的前置倒角步骤，常和角平分线、平行线、双角平分线综合命题，属于几何倒角必备基础模型，难度中等，上手快、实用性极强。命题特征：很少单独画出标准飞镖图形，大多嵌套在复杂图形内部，需要学生自行拆分识别凹四边形结构。 掌握飞镖、风筝两种凹多边形结构的角度公式，理解推导逻辑，不硬背死公式，学会用外角定理推导角度关系，能够在复杂图形中识别隐藏的飞镖 / 风筝结构，完成角度代换与计算。（核心目标） 模型来源 2 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.飞镖（燕尾）模型 3 模型2.鹰爪（风筝）模型 9 模型3.翻角模型 15 易错点与方法总结 19 模型运用 20 A组（基础题） 20 B组（能力提升题） 27 C组（综合压轴题） 32 燕尾模型（飞镖模型）‌因凹四边形的外轮廓酷似燕尾分叉或飞镖外形，教育工作者将其形象化命名以辅助记忆‌，这种具象化命名帮助学生快速联想图形特征。‌‌鹰爪（‌风筝）模型‌强调图形末端的尖锐角如同鹰爪抓握状，更侧重动态联想。 普及高峰期（‌2023–2025 年），这些倒角模型被纳入多地初中数学复习专题，配套口诀（如“见飞镖，找四角”、“内翻腋下和等上下和，外翻腋下差等折角倍”‌‌）广泛传播，这些模型将严谨的几何法则融入生活化的想象与口诀，让数学推理像解谜游戏一样充满乐趣！ 1）三角形外角定理：三角形外角 = 不相邻两个内角之和； 2）三角形内角和 180°； 3）等量代换与整式代数化简； 4）几何倒角书写格式。 模型1.飞镖模型 【模型提炼与证明】 1）飞镖模型（边）：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 图1 图2 2）飞镖模型（角度）：条件：如图1，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 3）飞镖模型拓展：条件：如图2，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD； 结论：∠O=（∠D-∠B）。 证明：根据飞镖模型：=++，∴∠DCB-∠DAB=∠D+∠B， ∵AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，∴∠DCO=∠DCB，∠DAO=∠DAB， ∴∠DCO-∠DAO=（∠DCB-∠DAB）=（∠D+∠B）， ∵∠DEA=∠OEC，∴∠D+∠DAO=∠O+∠DCO，∴∠D-∠O=∠DCO-∠DAO， ∴∠D-∠O=（∠D+∠B）,即∠O=（∠D-∠B） 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·重庆·期中）如图（1），点D在内部．求证： (1)；(2)；(3)如图（2）如果点D在内部，且在线段的另一侧，又会有怎样的结论？ 【典例2】（2026·广东深圳·二模）如图，从家用双面人字梯抽象出的四边形中，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（24-25重庆八年级期中）如图，，的角平分线交于点，若，，则的度数（    ） A． B． C． D． 【典例4】（25-26七年级下·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知在中，，直线分别交和的延长线于点． (1)若，，求的度数． (2)选择题：与的关系是___________． A．        B． C．        D． 【典例5】（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，、 的角平分线交于点，已知，则___________ 【典例6】（24-25江苏南京·七年级校考期末）互动学习课堂上某小组同学对一个课题展开了探究． 小亮：已知，如图三角形，点是三角形内一点，连接，，试探究与，，之间的关系． 小明：可以用三角形内角和定理去解决．小丽：用外角的相关结论也能解决． （1）请你在横线上补全小明的探究过程： ∵，（______）∴，（等式性质） ∵，∴， ∴．（______） （2）请你按照小丽的思路完成探究过程；（3）利用探究的结果，解决下列问题： ①如图①，在凹四边形中，，，求______； ②如图②，在凹四边形中，与的角平分线交于点，，，则______；③如图③，，的十等分线相交于点、、、…、，若，，则的度数为______； ④如图④，，的角平分线交于点，则，与之间的数量关系是______； ⑤如图⑤，，的角平分线交于点，，，求的度数． 模型2.鹰爪模型 【模型提炼与证明】 1）鹰爪模型：如图1，结论：∠A+∠O=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠CAO+∠COA； ∴∠1+∠2=∠BAO+∠BOA+∠CAO+∠COA=∠BAO+∠CAO+∠BOA+∠COA=∠BAC+∠BOC=∠A+∠O。 图1 图2 2）鹰爪模型（变形）：如图2，结论：∠A+∠O=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠DAO+∠DOA； ∴∠2-∠1=∠DAO+∠DOA-（∠BAO+∠BOA）=（∠DAO-∠BAO)+（∠DOA-∠BOA） =∠BAD+∠BOD=∠A+∠O。 【模型运用】 【典例1】（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，在中，，点，分别是边，上的两个定点．若点在线段上运动，当时，则 ． 【典例2】（24-25七年级下·吉林长春·期末）在学习了“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”之后，老师让同学们小组探究“四边形的外角和它不相邻的内角之间有什么关系？”（以下提到的四边形均为凸四边形），爱动脑筋的小冰同学对“四边形的两个外角与它不相邻的两个内角有什么关系”开展了自己的探究，下面是她的探究过程： 已知：如图①，在四边形中，、是四边形的两个外角．猜想：； 证明：，． 证明过程缺失 (1)请你补全缺失的证明过程；(2)同桌小宇看了小冰的证明过程之后，指出小冰只考虑了“与是两个相邻外角”的情况，缺少“与是两个不相邻外角”的情况，如图当“与是两个不相邻外角”时，______（填“”“”“”）； (3)综合（1）（2），请用文字描述小冰发现的结论为：______；(4)如图③，在四边形中，，平分，平分，若，则______度 【典例3】（24-25八年级上·河南驻马店·阶段检测）在中，，点，分别是边，上的点，点是一动点，设，，． (1)如图1，若点在线段上，且，求的度数； (2)若点在线段延长线上，请借助图2，探究，与之间的关系，并说明理由． 【典例4】（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）在中，，点，分别是边，上的两个定点，点是平面内一动点．初探： （1）如图1，若点在线段上运动， ①当时，则 ；②，，之间的数量关系为： ． 再探：（2）若点运动到边的延长线上，交于，如图2，则，，之间有何关系？并说明理由． 拓展：（3）当点在的内部，且，，不共线时，记，，，探究，，之间的关系，并直接写出探究结论． 【典例5】（24-25七年级下·江苏连云港·期末）某数学兴趣小组在学习了“多边形内角和与外角和”后，受到“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”的启发，探究出了“多边形的两个外角的和等于与它不相邻的内角之和”．下面请同学们完成这个结论的证明并运用这个结论解题． 已知：在四边形中，和是该四边形的两个外角，且，． 【结论证明】（1）如图1，证明：； 【结论应用】（2）如图2，若，分别平分四边形的外角和，与相交于点G，应用（1）的结论探究，α，β三者之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当四边形的外角和角平分线的反向延长线相交于点G时，试探究，α，β之间的数量关系是________． （4）如图4，当时，试判断α，β之间的数量关系是________． 模型3.翻角模型 【模型提炼与证明】 图1 图2 条件：如图1，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，结论：2∠C=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠1+∠2=∠ECC’+∠EC’C+∠FCC’+∠FC’C=∠ECC’+∠FCC’+∠EC’C+∠FC’C=∠EC’F+∠FCE=2∠C。 条件：如图2，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2∠C=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠2-∠1=∠FCC’+∠FC’C-（∠ECC’+∠EC’C）=（FCC’-∠ECC’)+（∠FC’C--∠EC’C） =∠EC’F+∠FCE=2∠C。 【模型运用】 【典例1】（2026·吉林长春·模拟预测）如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的内部时，与之间有一种数量关系始终保持不变，则这种数量关系是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26七年级下·江苏南京·阶段检测）如图，三角形纸片中，，将纸片的角折叠，使点C落在内，，则的度数是_____ ． 【典例3】（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【典例4】（25-26七年级下·上海闵行·期中）如图，在中，，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的度数是_____． 【典例5】（24-25七年级下·辽宁大连·阶段练习）【原题再现】课本有这样一道题： 如图1，将纸片沿折叠，使点A落在四边形内点的位置．试探索与之间的数量关系，并说明理由． 小明提出一种正确的解题思路：连接，则、分别为、的外角，…… 请你按照小明的思路解决上述问题．        【变式探究】如图2，若将原题中“点A落在四边形内点的位置”变为“点A落在四边形外点的位置”，试猜想此时与、之间的数量关系，并说明理由． 【结论运用】将四边形纸片（，与不平行）沿折叠成图3的形状，若，，求的度数． 模型常见易错点 1）公式记反，写成∠A=∠BDC+∠B+∠C 错误颠倒大小角，凹进去的角是最大角，等于另外三个角之和。 正解：延长线段造外角，现场推导，不要死记公式。 2）分不清飞镖和八字（8 字）模型 八字模型：对顶角相等，∠A+∠B=∠C+∠D； 飞镖模型：凹四边形，凹角 = 另外三角之和，结构不同，公式不能混用。 3）在解答题直接写飞镖结论，没有推导过程 填空可以口算使用结论，大题必须通过延长线段 + 外角定理写出推导步骤，不能直接套用模型名称。 4）找不到图形里的隐形飞镖 复杂图形中没有画出完整飞镖轮廓，不会局部拆分三角形，只会使用标准图形。 5）风筝模型比例式与角度式混淆 初中倒角只用角度和差关系，不要套用相似风筝的面积 / 比例结论。 解题方法总结 飞镖风筝模型是三角形外角定理的延伸应用，是从基础三角形角度计算走向不规则多边形倒角的过渡内容。风筝模型用于交叉图形，飞镖用于内凹图形，二者相辅相成，大量出现在选择填空压轴，也是全等、圆综合大题的前置倒角工具。 熟练掌握 “延长线段构造外角” 的推导思路，不仅可以搞定本模型，还可以自主推导所有不规则四边形角度关系，摆脱死记公式的学习模式，提升几何逻辑能力。 1.（2026·河北保定·二模）如图，把等边纸片沿折叠，若，则是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·福建泉州·期中）如图，点、分别在线段、上，连接、，若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）如图，将纸片沿折叠，使点A落在四边形外点的位置，若，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）定义：若一个三角形中一个内角是另一个内角的2倍，则称这个三角形为倍角三角形．如图，在中，，、分别是、上的点，，沿折叠，点的对应点恰好落在上．若是倍角三角形，则________． 5．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，若，，，则_________________． 6．（25-26七年级下·上海杨浦·期中）如图，在中，D、E分别是边和上的点，将这个纸片沿折叠，点A落到点F的位置．如果，，，那么______ 度． 7.（24-25广东·八年级期中）如图，在三角形ABC中，，为三角形内任意一点，连结AP，并延长交BC于点D. 求证：（1）；（2）. 8．（25-26八年级下·江西吉安·阶段检测）【课本再现】 (1)已知：如图，点在的内部．求证：； 【联系拓展】(2)在（1）中的情况下，若点在线段所在直线的下方，此时，，，之间有怎样的数量关系，给出结论并证明． 9.（24-25·湖北·七年级校考期中）阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”．如图1的四边形，这种形似飞镖的四边形，我们形象地称它为“飞镖图”．它实际上就是凹四边形，同学们通过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和，即如图1，． “智慧小组”通过互学证明了这个结论： 方法一：如图2，连接，则在中，，即， 又：在中，，∴，即． “创新小组”想出了另外一种方法 方法二：如图3，连接并延长至F， ∵和分别是和的一个外角，………… 任务：(1)填空：“智慧小组”用的“方法一”主要依据的一个数学定理是______； (2)根据“创新小组”用的“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分． 10．（25-26七年级下·吉林长春·期中）阅读下列材料，回答问题． 如图①所示的图形，像我们生活中的物品--回旋镖，我们不妨把这样的图形叫做“回旋镖图”，在这样一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决下列问题： (1)如图①，试猜想、、、之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，则___________； (3)如图③，在四边形中，与的角平分线交于点，若，，则___________． 1.（24-25江苏·八年级专题练习）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（    ）． A． B． C． D． 2.（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在中，，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 3．（2026·河南平顶山·二模）如图，在三角形纸片中，将纸片的一角沿折叠，使点C落在内，记为点．若，则等于（    ） A． B． C． D． 4.（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们把这样的图形叫做“规形图”． (1)观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决问题： ①如图2，小叶把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，若，直接写出的结果； ②如图3，平分，平分，若，，求的度数． 5．（25-26七年级下·河南周口·期中）求解下列各题： (1)【建立模型】如图1，在内部有一点，连接，．求证：． (2)【尝试应用】如图2，利用上面的结论，直接写出五角星中，____________． (3)【拓展创新】如图3，将五角星截去一个角后多出一个角，求的度数． 6.（24-25浙江·七年级校联考期末）如图①，、是四边形的两个不相邻的外角．      (1)猜想并说明与、的数量关系；(2)如图②，在四边形中，与的平分线交于点．若，，求的度数；(3)如图③，、分别是四边形外角、的角平分线．请直接写出、与的数量关系 ． 1.（24-25七年级下·吉林长春·期中）在中，，点分别是边，上的点，点是平面内的一个动点，连结，，设，，． (1)如图①，若点在边上，则，和之间的数量关系为 ． (2)如图②，若点在线段的延长线上时，求，和之间的数量关系． (3)如图③，若点在的内部，且在直线上方时，直接写出，和之间的数量关系． (4)若点在的外部，且始终在右侧，借助图④，直接写出，和之间的数量关系． 2．（24-25·江苏连云港·七年级校考阶段练习）【问题情境】 已知，在的两边上分别取点B、C，在的内部取一点O，连接、．设，，探索与、、之间的数量关系． 【初步感知】如图1，当点O在的边上时，，此时，则与、、之间的数量关系是． 【问题再探】（1）如图2，当点O在的内部时，请写出与、、之间的数量关系并说明理由；（2）如图3，当点O在的外部时，与、、之间的数量关系是________； 【拓展延伸】（1）如图4，、的外角平分线相交于点P． ①若，，则________°；②若且，则________°； ③直接写出与、之间的数量关系； （2）如图5，的平分线与的外角平分线相交于点Q，则________（用、表示）． 3.（24-25七年级下·四川内江·期末）（1）探究一：如图1，与分别为的两个外角， 已知，，则的度数为________； 易得，与之间的数量关系为________． （2）探究二：如图2，在四边形中，、分别是外角、的平分线，设，试说明与的数量关系； （3）拓展应用：如图3，在（2）的条件下，作的平分线与的延长线交于点，在中，其中一个内角是另一个内角的4倍，请计算出所有符合条件的的值． 4．（25-26八年级上·广东·期末）已知中，． (1)如图①，、的角平分线交于点，则 °． (2)如图②，、的三等分线分别对应交于，则 °． (3)如图③，、的等分线分别对应交于（内部有个点），求（用的代数式表示）． (4)如图③，已知、的等分线分别对应交于，若，求的值． 6．（25-26七年级下·江苏南京·期末）数学实验：通过纸片的翻折，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释． 在直角三角形中，，点、分别在、上，将沿翻折，得到． (1)如图①，若，则°． (2)如图②，若折痕，利用直尺和圆规在图中求作翻折后点的对称点．（不写作法，保留作图痕迹） (3)如图③，若的平分线交线段于点，且，求证． (4)将沿着翻折得到，若，与的一边平行，直接写出度数的所有可能结果．（结果用含的代数式表示） 6．（25-26·成都市·七年级专题练习）箭头四角形 模型规律 如图1，延长CO交AB于点D，则∠BOC＝∠1+∠B＝∠A+∠C+∠B． 因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“∠BOC＝∠A+∠B+∠C”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”． 模型应用（1）直接应用：①如图2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝________．②如图3，∠ABE、∠ACE的2等分线（即角平分线）BF、CF交于点F，已知∠BEC＝120°，∠BAC＝50°，则∠BFC＝________． ③如图4，BOi、COi分别为∠ABO、∠ACO的2019等分线（i＝1，2，3，…，2017，2018）．它们的交点从上到下依次为O1、O2、O3、…、O2018．已知∠BOC＝m°，∠BAC＝n°，则∠BO1000C＝________度． （2）拓展应用：如图5，在四边形ABCD中，BC＝CD=4，∠BCD＝2∠BAD．O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD，∠BCD=120°，求四边形OBCD的面积． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型 飞镖模型（燕尾模型）：图形向内凹陷，形如燕尾，由一个凹四边形构成，有一个向内的凹顶点，利用三角形外角定理拆分图形，建立凹角与外围三角的数量关系，实现角度求和计算。 风筝模型（也叫凹四边形对角模型）：拥有一组对顶的凹角，图形对称，同样依托三角形外角拆分，分为角度版风筝与面积版风筝，初中倒角以角度风筝为主。 两类模型本质一致：把凹四边形分割成两个三角形，用外角定理进行角度转化，无需添加辅助线即可完成推导。初中两大基础倒角母题，填空选择题快速口算角度的核心工具，几何大题的前置倒角步骤，常和角平分线、平行线、双角平分线综合命题，属于几何倒角必备基础模型，难度中等，上手快、实用性极强。命题特征：很少单独画出标准飞镖图形，大多嵌套在复杂图形内部，需要学生自行拆分识别凹四边形结构。 掌握飞镖、风筝两种凹多边形结构的角度公式，理解推导逻辑，不硬背死公式，学会用外角定理推导角度关系，能够在复杂图形中识别隐藏的飞镖 / 风筝结构，完成角度代换与计算。（核心目标） 模型来源 2 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.飞镖（燕尾）模型 3 模型2.鹰爪（风筝）模型 9 模型3.翻角模型 15 易错点与方法总结 19 模型运用 20 A组（基础题） 20 B组（能力提升题） 27 C组（综合压轴题） 32 燕尾模型（飞镖模型）‌因凹四边形的外轮廓酷似燕尾分叉或飞镖外形，教育工作者将其形象化命名以辅助记忆‌，这种具象化命名帮助学生快速联想图形特征。‌‌鹰爪（‌风筝）模型‌强调图形末端的尖锐角如同鹰爪抓握状，更侧重动态联想。 普及高峰期（‌2023–2025 年），这些倒角模型被纳入多地初中数学复习专题，配套口诀（如“见飞镖，找四角”、“内翻腋下和等上下和，外翻腋下差等折角倍”‌‌）广泛传播，这些模型将严谨的几何法则融入生活化的想象与口诀，让数学推理像解谜游戏一样充满乐趣！ 1）三角形外角定理：三角形外角 = 不相邻两个内角之和； 2）三角形内角和 180°； 3）等量代换与整式代数化简； 4）几何倒角书写格式。 模型1.飞镖模型 【模型提炼与证明】 1）飞镖模型（边）：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 图1 图2 2）飞镖模型（角度）：条件：如图1，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 3）飞镖模型拓展：条件：如图2，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD； 结论：∠O=（∠D-∠B）。 证明：根据飞镖模型：=++，∴∠DCB-∠DAB=∠D+∠B， ∵AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，∴∠DCO=∠DCB，∠DAO=∠DAB， ∴∠DCO-∠DAO=（∠DCB-∠DAB）=（∠D+∠B）， ∵∠DEA=∠OEC，∴∠D+∠DAO=∠O+∠DCO，∴∠D-∠O=∠DCO-∠DAO， ∴∠D-∠O=（∠D+∠B）,即∠O=（∠D-∠B） 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·重庆·期中）如图（1），点D在内部．求证： (1)；(2)；(3)如图（2）如果点D在内部，且在线段的另一侧，又会有怎样的结论？ 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)，理由见解析 【详解】（1）证明：延长，交于点E，如下图 ，． （2）证明：如图（1），． （3）解：，理由如下：连接，如下图 ，， ，． 【典例2】（2026·广东深圳·二模）如图，从家用双面人字梯抽象出的四边形中，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，作射线， ∵，，而， ∴． 【典例3】（24-25重庆八年级期中）如图，，的角平分线交于点，若，，则的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F， ∵∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°，∵∠AFB＝∠PFC，∴∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF， ∵∠P＋∠PBE＝∠PED，∠PED＝∠PCD−∠D，∴∠P＋∠PBE＝∠PCD−∠D， ∴2∠P＋∠PCF＋∠PBE＝∠A−∠D＋∠ABF＋∠PCD， ∵PB、PC是角平分线∴∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，∴2∠P＝∠A−∠D ∵∠A＝48°，∠D＝10°，∴∠P＝19°． 法二：延长DC，与AB交于点E．∵∠ACD是△ACE的外角，∠A＝48°， ∴∠ACD＝∠A＋∠AEC＝48°＋∠AEC．∵∠AEC是△BDE的外角，∴∠AEC＝∠ABD＋∠D＝∠ABD＋10°， ∴∠ACD＝48°＋∠AEC＝48°＋∠ABD＋10°，整理得∠ACD−∠ABD＝58°． 设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC， ∴∠P＋∠ACD＝∠A＋∠ABD，即∠P＝48°−（∠ACD−∠ABD）＝19°．故选A. 【典例4】（25-26七年级下·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知在中，，直线分别交和的延长线于点． (1)若，，求的度数． (2)选择题：与的关系是___________． A．        B． C．        D． 【答案】(1)(2)A 【详解】（1）解：∵，∴； ∵，∴； （2）解：∵， ∴． ∵，∴． ∵，∴．所以A符合题意． 【典例5】（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，、 的角平分线交于点，已知，则___________ 【答案】 【详解】解：如图，连接，在中，， ∴， 在中，，∴， 又∵，， ∴ ， ∵是、的角平分线，∴， ∴， ∴在中： ， ∴． 【典例6】（24-25江苏南京·七年级校考期末）互动学习课堂上某小组同学对一个课题展开了探究． 小亮：已知，如图三角形，点是三角形内一点，连接，，试探究与，，之间的关系． 小明：可以用三角形内角和定理去解决．小丽：用外角的相关结论也能解决． （1）请你在横线上补全小明的探究过程： ∵，（______）∴，（等式性质） ∵，∴， ∴．（______） （2）请你按照小丽的思路完成探究过程；（3）利用探究的结果，解决下列问题： ①如图①，在凹四边形中，，，求______； ②如图②，在凹四边形中，与的角平分线交于点，，，则______；③如图③，，的十等分线相交于点、、、…、，若，，则的度数为______； ④如图④，，的角平分线交于点，则，与之间的数量关系是______； ⑤如图⑤，，的角平分线交于点，，，求的度数． 【答案】（1）三角形内角和180°；等量代换；（2）见解析；（3）①；②；③；④；⑤ 【详解】（1）∵，（三角形内角和180°） ∴，（等式性质） ∵， ∴， ∴．（等量代换） 故答案为：三角形内角和180°；等量代换． （2）如图，延长交于， ， ，， 由三角形外角性质可知，，，∴． （3）①如图①所示，连接BC，根据（1）中结论，得， ∴，∴； ②如图②所示，连接BC， 根据（1）中结论，得，∴， ∵与的角平分线交于点，∴，, ∴， ∵，， ∴，∴， ∵，∴； ③如图③所示，连接BC，根据（1）中结论，得， ∵，，∴， ∵与的十等分线交于点，∴，, ∴， ∴， ∵，∴， ∴，∴，∴； ④如图④所示，设与的交点为点， ∵平分，平分，∴，， ∵，，∴, ∴, ∴，即； ⑤∵，的角平分线交于点，∴， ∴． 模型2.鹰爪模型 【模型提炼与证明】 1）鹰爪模型：如图1，结论：∠A+∠O=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠CAO+∠COA； ∴∠1+∠2=∠BAO+∠BOA+∠CAO+∠COA=∠BAO+∠CAO+∠BOA+∠COA=∠BAC+∠BOC=∠A+∠O。 图1 图2 2）鹰爪模型（变形）：如图2，结论：∠A+∠O=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠DAO+∠DOA； ∴∠2-∠1=∠DAO+∠DOA-（∠BAO+∠BOA）=（∠DAO-∠BAO)+（∠DOA-∠BOA） =∠BAD+∠BOD=∠A+∠O。 【模型运用】 【典例1】（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，在中，，点，分别是边，上的两个定点．若点在线段上运动，当时，则 ． 【答案】/125度 【详解】解：连接，∵是的一个外角，是的一个外角， ∴，∵， ∴， ∴．故答案为：． 【典例2】（24-25七年级下·吉林长春·期末）在学习了“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”之后，老师让同学们小组探究“四边形的外角和它不相邻的内角之间有什么关系？”（以下提到的四边形均为凸四边形），爱动脑筋的小冰同学对“四边形的两个外角与它不相邻的两个内角有什么关系”开展了自己的探究，下面是她的探究过程： 已知：如图①，在四边形中，、是四边形的两个外角．猜想：； 证明：，． 证明过程缺失 (1)请你补全缺失的证明过程；(2)同桌小宇看了小冰的证明过程之后，指出小冰只考虑了“与是两个相邻外角”的情况，缺少“与是两个不相邻外角”的情况，如图当“与是两个不相邻外角”时，______（填“”“”“”）； (3)综合（1）（2），请用文字描述小冰发现的结论为：______；(4)如图③，在四边形中，，平分，平分，若，则______度 【答案】(1)补全证明过程如下： ，，，， ，； （2）解：，， ，，，， ，； （3）解：由（1）（2）的证明过程可得出结论：四边形的两个外角和等于与它们不相邻的两个内角的和； （4）解：如图，在四边形中，，， 平分，平分，； 如图，过点作，，，，， ． 【典例3】（24-25八年级上·河南驻马店·阶段检测）在中，，点，分别是边，上的点，点是一动点，设，，． (1)如图1，若点在线段上，且，求的度数； (2)若点在线段延长线上，请借助图2，探究，与之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)(2)，理由见解析 【详解】（1）解：∵∴ ∵∴ ∴； （2）解：由图2得，，理由如下：如图2，设交于点， ∵，，∴． 【典例4】（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）在中，，点，分别是边，上的两个定点，点是平面内一动点．初探： （1）如图1，若点在线段上运动， ①当时，则 ；②，，之间的数量关系为： ． 再探：（2）若点运动到边的延长线上，交于，如图2，则，，之间有何关系？并说明理由． 拓展：（3）当点在的内部，且，，不共线时，记，，，探究，，之间的关系，并直接写出探究结论． 【答案】（1）①130度；②；（2）；（3）或 【详解】解：（1）①如图1中，连接．，， ， ，，．故答案为：； ②由①可知，，故答案为：． （2）结论：．理由：如图2中， ，，． （3）结论：．理由：如图3中，当在 内部时， ，， ，． 当在四边形内部时，同理得：． 【典例5】（24-25七年级下·江苏连云港·期末）某数学兴趣小组在学习了“多边形内角和与外角和”后，受到“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”的启发，探究出了“多边形的两个外角的和等于与它不相邻的内角之和”．下面请同学们完成这个结论的证明并运用这个结论解题． 已知：在四边形中，和是该四边形的两个外角，且，． 【结论证明】（1）如图1，证明：； 【结论应用】（2）如图2，若，分别平分四边形的外角和，与相交于点G，应用（1）的结论探究，α，β三者之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当四边形的外角和角平分线的反向延长线相交于点G时，试探究，α，β之间的数量关系是________． （4）如图4，当时，试判断α，β之间的数量关系是________． 【答案】（1）证明：∵在四边形中，， ∴，∵，， ∴，∴； （2）解：；理由： ∵，分别平分四边形的外角和，∴，， ∵，∴， ∵优角，∴优角， ∵优角，∴，∴整理得，； （3）如图所示，∵四边形的外角和角平分线的反向延长线相交于点G时， ∴，，∵， ∴， ∴， ∵优角，∴优角， ∵优角，∴，∴整理得，； （4）如图所示，过点C作，∵，分别平分四边形的外角和， ∴，， ∵，∴， ∵，∴，∵，∴，∴， ∴，∴，∴． 模型3.翻角模型 【模型提炼与证明】 图1 图2 条件：如图1，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，结论：2∠C=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠1+∠2=∠ECC’+∠EC’C+∠FCC’+∠FC’C=∠ECC’+∠FCC’+∠EC’C+∠FC’C=∠EC’F+∠FCE=2∠C。 条件：如图2，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2∠C=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠2-∠1=∠FCC’+∠FC’C-（∠ECC’+∠EC’C）=（FCC’-∠ECC’)+（∠FC’C--∠EC’C） =∠EC’F+∠FCE=2∠C。 【模型运用】 【典例1】（2026·吉林长春·模拟预测）如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的内部时，与之间有一种数量关系始终保持不变，则这种数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据折叠可知，即． ∵，∴， 即，∴． 【典例2】（25-26七年级下·江苏南京·阶段检测）如图，三角形纸片中，，将纸片的角折叠，使点C落在内，，则的度数是_____ ． 【答案】 【详解】解：如图，∵，，∴， ∵折叠，∴，，， ∴，∴. 【典例3】（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图：，，， 由折叠的性质可知，，，． 【典例4】（25-26七年级下·上海闵行·期中）如图，在中，，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的度数是_____． 【答案】/74度 【详解】解：由折叠的性质得 ，，， ，． ，． ．． 【典例5】（24-25七年级下·辽宁大连·阶段练习）【原题再现】课本有这样一道题： 如图1，将纸片沿折叠，使点A落在四边形内点的位置．试探索与之间的数量关系，并说明理由． 小明提出一种正确的解题思路：连接，则、分别为、的外角，…… 请你按照小明的思路解决上述问题．        【变式探究】如图2，若将原题中“点A落在四边形内点的位置”变为“点A落在四边形外点的位置”，试猜想此时与、之间的数量关系，并说明理由． 【结论运用】将四边形纸片（，与不平行）沿折叠成图3的形状，若，，求的度数． 【答案】[原题再现] ，理由见解析；[变式探究] ，理由见解析；[结论运用] 【详解】解：[原题再现]图1中，结论：，理由是：连接．       沿折叠和重合，， ，， [变式探究]如图2，结论：． 理由：设交于．，， ，． [结论运用]如图3中，延长交的延长线于． 由上面结论可知：，，，，． 模型常见易错点 1）公式记反，写成∠A=∠BDC+∠B+∠C 错误颠倒大小角，凹进去的角是最大角，等于另外三个角之和。 正解：延长线段造外角，现场推导，不要死记公式。 2）分不清飞镖和八字（8 字）模型 八字模型：对顶角相等，∠A+∠B=∠C+∠D； 飞镖模型：凹四边形，凹角 = 另外三角之和，结构不同，公式不能混用。 3）在解答题直接写飞镖结论，没有推导过程 填空可以口算使用结论，大题必须通过延长线段 + 外角定理写出推导步骤，不能直接套用模型名称。 4）找不到图形里的隐形飞镖 复杂图形中没有画出完整飞镖轮廓，不会局部拆分三角形，只会使用标准图形。 5）风筝模型比例式与角度式混淆 初中倒角只用角度和差关系，不要套用相似风筝的面积 / 比例结论。 解题方法总结 飞镖风筝模型是三角形外角定理的延伸应用，是从基础三角形角度计算走向不规则多边形倒角的过渡内容。风筝模型用于交叉图形，飞镖用于内凹图形，二者相辅相成，大量出现在选择填空压轴，也是全等、圆综合大题的前置倒角工具。 熟练掌握 “延长线段构造外角” 的推导思路，不仅可以搞定本模型，还可以自主推导所有不规则四边形角度关系，摆脱死记公式的学习模式，提升几何逻辑能力。 1.（2026·河北保定·二模）如图，把等边纸片沿折叠，若，则是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由折叠的性质可知， ，，，， ，，是等边三角形，， 是的外角，，，．故选：A． 2．（25-26七年级下·福建泉州·期中）如图，点、分别在线段、上，连接、，若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，∴． 3．（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）如图，将纸片沿折叠，使点A落在四边形外点的位置，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ ，， ∴，根据折叠的性质可得：， ，∴ ． 4．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）定义：若一个三角形中一个内角是另一个内角的2倍，则称这个三角形为倍角三角形．如图，在中，，、分别是、上的点，，沿折叠，点的对应点恰好落在上．若是倍角三角形，则________． 【答案】或 【详解】解：如图：连接 ，由题意可知 关于轴对称， ， ， 是倍角三角形，它有一个内角是另一个内角的倍， 当时， 当时，则 综上所述或． 5．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，若，，，则_________________． 【答案】 【详解】解： ，，， ， 6．（25-26七年级下·上海杨浦·期中）如图，在中，D、E分别是边和上的点，将这个纸片沿折叠，点A落到点F的位置．如果，，，那么______ 度． 【答案】50 【详解】解：∵，， 由翻折而成，，． ，度，． 7.（24-25广东·八年级期中）如图，在三角形ABC中，，为三角形内任意一点，连结AP，并延长交BC于点D. 求证：（1）；（2）. 【详解】（1）∵，∴ ∵，∴，∴ ∵，∴ （2）过点作，交、于、，则， 由（1）知 ∵， ∴ 即（几何证明中后一问常常要用到前一问的结论） 8．（25-26八年级下·江西吉安·阶段检测）【课本再现】 (1)已知：如图，点在的内部．求证：； 【联系拓展】(2)在（1）中的情况下，若点在线段所在直线的下方，此时，，，之间有怎样的数量关系，给出结论并证明． 【答案】(1)见解析(2)或，证明见解析 【详解】（1）解：如图，连接并延长至点， ∴，， ∴； （2）解：如图，当点在点右侧时，设与交于点， ∵，，∴，∴； 如图，当点在点左侧时， 连接并延长至点， ∴，， ∴， ∴； 综上，或； 9.（24-25·湖北·七年级校考期中）阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”．如图1的四边形，这种形似飞镖的四边形，我们形象地称它为“飞镖图”．它实际上就是凹四边形，同学们通过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和，即如图1，．    “智慧小组”通过互学证明了这个结论： 方法一：如图2，连接，则在中，，即， 又：在中，，∴，即． “创新小组”想出了另外一种方法 方法二：如图3，连接并延长至F， ∵和分别是和的一个外角，………… 任务：(1)填空：“智慧小组”用的“方法一”主要依据的一个数学定理是______； (2)根据“创新小组”用的“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分． 【答案】(1)三角形的内角和定理（或三角形的内角和是180度） (2)见解析 【详解】（1）故答案为：三角形的内角和定理（或三角形的内角和是180度） （2）证明：如图3，连接并延长至F， ∵和分别是和的一个外角，∴，， ∴，即． 10．（25-26七年级下·吉林长春·期中）阅读下列材料，回答问题． 如图①所示的图形，像我们生活中的物品--回旋镖，我们不妨把这样的图形叫做“回旋镖图”，在这样一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决下列问题： (1)如图①，试猜想、、、之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，则___________； (3)如图③，在四边形中，与的角平分线交于点，若，，则___________． 【答案】(1)，理由见详解；(2)(3) 【详解】（1）解：，理由如下，连接并延长至E，如图所示， ∵，， ∴， ∵，∴； （2）解：∵三角尺的两条直角边、恰好经过点、，∴， 由（1）得，， ∵，∴，故答案为：； （3）解：由（1）可得，，， ∵，，∴， ∵与的角平分线交于点，∴， ∴，故答案为：． 1.（24-25江苏·八年级专题练习）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，如图， ∵ ∴ 同理得∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴,故选：B． 2.（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在中，，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，设与交于点，由折叠的性质可得：，由三角形外角的性质可得：    ，，故选：． 3．（2026·河南平顶山·二模）如图，在三角形纸片中，将纸片的一角沿折叠，使点C落在内，记为点．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由折叠的性质，得，． ，，， ． 4.（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们把这样的图形叫做“规形图”． (1)观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决问题： ①如图2，小叶把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，若，直接写出的结果； ②如图3，平分，平分，若，，求的度数． 【答案】(1)解：，理由是：过点A、D作射线， ∵， ∴，即； （2）解：∵，由（1）知：， ∵，∴； ②∵，∴， ∵平分平分，∴， ∴，∴． 5．（25-26七年级下·河南周口·期中）求解下列各题： (1)【建立模型】如图1，在内部有一点，连接，．求证：． (2)【尝试应用】如图2，利用上面的结论，直接写出五角星中，____________． (3)【拓展创新】如图3，将五角星截去一个角后多出一个角，求的度数． 【答案】(1)证明：如图，延长交于点， ∵，， ∴． （2）解：如图，设与相交于点， 由（1）得，∴． 在中，，∴． （3）解：如图，延长与的延长线相交于点， ，， ． 在中，， ． 由（2）得，， 6.（24-25浙江·七年级校联考期末）如图①，、是四边形的两个不相邻的外角．      (1)猜想并说明与、的数量关系；(2)如图②，在四边形中，与的平分线交于点．若，，求的度数；(3)如图③，、分别是四边形外角、的角平分线．请直接写出、与的数量关系 ． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【详解】（1）猜想：，理由如下： ∵，，∴， （2）∵，，， ∴， ∵、分别平分与，∴，， ∴， ∴， （3）、与的数量关系为：，理由如下： ∵、分别是四边形外角、的角平分线， ∴，， 由(1)可知:，， ∴，∴，故答案为：． 1.（24-25七年级下·吉林长春·期中）在中，，点分别是边，上的点，点是平面内的一个动点，连结，，设，，． (1)如图①，若点在边上，则，和之间的数量关系为 ． (2)如图②，若点在线段的延长线上时，求，和之间的数量关系． (3)如图③，若点在的内部，且在直线上方时，直接写出，和之间的数量关系． (4)若点在的外部，且始终在右侧，借助图④，直接写出，和之间的数量关系． 【答案】(1)(2)；(3)；(4)． 【详解】（1）解：如图，连接，∵，， ∴，故答案为：； （2）解：设与交于F，∵，， ∴，∴； （3）解：，理由如下：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∴； （4）解：．如图， ∵，，，∴． 2．（24-25·江苏连云港·七年级校考阶段练习）【问题情境】 已知，在的两边上分别取点B、C，在的内部取一点O，连接、．设，，探索与、、之间的数量关系． 【初步感知】如图1，当点O在的边上时，，此时，则与、、之间的数量关系是． 【问题再探】（1）如图2，当点O在的内部时，请写出与、、之间的数量关系并说明理由；（2）如图3，当点O在的外部时，与、、之间的数量关系是________； 【拓展延伸】（1）如图4，、的外角平分线相交于点P． ①若，，则________°；②若且，则________°； ③直接写出与、之间的数量关系； （2）如图5，的平分线与的外角平分线相交于点Q，则________（用、表示）． 【答案】[问题再探]（1）结论：∠BOC=∠BAC+∠1+∠2．证明见解析；（2）∠BOC+∠BAC+∠1+∠2=360°；[拓展延伸]（1）①25；②20；③∠BOC=∠A+2∠P；（2） 【详解】解：[问题再探]（1）如图2中，结论：． 理由：连接，延长到． ，， ． （2）如图3中，结论：． 理由：连接．，， ，． [拓展延伸]①如图4中，，，， 、的外角平分线相交于点，， ，故答案为：25． ②，，，，故答案为：20． ③，． （2）如图5中，结论：．理由：设，． 则有．②①可得，， 即，故答案为：． 3.（24-25七年级下·四川内江·期末）（1）探究一：如图1，与分别为的两个外角， 已知，，则的度数为________； 易得，与之间的数量关系为________． （2）探究二：如图2，在四边形中，、分别是外角、的平分线，设，试说明与的数量关系； （3）拓展应用：如图3，在（2）的条件下，作的平分线与的延长线交于点，在中，其中一个内角是另一个内角的4倍，请计算出所有符合条件的的值． 【答案】（1）； ．（2）；（3）或或或． 【详解】解：（1）求的度数及与的关系 ∵是外角，，，∴． 又∵是外角，，且，，， ∴，∴．∴， ，∴ ．故答案为：； ． （2）四边形中，，∴ ． ∵，， ∴ ． 又∵、分别平分、，∴， ． 在中， ． （3）由（2）知，平分，平分， ∴ ．∴中，，即 ． 分四种情况讨论：当时，，解得 ． 当时，，解得 ． 当时，，解得 ． 当时，，解得 ． 综上，的值为或或或． 4．（25-26八年级上·广东·期末）已知中，． (1)如图①，、的角平分线交于点，则 °． (2)如图②，、的三等分线分别对应交于，则 °． (3)如图③，、的等分线分别对应交于（内部有个点），求（用的代数式表示）． (4)如图③，已知、的等分线分别对应交于，若，求的值． 【答案】(1)105(2)80(3)(4)5 【详解】（1）解：∵点是与的角平分线的交点，， ∴，∴ （2）解：∵点2是与的三等分线的交点， ∴，∴； （3）解：∵点是与的等分线的交点， ∴， ∴ （4）解：由（3）得：，解得：． 6．（25-26七年级下·江苏南京·期末）数学实验：通过纸片的翻折，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释． 在直角三角形中，，点、分别在、上，将沿翻折，得到． (1)如图①，若，则°． (2)如图②，若折痕，利用直尺和圆规在图中求作翻折后点的对称点．（不写作法，保留作图痕迹） (3)如图③，若的平分线交线段于点，且，求证． (4)将沿着翻折得到，若，与的一边平行，直接写出度数的所有可能结果．（结果用含的代数式表示） 【详解】（1）解：∵，∴， 由折叠可得，∴． （2）解：如图， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴是的垂直平分线，∴点与点A关于对称． (3)证明：平分， 沿翻折得到， 即 ，∴， ， ； （4）解：分三种情况讨论：①若，（a）若向上翻折，得到，如图 ∵，，∴， ∵，∴， 由折叠可得， ∴． （b）若向下翻折，得到，如图 ∵，，∴， ∵，∴，∴， ∴ 由折叠可得， ∴． ②若，则，∴， 由折叠可得， ∵，∴． ③∵点D在上，与相交，∴不存在． 综上所述，度数为或或． 6．（25-26·成都市·七年级专题练习）箭头四角形 模型规律 如图1，延长CO交AB于点D，则∠BOC＝∠1+∠B＝∠A+∠C+∠B． 因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“∠BOC＝∠A+∠B+∠C”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”． 模型应用（1）直接应用：①如图2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝________．②如图3，∠ABE、∠ACE的2等分线（即角平分线）BF、CF交于点F，已知∠BEC＝120°，∠BAC＝50°，则∠BFC＝________． ③如图4，BOi、COi分别为∠ABO、∠ACO的2019等分线（i＝1，2，3，…，2017，2018）．它们的交点从上到下依次为O1、O2、O3、…、O2018．已知∠BOC＝m°，∠BAC＝n°，则∠BO1000C＝________度． （2）拓展应用：如图5，在四边形ABCD中，BC＝CD=4，∠BCD＝2∠BAD．O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD，∠BCD=120°，求四边形OBCD的面积． 【答案】（1）①2α；②85°；③(m+n)；（2） 【详解】（1）①如图2，在凹四边形ABOC中，∠A+∠B+∠C＝∠BOC＝α， 在凹四边形DOEF中，∠D+∠E+∠F＝∠DOE＝α，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝2α； ②如图3，∵∠BEC＝∠EBF+∠ECF+∠F，∠F＝∠ABF+∠ACF+∠A，且∠EBF＝∠ABF，∠ECF＝∠ACF， ∴∠BEC＝∠F﹣∠A+∠F，∴∠F＝， ∵∠BEC＝120°，∠BAC＝50°，∴∠F＝85°； ③如图3，由题意知∠ABO1000＝∠ABO，∠OBO1000＝∠ABO， ∠ACO1000＝∠ACO，∠OCO1000＝∠ACO， ∴∠BOC＝∠OBO1000+∠OCO1000+∠BO1000C＝（∠ABO+∠ACO）+∠BO1000C， ∠BO1000C＝∠ABO1000+∠ACO1000+∠BAC＝（∠ABO+∠ACO）+∠BAC， 则∠ABO+∠ACO＝（∠BO1000C﹣∠BAC）， 代入∠BOC＝（∠ABO+∠ACO）+∠BO1000C得∠BOC＝×（∠BO1000C﹣∠BAC）+∠BO1000C， 解得：∠BO1000C＝（∠BOC+∠BAC）＝∠BOC+∠BAC， ∵∠BOC＝m°，∠BAC＝n°，∴∠BO1000C＝m°+n°； 故答案为：①2α；②85°；③（m+n）； （2）如图5，连接OC，∵OA＝OB＝OD，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAD＝∠ODA， ∴∠BOD＝∠BAD+∠ABO+∠ADO＝2∠BAD，∵∠BCD＝2∠BAD，∴∠BCD＝∠BOD， ∵BC＝CD，OA＝OB＝OD，OC是公共边，∴△OBC≌△ODC（SSS）， ∴∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO，∵∠BOD＝∠BOC+∠DOC，∠BCD＝∠BCO+∠DCO， ∴∠BOC＝∠BOD，∠BCO＝∠BCD，又∠BOD＝∠BCD，∴∠BOC＝∠BCO，∴BO＝BC， 又OB＝OD，BC＝CD，∴OB＝BC＝CD＝DO，∴四边形OBCD是菱形． 又∵BC＝CD=4，∠BCD=120°，∴OC=4，BD=,∴S菱形OBCD=． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $